На правах рукописи

Коневцова Ольга Викторовна

Теория кристаллизации Ландау и подход

волн плотности в комплексных системах

Специальность:

01.04.07 – физика конденсированного состояния

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2013

Работа выполнена на кафедре нанотехнологии Южного федерального университета и в Лаборатории Шарля Кулона Университета Монпелье 2 (Франция) доктор физико-математических наук Научные руководители:

Рошаль Сергей Бернардович (Южный федеральный университет) кандидат физико-математических наук, профессор Лорман Владимир Лазаревич (Университет Монпелье 2 (Франция)) доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты:

Дмитриенко Владимир Евгеньевич (Институт кристаллографии РАН, Москва) доктор физико-математических наук Гуфан Александр Юрьевич (ФГАНУ НИИ «Спецвузавтоматика», Ростов-наДону) Московский государственный технический

Ведущая организация университет им. Н.Э. Баумана

Защита диссертации состоится 29 ноября 2013 года в 14.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.05 по физико-математическим наукам, по специальности 01.04.07 – физика конденсированного состояния, при ЮФУ в здании НИИ физики ЮФУ по адресу: 344090 г. Ростов-на-Дону, просп.

Стачки, 194, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, Автореферат разослан 24 октября 2013 года Отзывы на автореферат, заверенные печатью учреждения, следует направлять ученому секретарю диссертационного совета Д 212.208.05 по физикоматематическим наукам при ЮФУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, просп. Стачки 194, НИИ физики ЮФУ

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.208.05 при ЮФУ Гегузина Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Развитие экспериментальных методов исследования наноструктур и структур с некристаллическим порядком привело к более глубокому пониманию свойств некоторых физических и биологических объектов, изучаемых физикой конденсированного состояния. Среди последних отдельно стоит выделить капсиды - твердые вирусные оболочки, сформированные множеством идентичных копий одной, реже нескольких, белковых молекул. Они сохраняют геном вируса от внешних воздействий и способствуют процессу инфицирования. В то время как окончательное формирование капсида нуждается в специфических биологических событиях, начальные этапы самосборки представляют собой пассивные физические процессы.

Расположение белков в капсиде является регулярным, симметричным и показывает высокую степень позиционного и ориентационного упорядочения.

Вирусным капсидам со сферической топологией свойственна глобальная икосаэдричеcкая симметрия, сочетающаяся с областями локального кристаллического порядка. В то же время икосаэдрическая симметрия несовместима с глобальной кристаллической и запрещена в периодических структурах. Однако дифракционная картина некоторых металлических сплавов имеет икосаэдрическую симметрию и подобно дифракционной картине от традиционных кристаллов состоит из регулярно расположенных ярких рефлексов.

Этот удивительный факт вызвал огромный интерес, а открытые металлические сплавы были названы квазикристаллами. Позже были идентифицированы квазикристаллы с октагональной, декагональной и додекагональной симметрией.

Однако, несмотря на огромное количество экспериментальных данных, физические механизмы формирования таких комплексных систем как вирусные капсиды и квазикристаллы остаются все еще неясными. Поэтому развиваемая в данной диссертации теория самосборки вирусных оболочек и квазикристаллических решеток, основанная на подходе волн плотности Ландау, является актуальной.

Цель работы: построение теории, описывающей механизмы самосборки структур вирусных капсидов и квазикристаллических решеток в рамках теории кристаллизации Ландау.

Для реализации поставленной цели решались следующие основные задачи:

построить модели квазикристаллических структур с октагональной и додекагональной симметрией в рамках теории кристаллизации Ландау;

провести анализ вирусных капсидов, структуры которых невозможно интерпретировать в рамках существующих моделей;

изучить основные принципы формирования структур вирусных капсидов и показать их связь с теорией кристаллизации;

разработать теорию, позволяющую описывать структуры вирусных капсидов, включая не объясненные ранее, в рамках существующих моделей.

Объекты исследований:

квазикристаллические сплавы MnSiAl и Al65Cu20Cо15;

вирус бычьей папилломы и капсиды вирусов семейства Паповавирусов, сателлитный вирус табачной мозаики, L-A вирус, вирус лихорадки, вирус хлорозомы вигны, вирус Синдбис, сдвоенная частица вируса кукурузного стрика.

Научная новизна В ходе выполнения работы впервые:

развита теория кристаллизации квазикристаллических структур, не использующая для описания квазикристаллического порядка концепций многомерной кристаллографии;

показано существование совершенно нового типа организации, приводящего к хиральному квазикристаллическому пентагональному порядку белковых молекул в капсиде со сферической топологией и додекаэдрической геометрией;

обобщена классическая теория квазикристаллов, для того чтобы объяснить хиральный пентагональный порядок, и показано, что нелинейные фазонные деформации приводят к нарушению зеркальной симметрии в структуре;

установлена связь между хиральным порядком белковых единиц и топологией вирусного капсида;

предложен основанный на принципах квазиэквивалентности геометрический тайлинговый подход, описывающий капсиды малых вирусов со сферической топологией;

обобщены и объединены физические концепции формирования вирусных оболочек в рамках теории кристаллизации Ландау и минимизации фонон-фазонной упругой энергии вирусного квазикристаллического порядка.

Практическая значимость С помощью предложенного в диссертации обобщения теории упругости квазикристаллов удалось объяснить процесс формирования капсидов семейства Паповавирусов. Описание образования квазирешеток в рамках теории кристаллизации Ландау позволило развить модель формирования вирусов семейства Паповавирусов для случая малых вирусов со сферической топологией.

