На правах рукописи

КРОТОВА Вера Николаевна

ИНТЕГРИРОВАННЫЙ ПОДХОД К РАЗВИТИЮ ИНТУИТИВНЫХ,

ЛОГИЧЕСКИХ И ТВОРЧЕСКИХ КОМПОНЕНТОВ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТАРШЕКЛАССНИКОВ

Специальность 13.00.02 - Теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва - 2011

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики физико–математического факультета Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный областной университет» (МГОУ)

Научный руководитель: кандидат педагогических наук, профессор РАССУДОВСКАЯ Мария Михайловна

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор СЕРГЕЕВА Татьяна Фёдоровна кандидат педагогических наук, доцент БУСЛАЕВ Антон Владимирович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н.Толстого»

Защита диссертации состоится «17» июня 2011 г. в «» часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.18 при ГОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет» по адресу:

107140, г. Москва, Краснопрудная ул., д.14, математический факультет МПГУ, ауд. _.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Московского педагогического государственного университета по адресу:

119991, г. Москва, Малая Пироговская ул., д.1.

Автореферат разослан « » мая 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Р.М. Асланов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Современное общество для своего полноценного функционирования нуждается в таких представителях, которые умеют хорошо ориентироваться в информационных ресурсах из различных областей знаний, применять эти знания в новых, измененных условиях, разрешать противоречия, находить нестандартные способы решения проблемных ситуаций в социальном взаимодействии с другими субъектами общества. Все это отражается на изменении требований, предъявляемых к организации школьного обучения на нынешнем этапе развития общества.

Каждый учебный предмет, изучаемый в общеобразовательной школе, имеет возможности для повышения уровня развития интеллекта и способностей учащихся. Школьный курс математики не является исключением. Его структура и содержание предоставляют большие возможности для развития интеллектуальных и личностных качеств учащихся. При этом качество математической подготовки школьников будет выше, если в процессе обучения математике будут созданы условия для формирования у учащихся учебно– познавательных, информационных, личностных, коммуникативных компетенций. Учащиеся должны научиться саморегулировать свою учебную деятельность, сотрудничать с учителем и другими учащимися для достижения поставленных целей, проявляя при этом активную позицию и демонстрируя уважительное отношение к другим субъектам.

Одним из конкретных путей решения вышеперечисленных задач является организация учебного процесса, обеспечивающая условия для активизации учебно–поисковой деятельности учащихся, в процессе которой они могли бы как по отдельности, так и в совокупности выполнять действия, соответствующие интуитивным, логическим и творческим компонентам их математической деятельности. Все это положительным образом влияет на развитие математических способностей учащихся и, как следствие, способствует повышению качества их математической подготовки. Данное положение приобретает особую актуальность при обучении математике учащихся в старшей общеобразовательной школе. Во–первых, возрастные особенности старшеклассников позволяют в полной мере использовать в учебном процессе средства обучения, способствующие развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся.

Во–вторых, старшеклассники после окончания школы сталкиваются с выбором своего дальнейшего жизненного пути и для того, чтобы успешно продолжить образование, они должны не только продемонстрировать высокие результаты на выпускных экзаменах, но и, самое главное, приобрести опыт познавательной деятельности, опыт осуществления известных способов деятельности, опыт творческой деятельности, опыт эмоционально–ценностных отношений.

Проблема развития интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся, в той или иной степени, нашла свое отражение в исследованиях психологов, педагогов, методистов.

Вопросы, связанные с механизмами и принципами функционирования деятельности субъекта, особенностями учебной деятельности учащихся изучались Л.С. Выготским, В.В. Давыдовым, З.И. Калмыковой, А.Н. Леонтьевым, И.Я. Лернером, С.Л. Рубинштейном, М.Н. Скаткиным, Н.Ф. Талызиной, Г.И. Щукиной и др.

Проблема развития логического мышления учащихся рассматривалась в работах И.А. Гибша, Б.В. Гнеденко, В.А. Далингера, Д.И. Икрамова, И.Л. Никольской, В.Л. Матросова, Г.И. Саранцева, А.Д. Семушина, А.А. Столяра, Н.Ф. Талызиной, И.Л. Тимофеевой, А.Я. Хинчина, Е.А. Щеголькова и др.

