Московский государственный университет приборостроения и информатики

На правах рукописи

Гордеева Светлана Валерьевна

Эффекты внешнего поля в нанотрубках

полупроводникового типа и квантовых точках

01.04.07 – Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2013

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет приборостроения и информатики».

Научный руководитель: доктор физико-математический наук, профессор Эминов Павел Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математический наук, профессор Родионов Василий Николаевич доктор физико-математический наук, профессор Николаев Павел Николаевич

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессио­ нального образования «Московский государственный технический универси­ тет радиотехники, электроники и автоматики»

Защита состоится «19» декабря 2013 г. в 1600 часов на заседании диссертаци­ онного совета Д212.155.07 при Московском государственном областном уни­ верситете, расположенном по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д.10а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государствен­ ного областного университета.

Автореферат разослан «13» ноября 2013 года.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печа­ тью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Барабанова Н. Н.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Современные технологии позволяют получать наноструктуры различной геометрии (квантовые ямы и точки, каналы, про­ волоки и кольца в гетероструктурах, нанотрубки) и каждая из этих нано­ структур обладает своими уникальными физическими свойствами. Нанораз­ меры области движения частиц приводят к квантованию энергии, а неодно­ связность области движения в присутствии магнитного поля - к эффектам, которые являются производными от эффекта Ааронова-Бома. Кривизна на­ нотрубки даже в отсутствии магнитного поля приводит к новым макроскопи­ ческим осцилляционным эффектам типа осцилляций де Гааза-ван Альфена, которые связаны с квантованием энергии поперечного движения электрона и корневыми особенностями плотности электронных энергетических состояний на цилиндрической поверхности. Эффекты размерного ограничения электро­ нов и фононов играют ключевую роль в формировании свойств электрон­ ных, оптических и сверхпроводящих устройств, использующих нанострукту­ ры в качестве своих существенных элементов. С помощью внешнего поля можно управлять электронным энергетическим спектром, а переход к систе­ мам пониженной размерности приводит к качественно новым физическим результатам по сравнению с эффектами, известными в трехмерном случае.

Это позволяет создавать новые электронные приборы, физические характе­ ристики которых определяются взаимодействием электронов с электромаг­ нитными полями различной конфигурации в низкоразмерных системах. К таким устройствам относятся, например, фотодетекторы на гетерострукту­ рах с квантовыми ямами, диоды и триоды с резонансным туннелированием электронов, джозефсоновские контакты. Развитие технологии полупроводни­ ковых гетероструктур с одной стороны, и использование в практике совре­ менного эксперимента мощных источников электромагнитного излучения с другой, делают актуальным теоретическое исследование процесса ионизации низкоразмерных систем в интенсивных внешних полях, когда нельзя пользо­ ваться теорией возмущений и требуется точный учет взаимодействия элек­ тронной системы с внешним полем [1-2].

После получения графена и нанотрубок значительно возрос интерес к проблеме поверхностной сверхпроводимости. В работах [3-4] сообщается о на­ блюдении явления сверхпроводимости с критической температурой 1 K в пучках однослойных углеродных нанотрубок с радиусом = 5 А и с кри­ тической температурой = 16 K в нанотрубках с радиусом = 2 А. Мик­ роскопическая теория сверхпроводимости намагниченного электронного газа на цилиндрической поверхности построена в работах [5-6]. В то же время исследование термодинамических свойств намагниченной сверхпроводящей нанотрубки и их флуктуаций, играющих существенную роль в системах по­ ниженной размерности, какой является нанотрубка, не проводилось. В по­ следнее время активно проводятся экспериментальные и теоретические ис­ следования проводимости нанотрубок. Для различных механизмов рассеяния электронов на акустических фононах были получены аналитические форму­ лы для проводимости квантового цилиндра в продольном магнитном поле c учетом эффекта размерного ограничения фононов. Однако количественный анализ этих результатов не был проведен, несмотря на его актуальность.

Цель работы. Аналитическое и численное исследование проводящих и сверхпроводящих свойств квантового цилиндра с учетом их флуктуаций в продольном магнитном поле и построение теории нелинейной ионизации двумерной квантовой точки в интенсивных электромагнитных полях.

Научная новизна. На основе метода точных решений волновых уравне­ ний в квазиклассическом приближении получены аналитические выражения для скорости ионизации и парциальных вероятностей ионизации двумерной квантовой точки в поле линейно-поляризованной электромагнитной волны.