Таким образом, была впервые предложена обобщенная теория, позволяющая описывать самосборку капсидов не только вирусов со сферической топологией, но и вирусов, которые имеют промежуточную форму между сферической и ярко выраженной граненной.

Основные научные положения, выносимые на защиту 1. Координаты узлов квазикристаллической решетки октагональнальных и декагональных квазикристаллов рассчитываются путем условной минимизации свободной энергии Ландау, необходимость чего обуславливается определенными особенностями локального атомного порядка в квазикристаллических структурах.

2. В структуре капсидов семейства Паповавирусов обнаружен новый тип организации наночастиц - хиральный квазикристаллический порядок, соразмерный с додекаэдрической геометрией вирусной оболочки.

3. Хиральный пентагональный порядок вирусных оболочек семейства Паповавирусов объясняется в рамках классической теории упругости квазикристаллов нелинейной фазонной деформацией, конечной причиной которой является обычная неоднородная деформация додекаэдрических граней капсида, возникающая в результате их выпучивания.

4. Теория, объясняющая процессы формирования капсидов вирусов, как со сферической, так и с промежуточной формой со слабо выраженной огранкой, разработана на основе обобщения и объединения подхода, описывающего процессы формирования капсидов семейства Паповавирусов, с концепцией образования капсидов малых вирусов в рамках теории кристаллизации Ландау.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на IV Международной конференции "Актуальные проблемы биологии, нанотехнологий и медицины" (Ростов-на-Дону, 2011), 6th International Conference "From Solid State to Biophysics VI" (Croatia, 2012), Международной научно-технической конференции "Нанотехнологии - 2012" (Таганрог, 2012), 11th International Symposium on Ferroic Domains and Micro- to Nanoscopic Structures (Ekaterinburg, 2012), Workshop on Physical Virology, Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics (Italy, 2012), 47-ой Школе ФГБУ «ПИЯФ» по Физике Конденсированного Состояния (Cанкт-Петербург, 2013), International Symposium on Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications PHENMA2013 (Taiwan, 2013), International Summer School Fundamental Problems of Statistical Physics XIII (Belgium, 2013), V Международной конференции "Актуальные проблемы биологии, нанотехнологий и медицины" (Ростов-на-Дону, 2011).

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, из них статьи - в научных журналах, рекомендованных ВАК РФ: 2 - в международных журналах, 1 - в российском рецензируемом журнале, а также 9 тезисов докладов, опубликованных в сборниках трудов всероссийских и международных конференций.

Личный вклад автора Определение темы, планирование работы, постановка задач, формулировка моделей и обсуждение полученных результатов проводились совместно с научными руководителями, профессором кафедры нанотехнологии Рошалем С.Б. и профессором Университета Монпелье 2 Лорманом В.Л. Автор лично составила программы для расчетов, выполнила все вычисления, а также сформулировала основные результаты, выводы и научные положения, выносимые на защиту.

Объем и структура работы Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы, изложенных на 115 страницах. Диссертация содержит 28 рисунков, таблицу, библиографию из 101 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи, показаны научная новизна и практическая значимость основных результатов и выводов, представлены основные научные положения, выносимые на защиту, апробация работы и личный вклад автора.

В первом разделе диссертации приведен обзор работ, освещающих современные представления о структурах вирусных капсидов и квазикристаллов и основных принципах их формирования. Рассмотрены физические методы, лежащие в основе данной диссертационной работы, а именно принцип квазиэквивалентности Каспара и Клуга, теория кристаллизации Ландау и основанная на ней теория конденсирующихся волн плотности, проекционные и кластерные методы построения квазикристаллических структур.

квазикристаллических структур, не использующая для описания квазикристаллического порядка концепций многомерной кристаллографии. На примере структур октагональнальных и декагональных квазикристаллов показано, что координаты узлов, соответствующих квазикристаллических решеток (КР), можно рассчитать путем условной минимизации свободной энергии Ландау.

Согласно теории Ландау [1,2] вблизи точки кристаллизации распределение плотности структурных единиц может быть записано в следующем виде где 0 - плотность до кристаллизации, а (R) соответствует критической добавке к функции плотности, вызванной образованием квазикристаллического порядка.

Функция (R) преобразуется по одному неприводимому представлению группы симметрии изотропного состояния, и для декагональной низкосимметричной фазы разложение этой функции по плоским волнам принимает вид:

где R – радиус вектор, bk b0 cosk 5, sin k 5. Так как k | k | exp(ik0 ) и отклонение плотности (R) действительны, то неприводимых (независимых) фаз k0 равно 5.

где Fi=Fi (P,T) феноменологический коэффициент зависящий от температуры T и I 3 0 2 4 6 8 1 3 5 7 9 - базисные инвариантные функции амплитуд плотности k.

Энергия (3) зависит только от симметричной комбинации 20n и не зависит от четырех других ортогональных линейных комбинаций фаз k0 [3].

N - число кластеров, а S - площадь структуры, в уравнение (3), и минимизируя свободную энергию Ландау (3), можно найти координаты ri. Симметрия десятого порядка декагональной квазикристаллической фазы приводит к равенству всех значений | k |. Используя параметризацию фаз [3] в переменных Голдстоуна u и v, функция (R) может быть переписана в следующем действительном виде:

Соответственно, свободная энергия (3) упрощается до вида:

где коэффициенты Ai линейно зависят от коэффициентов Fi свободной энергии (3).