Психолого–педагогические аспекты проблемы развития интуиции, качеств интуитивного мышления учащихся отражены в исследованиях В.Ф. Асмуса, Д. Брунера, В.П. Зинченко, А.Н. Лука, Д. Пойа и др.

Особенности творческого мышления и средства его развития изучались В.В. Давыдовым, А.М. Матюшкиным, М.И. Махмутовым, Я.А. Пономаревым, Б.М. Тепловым и др.

Проблема соотношения интуитивных и логических аспектов при обучении школьников и их влияния на развитие интеллектуальных качеств учащихся представлена в работах Л.Л. Гуровой, Л.Д. Кудрявцева, Е.П. Жиркова, Т.С. Маликова, А.А. Столяра и др.

Взаимосвязь творческих и логических качеств мышления учащихся исследовалась О.А. Беляевой, Л.М. Фридманом, А.В. Хуторским и др.

В результате анализа исследований, посвященных проблеме поиска эффективных средств оптимизации качества учебной деятельности учащихся, развития их интеллектуальных способностей, нами было установлено, что мало изученными остаются вопросы о способах целенаправленного, интегрированного развития интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников; о выборе условий организации учебных ситуаций, позволяющих учащимся осуществлять математическую деятельность на разных уровнях в зависимости от качества их подготовки.

В связи с этим проблема настоящего исследования определяется необходимостью разрешения ряда противоречий: между заинтересованностью общества в активных, разносторонне развитых, творчески мыслящих гражданах и недостаточным количеством методических средств организации учебной деятельности старшеклассников, которые позволяли бы формировать у учащихся опыт познавательной деятельности, опыт творческой деятельности, опыт эмоционально–ценностных отношений; между высокими требованиями, предъявляемыми к качеству математической подготовки выпускников демонстрируемыми учащимися на выпускных экзаменах; между творческим характером познавательной деятельности учащихся и использованием методов обучения старшеклассников, которые не позволяют в полной мере использовать эти возможности.

Сказанное определяет актуальность предлагаемого исследования.

Объектом исследования является процесс обучения математике учащихся в старшей общеобразовательной школе.

Предметом исследования является интегрированный подход к обучению математике старшеклассников, направленный на развитие и интуитивных, и логических, и творческих компонентов их математической деятельности.

Цель исследования состоит в разработке модели обучения математике старшеклассников в общеобразовательной школе, обеспечивающей реализацию интегрированного подхода к развитию и интуитивных, и логических, и творческих компонентов математической деятельности учащихся, и внедрении ее в процесс обучения математике учащихся.

На основании вышеизложенных положений была сформулирована гипотеза исследования: повысить качество математической подготовки старшеклассников возможно за счет использования интегрированного подхода к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов их математической деятельности, в процессе которого:

- привлекать учащихся к творческому поиску новых способов действий;

- применять специально подобранные методические средства организации учебной деятельности учащихся при изучении теоретического материала;

- использовать специально разработанный комплекс задач, решение которых позволит активизировать и интуитивные, и логические, и творческие компоненты математической деятельности учащихся.

Цель и гипотеза исследования определили задачи исследования:

- выявить теоретические предпосылки постановки и исследования проблемы развития интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся;

- предложить методические средства организации учебной деятельности учащихся, способствующие интегрированному развитию и интуитивных, и логических, и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников в процессе изучения математических понятий и теорем;

- разработать комплекс задач, позволяющих реализовать интегрированный подход к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников, и методику использования этого комплекса в обучении учащихся;

- экспериментально проверить эффективность интегрированного подхода к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся.

Для решения поставленных задач использовались методы исследования:

анализ психолого–педагогической, научно–методической литературы, нормативно–программной документации; моделирование; педагогическое наблюдение за учебным процессом и учебной деятельностью старшеклассников; опрос учащихся, беседа с учителями и учащимися; изучение и обобщение педагогического опыта; педагогический эксперимент по проверке эффективности основных положений исследования; статистические методы обработки результатов эксперимента.