Вычислена полная вероятность ионизации двумерной квантовой точки посто­ янным электрическим полем и суперпозицией постоянного и низкочастотного электрических полей. Квазиклассическим методом мнимого времени получе­ ны аналитические формулы для импульсного распределения и полной вероят­ ности ионизации связанных короткодействующими силами низкоразмерных систем суперпозицией постоянного и переменного электрических полей. Про­ ведено численное и аналитическое исследование зависимости критической температуры и термодинамических величин сверхпроводящего квантового цилиндра от параметров нанотрубки и магнитного поля. Используя теорию Гинзбурга-Ландау, получены аналитические формулы, описывающие зависи­ мость от характерных параметров системы флуктуационного вклада в термо­ динамические свойства намагниченного квантового цилиндра в окрестности критической температуры. Выполнен численный расчет вклада электронного рассеяния на продольных и изгибных фононах в проводимость намагничен­ ного квантового цилиндра.

Научная и практическая значимость. Полученные результаты мо­ гут быть использованы в дальнейших теоретических и экспериментальных исследованиях электронных свойств нанотрубок полупроводникового типа и двумерных квантовых точек в интенсивных внешних полях.

Положения выносимые на защиту:

1. Квазиклассическая теория нелинейной ионизации связанных коротко­ действующими силами низкоразмерных систем суперпозицией перемен­ ного и постоянного электрических полей.

2. Результаты аналитического и численного исследования зависимости кри­ тической температуры и термодинамических свойств сверхпроводящего квантового цилиндра от концентрации электронов, радиуса нанотрубки и параметра Ааронова-Бома.

3. Флуктуации термодинамических свойств намагниченного квантового цилиндра в окрестности критической температуры.

4. Численный расчет вклада электрон-фононного рассеяния в проводи­ мость квантового цилиндра в продольном магнитном поле.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

XLVIII Всероссийской конференции по проблемам физики частиц, плазмы и конденсированного состояния (г. Москва, май 2012); Международном науч­ ном семинаре "Углеродные нанотрубки: результаты и исследования"(г. Москва, май 2012); International workship on advances in nanoscience. (Hungary. October 2012); XX Международной научной конференции "Ломоносов-2013". Секция Физика (г. Москва, апрель 2013); научном семинаре кафедры теоретической физики МГУ (г. Москва, март 2013); научном семинаре кафедры общей фи­ зики МГОУ (г. Москва, 2013).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, в том числе 5 из списка ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 106 страниц машинописного текста, включая 11 рисунков. Библиография включает наименований на 15 страницах.

Содержание диссертации Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения, приведен обзор современного состояния ис­ следований посвященных изучению воздействия внешних электромагнитных полей на нанотрубки полупроводникового типа и квантовые точки.

В первой главе исследован процесс ионизации двумерной квантовой точки в интенсивных внешних полей, когда нельзя пользоваться теорией воз­ мущений и требуется точный учет взаимодействия электронной системы с внешним полем.

Удерживающий потенциал двумерной квантовой точки моделируется дву­ мерной потенциальной ямой вида где - радиус квантовой точки, 0 - глубина ямы.

В § 1 рассматривается задача об ионизации двумерной квантовой точки полем линейно-поляризованной электромагнитной волны.

В квазиклассическом приближении, когда выполняется условие где - амплитуда напряженности электрического поля, 0 = 2 /2 - энер­ гия связи электрона, решение нестационарного уравнения Шредингера для электрона в двумерной потенциальной яме в присутствии переменного элек­ трического поля представляется в виде:

где В формулах (3)-(5) приняты обозначения: - частота волны, 0 - энергия ос­ новного состояния электрона в двумерной квантовой точке, = 2|0 |, = 2(0 |0 |), 0 (), 1 (), 0 (), 1 () - функции Бесселя и Макдональда нулевого и первого порядка соответственно.

Вероятность ионизации в единицу времени определяется полным пото­ ком частиц через бесконечно удаленные ( ±) от центра квантовой точки прямые, перпендикулярные оси ОХ [1-2], т. е.

В (6) черта означает усреднение по периоду волны, поток а плотность потока частиц В предельном случае 0, когда для ионизации требуется поглощение большого числа фотонов, полная вероятность процесса представляется в виде суммы парциальных вероятностей:

где вероятность -квантовой ионизации основного уровня электрона в дву­ мерной квантовой точке определяется формулой = - параметр Келдыша, величина = 2 1 + 2 2 определяет порог ионизации – минимальное число квантов, поглощение которых необходимо для вырывания электрона из квантовой точки и приняты обозначения:

Быстрорастущая в показателе экспоненты формулы (9) функция () в поле линейно-поляризованной волны имеет такой же вид, как и в трехмерном или одномерном случае.