Кроме того, так как I 3 преобразуется в 2 cos( ), коэффициент A3 зависит от значения : A3 2F4 cos( ). Минимизация (5) с учетом переменной выбирает структуры с конкретным дискретным значением, соответствующие декагональным квазикристаллам. В случае, когда F4>0, минимум свободной энергии соответствует cos( ) 1 и квазикристаллической фазе с = +20, где 0 - целое. При F43. Рисунок 1 - Величина функции плотности (4) и положения соответствующих проекций пятимерного пространства. Изменение цветов от красного к циями максимумов и проекфиолетовому соответствует изменению величины циям узлов пятимерного функции (R) в пределах от 3.08 до 10. Черные кружки соответствуют проекциям узлов (12) незаметны.

Условие (R)>3,08 эквивалентно определенному выбору поверхностной концентрации узлов Cs, для которой полученная квазикристаллическая решетка очень близка к экспериментальному распределению кластерных центров в классическом металлическом квазикристалле Al65Cu20Co15. Однако, решетка (см.

рис. 1) содержит дополнительные узлы относительно идеальной пентагональной укладки Пенроуза, соответствующей экспериментальным структурам и состоящей из узких ромбов, пятиугольников и звезд, иногда усеченных. Небольшое уменьшение величины Cs приводит к появлению вакансий без исчезновения дополнительных узлов. Таким образом, процесс минимизации свободной энергии (5) или максимизации амплитуды (6) должен быть условным. Необходимо учитывать геометрическое ограничение на заполнение узлов квазикристаллической решетки, накладываемое внутренним устройством кластера. Данное ограничение является запретом на одновременное размещение двух кластеров в паре позиций, разделенных одним из десяти векторов S i, совпадающих с диагоналями широких ромбов. Тогда, очевидно, минимизировать энергию (5) будет такой способ размещения кластеров по максимумам функции (4), при котором центр кластера соответствует наиболее высокому максимуму по сравнению со всеми его соседями, транслируемыми из данного максимума векторами S i.

полученная в рамках теории кристаллизации Ландау.

пределах от 3.08 до 10 Дополнительные узлы, не соответствующие укладке Пенроуза отмечены векторами Si являются параллельными проекциями пятимерных трансляций. Все они симметрийно-эквивалентны трансляции Z1 = и получаются из нее в результате циклической перестановки и инверсии компонент Z1. Используя соотношение (12), приведенный выше энергетический алгоритм построения пентагональной укладки Пенроуза можно переформулировать следующим образом: 1) Решетка строится из узлов с одинаковой величиной 0; 2) Узел проектируется из пятимерного пространства, если его соседние узлы, транслируемые из него векторами Zi и характеризуемые меньшим значением | r j |, отсутствуют. Данное пятимерное кристаллографическое определение алгоритма построения пентагональной укладки Пенроуза полностью эквивалентно обычному методу проекции [5]. Несложно проверить, что приведенный алгоритм отбора пятимерных узлов аналогичен проверке, при которой перпендикулярные координаты узла r j попадают вовнутрь проекционного окна в форме правильного десятиугольника, с расстоянием между противоположными сторонами равным длине перпендикулярной проекций вектора Z1. Данная пентагональная укладка Пенроуза, построенная на максимумах волн плотности (4), является первой в ряду самоподобных квазирешеток с последовательно большими длинами ребер, которые также строятся на максимумах той же функции (4). Интересно отметить, что аналогичным образом можно получить и октагональную квазирешетку.

В третьем разделе исследуется механизм неоднородной фазонной деформации рассматриваемой выше декагональной решетки, в рамках которой удалось объяснить хиральный порядок протеинов (рис. 3) в капсиде вируса бычьей папилломы.

Рисунок 3 – Расположение белков в капсиде вируса бычьей папилломы: (а) экспериментально полученная картина капсида данного вируса [6]; (b) - совмещение экспериментальной структуры капсида вируса бычьей папилломы со сферическим додекаэдром; (с) - идеализированная квазирешетка, узлы которой совпадают с Несмотря на то, что структуры значительного количества вирусных капсидов интерпретируются на основе развертки икосаэдра, треугольные грани которого заполняются периодическим гексагональным мотивом [7], существует ряд исключительных семейств вирусов, которые показывают локальный пентагональный порядок распределения белков (см. рис. 3). Пентагональный порядок распределения белковых субъединиц прекрасно сочетается с глобальными пятикратными осями симметрии капсида, а топологические дефекты оказываются в 20 изолированных точках, совпадающими с осями 3 порядка. Чтобы понять особенности распределения белка в соответствующем капсиде, можно проанализировать его с точки зрения развертки додекаэдра, а не икосаэдра.

Рассмотрение капсида в рамках развертки додекаэдра приводит к его разбиению на 12 сферических пятиугольников (см. рис. 3, b), вершины которых совпадают с вершинами додекаэдра, вписанного в сферу. После проектирования идеализированной квазирешетки (см. рис. 3, с) на поверхность додекаэдра белки совмещаются с узлами плоской укладки с локальной пентагональной симметрией.

Грани данного додекаэдра однообразно декорированы равносторонними пятиугольниками, тонкими и толстыми ромбами. Дефекты пентагонального порядка образуют равносторонние треугольники с центрами расположенными в вершинах додекаэдра. Подобный анализ целого ряда Паповавирусов дает те же геометрические результаты, подтверждая тем самым тот факт, что додекаэдрическая геометрия является общей особенностью для этого семейства вирусов.

На самом деле, можно сказать, что белки каждой пятиугольной грани додекаэдра формируют двумерную пентагональную квазирешетку. Соседние узлы такой квазирешетки трансформируются друг в друга по одной из пяти ориентационно-эквивалентных двумерных трансляций (края плитки), которые параллельны краям грани додекаэдра (см. рис. 3). Кроме того, во всех пятиугольных гранях додекаэдра стороны каждой плитки (каждого структурного элемента) параллельны двукратным осям глобальной икосаэдрической симметрии капсида. Таким образом, плоские квазирешетки граней додекаэдра составляют отдельные элементы трехмерной гранецентрированной икосаэдрической квазирешетки с глобальной икосаэдрической симметрией, делающей эти элементы ориентационно- эквивалентными.

