На правах рукописи

СБЫТОВА ЕКАТЕРИНА СЕРГЕЕВНА

ДИНАМИКА МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА

С РЕЗОНАТОРОМ В ВИДЕ УПРУГИХ ПЛАСТИН

Специальность 01.02.01 – Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2014 г.

2

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Подалков Валерий Владимирович, Научный доктор технических наук, профессор, руководитель:

профессор кафедры теоретической механики и мехатроники ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Басараб Михаил Алексеевич, Официальные доктор физико-математических наук, оппоненты:

профессор кафедры ИУ8 «Информационная безопасность», ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет техники и технологий)»

Каленова Наталья Валерьевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Физика», ФГБОУ ВПО «МАТИ – Российский государственный технологический университет имени К.Э. Циолковского»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН (ИПМех РАН)

Защита состоится 25 марта 2014 г., в 1300 часов на заседании диссертационного совета Д 002.024.01, созданного на базе Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, г. Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан « » _ 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук Полилова Т.А.

Актуальность проблемы. Микросистемная техника – перспективное направление современного приборостроения. Благодаря новым технологиям изготовления на базе кремниевых структур, удается создать датчики инерциальной информации, имеющие малые габаритные размеры, малый вес и низкое энергопотребление.

В настоящее время все большее развитие получают микромеханические гироскопы (ММГ) – одноосные вибрационные гироскопы, эксплуатационным преимуществом которых является отсутствие вращающихся частей.

ММГ находят применение в различных областях техники: в медицине в качестве приборов для позиционирования микроинструментов, в интеллектуальных системах протезирования, в автомобилестроении, в оборонной промышленности в системах управления боеприпасами и боевыми роботами и др. При этом проблема повышения точности этих датчиков является актуальной для прецизионного приборостроения. Решение ее заключается в применении новых технологических методов, в создании точных математических моделей движения чувствительного элемента, а также алгоритмов аналитической компенсации погрешностей.

В настоящей работе объектом исследования является новый микромеханический гироскоп с резонатором в виде четырех упругих пластин.

Особенность его конструкции позволяет решить ряд перечисленных выше проблем. При этом предложенные алгоритмы повышения точности могут быть применены для других гироскопов класса обобщенный маятник Фуко1.

Целью работы является разработка динамической модели нового микромеханического гироскопа с резонатором в виде упругих пластин в различных режимах работы с учетом нелинейных эффектов, связанных с геометрией его чувствительного элемента.

Для достижения поставленной цели решаются следующие основные задачи:

разработка математической модели колебаний чувствительного элемента осцилляторного вибрационного гироскопа;

исследование влияния медленно меняющихся условий функционирования на динамику прибора в различных режимах работы;

анализ влияния геометрической нелинейности на точностные характеристики микромеханического гироскопа.

Цели диссертации соответствуют «Приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники в Российской Федерации» по направлению «Транспортные и космические системы»; работа направлена на развитие технологий, входящих в «Перечень критических технологий Российской Федерации» по направлениям «Технологии информационных, управляющих, навигационных систем» и «Технологии наноустройств и микросистемной техники». Работа выполнена при поддержке Российского фонда Журавлев В.Ф. Управляемый маятник Фуко как модель одного класса свободных гироскопов // Изв. РАН. МТТ. 1997. №6. С. 27–35.

фундаментальных исследований (проекты 09-01-00756-а, 09-08-01184-а, 12-01-00939-а, 12-08-01255-а), а также Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере (программа «Участник молодежного научно-инновационного конкурса», 2011-2012 гг.).

Методы исследования определялись спецификой изучаемого объекта и его математической модели. В работе использовались методы теоретической механики, многих масштабов, аналитических вычислений и математического моделирования, теория дифференциальных уравнений и специальных функций.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением методов теоретической механики, теории дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, теории специальных функций, а также сопоставлением полученных результатов с результатами, полученными другими исследователями.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:

получена математическая модель нового микромеханического осцилляторного вибрационного гироскопа с резонатором в виде упругих пластин;

установлено влияние медленно меняющихся параметров математической модели, таких как частота собственных колебаний, угловая скорость основания, амплитуда и частоты вынуждающей силы на динамику и точность гироскопа в режимах свободных и вынужденных колебаний;

получены аналитические формулы для угла прецессии гироскопа с учетом нелинейных эффектов и даны оценки точности;

исследовано влияние нелинейности на устойчивость стационарных режимов и вид амплитудно-частотных характеристик.

Практическая значимость результатов работы заключается в разработке новой конструктивной схемы микромеханического гироскопа с резонатором в виде упругих пластин, в оценке влияния нелинейных эффектов и медленно меняющихся параметров системы на динамические и точностные характеристики прибора. Модели, алгоритмы и обобщения, содержащиеся в диссертации, могут быть полезны для проектирования новых датчиков инерциальной информации и улучшения характеристик уже существующих приборов.