В отличие как от одномерной модельной задачи об ионизации связанно­ го уровня в поле короткодействующих сил, так и от аналогичной задачи в трехмерном случае, формула (8) допускает точное проведение суммирования по квантовому числу :

В § 2 получены импульсное распределение и полная вероятность иониза­ ции в единицу времени двумерной квантовой точки постоянным электриче­ ским полем () = (, 0, 0).

В квазиклассическом приближении (2) для импульсного распределения и полной вероятности ионизации двумерной квантовой точки в постоянном электрическом поле в единицу времени получены формулы:

где 0 = 3 -величина размерности поля для связанной системы.

Характерной особенностью формулы (13) является то, что предэкспо­ ненциальный множитель пропорционален (/0 )1/2. Для сравнения в одно­ мерном случае квантовой ямы предэкспонента не зависит от напряженности электрического поля, а в формуле для вероятности вырывания электрона из основного состояния в трехмерной потенциальной яме предэкспоненциаль­ ный множитель пропорционален напряженности поля. Таким образом, в ква­ зиклассическом приближении для системы с короткодействующим потенциа­ лом c увеличением размерности системы зависимость предэкспоненциального множителя от параметра /0 уменьшается.

В § 3 исследован процесс ионизации двумерной квантовой точки полем представляющим собой суперпозицию постоянного и переменного электриче­ ских полей где 1 - напряженность постоянного электрического поля, 2 - амплитуда напряженности переменного поля.

В п.1 § 3 рассмотрен процесс ионизации двумерной квантовой точки в су­ перпозиции низкочастотного переменного и постоянного электрического поля в адиабатическом приближении.

Если процесс ионизации происходит за время меньшее чем период элек­ тромагнитной волны, то в адиабатическом приближении вероятность процес­ са в периодическом поле с амплитудой напряженности связана с вероятно­ стью в постоянном поле с напряженностью 0 соотношением:

В адиабатическом приближении, когда 1, при выполнении условий вероятность ионизации двумерной квантовой точки в суперпозиции постоян­ ного и переменного электрических полей одинакового направления имеет вид В п.2 §3 методом мнимого времени вычислено импульсное распределе­ ние вероятности ионизации связанной короткодействующими силами низко­ размерной системы (в том числе и квантовой точки) суперпозицией постоян­ ного и переменного электрических полей. Найдена также полная вероятность ионизации системы за единицу времени с экспоненциальной точностью.

В рамках метода мнимого времени туннелирование частицы из потенци­ альной ямы описывается с помощью подбарьерных траекторий удовлетворя­ ющих классическим уравнениям движения, но с мнимым временем. Cлучай = = 0, соответствует траектории, которая минимизирует значение мни­ мой части «укороченного действия» и ей отвечает максимальная скорость ионизации:

Рис. 1. Зависимость скорости ионизации от параметра Келдыша и характерных пара­ метров квантовой точки. Значение удерживающего потенциала = 0.3 эВ, амплитуда напряженности переменного электрического поля = 70кВ/см, радиус квантовой точки Рис. 2. Импульсное распределение вероятности процесса ионизации квантовой точки для различных значений отношения напряженности постоянного электрического поля 1 к амплитуде напряженности переменного поля 2 : 1 1 /2 = 10; 2 1 /2 = 1;

3 1 /2 = 0. где момент времени 0 = 0 определяется из уравнения Для нахождения импульсного спектра электронов учитывается вклад классических траекторий, близких к экстремальной и вычисляется мнимая часть «укороченного действия» с точностью до квадратичных членов по от­ клонению таких траекторий от экстремальной. Из уравнения следует, что при 2 2 начальный момент времени подбарьерного движе­ ния определяется формулой где величина 0 является решением уравнения В результате импульсное распределение вероятности ионизации двумер­ ной квантовой точки в поле, представляющем собой суперпозиции перемен­ ного и постоянного электрических полей, имеет вид где функция = (1, 2,, 0, ) определяется формулой (18) и принято обозначение В диссертации показано, что имеет место существенное увеличение скоро­ сти ионизации связанной системы в постоянном электрическом поле в присут­ ствии слабого переменного электрического поля, и, наоборот, в переменном электрическом поле под влиянием относительно слабого постоянного поля.

