Общая характеристика работы

Актуальность темы

В 1921 году Г. Меллин1 получил формулу для решения общего приведенного алгебраического уравнения

y m + x1 y m1 +... + xp y mp 1 = 0. (1)

Мы называем это уравнение общим по той причине, что все коэффициенты независимо друг от друга пробегают поле комплексных чисел.

Решение y(x) = y(x1,..., xp ) уравнения (1) (которое называют общей

алгебраической функцией) было представлено им в виде кратного интеграла (одного из представителей класса интегралов Меллина-Барнса2 ), а также в виде степенного ряда гипергеометрического типа. Ряды гипергеометрического типа представляются конечной суммой гипергеометрических рядов по Горну3 : отношения соседних коэффициентов последних рядов являются рациональными функциями от переменных суммирования ряда.

Приведенное алгебраическое уравнение (1) получается фиксацией двух коэффициентов в общем алгебраическом уравнении степени m.

Поскольку решение последнего уравнения биоднородно зависит от коэффициентов, такую фиксацию можно сделать при любой паре мономов, не теряя информации о решениях4.

Краткая хронология событий, связанных с решением алгебраических уравнений, следующая. В 1757 г. Ламберт разложил корень трехчлена y p + y + z в степенной ряд по параметру z. В дальнейшем, разложения в ряды отдельных алгебраических функций были получены Эйлером Mellin H.J., Rsolution de l’quation algbrique gnrale ` l’aide de la fonction gamma, C.R.Acad.

e e e ee a Sci. Paris Sr. I Math. 172 (1921), 658–661.

e Жданов О.Н., Цих А.К., Исследование кратных интегралов Меллина-Барнса с помощью многомерных вычетов, Сиб. матем. журн. 39:2 (1998), 282–298.

Horn J., Uber hypergeometrische Funktionen zweier Vernderlichen, Math. Ann. 117 (1940), 384–414.

a M. Passare, A. Tsikh, Algebraic equations and hypergeometric series, The legacy of Niels Henrik Abel (Oslo, Norway, 2002), Springer-Verlag, Berlin, 2004, 653–672.

и Чебышёвым. Поскольку после работ Абеля и Галуа классическая алгебра утратила монополию на исследование алгебраических уравнений, математики обратились к аналитическим средствам, и началось изучение интегральных представлений общих алгебраических функций и их разложений в степенные ряды. При различных предположениях относительно вида исходного уравнения такие разложения были получены в работах Линдеманна5, Меллина6 и Биркелана7.

Подход Меллина основан на применении интегрального преобразования Меллина к решению исходного уравнения, в то время как Биркелан получил разложения решений в степенные ряды гипергеометрического типа на основе метода Лагранжа для вычисления неявной функции.

Третий (дифференциально-аналитический) подход к решению алгебраических уравнений был реализован в 1937 году К. Мэйром8. Он предъявил естественную систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет общая алгебраическая функция. Эта система явилась прототипом ставшей знаменитой гипергеометрической системы GKZ (Гельфанда-Капранова-Зелевинского)9, 1989 г. Используя багаж сведений о решениях GKZ-системы, Б.Штурмфельс10 в 2000-м году выписал все ветви общей алгебраической функции в виде так называемых гаммарядов. Его идеи были существенно развиты М. Пассаре и А.К. Цихом11.

Также дифференциально-аналитический подход был развит в работах Von Lindemann F. Uber die Ausung der algebraischen Gleichungen durch transcendente o Functionen, Nachrichten von der Knigl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augustso Universitt zu Gttingen, 7, (1884) 245–248.

a o Mellin H.J., Op. cit.

Birkeland R., Uber die Ausung algebraischer Gleichungen durch hypergeometrische Funktionen, o Math. Z. 26(1927), 565–578.

Mayr K., Uber die Ausung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen, o Monatshefte fur Mathematik und Physik 45 (1937),280–313.

Гельфанд И.М., Зелевинский А.В., Капранов М.М., Гипергеометрические функции и торические многообразия, Функц. анализ и его прил., 23:2(1989), 12–26.