Подчеркнем, однако, что «наноквазикристаллу» капсида рассматриваемого вируса характерны некоторые дополнительные поразительные особенности тесно связанные с симметрией отдельных белков. Плоская квазирешетка каждой грани додекаэдра имеет два уникальных свойства: a) как глобальные так и локальные оси симметрии вирусных квазирешеток не находятся в ее узлах; b) квазирешетка хиральна. Первое свойство весьма редко встречается в квазирешетках, в то время как второе не имеет аналогов в квазикристаллических системах. Из-за этих двух свойств полностью асимметричные белки могут занимать непосредственно узлы квазирешетки (см. рис. 3), а не основные позиции в окрестности узлов как в случае капсидов с локальным гексагональным порядком [7].

Из всех известных плоских пентагольных квазирешеток существует только одна (см. рис. 3), так называемая пентагональная квазирешетка Пенроуза [8], с организацией узлов близкой к распределению белков в каждой грани додекаэдра.

Cвязь между пентагональной укладкой Пенроуза и экспериментально наблюдаемым распределением белка показана на рисунках 4, b и 4, c, и может быть представлена как двухшаговое переключение нескольких позиций. Каждый шаг затрагивает только одну орбиту группы симметрии С5v плоской квазирешетки.

Такого рода переключения хорошо известны в классических квазикристаллах и обычно называются фазонными прыжками.

Переключение позиций в пентагональной укладке вирусного квазикристалла возникает вследствие его необычной геометрии. Во-первых, плоская пентагональная квазикристаллическая структура в каждой грани додекаэдра допускает возможность точного совмещения со смежными гранями на ребрах додекаэдра. Склеивание граней приводит к небольшой перестройке квазикристаллического порядка без нарушения симметрии квазирешетки. Вовторых, в реальных вирусных капсидах локальная кривизна отлична от нуля, грани додекаэдра не плоские, что предполагает существование дополнительной деформации выпучивания, которая изменяет расстояние между узлами квазирешетки.

(с) - окончательная форма квазирешетки после действия поля фазонных деформаций;

(d) - двумерная развертка додекаэдра декорированная хиральной пентагональной квазирешеткой (показаны 6 из 12 граней развертки). Получаемый после склеивания додекаэдр соответствует капсиду вируса бычьей папилломы Необычную белковую организацию в рассматриваемом вирусном наноквазикристалле можно понять, не выходя за рамки классической теории квазикристаллов. И хиральность квазирешетки и перестройка квазикристаллического порядка описывается в физике квазикристаллов с помощью низкоэнергетического нелинейного поля фазонных деформаций. Обычная фононная деформация ij, возникающая в результате выпучивания капсида, связана с фазонной деформацией j vi и играет важную роль в процессе формирования структуры вирусного наноквазикристалла.

Если величина v наряду с величиной u изменяются однородно во всем объеме, то свободная энергия квазирешетки (5) остается инвариантной. При неоднородном изменении данных величин энергия (5) получает соответствующую добавку. Неоднородное изменение величины u соответствует обычной упругой деформации. Неоднородное изменение величины v называется фазонной деформацией. Появление величины v, фигурирующей в правой части уравнения 9, связано с тем, что точечная симметрия, запрещённая для кристаллической решетки в трёхмерном пространстве, оказывается разрешенной в пространстве большей размерности. Плотность фонон-фазонной упругой энергии квазикристалла выражается как инвариантная функция пространственных производных двух полей u и v [3] и может быть записана в следующем виде где ij ( j ui iu j ) / 2 и при условии отсутствия дислокации член при K тождественно равен нулю. Единственное условие, из которого были выведены дифференциальные операторы, входящие в (13), – их инвариантность относительно группы симметрии С10v. Однако, как показывает подробный анализ, член при K4 не инвариантен относительно действия всей группы симметрии C10v, но становится таковым в хиральном квазикристалле с симметрией С5 (или С10). Таким образом, данный член фактически является псевдоскаляром.

В вирусном наноквазикристалле поля u и v уже неоднородны, но слабо зависят от координат. Выпучивание граней додекаэдра приводит к зависимости u(r), в то время как поле фазонных деформаций v(r) (нехиральная компонента) частично возникает вследствие склеивания соседних граней, а частично индуцируется деформацией выпучивания (хиральная компонента) вирусного капсида. Ниже мы приводим явные формы полей u(r) и v(r).

Для лучшего соответствия с белковым распределением пентагональные грани двумерной развертки додекаэдра должны содержать оси симметрии 2го порядка в серединах каждой грани (см. рис. 4, d). Введение осей второго порядка приводит вблизи границ пентагональной грани к простейшей с точки зрения теории групп нелинейной фазонной деформации v0=v0(r), сохраняющей симметрию недеформированной квазирешетки:

где амплитуда поля.

Поле (14) приводит к коррелированному переключению десяти узлов расположенных ближе всего к границам грани додекаэдра (см. заштрихованные зоны на рис. 4, а и рис. 4, b). Стоит обратить внимание на то, что оси второго порядка, появляющиеся в развертке, связаны в пятимерном пространстве Е с суперпозицией инверсии и трансляции по звезде. Данная трансляция может быть определенна как сумма пятимерных координат двух позиций, лежащих на одной стороне любой из граней додекаэдра (см. рис. 4, b).