Научная новизна выполненного исследования состоит в том, что проблема повышения качества математической подготовки выпускников общеобразовательной школы решалась с позиций целенаправленного, интегрированного развития интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся. Построена модель обучения математике, основанная на положениях компетентностного, личностно–ориентированного, развивающего подходов к обучению, что позволяет вовлекать в процесс осуществления математической деятельности учащихся с разным уровнем математической подготовки. Разработан комплекс задач, позволяющий реализовать интегрированный подход к развитию и интуитивных, и логических, и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников.

Теоретическая значимость проведенного исследования заключается в том, что обоснованы содержательные и процессуальные аспекты интегрированного подхода, направленного на развитие интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся старшей общеобразовательной школы. С учетом требований современных социальных условий и в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего (полного) общего образования, спроектирована модель обучения математике старшеклассников, нацеленная на вовлечение учащихся в поисковую деятельность, на основе согласованного взаимодействия и интуитивных, и логических, и творческих компонентов их математической деятельности. Сформулированы требования к отбору задачного материала, учитывающие необходимость интегрированного развития у учащихся и интуитивных, и логических, и творческих компонентов их математической деятельности.

Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные научно–методические рекомендации по реализации интегрированного подхода к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников обеспечивают повышение качества математической подготовки учащихся, что позволяет использовать их в школьной практике обучения учащихся. Методические рекомендации по организации учебной деятельности старшеклассников в процессе обучения математике могут быть использованы на лекциях и практических занятиях со студентами математических специальностей педагогических вузов, что позволит расширить предпосылки для развития профессиональной компетентности будущих учителей математики. Выводы проведенного исследования могут служить основой для составления учебнометодических пособий, контрольно–измерительных материалов по математике для учащихся 10–11 классов.

Методологической основой исследования являются концепция деятельностного подхода к обучению и развитию учащихся; теория развивающего обучения; теория проблемного обучения; теория личностно– ориентированного обучения; концепция творчества как психического процесса;

компетентностный подход в обучении учащихся.

Достоверность полученных результатов и обоснованность научных выводов обеспечиваются построением исследования на основе теоретических положений психолого-педагогических и научно-методических работ по теме исследования; согласованностью полученных результатов с достижениями психолого-педагогической науки и исследованиями в области методики преподавания математики; адекватностью используемых методов исследования предмету, цели и задачам исследования; результатами педагогического эксперимента.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Интегрированный подход к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников является одним из направлений в решении проблемы повышения эффективности обучения математике учащихся старшей общеобразовательной школы.

2. Построение процесса обучения математике старшеклассников на основе модели обучения, обеспечивающей реализацию интегрированного подхода к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся, способствует повышению качества их математической подготовки и создает условия для формирования у них учебно– познавательных, информационных, личностных, коммуникативных компетенций.

3. Методика использования специального комплекса задач должна создавать возможности для интегрированного развития компонентов математической деятельности учащихся с учетом их взаимосвязи.

Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в форме выступлений на научных конференциях Московского государственного областного университета (МГОУ, 2005, 2006, 2007, 2010 гг.); на международной научно-практической конференции «Теоретические и методологические проблемы современного образования» (Москва, 2010 г.); на научно-методических семинарах: «Передовые идеи в преподавании математики в России и за рубежом» (МГОУ, 2006 г.); «Актуальные проблемы преподавания математики и информатики в школе и педагогическом вузе» (МПГУ, 2011 г., научный руководитель действительный член РАН, действительный член РАО В.Л.Матросов). Материалы исследования внедрены в работу Муниципальных общеобразовательных учреждений «Лицей» г. Дедовска и Лицей № 6 г. Химки (Московская область), а также используются при изучении курса «Технологии и методики обучения математике» на физико-математическом факультете Московского государственного областного университета. По результатам диссертационного исследования опубликовано 8 работ, из них 4 из Перечня ВАК Министерства образования и науки РФ.

Структура диссертации определяется последовательностью решения задач исследования и состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Общий объем диссертации составляет 190 с., из них 156 с. занимает основной текст и 34 с. – приложения. Список литературы содержит 212 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность исследования, определены его объект и предмет, сформулированы цель и гипотеза исследования, указаны задачи и методы исследования, раскрыты теоретическая и практическая значимость, а также его научная новизна, отражены достоверность и обоснованность полученных в исследовании результатов, сформулированы положения, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации и внедрении результатов исследования.

