МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

СТАШ Айдамир Хазретович

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТОТ

РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

Специальность 01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2013

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Сергеев Игорь Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, Фурсов Андрей Серафимович профессор кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления, факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова кандидат физико-математических наук, доцент Дементьев Юрий Игоревич заведующий кафедрой высшей математики МГТУ Гражданской авиации

Ведущая организация: Институт математики НАН Беларуси

Защита диссертации состоится 13 декабря 2013 г. в 16 ч 40 мин на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские Горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, механикоматематический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 12 ноября 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы Исследование линейных нестационарных систем имеет не только самостоятельное значение, но и служит базой для изучения нелинейных систем по их линейному приближению. Линейные нестационарные системы имеют многочисленные приложения, которые выдвигают ряд новых задач теоретического характера, требующих изучения асимптотических и колебательных свойств решений систем.

Представленная работа является исследованием в области качественной теории линейных дифференциальных уравнений и систем, важнейшими направлениями которой являются теория устойчивости и теория колебаний.

С теорией устойчивости, созданной А.М. Ляпуновым (1892 г.), естественным образом связаны, прежде всего, характеристические показатели Ляпунова решений дифференциальных систем, а также введенные позже показатели Перрона, Боля, Винограда, Миллионщикова и Изобова, отвечающие за разнообразные асимптотические свойства решений систем.

Изучением различных свойств самых разных показателей решений и систем занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р.Э.

Виноград, Б.Ф. Былов, В.М. Миллионщиков, Н.А. Изобов, М.И. Рахимбердиев, И.Н. Сергеев, Е.К. Макаров, Е.А. Барабанов, А.С. Фурсов, А.Н.

Ветохин, В.В. Быков, Ю.И. Дементьев и другие. Исчерпывающую (на соответствующий момент) библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах1, 2 и монографиях3, 4.

Однако для полного описания реальных природных процессов важна информация не только о росте исследуемых функций, но и об их колебательных свойствах. В теории колебаний немалая роль отводится вопросам колеблемости решений дифференциальных уравнений, восходящим к фундаментальным исследованиям Ж. Штурма (1837–41 гг.) и более поздним исследованиям А. Кнезера (1896–98 гг.).

Исследования по тематике колеблемости успешно продвигались усилиями многих математиков, среди которых необходимо особо отметить В.А.

Изобов Н.А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т.12. С. 71–146.

Изобов Н.А. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. 29. №12. С. 2034–2055.

Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М., 1966.

Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Мн.: БГУ, 2006.

Кондратьева, И.Т. Кигурадзе, Т.А. Чантурия, А.Н. Левина, Н.А. Изобова, Дж.Д. Мирзова, И.В. Асташову и других (обширные библиографии по этому вопросу можно найти, например, в обзоре5 и монографии6 ).

Заметим, что перечисленных авторов в основном интересовали вопросы, связанные с наличием у заданного уравнения или системы хотя бы одного колеблющегося решения, а также с описанием всего множества таких решений или каких-либо дополнительных их свойств. Немало усилий в этих работах было направлено на получение именно коэффициентных признаков существования или отсутствия колеблющихся решений.

В последнее время интерес к таким свойствам решений линейных нестационарных систем, как ограниченность, устойчивость, колеблемость и т. п., возрос в связи с изучением автоколебаний и хаотических режимов, возникающих в различных электронных и лазерных устройствах. В связи с этим, особенно интересной и актуальной представляется задача о нахождении аналогов показателей Ляпунова, отвечающих за колеблемость решений дифференциальных уравнений и систем.

В 2004 г. И.Н. Сергеевым были введены характеристики колеблемости решений линейных однородных дифференциальных уравнений, которые явились весьма эффективным средством для изучения колебательных свойств. Так, в докладе7 он впервые ввел понятие характеристической частоты (y) скалярной функции y, несущее в себе черты усреднения по Ляпунову и позволившее численно измерять колеблемость решений уравнений на полупрямой.

Следует отметить, что спектры (множества значений на всех ненулевых решениях) различных показателей n-мерных линейных систем устроены по-разному: спектр показателей Ляпунова состоит ровно из n чисел (с учетом их кратности), тогда как спектр показателей Перрона, вообще говоря, не является конечным и, более того, может совпадать с любым наперед заданным ограниченным и замкнутым сверху измеримым (суслинским) подмножеством числовой прямой.