"наноквазикристалла" мы рассмотрим два других источника деформации в этой системе: хиральную фазонную деформацию и деформацию выпучивания, и покажем, что они зависят друг от друга в хиральной квазирешетке. Плотность гармонической упругой энергии пентагонального квазикристалла [3] содержит два произвольного поля фазонных деформаций v(r):

В хиральном пентагональном квазикристалле плотность свободной упругой энергии должна содержать дополнительный член (по отношению к ахиральным квазикристаллам). Это псевдоскаляр группы симметрии C5v, который становится инвариантом в хиральном квазикристалле с симметрией С5. Эта ситуация хорошо известна, например, в теории хиральных жидких кристаллов, где дополнительный псевдоскалярный член (n curl n) линейный по первым производным по направлению n появляется в упругой свободной энергии Франка-Озеена холестерика. Тем не менее, в хиральном пентагональном квазикристалле нет чисто фазонных членов данного типа. В самом деле, симметрия C5 запрещает существование инвариантных членов, состоящих только из первых производных поля v. Напротив, хиральная симметрия допускает существование линейного члена по отношению к первым производным как поля u так и поля v:

где ij - компоненты обычного (фононного) тензора деформаций второго ранга.

Этот член выражает неоднородную упругую связь фононной и фазонной подсистемы хирального квазикристалла. Из-за этой связи неоднородная деформация, появляющаяся в результате выпучивания капсида, приводит к хиральной фазонной деформации. Вычисляя обычный тензор деформации для деформации выпучивания и минимизируя упругую энергию наноквазикристалла, можно получить выражение для поля фазонных деформаций, приводящего к хиральности. Для определенности предположим, что соответствующая деформация имеет приблизительно радиальный характер. Тогда, координаты R точки на сферическом сегменте радиуса R связаны с координатами ее проекции на плоскую грань, находящуюся на расстоянии h от центра вдоль оси Z, как Соответствующий тензор деформации тогда (M s M p ), где метрический тензор сферического сегмента, а Мр - плоский метрический тензор (т.е. единичная матрица). Явная форма связывающего члена в плотности упругой энергии получается в результате подстановки тензора деформации в уравнение (16). Согласно экспериментальным данным [6] оболочка вируса бычьей папилломы имеет промежуточную форму между граненой и сферической, что предполагает слабую кривизну капсида. R>>Rcap, где - Rcap радиус капсида, или, что эквивалентно hR. Тогда, разлагая связывающий член (16) в ряд и сохраняя первые неисчезающие члены в, получаем:

Упругая свободная энергия, которая учитывает все особенности хирального квазикристаллического порядка вирусного "наноквазикристалла", тогда выражается в виде:

В каждой грани додекаэдра функционал упругой энергии (20) минимизируется с граничными условиями, учитывающими склеивание граней додекаэдра. А именно, интеграл по границе грани от скалярного произведения (vv0) должен быть равен граничному интегралу величины (v0)2. Для простоты пятиугольная грань S заменяется на круг, содержащий те же самые узлы квазирешетки. В энергии (20) K и K2 нехиральные фазонные упругие константы пентагонального квазикристалла, а K3 упругая константа хиральной фазон-фононной связи. Даная вариационная задача имеет точное решение:

Уравнения (21) выражают полное поле фазонных деформаций в вирусном "наноквазикристалле". Хиральный компонент поля (21) зависит от параметра.

Значение определяется, в свою очередь, значением упругих констант K1, K2 и K3, Прямая подстановка поля фазонных деформаций (21) в уравнение (9) для перпендикулярных координат дает (вместе с уравнением (8)) явный метод для расчета позиций белка. В протяженной области значений и, рассчитанная структура идеально соответствует экспериментальному распределению плотности белка в капсиде вируса бычьей папилломы (см. рис. 3). Например, для 0. значение хиральной компоненты поля лежат в области 0.00150.012, а для 0, 0.009.

В четвертом разделе данной диссертации физическая концепция построения структур капсидов вирусов семейства Паповавирусов обобщается и объединяется с ранее предложенной концепцией, объясняющей формирование капсидов малых вирусов в рамках теории кристаллизации Ландау [9]. В модели капсида вируса бычьей папилломы белки находятся в узлах квазирешетки, уменьшая тем самым количество возможных белковых конформаций. Белки в данной модели связаны со своими соседями довольно единообразно и, следовательно, удовлетворяют определенному принципу квазиэквивалентности.

Принцип квазиэквивалентности помогает объяснить тот факт, что капсидов с квазикристаллической организацией, содержащих более 72 пентамеров, не существует в природе. Действительно, в капсидах, состоящих из 72 пентамеров, белки образуют три очень симметричных типа структурных элементов (тайлов):

пятиугольник и ромбы двух типов. Тем не менее, бесконечные пентагональные квазирешетки содержат и другие виды структурных элементов - звезды (иногда усеченные). Для квазикристаллических капсидов, содержащих более 360 белков дополнительные элементы обязательно бы появились, тем самым снижая степень квазиэквивалентности протеинов.

Заметим, что разбиение поверхности сферы несколькими типами одинаковых тайлов – крайне сложная математическая задача, если решать ее в общем виде. Однако существует два факта, которые сильно упрощают построение наиболее простых разбиений, содержащих ограниченное число тайлов. Во-первых, мы рассмотрим только симметричные сферические тайлинги с икосаэдрической симметрией I, соответствующей всем поворотам группы симметрии икосаэдра. Вовторых, приближенные положения вершин конструируемых тайлингов фактически известны – это положения центров масс белковых молекул. Вследствие своей асимметрии, белковые молекулы не могут лежать на симметричных направлениях группы I, поэтому каждый тайлинг можно характеризовать определенным целым N. При этом тайлинг будет содержать 60N узлов.