В первой главе «Теоретические основы развития интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников» определены научные предпосылки и исходные методологические положения, необходимые для процесса обучения математике старшеклассников, направленного на интегрированное развитие компонентов их математической деятельности.

В первом параграфе рассмотрены психолого–педагогические основы развития интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся. Раскрыто содержание понятий «деятельность субъекта», «учебная деятельность учащегося». В соответствии с выбранным объектом исследования, было уточнено понятие «математическая деятельность субъекта». В специально организованной учителем учебной ситуации учащийся может выполнять действия, входящие в состав математической деятельности, принимая, тем самым, активное участие в творческом познании и преобразовании математического содержания в условиях школьного обучения.

С учетом сформулированных уточнений, на основе анализа основных характеристик логического мышления, интуиции, творческого мышления субъекта, представленных в психолого–педагогической и научно–методической литературе, было сконструировано определение понятия «компоненты математической деятельности субъекта» и систематизированы представления о действиях, входящих в состав интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников. Под конкретными компонентами математической деятельности субъекта целесообразно понимать действия, в реализации которых в наибольшей степени проявляются качества определенного типа мышления.

Интуитивные, логические и творческие компоненты математической деятельности учащихся являются взаимосвязанными и взаимодополняемыми элементами, поэтому наибольшей эффективности в их развитии можно достичь в условиях интегрированного подхода, раскрытию содержательных и процессуальных аспектов которого посвящен второй параграф.

Учебная деятельность старшеклассников должна быть организована таким образом, чтобы в ее реализации они последовательно проходили стадии, на которых проявляются конкретные компоненты их математической деятельности. Исходя из основных положений концепции творческого процесса Я.А.Пономарева, с учетом основных звеньев учебной деятельности учащихся (мотивационно–ориентировочное, исполнительское, контрольно–оценочное), были определены стадии осуществления математической деятельности старшеклассниками: подготовительная (актуализация опорных знаний учащихся, создание учителем проблемной ситуации); логический поиск решения задачи (трансформация проблемной ситуации в задачу, попытка применить известные способы действий); интуитивный поиск решения задачи (выполнение действий, имеющих наименее осознаваемый характер);

вербализация результатов решения (осознание способа решения задачи, словесное описание решения); формализация решения (придание решению логически завершенной формы); обобщение полученных результатов.

В этом же параграфе обоснована необходимость использования различных комбинаций задачного материала, в процессе решения которых у учащихся, в той или иной мере, могут быть задействованы компоненты математической деятельности с учетом их взаимосвязи.

Систематизация основных положений компетентностного, личностно– ориентированного, развивающего подходов к обучению учащихся позволила выделить условия реализации интегрированного подхода к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников. Для этого целесообразно развивать у школьников положительную мотивацию к изучению математики; формировать познавательные, регулятивные, коммуникативные и личностные учебные действия учащихся; создавать элементы проблемности в учебном процессе;

обеспечивать преемственность в развитии компонентов математической деятельности учащихся.

В третьем параграфе раскрывается роль логики и интуиции в математическом творчестве субъекта. Рассматриваются различные виды интуитивного познания, которые проявляются в математической деятельности.

Уточняется содержание понятия «математическое творчество» применительно к процессу обучения учащихся старшей общеобразовательной школы.

Подчеркивается субъективность процессуальной стороны и результативности математического творчества учащихся.

В четвертом параграфе проведен анализ научно–методических исследований по проблеме развития интуиции, логического мышления, творческих способностей учащихся. Рассматриваются различные подходы к решению проблемы развития логического мышления учащихся, систематизируются представления о выборе методических средств обучения школьников, способствующих формированию у них навыков творческой деятельности, развитию творческого мышления. Описаны подходы к определению оптимального соотношения логических и интуитивных основ в процессе обучения математике учащихся.

Во второй главе «Методические аспекты развития интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся старшей общеобразовательной школы» представлена модель обучения математике старшеклассников, обеспечивающая реализацию интегрированного подхода к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся; описан ход педагогического эксперимента по проверке эффективности основных положений исследования.