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались и обсуждались на международной научно-технической конференции "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика" (Москва, МЭИ, 2010-2013 гг.);

I всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Инновационные подходы к развитию вооружения, военной специальной техники» (Москва, Академия Генерального Штаба Вооруженных Сил России, 2010 г.);

международной конференции "Седьмые Окуневские чтения" (Санкт-Петербург, БГТУ, 2011 г.);

академических чтениях по космонавтике «Актуальные проблемы российской космонавтики» (Москва, МГТУ им. Баумана, 2011, 2013 гг.);

международной молодежной научно-практической конференции «Мобильные роботы и мехатронные системы» (Москва, НИИ Механики МГУ, 2011);

XIII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением»

(Санкт-Петербург, 2011 г.);

конкурсе «Участник молодежного научно-инновационного конкурса (У.М.Н.И.К.)» (2011-2012 гг.);

XII всероссийской выставке научно-технического творчества молодежи НТТМ-2012 (Москва, 2012 г.);

XIX Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам (Санкт-Петербург, 2012 г.);

695-ом заседании семинара «Механика систем» имени академика А.Ю. Ишлинского при Научном совете РАН по механике систем под руководством акад. В.Ф. Журавлева и акад. Д.М. Климова (Москва, ИПМех РАН, 2013 г.).

Публикации. По результатам исследований, проведенных в рамках диссертации, опубликовано 15 работ, в том числе 2 статьи в издании, рекомендованном ВАК Минобрнауки РФ, 2 реферата и 10 тезисов докладов на конференциях, получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад автора заключается в разработке математической модели движения чувствительного элемента осцилляторного вибрационного гироскопа, проведении аналитических преобразований, а также в реализации численных экспериментов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего наименований. Общий объем работы составляет 128 страниц и содержит иллюстрации.

Во введении сформулирована общая характеристика круга задач, отраженных в диссертации, и обоснована их актуальность. Поставлена цель диссертационной работы и дан обзор предшествующих исследований в области микромеханических устройств. Приведено краткое описание результатов работ, посвященных моделированию и проектированию микромеханических и волновых твердотельных гироскопов.

В первой главе в §1.1 разработана динамическая модель микромеханического осцилляторного вибрационного гироскопа (рис. 1), чувствительный элемент которого – четыре одинаковые упругие пластины 1, закрепленные в рамке 2, соединенной упругими торсионами 3 с основанием гироскопа. Геометрические размеры прямоугольных пластин обозначены через a и b.

Рис. 1. Конструктивная схема микромеханического гироскопа Под действием электростатической системы управления резонатор совершает периодическое движение, измерение которого позволяет определить вращение основания гироскопа в инерциальном пространстве.

С подвижной рамкой связана система координат, при этом ось является осью чувствительности гироскопа. Предполагается, что основание вращается вокруг оси с угловой скоростью, малой по сравнению с характерной частотой собственных колебаний чувствительного элемента и, в общем случае, являющейся некоторой функцией времени.

Для описания колебаний чувствительного элемента введены функция прогиба поверхности тонкой упругой пластины w = w (t, x, y), зависящая от времени t и координат x и y, связанных с пластиной, и малый угол поворота рамки относительно основания гироскопа.

После применения вариационного принципа Гамильтона-Остроградского, были получены интегро-дифференциальные уравнения, описывающие динамику гироскопа цилиндрическая жесткость пластины, E – модуль Юнга, 0 – коэффициент Пуассона, с0 – жесткость упругих торсионов рамки, обобщенный момент инерции системы, J0 – момент инерции рамки В (1) учтено внутреннее трение по модели Кельвина-Фойгта и введены обозначения – коэффициент внутренних потерь при колебаниях пластин, – вязкоупругий модуль материала пластин, характеризующий внутреннее трение в материале, – коэффициент вязкого трения торсионов.

Функция прогиба w задается в виде где (t) – искомая функция формы колебаний, видом граничных условий для пластин. В работе рассматривались три типа граничных условий: заделка по четырем сторонам, шарнирное опирание по четырем сторонам и консольное закрепление пластин.

После применения процедуры Бубнова-Галеркина получены дифференциальные уравнения для обобщенных координат, В (3) введены следующие обозначения:

собственных частот колебаний резонатора на неподвижном основании;

гироскопических слагаемых в математической модели движения.

В работе показано, что с точки зрения практической реализации наиболее приемлемым оказывается консольное закрепление пластин. Для квадратных пластин размером a = b = 10 мм и толщиной h = 1 мм, изготовленных из плавленого кварца ( = 2201 кг/м3, E = 7.31010 Па, 0 = 0.17), и обобщенного момента инерции В §1.2 установлено, что даже без учета нелинейных слагаемых в математической модели (3) на неподвижном основании при неточном совмещении собственных частот, а именно при, возникает прецессия гироскопа, что приводит к дополнительным погрешностям в измерении угла поворота основания в режиме свободных колебаний. Вязкое трение при этом не влияет на прецессию гироскопа, а приводит к медленному изменению амплитуд колебаний.

В §1.3 получена одночастотная система линейных нестационарных уравнений, описывающая собственные колебания чувствительного элемента гироскопа Здесь собственная частота = () и угловая скорость вращения