Sturmfels B. Solving algebraic equations in terms of A-hypergeometric series, Discrete Math. 210:1– 3(2000), 171–181.

M. Passare, A. Tsikh, Op. cit.

Т.М. Садыкова12,13. Одновременно с третьим подходом развивался подход Меллина на основе теории многомерных вычетов14. Исследования алгебраических функций в тесной связи с теорией гипергеометрических функций и с математической физикой проводились во многих работах Переломова15, Бёйкерса16,17, Барсана и Немнеса18, Бода19, Пассаре, Садыкова и Циха20.

С помощью таких инструментов, как гипергеометрические ряды и многомерные вычеты, был получен новый метод описания монодромии общей алгебраической функции y(x), основанный на аналитических продолжениях друг в друга гипергеометрических рядов и интегралов Меллина-Барнса21 (2012).

Переход от скалярного уравнения (1) к системе уравнений был начат в статье И.А. Антиповой22, где она, следуя подходу Меллина, получила решение для нижнетреугольной системы алгебраических уравнений, когда первое уравнение зависит только от первой неизвестной y1, второе от первых двух y1, y2 и т.д., последнее n-е зависит от всех n неизвестных y1,..., yn. Отметим, что нижнетреугольные системы играют важню Садыков Т.М., О многомерной системе дифференциальных гипергеометрических уравнений, Сиб. матем. журн., 39:5 (1998), 1141–1153.

Sadykov T., On the Horn system of partial dierential equations and series of hypergeometric type, Mathematica Scandinavica, 91:1(2002), 127–149.

Семушева А.Ю., Цих А.К., Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений, Комплексный анализ и дифференциальные операторы: Сб. научн. тр. - Красноярск:

КрасГУ, 2000 134–146.

Переломов А. М., Гипергеометрические решения некоторых алгебраических уравнений, ТМФ, 140:1 (2004), 3–13.

Beukers F., Algebraic A-hypergeometric functions, Inventiones mathematicae, 180:3 (2010), 589–610.

Beukers F., Irreducibility of A-hypergeometric systems, Idagationes Mathematicae 21:1 (2011), 30–39.

V. Brsan, G.A. Nemnes: Physical relevance of the Passare-Tsikh solution of the principal quintic equation, J.Adv.Res.Phys. 2:1 (2011) 1–6.

Bod E., Algebraicity of the Appell-Lauricella and Horn hypergeometric functions, Dier. Equations 252:1 (2012), 541–566.

Passare M., Sadykov T. and Tsikh A., Nonconuent hypergeometric functions in several variables and their singularities, Compositio Mathematica, 141:3 (2005), 787–810.

Антипова И.А., Михалкин Е.Н., Аналитические и геометрические вопросы комплексного анализа, Сборник статей, Тр. МИАН, 279, МАИК, М., 2012, 9–19.

Антипова И.А., Выражение суперпозиции общих алгебраических функций через гипергеометрические ряды, Сиб.матем.журн., 44:5 (2003), 972–980.

роль в задачах о суперпозиции алгебраических функций23, поскольку n-я координата yn решения такой системы есть последовательная суперпозиция всех предыдущих координат.

Следует заметить, что применение подхода Меллина к более широкому классу систем, чем нижнетреугольные, сопряжено с определенными трудностями. А именно, результаты исследований данной диссертации показали, что формальный интеграл Меллина-Барнса для более общих систем, как правило, имеет пустую область сходимости. Поэтому потребовалось обосновать справедливость предсказанной В.А. Степаненко формулы для решений систем в виде степенного ряда и привести ее к более совершенной (регуляризованной) форме. При этом, несмотря на имеющийся алгоритм Нильсон-Пассаре-Циха25 для нахождения области сходимости интеграла Меллина-Барнса, оставался открытым вопрос о формулировке и доказательстве критерия сходимости гипергеометрического интеграла, представляющего решение общей системы алгебраических уравнений.