Содержательный и процессуальный компоненты модели обучения математике старшеклассников представляют собой синтез основных положений компетентностного, личностно–ориентированного, развивающего подходов к обучению. При этом методическая особенность процесса обучения математике заключается в том, что идет целенаправленное воздействие на развитие у каждого учащегося и интуитивных, и логических, и творческих компонентов их математической деятельности. Разработанная модель предполагает последовательное привлечение к поисковой деятельности всех учащихся независимо от качества их подготовки к предстоящей деятельности, тем самым, постепенно формируя у них опыт осуществления математической деятельности на одном из четырех уровней: демонстрационно–аналитическом;

демонстрационно–подражательном; преобразовательно–контрольном;

преобразовательном.

Каждый уровень отличается от предыдущего характером проявления действий, соответствующих интуитивным, логическим и творческим компонентам математической деятельности старшеклассников, а именно, степенью самостоятельности учащихся в проявлении действий, полнотой реализации действия, их разнообразием. Все это влияет на процесс развития компонентов математической деятельности учащихся.

В итоге, процесс обучения математике старшеклассников, построенный в соответствии с такой моделью обучения, позволяет оказать положительное влияние на повышение качества математической подготовки учащихся и создать условия для формирования у них учебно–познавательных, информационных, личностных, коммуникативных компетенций.

В первом параграфе второй главы рассмотрены особенности использования методов обучения учащихся в условиях интегрированного подхода к развитию компонентов их математической деятельности.

Определены критерии выбора методов обучения. Последовательность реализации методов обучения старшеклассников должна обеспечивать целостность и непрерывность стадий осуществления математической деятельности учащимися. Следует выбирать методы обучения, условия реализации которых при необходимости могут быть преобразованы в соответствии с качеством подготовки учащихся к предстоящей учебной деятельности. Методы обучения старшеклассников должны способствовать оптимизации учебного процесса, то есть каждый учащийся должен ощущать свою эмоциональную сопричастность к тому, что происходит во время занятия, должен понимать, что полученные результаты не являются окончательными и неисправимыми, при добросовестной работе их можно изменить в лучшую сторону. При необходимости старшеклассникам должно быть предоставлено право выбора уровня сложности выполняемой деятельности.

В качестве методов обучения старшеклассников, которые в полной мере удовлетворяют представленным критериям, выбраны методы: разрешение проблемной ситуации в процессе сотрудничества, последовательное установление связей изучаемого объекта, выделение главных идей в изученном материале.

Во втором параграфе второй главы изложены методические аспекты реализации учебной деятельности старшеклассников при изучении математических понятий. Необходимость вовлечения учащихся в процесс осуществления математической деятельности требует, чтобы при изучении понятий старшеклассники последовательно проходили ряд этапов:

подготовительный; интуитивный; описательный; научный; практический;

обобщающий.

На интуитивном этапе изучения математических понятий учитель предлагает учащимся высказать предположения о свойствах изучаемого понятия до рассмотрения объектов, составляющих его объем. Учащиеся основываются на собственных представлениях о понятии, полученных на предыдущих этапах обучения, и опираются на знания, актуализированные на подготовительном этапе. И только после этого, учитель демонстрирует учащимся объект, иллюстрирующий содержание понятия, для уточнения сформулированных предположений. На описательном этапе учащиеся рассматривают уже группу объектов, представляющих новое понятие в разных конфигурациях. Содержание проделанной работы позволяет учащимся самостоятельно сформулировать определение понятия на научном этапе. На данном этапе должно быть реализовано первичное усвоение учащимися содержания понятия. Все это позволит постепенно перейти к практическому этапу, на котором свойства понятия используются в процессе решения задач различного уровня сложности. На обобщающем этапе определяется роль и место понятия в системе математических знаний, систематизируются представления о свойствах понятия.

Для каждого этапа изучения математического понятия в параграфе представлены методические приемы организации учебной деятельности старшеклассников.

Например, на протяжении интуитивного и описательного этапов изучения понятия в качестве вспомогательного средства удобно использовать таблицу:

Таблица 1. Результаты изучения математических понятий Результаты, полученные в процессе работы на интуитивном этапе изучения понятия, учащиеся заносят в первые два столбца таблицы. Для этого они должны записать как можно больше суждений, которые возникают у них, когда они слышат термин, обозначающий понятие. Заполнение третьего столбца таблицы осуществляется на описательном этапе изучения понятия в процессе более детального рассмотрения объектов, составляющих его объем.