Во второй главе проведено аналитическое и численное исследование проводящих и сверхпроводящих свойств намагниченного квантового цилин­ дра с учетом их флуктуаций.

В § 1 проведен аналитический и численный расчет зависимости шири­ ны щели, критической температуры, разности термодинамических величин сверхпроводящей и нормальной фазы от радиуса нанотрубки, линейной кон­ центрации электронов, температуры и магнитного поля. Вычислен скачок теплоемкости сверхпроводящего и нормального состояний при критической температуре.

На цилиндрической поверхности стационарное состояние электрона в продольном магнитном поле с напряженностью направленным вдоль оси OZ цилиндра задается азимутальным квантовым числом Z, импульсом 3 продольного движения и и спиновым квантовым числом, задающим про­ екцию спина на направление магнитного поля ( = ±1). Нормированные соб­ ственные функции и энергия стационарных состояний электрона задаются Здесь - эффективная масса электрона = 2 /22 - энергия размерного конфайнмента, - магнетон Бора, = 2 - магнитный поток через сечение цилиндра длиной и радиусом, 0 = 2 /|| - квант магнитного потока - постоянная Планка, - скорость света, - заряд электрона.

Исходя из гамильтониана Бардина-Купера-Шриффера сверхпроводяще­ го квантового цилиндра, в котором оставлено взаимодействие электронов с противоположными по знаку значениями всех квантовых чисел и, используя статистический вариационный принцип Н.Н. Боголюбова, получено следую­ щее уравнение для определения ширины энергетической щели нанотрубки в сверхпроводящем состоянии:

где = 2 - площадь поверхности нанотрубки, =, - температура (далее = 1), - величина, описывающая эффективное взаимодействие в модели БКШ.

В предельном случае, когда выполнено условие для ширины энергетической щели 0 и критической температуры при нулевой температуре получены асимптотические формулы:

где приняты обозначения - постоянная Эйлера, 0 () - функция Бесселя нулевого порядка действи­ тельного аргумента, = 2* - импульс Ферми электронного газа кван­ тового цилиндра.

Считая, что одновременно с (29) также выполнено условие где - линейная концентрация электронов, для ширины щели при нулевой температуре получен следующий результат:

Для вычисления термодинамических величин сверхпроводящей фазы воспользуемся формулой выражающей производную по параметру от термодинамического потенци­ ала по отношению к переменным,, через среднее по статистическому распределению для производной гамильтониана системы по тому же пара­ метру. Угловые скобки в правой части формулы (34) означают усреднение по распределению Гиббса. В качестве параметра выбрана константа свя­ В предельном случае (29), когда ширина щели определяется формулой (30) получена формула для разности свободных энергий и соответственно намагниченностей при нулевой температуре в расчете на единицу площади поверхности нанотрубки:

В том же предельном случае (29) для скачка теплоемкости и соответ­ ственно для разности намагниченностей сверхпроводящей и нормальной фа­ зы в окрестности критической температуры находим следующие представле­ ния:

где () - дзета-функция.

Численный расчет полученных результатов для критической температу­ ры, ширины щели (рис. 3), а также термодинамических величин проведен при следующих значениях параметров нанотрубки: = 5 нм, = 28.1 · м-1, = 1.51442 мэВ, = 0.2139 эВ в свободном случае, когда = 0, Рис. 3. Зависимость ширины щели от температуры.1-/0 = 0,2 - /0 = 0.04, 3 - /0 = 0. Рис. 4. Разность свободных энергий нормальной и сверхпроводящей фазы.

/ = 0.231. В этом случае условие (29) выполняется, электроны наря­ ду с продольным движением совершают и вращательное движение, а макси­ мальное значение азимутального квантового числа = 11, т. e. электроны заполняют достаточно большое число подзон энергии поперечного движения.

При выбранных параметрах нанотрубки численный расчет на основе формул (26)-(28) и расчет на основе асимптотических формул (30) дают прак­ тически совпадающие результаты.

Результат для разности свободных энергий (рис. 4), намагниченностей сверхпроводящей и нормальной фазы, следующий из формулы (38) также находится в удовлетворительном согласии с численным расчетом, проведен­ ным на основе формул (26)-(28).