Цель диссертации Цель настоящей диссертации получить более совершенную формулу в виде ряда гипергеометрического типа для решения системы общих алгебраических уравнений, найти критерий сходимости гипергеометрического интеграла для решения, и в качестве применения получить многомерный аналог формул Варинга для степенных сумм корней системы.

Васильев В.А., Топология дополнений к дискриминантам, М.: Фазис, 1997.

Степаненко В.А. О решении системы n алгебраических уравнений от n неизвестных с помощью гипергеометрических функций, Вестник КрасГУ, 1 (2003), 35–48.

Nilsson L., Amoebas, Discriminants, and Hypergeometric Functions, Doctoral Thesis, Department of Mathematics, Stockholm University, Sweden, 2009.

Методы исследования Для получения результатов первой главы используется линеаризация системы алгебраических уравнений, а также многомерная формула логарифмического вычета А.П. Южакова.

Во второй главе используется алгоритм Нильсон-Пассаре-Циха для вычисления области сходимости кратного интеграла Меллина-Барнса, а также теорема о многомерных вычетах, основанная на принципе разделяющих циклов.

Научная новизна Основные результаты данной работы являются новыми, они носят теоретический характер.

Результаты исследований диссертационной работы высветили принципиально новые моменты в аналитическом аспекте теории алгебраических функций. Первый момент связан с предупреждением Б. Штурмфельса26 о том, что решения для систем уравнений не являются Aгипергеометрическими функциями с конфигурацией A, происходящей из “трюка Кэли” (а являются таковыми после деления на якобиан системы).

Результаты первой главы показывают, что решения систем, а также формулы Варинга для них, представляются регуляризациями гипергеометрических рядов. Также неожиданными являются результаты второй главы, где обнаружена “формальность” интегралов Меллина-Барнса, представляющих решения систем, а именно, такие интегралы могут иметь пустую область сходимости. Для систем с двумя уравнениями получен критерий “неформальности”, а в общем случае необходимое условие.

Sturmfels B. Op. cit.

Практическая и теоретическая ценность Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе, алгебраической геометрии и математической физике.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 1) Международной научной студенческой конференции Студент и научно-технический прогресс, г. Новосибирск, НГУ, 2010 г.;

2) Международной научной студенческой конференции Студент и научно-технический прогресс, г. Новосибирск, НГУ, 2012 г.;

3) IV Российско-Армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам, г. Красноярск, СФУ, г.;

4) Летней школе-конференции по проблемам алгебраической геометрии и комплексного анализа для молодых математиков европейской части России, Ярославль, 2013 г.;

5) В Сибирском федеральном университете на семинаре по многомерному комплексному анализу под руководством профессора А.К. Циха и профессора А.М. Кытманова, г. Красноярск, 2011–2014 гг.

Также результаты первой главы были включены в монографию Т.М.

Садыкова и А.К. Циха Гипергеометрические и алгебраические функции многих переменных, М.: Наука, 2014.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы с исчерпывающей полнотой в 3 статьях. Все статьи опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК. Одна статья совместная, ее результаты получены в неразрывном соавторстве с В.А. Степаненко.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста и списка литературы из 32 наименований, содержит 2 рисунка. Общее число Содержание работы Во введении раскрывается актуальность темы диссертационного исследования, а также кратко перечисляются основные результаты. Основной текст разбит на две главы.

В диссертации рассматривается приведенная система n уравнений от n неизвестных y = (y1,..., yn ), где набор показателей (j) Zn фиксирован, а все коэффициенты x – переменные. Разумеется предполагается, что множество (j) в j-м уравнении не содержит точек = (0,..., mj,..., 0) и = 0, являющихся показателями выделенных и y 0 с фиксированными коэффициентами 1 и -1. Несложмономов yj ными алгебраическими процедурами к виду (2) сводится любая система n полиномиальных уравнений от n неизвестных27.

Обозначим через дизъюнктную сумму (j), и пусть N число коэффициентов в системе (2) (то есть мощность множества ). Показатели мономов y = y1 1... ynn в системе (2) можно представить как (n N )-матрицу где k Это вектор-столбцы из. Предполагается, что в рамках каждого уравнения порядок столбцов произвольный, но фиксированный.