Четвертый столбец заполняется на всем протяжении изучения содержания понятия. Учащиеся, анализируя объекты, последовательно им предъявляемые, выделяют понятия, связанные с изучаемым понятием для того, чтобы определить множество понятий, которые могут быть использованы на этапе формулировки определения в качестве родовых понятий или элементов видовых отличий. В последний столбец таблицы учащиеся записывают существенные свойства понятия, рассматривают возможные их комбинации, что позволит сформулировать определение, которое будет использовано в процессе дальнейшего изучения теоретического материала и при решении задач. Все это позволяет учащимся поэтапно контролировать свою учебную деятельность, достигать поставленных целей, выявлять трудности и определять средства для их устранения, то есть выполнять регулятивные учебные действия.

В третьем параграфе второй главы описаны методические особенности реализации учебной деятельности старшеклассников при изучении теорем в соответствии с последовательностью стадий осуществления математической деятельности учащимися.

Успех реализации интегрированного подхода, направленного на развитие интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников в процессе изучения теорем, зависит от того, какие учебные действия выполняют учащиеся. Учащихся необходимо привлекать к поисковой деятельности по «открытию» теоремы, по определению способа ее доказательства, по преобразованию полученных результатов. В связи с тем, что «открытие» теоремы и поиск способа ее доказательства представляют собой два взаимосвязанных вида поисковой деятельности, можно определенно утверждать, что каждая из стадий осуществления математической деятельности может быть пройдена учащимися дважды.

Все это требует соблюдения определенных этапов при организации учебной деятельности учащихся по изучению теоремы: подготовка; «открытие»

теоремы; изучение содержания теоремы; поиск способа доказательства теоремы (интуитивно–описательный, описательно–объяснительный, избирательный); доказательство; анализ доказательства; обобщение теоремы;

применение теоремы к решению задач.

Подготовительный этап направлен на актуализацию знаний учащихся, необходимых для изучения теоремы, на осознание учащимися проблемной ситуации, созданной учителем, для того чтобы они смогли «открыть»

закономерности, отражающие содержание теоремы. Реализация данных целей влияет на характер учебных действий учащихся, при выполнении которых они в большей степени будут руководствоваться логическими соображениями.

Этапы «открытие теоремы» и «поиск способа доказательства теоремы»

позволяют осуществить взаимодействие компонентов математической деятельности учащихся по схеме «логические интуитивные логические творческие». Опираясь на свой учебный опыт, учащиеся должны проанализировать исходные данные, высказать предположения относительно математических ситуаций, отражающих содержание теоремы, предположения о возможных связях между элементами теоремы. В данном случае взаимодействие интуитивных и логических компонентов математической деятельности осуществляется непрерывно, так как каждое предположение, выдвинутое учащимися, подвергается логической проверке, для того чтобы можно было «открыть» теорему или определить способ ее доказательства.

Активному взаимодействию логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся способствуют особенности этапов «изучение содержания теоремы», «анализ доказательства», «обобщение теоремы». Связано это с тем, что учащиеся, руководствуясь определенными критериями, должны преобразовать полученные данные, найти другой способ для их описания. На данных этапах будут задействованы и регулятивные учебные действия. Доминирование логических компонентов математической деятельности можно четко установить на этапе доказательства теоремы, так как основная задача учащихся четко оформить последовательный переход от элементов условия к элементам заключения теоремы.

В параграфе представлены методические приемы реализации каждого этапа изучения теоремы. Рассмотрим некоторые из них на примере изучения признака перпендикулярности двух плоскостей.

Для реализации этапа «открытия» теоремы может быть использован прием «Соединение элементов теоремы» (под элементами теоремы понимаются понятия, входящие в ее условие и заключение). Учитель предлагает учащимся элементы условия: « = c, a, a » и элементы заключения: « ». В качестве вспомогательного средства демонстрируются модели куба. Учащиеся должны прочитать элементы теоремы, сопоставить их между собой, добавить связки и сформулировать теорему: «Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны».