В случае конечной температуры для определения зависимости ширины щели от температуры найдено интегральное уравнение где приняты обозначения В частности, из формулы (39) в предельном случае, когда 1 следует:

В критической температуры получено:

где число выражается через дзета-функцию Римана:

Полагая = 0 из (42) для критической температуры получено уравнение В формуле (42) пропорциональное 2 слагаемое обусловлено спиновой энерги­ ей спаривающихся электронов в продольном магнитном поле. В предельном случае когда, = ( - поверхностная концентрация элек­ тронов) результат (44) совпадает с аналогичным результатом полученным ранее Горьковым и Барзыкиным для плоской структуры.

В § 2 впервые исследован флуктуационный вклад в термодинамические свойства нанотрубки полупроводникового типа в продольном магнитном по­ ле. В рамках теории Гинзбурга-Ландау вычислен флуктуационный вклад в свободную энергию в окрестности критической точки ствительного аргумента, 0 - половина одноэлектронного кванта магнитного потока.

Двукратное дифференцирование (45) по переменной дает первую флук­ туационную поправку к теплоемкости квантового цилиндра в магнитном поле в области применимости теории Гинзбурга-Ландау:

где = 2||, = ниченность квантового цилиндра выше точки перехода получена формула где приняты обозначения = 2, = 2 ( ).

Флуктуационные поправки к термодинамическим величинам испытыва­ ют осциляции Ааронова-Бома.

Формула (46) допускает предельный переход к плоскому 2D-случаю, ко­ гда поверхностная плотность электронов фиксирована, а радиус цилиндра Сравнение показывает, что если в трехмерном случае флуктуационная поправка к теплоемкости при приближении температуры к критической тем­ пературе увеличивается пропорционально ( )1/2, то в двумерном случае она возрастет пропорционально ( )1, т.е. роль флуктуационных эффек­ тов существенно возрастает с уменьшением размерности системы.

В § 3 проведено численное исследование зависимости от свойств нано­ трубки и параметра Ааронова-Бома вклада электронного рассеяния на про­ дольных и изгибных фононах в проводимость квантового цилиндра с учетом эффекта размерного ограничения фононов.

В длинноволновом пределе, когда доминирует взаимодействие электро­ нов только с продольной волной имеющей линейный закон дисперсии зависи­ мость проводимости от параметра Ааронова-Бома представлена на рисунке 5.

В другом предельном случае, когда доминирует взаимодействие электронов с изгибной волной, причем процессы поглощения и испускания фонона про­ исходят с изменением электронного азимутального квантового числа на еди­ ницу, т.е. = ± 1 соответственно, зависимость проводимости от параметра Ааронова-Бома представлена на рисунке 6.

Амплитуда осцилляций заметно возрастает как при учете эффекта раз­ мерного ограничения фононов, так и за счет процессов, приводящих к изме­ нению энергии поперечного движения электронов в результате их взаимодей­ ствия с фононами.

Рис. 5. Продольные фононы. Зависимость проводимости нанотрубки от параметра Ааро­ нова – Бома. 0 - проводиость нанотрубки в свободном случае, температура = 10 К, заполняются уровни = 0, = 1, = 1, = Рис. 6. Изгибные фононы. Зависимость проводимости нанотрубки от параметра Ааро­ нова-Бома. 0 - проводимость нанотрубки в свободном случае, температура = 10 К, заполняются уровни = 0, = 1, = 1, = В Заключении сформулированы основные результаты диссертации:

1. Получены аналитические выражения для скорости ионизации и парци­ альных вероятностей ионизации двумерной квантовой точки в поле ли­ нейно-поляризованной волны в единицу времени. Изучена зависимость вероятности процесса от параметров удерживающего потенциала и па­ раметра Келдыша.

2. Получены аналитические формулы для импульсного спектра электро­ нов и полной вероятности процесса ионизации двумерной квантовой точ­ ки постоянным электрическим полем. Вычислена вероятность процесса в суперпозиции постоянного и низкочастотного переменного электриче­ ских полей.

3. Методом мнимого времени найдено импульсное распределение вероят­ ности ионизации связанной системы в интенсивном поле, образованном суперпозицией постоянного и переменного электрических полей одина­ кового направления. С экспоненциальной точностью вычислена полная вероятность процесса за единицу времени.

4. Получены аналитические и численные зависимости критической тем­ пературы, разности свободных энергий и намагниченностей сверхпро­ водящей и нормальной фазы нанотрубки от параметра Ааронова-Бома, радиуса трубки и энергии Ферми. Вычислен скачок теплоемкости сверх­ проводящего и нормального состояний при критической температуре.