Антипова И.А., Цих А.К., Дискриминантное множество системы n полиномов Лорана от n переменных, Изв. РАН. Сер. матем., 76:5 (2012), 29–56.

Элементами индексируются координаты векторов x = (x ) коэффициентов системы. Все пространство коэффициентов обозначим CN.

Через y (x) обозначим ветвь решения y(x) = (y1 (x),..., yn (x)) системы (2) с условием y(0) = (1,..., 1). Эту ветвь назовем главным решением.

Для формулировки основных результатов первой главы нам потребуются следующие обозначения. Для каждой строки j матрицы показателей и целых µj Z 0 введем аффинную функцию С помощью этих функций определим следующее множество индексов Заметим, что естественным образом разбивается на блоки, соответствующие (j) :

поэтому каждую ее строку i можно представить в виде последовательn) ности векторов i,..., i.

Для системы (2) справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Моном y µ = y µ (x) главного решения системы (2) представляется рядом гипергеометрического типа с коэффициентами c, вычисляемыми по формуле Доказательство сформулированной теоремы основано на линеаризации системы уравнений и применении многомерной формулы логарифмического вычета методом А.П. Южакова28.

Отметим, что для некоторого подкласса систем (2) “полуфабрикат” формулы (3) был получен В.А. Степаненко29 на основе формального подхода Меллина, то есть игнорирования расходимости преобразования Меллина для функции y µ (x) и интеграла Меллина-Барнса. Отличие формулы (3) от всех полученных ранее формул для решения систем с дополнительными ограничениями состоит в том, что коэффициент c не имеет аналитической зависимости от, поскольку даже порядки определителей в ней зависят от.

Для получения многомерных формул Варинга нет необходимости фиксировать свободные члены в уравнениях (2), поэтому рассмотрим систему Однако теперь потребуем условие на множество (j), состоящее в том, что для (j) выполняется неравенство В этом случае, по теореме Безу, система (4) имеет M = m1 ·... · mn решений y () (x). Отметим, что в (4) вектор x = (x ) имеет N + n координат.

Степенной суммой степени µ Zn 0 называется выражение А. П. Южаков, О применении кратного логарифмического вычета для разложения неявных функций в степенные ряды, Матем. сб., 97(139):2(6) (1975), 177 192.

Степаненко В.А., Op. cit.

Рассмотрим (n N )-матрицу, i-я строка которой представляет характеристическую функцию подмножества (i), то есть элементы этой строки равны 1 на местах (i) и 0 на всех остальных местах Теорема 2. При условии (5) для любого µ Zn 0 степенная сумма Sµ корней системы (4) представляется в виде многочлена от коэффициентов x = (x ) системы по формуле где P = {j {1,..., n} : lj () = 0}, а Dm диагональная n nматрица с диагональными элементами mj степеней системы.

Ранее В.А. Болотовым30 была найдена многомерная версия формул Варинга только для степенных сумм вида то есть для отдельных координат решения.

Во второй главе диссертации исследуется вопрос о представлении решения системы (2) в виде интеграла Меллина-Барнса.

В работах И.А. Антиповой31 и В.А. Степаненко32 приводится интегральная формула для монома решения системы алгебраических уравнений вида (2). Однако, в работе Антиповой рассматривается лишь класс нижнетреугольных систем, а в работе Степаненко интегральная формула приводится без исследования вопроса сходимости интеграла и без обоснования существования обращения преобразования Меллина. Схема применеия преобразования Меллина следующая: с помощью линеаризации системы вычисляется результат преобразования Меллина для решения Айзенберг Л.А., Южаков А.П., Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе, - Новосибирск: Наука, 1979.

Антипова И.А., Op. cit.

Степаненко В.А., Op. cit.

системы, из которого само решение получается в виде обратного преобразования Меллина. Напомним, что преобразование Меллина функции F (x) определяется интегралом где xz = xz1... xzN,= dx11... dxN.