Что же касается характеристических частот, то их спектры устроены также сложнее, чем спектры показателей Ляпунова. И хотя все ненулевые решения произвольного уравнения первого или второго порядка имеют Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения x(n) + p1 (t)x(n1) + · · · + pn (t)x = 0 // Успехи матем. наук. 1969. 24. №2. С. 43–96.

Асташова И.В. Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / И.В. Асташова и др.; под ред. И.В. Асташовой М.: ЮНИТИ– ДАНА, 2012.

Сергеев И.Н. Определение характеристических частот линейного уравнения // Дифференц.

уравнения. 2004. 40. №11. С. 1576.

одну и ту же частоту8, тем не менее существуют автономное линейное однородное уравнение четвертого порядка и периодическое линейное уравнение третьего порядка с континуальными спектрами характеристических частот 9, 10.

Таким образом, даже для автономного линейного уравнения спектр характеристических частот не совпадает с множеством модулей мнимых частей всех корней соответствующего характеристического многочлена.

С ним совпадает, вообще говоря, лишь набор специально выделенных (с использованием процедуры регуляризации по Миллионщикову) главных значений частот этого уравнения 8.

В работах11, 12, 13 были введены различные модификации характеристических частот, но уже для вектор-функций x, в частности, так называемые полные (x) и векторные (x) частоты. Подсчет последних происходит путем усреднения числа нулей проекции функции x на какуюлибо прямую, причем эта прямая выбирается так, чтобы полученное среднее значение оказалось минимальным: если указанная минимизация производится перед усреднением, то получается полная частота (x), а если после то векторная частота (x). Некоторые свойства этих частот описаны в работах14, 15, 16, 17, 18.

Оказалось 17, что на решениях линейных однородных уравнений и систем с ограниченными коэффициентами эти характеристики колеблеСергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249–294.

Горицкий А.Ю. Характеристические частоты линейных комбинаций синусов // Дифференц.

уравнения. 2008. 44. №6. С. 860.

Смоленцев М.В. Существование периодического линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальным спектром частот // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №11. С.

1571–1572.

Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Дифференц.

уравнения. 2008. 44. № 11. С. 1577.

Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейной системы // Дифференц. уравнения.

2009. Т. 45. № 6. С. 908.

Сергеев И.Н. Определение характеристик блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 6. С. 902.

Сергеев И.Н. Сравнение полных частот и показателей блуждаемости решений линейной системы // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1667–1668.

Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений линейных дифференциальных уравнений малого порядка // Дифференц. уравнения. 2011. 47. №6. С. 906–907.

Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка // Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Матем. Механ. 2011. №6. С. 21–26.

Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Известия РАН. Серия матем. 2012. 76. №1. С. 149–172.

Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Матем. сборник. 2013. 204. С. 119–138.

мости принимают также лишь конечные значения (при этом полная и векторная частоты решения y линейного уравнения n-го порядка определяются как величины (x) и (x) соответственно, где x = (y, y,..., y (n1) )).

Спектры полных и векторных частот автономных систем, а также уравнений второго порядка были полностью исследованы:

• спектр полной частоты любой автономной системы конечен и совпадает с множеством модулей мнимых частей собственных значений задающего ее оператора 14 ;

• полная и векторная частоты любого решения любой автономной системы совпадают19 ;

• для любого (не обязательно автономного) линейного уравнения второго порядка спектры полной и векторной частот состоят из одного и того же числа, равного характеристической частоте какоголибо его решения 16.

Таким образом, оставался открытым вопрос об описании возможных спектров полных и векторных частот линейных неавтономных дифференциальных систем, а также уравнений более чем второго порядка.

Особенно важно было узнать, во-первых, всегда ли эти спектры конечны и, во-вторых, обладают ли свойствами спектров уравнений второго порядка (т. е. состоят ли из одного элемента):

• спектры полных и векторных частот уравнений третьего порядка;

• спектры полных и векторных частот двумерных систем.