5. Получены аналитические формулы, описывающие зависимость от ха­ рактерных параметров системы флуктуационного вклада в термодина­ мические свойства намагниченного квантового цилиндра и установлено, что роль флуктуаций становится существенной вблизи точки перехода.

6. Показано, что учет эффекта размерного ограничения фононов и изме­ нение энергии поперечного движения электронов при их рассеянии на фононах приводят к существенному изменению амплитуды осцилляций Ааронова-Бома для вклада электрон-фононного рассеяния в проводи­ мость квантового цилиндра.

Список публикаций 1. Эминов, П. А. Ионизация квантовой точки электрическими полями [Текст] / П. А. Эминов, С. В. Гордеева // Квантовая электроника.–2012.– Т. 42.–С. 733–739.

2. Эминов, П. А. Ионизация двумерной квантовой точки полем электро­ магнитной волны [Текст] / П. А. Эминов, С. В. Гордеева // ВМУ. Серия 3. Физика. Астрономия.– 2013.– Т. 4.– С. 3–7.

3. Рассеяние электронов на акустических фононах и проводимость кван­ тового цилиндра в магнитном поле [Текст] / П. А. Эминов, Ю. И. Се­ зонов, С. В. Гордеева [и др.] // "Радиационная физика твердого тела":

Труды XIX Международного совещания.T.2. Севастополь, июнь 2010г.– Москва: ГНУ НИИ ПТМ, 2010.– С. 640–644.

4. Электрон-фононное рассеяние и проводимость квантового цилиндра в продольном магнитном поле [Текст] / П. А. Эминов, Ю. И. Сезонов, С.

В. Гордеева, А. А. Ульдин // Известия ВУЗов. Физика.– 2011.–Т. 1.– С.

51–53.

5. Thermodynamical properties of a superconducting quantum cylinder [Text] /P. A. Eminov, A. A. Ul’din, Yu. I. Sezonov, S. V. Gordeeva // Russian Journal of Mathematical Physics.– 2010.– Vol. 17.– P. 154–158.

6. Eminov, P. Superconductivity of carbon nanotubes in a longitudinal magnetic fields [Text] / P. Eminov, Y. Sezonov, S. Gordeeva.– Hungary: International workshop on advances in nanoscience. Book of abstracts programme, October 2012.– P. 181–183.

7. Эминов, П. А. Флуктуации термодинамических свойств намагниченно­ го квантового цилиндра в окрестности критической температуры [Текст] / П. А. Эминов, С. В. Гордеева, В. В. Соколов // Доклады академии наук.–2013.– Т. 450.– С. 1–4.

8. Эминов, П. А. Электропроводность нанотрубок в магнитном поле [Текст] / П. А. Эминов, Ю. И. Сезонов, С. В. Гордеева // "Радиационная фи­ зика твердого тела": Труды XXXIII Международной конференции. Се­ вастополь, июль 2013г.– Москва: ФГБНУ НИИ ПМТ, 2013.–С. 432–439.

Цитированная литература 1. Никишов, А. И. Квантовая электродинамика явлений в интенсивном по­ ле. Труды ФИАН т.111 [Текст] / В. И. Ритус, А. И. Никишов.– Москва:

Наука, 1979. 280 c.

2. Попов, В. С. Туннельная и многофотонная ионизация атомов и ионов в сильном лазерном поле (теория Келдыша)[Текст]/ В. С. Попов // УФН.— 2004.— Т. 174.— С. 921-951.

3. Tang, Z. Superconductivity in 4 angstrom single-walled carbon nanotubes[Text]/ Z. K. Tang//Science.–2001.–V. 284.– P. 2462-2465.

4. Kociak, M. Superconductivity in ropes of single-walled carbon nanotubes [Text]/M. Kociak, S. Gueron, B. Reutel et. al.//Phys. Rev. Lett.– 2001.–V.

86.– P. 2416-2419.

5. Эминов, П. А. Сверхпроводимость намагниченного электронного газа квантового цилиндра[Текст]/П. А. Эминов, Ю. И. Сезонов //ЖЭТФ.–2008.–Т. 134.– C. 772-778.

6. Ермолаев, А. М. К теории сверхпроводимости электронного газа на поверхности нанотрубки[Текст]/А. М. Ермолаев, С. В. Кофанов, Г. И.

Рашба//Bicnik XHY, Фiзик.–2010.–Т.14. –C.5-10.

Подписано к печати 11.11.2013 г. Формат 60х84. 1/ Московский государственный университет приборостоения и информатики