Указанная схема правомерна, например, при условии следующей теоремы И.А. Антиповой33 :

Теорема 3. Если F (x) M, то ее преобразование Меллина существует, голоморфно в трубчатой области U + iRN и справедлива формула обращения M 1 M [F ] = I[F ], т.е.

где a U.

Здесь U, – выпуклые области в RN, причем содержит начало координат, а M – векторное пространство функций, голоморфных в секториальной области Arg1 () и с ограничением на рост В случае n = 1 И.А. Антиповой удалось найти выпуклые области U и, при которых моном решения y µ (x) принадлежит классу M.

Результаты Антиповой об обращении прямого и обратного преобразования Меллина вместе с сформулированной ниже теоремой 4 показывают, что для n > 1 приведенная схема не всегда применима. Причиной этого служит тот факт, что обратное преобразование Меллина (7) для монома решения сходится не для любой системы. Однако, в случае сходимости интеграла (7) будет представлять моном решеия y µ (x).

Антипова И.А., Обращения многомерных преобразований Меллина и решения алгебраических уравнений, Матем. сб., 198:4(2007), 3–20.

Формальная интегральная формула для монома y µ, µ > 0 (µ1 > 0,..., µn > 0) решения системы вида (2) приводилась, например, в работе Степаненко34. После некоторых преобразований соответствующее y µ выражение можно записать в виде где вектор выбирается из многогранника а Q(u) многочлен, выражаемый определителем Теорема 4. Если интеграл (7) сходится, то все матрицы вида В параграфе 8 мы покажем, что для n = 2 приведенное условие является также и достаточным. А именно, рассмотрим систему из двух алгебраических уравнений от двух неизвестных y1, y2 :

Степаненко В.А. Op. cit.

Теорема 6. Если n = 2, то интеграл (7) для системы (8) имеет непустую область сходимости тогда и только тогда, когда положительны все показатели j, i и все определители ij = i j (2) (1) В основе доказательства теорем 4 и 6 лежит алгоритм НильсонПассаре-Циха35 для вычисления области сходимости кратного интеграла Меллина-Барнса, а также теорема о многомерных вычетах, основанная на принципе разделяющих циклов36,37.

Основные результаты 1) Получена формула для решения системы n алгебраических уравнений от n неизвестных в виде ряда гипергеометрического типа.

2) Получены формулы для степенных сумм решений системы в виде многочленов от её коэффициентов (многомерные аналоги формул 3) Найдено необходимое условие сходимости интеграла Меллина–Барнса, представляющего моном решения системы n алгебраических 4) Доказан критерий сходимости интеграла Меллина–Барнса для системы двух алгебраических уравнений.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задачи и внимание к работе.

Nilsson L., Amoebas, Discriminants, and Hypergeometric Functions, Doctoral Thesis, Department of Mathematics, Stockholm University, Sweden, 2009.

Tsikh A.K., Multidimentional residuses and their applications, Amer. Math. Soc. Providence. – 1992.

Кытманов А.М., Цих А.К., Интегральные представления и вычеты (по работам красноярской школы) Коплексный анализ в современной математике: К 80-летию со дня родения Б.В. Шабата.

М.: Фазис, 2001. С. 198–216.

Работа выполнена в Сибирском федеральном университете при поддержке гранта Правительства РФ (Договор №14.Y26.31.0006) для проведения исследований под руководством ведущих ученых, кроме того, автор был поддержан грантом РФФИ, № 14-01-31265 мол_а.

Работы автора по теме диссертации [1] В.Р. Куликов, Вычисление мономиальной функции для решения общей системы алгебраических уравнений, Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., т.5, №3, 2012, С. 409–416.

[2] V.R. Kulikov, Conditions for Convergence of the Mellin–Barnes Integral for Solution to System of Algebraic Equations, Журн. СФУ. Сер.

Матем. и физ., т.7, №3, 2014, С. 339–346.

[3] В.Р. Куликов, В.А. Степаненко, О решениях и формулах Варинга для систем n алгебраических уравнений от n неизвестных, Алгебра и анализ, т. 26, №5, 2014.