Любое из крайних (т. е. наименьшее и наибольшее) значений спектра какой-либо частоты n-мерной однородной дифференциальной системы можно рассматривать как функционал, определенный на линейном топологическом пространстве n-мерных систем с равномерной на R+ топологией. При n = 2 сужения этих функционалов на топологическое подпространство уравнений второго порядка (к которым сводятся двумерные системы с помощью канонической замены) непрерывны 16 и, будучи остаточными 20, инвариантны относительно бесконечно малых (т. е. исчезающих на бесконечности) возмущений.

Бурлаков Д.С., Цой С.В. Равенство полной и векторной частот решений линейной автономной системы //Дифференц. уравнения. 2011. 47. №11. С. 1662–1663.

Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 111–166.

В связи с этим возник вопрос: распространяются ли указанные свойства крайних частот с пространства линейных уравнений второго порядка на пространство всех линейных двумерных дифференциальных систем?

Наконец, в докладах21, 22 были введены понятия метрически и топологически существенных значений показателей линейных систем. Это позволило начать изучение вопроса о том, достаточно ли мощно, в смысле меры или топологии, множество решений уравнения или системы, на котором заданная частота принимает то или иное значение.

Цель работы Целью настоящей диссертационной работы является исследование спектров полных и векторных частот линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка и линейных однородных дифференциальных двумерных систем, а также непрерывность крайних частот на множестве линейных однородных двумерных дифференциальных систем, наделенном равномерной топологией.

Методы исследования В работе применяются аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории возмущений и теории колебаний.

Научная новизна работы В диссертации получены следующие основные результаты:

• доказано существования линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка и линейной однородной двумерной дифференциальной системы с непрерывными ограниченными коэффициентами, спектры полных и векторных частот которых содержат счетные множества метрически и топологически существенных • доказано существование линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка с непрерывными неограниченными коэффициентами, спектры характеристической частоты нулей, полной частоты и векторной частоты которого содержат один и тот же отрезок числовой прямой;

Сергеев И.Н. Метрически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 2011. 47. №11. С. 1661–1662.

Сергеев И.Н. Топологически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 2012. 48. №11. С. 1567–1568.

• доказано существование линейной однородной двумерной дифференциальной системы с периодическими коэффициентами, спектры полной и векторной частот которого содержат один и тот же набор, состоящий из любого конечного наперед заданного числа метрически и топологически существенных значений;

• доказано существование точки в пространстве линейных двумерных дифференциальных систем (наделенном равномерной топологией), в которой ни одна из крайних частот не является ни непрерывной, ни полунепрерывной сверху, ни полунепрерывной снизу, ни даже инвариантной относительно бесконечно малых возмущений.

Теоретическая и практическая ценность Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях специалистами по качественной теории дифференциальных уравнений.

Апробация работы Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах:

1) семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова под рук. проф. И.В. Асташовой, проф. А.В. Боровских, проф. Н.Х. Розова, проф. И.Н. Сергеева (неоднократно: 2011–2013);

2) семинар Динамические системы и оптимальное управление кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета под рук. проф. М.М. Шумафова (неоднократно: 2011).

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях:

1) Вторая Международная конференция Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики (г. Терскол, 2012);

2) Девятая Международная научная конференция молодых ученых Наука. Образование. Молодежь (г. Майкоп, 2012).

Публикации По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 6 статей в журналах, рекомендованных ВАК. Список работ приведен в конце автореферата. Работ в соавторстве нет.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Общий объем диссертации составляет 98 страниц. Библиография включает 90 наименований.

Краткое содержание диссертации Введение В кратком введении описывается история вопроса и постановка задачи.

Формулируются основные результаты диссертации и указывается их место в теории показателей Ляпунова, теории колеблемости и в современной теории характеристик колеблемости решений линейных однородных дифференциальных уравнений и систем.

В разделе 1.1 вводятся понятия (верхней и нижней) частоты нулей, полной и векторной частот.

Для заданного n N обозначим через Mn множество линейных однородных дифференциальных систем каждая из которых отождествляется со своей ограниченной непрерывной оператор-функцией A : R+ End Rn.

Обозначим через P n, T n подмножества множества Mn, состоящие из периодических и треугольных систем соответственно. Множество всех ненулевых решений x : R+ Rn системы A Mn обозначим через S (A).