Так как вершины рассматриваемых тайлингов находятся на сфере, то тайлинг с определенным N задается всего 2N алгебраическими уравнениями. В качестве первого приближения для решения этих уравнений удобно использовать примерно известные положения центров масс белковых молекул. Если уравнения удается решить, а получаемые координаты вершин тайлинга лишь немного отличаются от первоначально заданных – значит искомый тайлинг существует.

Далее проводится построение первых шести простейших сферических тайлингов (N = 1, 2, 3, 3, 4, 6) с икосаэдрической симметрией I, соответствующих хорошо известным структурам вирусных капсидов (рис. 5, крайняя левая колонка).

Первый, четвертый и пятый приведенный капсид удовлетворяют геометрической теории, основанной на интерпретации структуры вирусного капсида на основе выкройки икосаэдра, треугольные грани которой заполняются периодическим гексагональным мотивом, в то время как третий и шестой имеют совершенно отличную структурную организацию. В центральной колонке (первые пять строк) показаны определенные в первом приближении центры тяжести белковых молекул.

В шестой строке светлые пятна соответствуют максимумам экспериментальной функции плотности распределения протеинов, и их координаты можно взять в качестве приближенного решения рассматриваемых уравнений.

Рисунок 5 - Структуры капсидов малых вирусов и регулярные сферические тайлинги с икосаэдрической симметрией I: (а) - сателитный вирус табачной мозаики N=1; (b) - L-A вирус N=2; (c) - вирус лихорадки N=3; (d) - вирус хлорозомы вигны N=3; (e) - Синдбис вирус N=4; (f) - вирус бычьей папилломы N=6. Один набор симметрийно-неэквивалентых ребер на каждом рисунке обозначен более жирными сферическими отрезками. На сферические тайлинги нанесены ребра сферического додекаэдра В крайнем правом столбце на рисунке 5 приведены идеализированные тайлинги, задаваемые, как уже было отмечено, 2N уравнениями. В первых пяти случаях 2N-1 из этих уравнений выводятся из равенства 2N симметрийнонеэквивалентных ребер квазирешетки, показанных на рисунке 5 жирными линиями. Последнее уравнение в случае трех первых капсидов с N = 1, 2, определяется наличием в структуре узкого ромба с углом /5, в четвертом капсиде с N = 3 правильного шестиугольника вокруг оси третьего порядка, и как следствие двух равных симметрийно-неэквивалентных сферических углов при вершине шестиугольника. В случае, когда N = 4, сделать шестиугольник с центром на оси второго порядка правильным невозможно, не хватает независимых степеней свободы, и последнее уравнение при построении соответствующего тайлинга задается равенством пары сферических углов внутри шестиугольника. В рамках той же тайлинговой идеологии можно описать и структуру капсида вируса бычьей папилломы. Множество из 12 уравнений, описывающих положения позиций, разбивается на две группы. Первая группа, состоящая из 10 уравнений, задается равенством друг другу 11 симметрийно-неэквивалентных ребер тайлинга. Вторая группа - равенством трех разных сферических углов внутри одного из пентамеров, не лежащего на глобальной оси пятого порядка.

Серия сферических тайлингов, полученная выше исключительно из геометрических соображений, основанных на принципе квазиэквивалентности, может быть выведена другим, гораздо более физическим способом. Заметим, что все построенные тайлинги состоят из определенного набора структурных элементов: пятиугольников, узких и широких ромбов. Нарушающие мотив структурные элементы другой формы (условно назовем их дефектами) всегда лежат вокруг осей третьего порядка. А вблизи оси пятого порядка организация тайлов на всех шести картинках однотипна – пятиугольник, окруженный ромбами, расположенными хиральным образом, сохраняющим ось пятого порядка. Данный анализ наводит на мысль, что подобно структуре вируса бычьей папилломы, первые пять тайлингов также можно получить на основе развертки додекаэдра, декорируемой хиральным образом перестроенной пентагональной укладкой Пенроуза, теория самосборки которой была рассмотрена во втором разделе.

Выражения (8) и (9) совместно с зависимостью v(r) (21), полученной в третьем разделе, дают явный метод для расчета позиций хиральной квазирешетки (рис. 6), пригодной для построения структур капсидов рассматриваемых малых вирусов.

Все эти структуры могут быть получены из додекаэдрических разверток, пятиугольные грани которых вырезаются из построенной квазирешетки способами, показанными на рисунке 6. То, что для разных капсидов, данная хиральная квазирешетка оказывается единой, представляется весьма важным и удивительным на первый взгляд фактом, объясняемым, тем, что все рассматриваемые капсиды, несмотря на разное количество белковых молекул, стремятся организовать похожие хиральные мотивы вокруг оси пятого порядка. Данная структурная организация закономерна по чисто геометрическим причинам. Так, сопрячь на плоскости пять пентамеров с центральным можно только при помощи узких ромбов. Если для этой цели использовать широкие ромбы, то тайлинг из тех же самых тайлов (имеющихся исходно) просто не соберется.

