На правах рукописи

ДУБОСАРСКИЙ Глеб Александрович

АНАЛИТИЧЕСКИЕ

И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВСПЛЕСКИ

В МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2014

Работа выполнена в отделе аппроксимации и приложений Федерального государственного бюджетного учреждения науки «Институт математики и механики имени Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Черных Николай Иванович

Официальные оппоненты: Протасов Владимир Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, г. Москва Захаров Виктор Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, научный cотрудник Института механики сплошных сред УрО РАН, лаборатория нелинейной механики деформируемых твердых тел, г. Пермь

Ведущая организация: Воронежский государственный университет, г. Воронеж

Защита состоится 27 июня 2014 г. в 1300 на заседании диссертационного совета Д 004.006.04 при Институте математики и механики имени Н.Н. Красовского УрО РАН по адресу: г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН и на сайте ИММ УрО РАН: http://wwwrus.imm.uran.ru.

Автореферат разослан « » 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук Скарин Владимир Дмитриевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Общая теория вейвлет-анализа началась в восьмидесятых годах прошлого века с работ И. Мейера, С. Малла, которыми был предложен метод построения ортогональных систем всплесков в пространстве L2 (R). Далее теория всплесков формировалась благодаря работам И. Добеши, A. Коена, П. Ж. Лемарье, В. M. Лоутона, С. Малла, И. Мейера и др. В России данной тематикой занимаются В. Г. Захаров, С. Ф. Лукомский, Т. П. Лукошенко, В. Н. Малоземов, И. Я. Новиков, А. П. Петухов, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина, Ю. Н. Субботин, Ю. А. Фарков, Н. И. Черных и др. В настоящее время теория всплесков продолжает активно развиваться. Вейвлетам посвящено множество статей и монографий.

Теория всплесков нашла применение на практике. Вейвлетпреобразование широко используется для анализа сигналов, очистке сигнала от шума и сжатия изображений с потерями. Наиболее известные примеры вейвлетной компрессии — форматы JPEG 2000, DjVu. Также теория всплесков нашла применение и в теоретической математике. Теория всплесков позволяет полностью охарактеризовать такие пространства, как пространства Бесова, Соболева и Лизоркина-Трибеля. На основе всплесков строятся базисы в различных пространствах. Ал. А. Привалов, М. А. Скопина, Р. А. Лоренц и А. А. Саакян построили базисы алгебраических и тригонометрических многочленов с минимально возможным ростом степеней в пространствах непрерывных функций на отрезке и непрерывных периодических функций на отрезке. Ю. Н. Субботин и Н. И. Черных построили базисы всплесков пространств Харди аналитических и гармонических функций в единичном круге и пространств типа Харди аналитических и гармонических функций в центральном и нецентральном кольцах.

Достоинством базисов всплесков является их простота. В пространстве непрерывных функций на отрезке были ранее построены и другие ортогональные базисы. Например, Ф. Франклин построил базис, который получается за счет ортогонализации Грама-Шмидта относительно интегрального скалярного произведения специальной системы кусочно-линейных функций. В пространствах аналитических функций в круге и непрерывных в его замыкании строились базисы на основе системы Франклина или сплайнов в работах С. В. Бочкарева, З. Вронича, Ю. Н. Субботина, З. Чисельского.

Однако, все эти базисы имели более сложный вид, чем базисы всплесков.

Цели и задачи исследования. Главной целью настоящей работы является построение аналитических и гармонических базисов всплесков в пространствах типа Харди аналитических и гармонических функций в области, ограниченной несколькими окружностями, и исследование скорости сходимости рядов всплесков.

Методы исследования. В диссертации использовались методы комплексного анализа и теории функций.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации, изложенные ниже в разделе «Основные результаты», являются новыми в теории всплесков и теории построения базисов в пространствах аналитических и гармонических функций.

Теоретическая и практическая значимость работы. Построены аналитические и два вида гармонических всплесков в области, ограниченной несколькими окружностями. Эти всплески образуют базис пространств типа Харди аналитических и гармонических функций соответственно. Тем самым, в диссертации продолжены исследования по построению базисов в пространствах аналитических и гармонических функций. Сделаны оценки скорости сходимости рядов по построенным всплескам, из которых, в частности, следует, что для аналитических и гармонических функций с непрерывными граничными значениями соответствующие ряды сходятся равномерно в замыкании области. Построенные гармонические всплески могут быть использованы для решения задачи Дирихле, возникающей на практике. Эти всплески дают простой метод для численного решения задачи Дирихле. Известные интегральные формулы для решения задачи Дирихле имеют неограниченные ядра вблизи границы области и поэтому не могут быть использованы для определения решения вблизи границы из-за возникающей большой погрешности. Ряды гармонических всплесков сходятся равномерно в замыкании области, что дает возможность численно определять значения решения задачи Дирихле рядом с границей области.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгими математическими доказательствами. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1–9]. Из них статьи [1–4] опубликованы в изданиях из списка, рекомендованного ВАК. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на летних Школах С. Б. Стечкина по теории функций (Миасс, 2011, 2012, 2013); всероссийской молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 2011, 2013); международной конференции «Wavelets and applications» (Санкт - Петербург, 2012);

международной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2013); международной конференции «Боголюбовские чтения DIF-2013» (Севастополь, 2013) и на совместных семинарах отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Объем работы — 141 страница.

Список литературы содержит 52 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В статье1 Ю. Н. Субботина и Н. И. Черных были построены аналиСубботин Ю. Н., Черных Н. И. Всплески периодические, гармонические и аналитические в круге с нецентральным отверстием // Труды Международной летней математической Школы С. Б. Стечкина по теории функций.

Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 129–149.

тические и гармонические всплески в единичном круге и в центральном кольце. С помощью конформного отображения всплески в центральном кольце были перенесены на случай нецентрального кольца. Все упоминаемые в дальнейшем результаты Ю. Н. Субботина и Н. И. Черных содержатся в вышеназванной статье. В главе 1, на основе аналитических всплесков Ю. Н. Субботина и Н. И. Черных, построен базис пространств типа Харди аналитических функций в области, ограниченной несколькими окружностями, без применения конформного отображения. Это приводит к более простым базисным функциям и формулам для коэффициентов разложения по всплескам, чем в случае нецентрального кольца.

Через Cr (a) и Br (a) обозначим окружность с центром в точке a радиуса r и открытый шар, который она ограничивает. В диссертации рассматривается область комплексной плоскости K, ограниченная окружностями Cr0 (z0 ) = C1 (0), Cr1 (z1 ), Cr2 (z2 ),..., Crm (zm ), причем все замкнутые шары Brk (zk ), k = 1, m попарно не пересекаются и лежат строго внутри шара B1 (0). В первой главе рассматриваются пространства типа Харди однозначных аналитических функций Hp (K), 1 p. Обозначим через минимум из попарных расстояний между компонентами границы области K — окружностями Cr0 (z0 ), Cr1 (z1 ),..., Crm (zm ). При 1 p < будем считать, что f (z) Hp (K), если f (z) аналитическая в K и выполнены требования