Определение I 11, 12. Для каждой системы A Mn, произвольного решения x S (A), вектора m Rn и момента t > 0 обозначим через (x, m, t) число нулей (возможно, бесконечное) скалярного произведения (x( ), m) на промежутке (0, t], а верхней (нижней) полной и векторной частотами решения x назовем величны и В случае совпадения верхней полной (векторной) частоты решения x с нижней будем называть ее точной и обозначать просто (x) (соответственно (x)).

Фиксировав в Rn базис, естественным образом выделим в множестве Mn подмножество E n систем, задаваемых матрицами вида и отвечающих линейным однородным дифференциальным уравнениям nго порядка каждое из которых, задаваясь своей ограниченной непрерывной векторфункцией преобразуется в систему A стандартным переходом23 от скалярной переменной y к векторной и отождествляется с этой системой.

Множество всех ненулевых решений y : R+ R уравнения a E n обозначим через S (a).

Определение II 7, 24. Для каждого уравнения a E n, произвольного решения y S (a) и момента t > 0 обозначим через (y, t) число нулей функции y на промежутке (0; t], а верхней и нижней частотами нулей решения y назовем величныи причем в случае совпадения значения верхней частоты решения с нижней будем называть это значение точным.

Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.

Сергеев И.Н. Свойства характеристических частот линейных уравнений произвольного порядка // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2013. Вып. 29. С. 414–442.

Величины (y), (y) неотрицательны, конечны 8 и удовлетворяют неравенствам В разделе 1.2 вводятся понятия спектра частоты данной системы, метрической и топологической типичности значения частоты, метрической и топологической существенности значения частоты. Доказываются некоторые утверждения о возможных мощностях множеств типичных и существенных значений спектра.

С каждой из частот, описанных в определениях I и II, и с каждой системой A Mn (а в случае =, только с системой A E n ) можно связать функционал Определение III. Спектром частоты A системы A Mn назовем область ее значений, а значение частоты, принадлежащее спектру системы A, назовем:

а) метрически существенным 21, если оно принимается на решениях x S (A), множество наборов x(0) Rn начальных значений которых содержит множество положительной меры в Rn ;

б) топологически существенным 22, если оно принимается на решениях x S (A), множество наборов x(0) Rn начальных значений которых, пересеченное с некоторым открытым подмножеством U Rn, служит дополнением в U к множеству первой категории Бэра.

В разделе 2.1 строится уравнение третьего порядка с периодическими коэффициентами, спектры частоты нулей, полной и векторной частот которого содержат конечные наборы, состоящие из сколь угодно большого наперед заданного числа. Причем все значения из этих наборов являются точными, а все решения построенного уравнения периодическими с тем же периодом, что и коэффициенты самого уравнения.

Теорема I. Для любого N N найдется уравнение a E 3 с периодическими коэффициентами, имеющее набор решений y1, y2,..., yN с точными частотами, удовлетворяющими условиям В разделе 2.2 происходит фактическое построение неавтономного уравнения третьего порядка со счетными спектрами частот.

Теорема II. Существует уравнение a E 3, имеющее последовательность решений y1, y2,... с точными частотами, удовлетворяющими условиям причем все эти значения частот являются существенными (и метрически, и топологически).

В разделе 2.3 строится семейство уравнений третьего порядка с непрерывными неограниченными коэффициентами.

Через E n обозначим множество линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка с непрерывными (не обязательно ограниченными) на R+ коэффициентами. Для каждого решения y S (a) любого уравнения a E n характеристики колеблемости (полная частота, векторная частота и характеристическая частота нулей) определяются так же, как и в определениях I и II.

Для произвольных чисел > 0 и > 1, связанных соотношением рассмотрим тройку функций По этой системе функций восстановим уравнение a E 3, для которого они служат решениями.

Для любого значения R из множества решений построенного уравнения можно выделить однопараметрическое семейство функций вида В данном разделе доказывается, что если иррациональное число, то частоты решений (1) уравнения a заполняют весь отрезок [1, ].

Теорема III. Существует уравнение a E 3, спектры частоты нулей, полной и векторной частот которого содержат один и тот же отрезок числовой оси.