Рисунок 6 – Хиральная пентагональная укладка, соответствующая структурам капсидов, показанных на рис. 5. (a) - Пентагональная укладка Пенроуза и функция плотности в области (r)>3.5 после действия поля фазонных деформаций (15) (=0.009, =0.024, =3). Коэффициенты и, при которых тайлинг внутри показанного круга с радиусом r совпадает с нарисованным, лежат в довольно ограниченной области значений, совпадающей с полученной для капсида вируса бычьей папилломы. В качестве узлов тайлинга взяты максимумы (r). (b) - Пятиугольные грани додекаэдрических разверток капсидов показаны большими пятиугольниками разных цветов. Обозначение пятиугольников 1 – 6 соответствует капсидам вирусов, обозначенных (a) – (f) на рисунке Так же как и в случае вируса бычьей папилломы (см. рис. 3), для лучшего соответствия с белковым распределением, пентагональные грани двумерной развертки додекаэдра должны содержать оси симметрии второго порядка в серединах каждой грани (рис. 7), появление которых в развертке связано в пятимерном пространстве Е с суперпозицией инверсии и трансляции P. Данная трансляция может быть определенна как сумма пятимерных координат (A и A) двух смежных вершин пентагональных граней развертки (табл. 1).

Таблица 1 - Геометрические характеристики представленных на рисунке 2,3,1,0,0 1,3,3,0,-1 3,4,1,-1,-1 1,4,3,0,-2 1,-1,-2,3,5 5,5,-1,-2,- 2,1,0,0,0 1,2,1,-1,0 3,1,0,-1,0 2,2,1,-1,-1 4,1,0,-1,-1 0,5,-1,-2,- Рисунок 7 - Развертки шести капсидов, полученные в результате склейки пятиугольников, имеющих аналогичное цветовое обозначение на рисунке 6, b. Пять векторов, показанных в центре разверток, соответствуют пяти базисным векторам ai в формуле (8) Заметим, что при склейке развертки в додекаэдр и его выпучивании (см.

рис. 5 и рис. 7), должна происходить некоторая симметризация тайлов. Иначе из плоской додекагональной развертки не получить сферический тайлинг, состоящий из минимального набора тайлов, и удовлетворяющий, таким образом, принципу квазиэквивалентности. Расстояния и углы одинаковые на плоскости не могут остаться таковыми на сфере. Например, гексамер (см. рис. 7, е и рис. 5, е) должен стать правильным, а разница между тонкими и толстыми ромбами при склейке и выпучивании развертки (см. рис. 7, d и рис. 5, d) должна практически исчезнуть.

Тем не менее, склейка разверток на рисунке 7 в додекаэдр с последующим его выпучиванием и некоторой симметризацией узлов тайлинга бесспорно проводит к структурам капсидов на рисунке 5.

Другой интересный пример применимости тайлинговой идеологии и развертки додекагонального типа - капсид вируса кукурузного стрика (рис. 8, b) [10]. Сдвоенный дефектный (N = 1) капсид данного вируса состоит из пентамеров организованных из 110 белков, и может быть получен в рамках нашей теории путем развертки сдвоенного додекаэдра. При этом каждая грань развертки абсолютно идентична грани простейшей развертки, показанной на рисунке 7, а.

Рисунок 8 – Сдвоенный капсид вируса кукурузного стрика: (a) – развертка, основанная на додекаэдрической геометрии; (b) – Экспериментальная структура [10]; (с) – Идеализированная структура капсида вируса, представленная в виде двух сопряженных сферических тайлингов Подчеркнем, что если исходить из икосаэдрической геометрии капсида, то непонятно каким образом нужно проводить соединение двух капсидов с N = 1.

Додекаэдрическая геометрия содержит в себе решении этой проблемы. Склеивая додекаэдра так, чтобы они имели общую грань (см. рис. 8, a), и учитывая сферичность малых вирусов, мы и получаем искомую структуру капсида (рис. 8, c).

В заключении сформулированы основные результаты и выводы.

Впервые в рамках теории кристаллизации Ландау путем минимизации соответствующей свободной энергии с учетом простейших ограничений на относительное расположение структурных единиц в квазикристаллической фазе построены квазикристаллические решетки с октагональной и декагональной симметрией.

Показано, что белки капсида вируса бычьей папилломы (и других вирусов семейства Паповавирусов) самостоятельно собираются в уникальную (единственную в своем роде) хиральную квазикристаллическую структуру, с хиральным пентагональным порядком граней и глобальной додекаэдрической геометрией капсида. Соответствующая развертка додекаэдра является хиральной пентагональной квазирешеткой, в узлах которой расположены асимметричные белки.

Разработана концепция нелинейных фазонных деформаций в рамках классической теории упругости квазикристаллов, позволяющая рассчитать расположение белков и, таким образом, объяснить формирование капсидов вирусов семейства Паповавирусов.

Предложен основанный на принципах квазиэквивалентности геометрический тайлинговый подход для описания капсидов малых вирусов со сферической топологией.

Построена объединенная теория формирования структур малых и средних вирусов, основанная на теории кристаллизации Ландау и минимизации фонон-фазонной энергии вирусного квазикристаллического порядка.

1. Ландау, Л.Д. К теории фазовых переходов I / Л.Д. Ландау // Собрание трудов.

М.: Наука. - 1969. - Т. 1. - С.234.

2. Ландау, Л.Д. К теории фазовых переходов II / Л.Д. Ландау // Собрание трудов.

М.: Наука. – 1969. - Т. 1. - С. 253.

3. Levine, D. Steinhardt P.J. Elasticity and Dislocations in Pentagonal and Icosahedral Quasicrystals / D. Levine, T.C. Lubensky, S. Ostlund, S. Ramaswamy, P.J.

Steinhardt, J. Toner //Phys. Rev. Lett. - 1985. - V. 54. - P. 1520-1523.

4. Dmitriev, V. P. Definition of a transcendental order parameter for reconstructive phase transition / V.P. Dmitriev, Yu.M. Gufan, S.B. Rochal, R. Toldano// Phys. Rev.

Lett. - 1988. -V. 60. - P. 1958-1961.

5. Janot, C. Quasicrystals: A Primer / C. Janot. – Oxford: Oxford Univ. Press, 1997. – 6. Johnson, J.E. Functional implications of protein-protein interactions in icosahedral viruses / J.E. Johnson // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. – 1996. – V.93. – P. 27–33.

7. Caspar, D. L. D. Physical principles in the construction of regular viruses / D. L. D.

Caspar, A. Klug // Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. – 1962. - V.27. – P. 1-24.

8. Penrose, R. The role aesthetics in pure and applied mathematical research / R.

Penrose //J. Inst. Math. Its Appl.- 1974.-Vol. 10.-P. 266-271.

9. Lorman, V.L. Density-wave theory of the Capsid Structure of Small Icosahedral Viruses / V.L. Lorman, S.B. Rochal // Phys. Rev. Lett. – 2007. –V.98. – P. 185502.

10.Zhang, W. Structure of the Maize streak virus geminate particle / W. Zhang, N.H. Olson, T.S. Baker, L. Faulkner, M. Agbandje-McKenna, M.I. Boulton, J.W. Davies, R. McKenna // Virology. – 2001. – V.279. - №2. – P. 471-477.

А1. Konevtsova, О.V. Chiral quasicrystalline order and dodecahedral geometry in exceptional families of viruses / О.V. Konevtsova, S.B. Rochal, V.L. Lorman, // Phys.

Rev. Lett. – 2012. – V.108. – P. 038102.

A2. Konevtsova, O.V. Unconventional Landau theory of quasicrystalline structure formation / О.V. Konevtsova, S.B. Rochal, V.L. Lorman // Phys. Lett. A. – 2013. – V.377. – Issue 16-17. - P. 1215-1220.

А3. Коневцова, О. В. Теория кристаллизации Ландау и самосборка октагональных квазикристаллов / О.В. Коневцова, С. Б. Рошаль, В.Л. Лорман // ФТТ. – 2013. – Т. 55. – Вып. 8. – С. 1488- 1493.

А4. Коневцова, О.В. Теория построения хиральных квазикристаллических укладок / О.В. Коневцова // Тезисы докладов VII Научной Конференции студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН. Ростов-на-Дону, 11 – 22 апреля 2011 г. – Ростов-на-Дону: Изд-во ЮНЦ РАН, 2011. – С. 208.

А5. Коневцова, О.В. Хиральный квазикристаллический порядок капсидов вирусов семейства Паповавирусов / О.В. Коневцова // Тезисы докладов IV Международной конференции "Актуальные проблемы биологии, нанотехнологий и медицины". Ростов-на-Дону, 22 – 25 сентября 2011 г. – Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2011. – С. 145-146.

А6. Коневцова, О.В. Вирусные наноквазикристаллы / О.В. Коневцова // Тезисы докладов VIII Научной Конференции студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН. Ростов-на-Дону, 11 – 26 апреля 2012 г. – Ростов-на-Дону: Изд-во ЮНЦ РАН, 2011. – С. 227.

А7. Lorman, V.L. Dodecahedral geometry and unconventional order in viruses / V.L.

Lorman, O.V. Konevtsova, and S.B. Rochal // Proceeding of 6-th International Conference "From Solid State to Biophysics VI" Dubrovnik, Croatia, September 6, 2012.

– Dubrovnik, Croatia. – P. N48.

А8. Коневцова, О.В. Квазикристаллический порядок капсидов малых икосаэдрических вирусов // О.В. Коневцова, С.Б. Рошаль // Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Нанотехнологии - 2012".

Таганрог, 25 – 29 июня 2012 г. – Таганрог: Изд-во ТТИ-ЮФУ, 2012. – С. 130.

А9. Konevtsova, O.V. Chiral quasicrystalline order in exceptional family of viruses / O.V. Konevtsova, S.B. Rochal, and V.L. Lorman //

Abstract

book of the 11-th International Symposium on Ferroic Domains and Micro- to Nanoscopic Structures and the 11-th Russia/CIS/Baltic/Japan Symposium on Ferroelectricity. Ekaterinburg, Ekaterinburg, August 20 - 24, 2012. – Ekaterinburg Ural Federal University, 2012. – P.

175.

A10. Коневцова, О.В. Хиральный квазикристаллический порядок и додекаэдрическая геометрия капсидов малых вирусов / О.В. Коневцова, С.Б.

Рошаль, В.Л. Лорман // Тезисы докладов 47-ой Школы ФГБУ «ПИЯФ» по Физике Конденсированного Состояния (ФКС-2013), Санкт-Петербург, Россия, 11-16 марта 2013. – С. Петербург: Изд-во ФГБУ «ПИЯФ», 2013. – С. 59.

A11. Konevtsova, O.V. Interpretation of virus unconventional order in the frame of classical elasticity theory of quasicrystal / O.V. Konevtsova, S.B. Rochal, and V.L.

Lorman // Proceeding of International Symposium on Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications PHENMA2013, Kaohsiung, Taiwan. June 5 – 8, 2013. – P.152.

А12. Коневцова, О.В. Теория кристаллизации Л.Д. Ландау и квазикристаллический порядок в двумерных вирусных оболочках / О.В. Коневцова, С.Б.

Рошаль, В.Л. Лорман // Тезисы докладов IIV Международной конференции "Актуальные проблемы биологии, нанотехнологий и медицины". Ростов-на-Дону, – 5 октября 2013 г. – Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2013. – С. 275-276.