В отличие от теорем I и II, теорему III принципиально невозможно усилить так, чтобы каждое из указанных в ней значений частот было метрически или топологически существенным.

В разделе 3.1 строится периодическая двумерная система, спектры полной и векторной частот которого содержат один и тот же конечный набор, состоящий из сколь угодно большого наперед заданного числа метрически и топологически существенных значений. Причем все эти значения из этого набора являются точными, а все решения построенной системы периодическими с тем же периодом, что и коэффициенты самой системы.

Теорема IV. Для любого N N существует система A P, имеющая N решений x1,..., xN S (A) с точными частотами, удовлетворяющими условиям причем все эти значения полных и векторных частот являются существенными (и метрически, и топологически).

В разделе 3.2 доказывается существование двумерной системы с одним и тем же счетным множеством значений полных и векторных частот ненулевых решений. Все предъявляемые значения частот и в этом случае являются точными и существенными.

Теорема V. Существует система A M2, имеющая последовательность решений x1, x2,... S (A) с точными частотами, удовлетворяющими условиям причем все эти значения полных и векторных частот являются существенными (и метрически, и топологически).

В разделе 4.1 изучены полностью спектры полных и векторных частот линейных треугольных дифференциальных систем.

Теорема VI. Для любого решения x S (A) любой системы A T n имеет место следующая цепочка равенств В разделе 4.2 даны определения крайних частот линейных дифференциальных систем и инвариантного функционала относительно бесконечно малых возмущений.

По каждой из величин =,,, образуем крайние частоты системы A Mn, а именно, младшую и старшую частоты В дальнейшем все крайние частоты будем рассматривать как функционалы на линейном топологическом пространстве Mn с естественными для функций линейными операциями и равномерной на R+ топологией, задаваемой нормой Определение IV 20. Для системы A Mn обозначим через B(A) множество систем B Mn, удовлетворяющих условию при котором возмущение B A назовем бесконечно малым. Скажем, что функционал, определенный на Mn, инвариантен в точке A Mn относительно бесконечно малых возмущений, если его сужение на множество B(A) есть константа.

В данном разделе приведен пример точки на множестве двумерных систем в которой ни одна из крайних частот не является непрерывной.

Теорема VII. В пространстве M2 существует точка, в которой ни одна из крайних частот не является ни непрерывной, ни полунепрерывной сверху, ни полунепрерывной снизу, ни даже инвариантной относительно бесконечно малых возмущений.

Автор глубоко признателен научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Игорю Николаевичу Сергееву за постановку задачи, ценные замечания и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации Статьи в научных журналах из перечня ВАК 1. Сташ А.Х. О множестве значений полных частот решений линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2011. 47. № 11. С. 1665.

2. Сташ А.Х. Спектры полных и векторных частот линейных дифференциальных уравнений третьего порядка // Дифференц. уравнения.

2012. 48. № 6. С. 908.

3. Сташ А.Х. Спектры полных и векторных частот двумерных линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2013. 49.

№ 6. С. 807–808.

4. Сташ А.Х. О существенных значениях характеристик колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка// Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественноматематические и технические науки. 2013. Вып. 2 (119). С. 9–23.

5. Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами полной и векторной частот// Вестник Адыгейского государственного университета. Сер.

Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 3 (122).

С. 9–17.

6. Сташ А.Х. Свойства полных и векторных частот решений двумерных линейных дифференциальных систем// Дифференц. уравнения. 2013. 49.

№ 11. С. 1497–1498.

Статьи в других научных журналах и тезисы докладов в материалах научных конференций 7. Сташ А.Х. О множестве значений полных частот решений линейных уравнений третьего порядка// Материалы IX Международной научной конференции молодых ученых Наука. Образование. Молодежь, 9– февраля 2012 г. Майкоп: Изд-во АГУ, 2012. Т. I. С. 324–328.

8. Сташ А.Х. Спектры полных и векторных частот линейных дифференциальных систем/ Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Второй Международной конференции молодых ученых, Терскол, ноября – 1 декабря 2012 г. Нальчик: ООО Редакция журнала Эльбрус, 2012. С. 211–212.