Формулировка теоремы, которую учащиеся под руководством учителя получают на этапе «открытия» теоремы, в некоторой степени имеет гипотетический характер, так как в реализации своих учебных действий учащиеся в большей степени руководствуются интуицией. С учетом этого, на этапе «изучение содержания теоремы» может быть использован прием «Анализ содержания теоремы по пунктам». Для анализа формулировки теоремы учитель предлагает каждому учащемуся последовательно выполнить действия:

1) выделить форму суждения теоремы (категорическая, условная, разделительная); 2) перечислить элементы теоремы; 3) составить конструкцию формулировки теоремы; 4) представить иллюстрацию теоремы (чертеж к теореме, символическую запись формулировки теоремы, частный случай, демонстрирующий условие теоремы).

Реализации этапа «поиск способа доказательства теоремы» способствует метод «Индивидуально–коллективный поиск», основанный на принципах мозгового штурма, связанного с поиском оптимальных способов решения проблемной ситуации. Первоначально учащиеся индивидуально изучают содержание теоремы, записывают все идеи, которые появляются у них относительно способа доказательства теоремы и через определенное время их демонстрируют. Идеи не обсуждаются, а только фиксируются, для того чтобы можно было объединить в группы учащихся, высказавших одинаковые идеи.

Объединившись в группы, учащиеся пытаются реализовать свою идею и с ее помощью доказать теорему. После этого начинается коллективное обсуждение полученных учащимися результатов.

В четвертом параграфе второй главы описана методика использования задачного материала в условиях интегрированного подхода к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников.

Наряду с задачами, решение которых формирует у школьников опыт осуществления известных способов действий, следует использовать комплекс задач, позволяющий реализовать интегрированный подход к развитию компонентов математической деятельности учащихся. Комплекс включает три типа задач: 1) задачи, решение которых предполагает выполнение учащимися действий, соответствующих только конкретным компонентам их математической деятельности; 2) задачи, содержащие требования, которые направляют учащихся на последовательное выполнение действий, соответствующих и интуитивным, и логическим, и творческим компонентам их математической деятельности; 3) задачи, которые содержат одно требование, но сам процесс решения предполагает выполнение учащимися действий, соответствующих трем компонентам математической деятельности.

Первый тип составляют задачи, условно названные «Три блока». Задачи разделены на три блока – «интуитивный», «логический», «творческий». Блоки задач связаны одной общей темой, но содержание задач каждого блока независимо от содержания задач другого. Независимость содержания блоков определяется тем, что условия задач, входящих в каждый блок, не связаны между собой и, решая задачи каждого блока, учащиеся выполняют действия, соответствующие конкретным компонентам их математической деятельности.

Один блок задач для своего решения в наибольшей степени требует проявления интуитивных компонентов математической деятельности учащихся, другой – логических, третий – творческих.

Например, при изучении признака перпендикулярности двух плоскостей учащимся могут быть предложены задачи:

1. Изучите утверждения: «а) в прямоугольном параллелепипеде А…D ребро АD перпендикулярно ребру DС; б) плоскости и перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Прямая а принадлежит плоскости и перпендикулярна прямой с». Выскажите предположения о возможных связях между данными утверждениями. Можно ли обобщить полученные результаты?

2. Докажите, что через любую точку пространства, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, перпендикулярная ей. Верно ли утверждение о том, что такая плоскость единственна?

3. Постройте пирамиду SABCD, в которой ребро SA перпендикулярно основанию. Составьте утверждения, связанные с понятием «перпендикулярные плоскости». Оцените их истинность.

При решении первой задачи учащиеся будут руководствоваться интуицией, так как ситуация достаточно неопределенная. В случае затруднений можно обратить внимание учащихся на необходимость использования признака и свойств перпендикулярных плоскостей. В результате учащиеся могут прийти к выводу, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. Вторая задача направлена на активизацию логических компонентов. Третья задача позволяет учащимся проявить творческие компоненты. В качестве утверждений учащиеся могут, например, предложить:

«Плоскость SAB перпендикулярна плоскости основания пирамиды», «SA перпендикулярна прямой ВС» и т.д.

Второй тип составляют задачи с комбинированными требованиями. Эти задачи содержат ряд взаимосвязанных требований, при реализации которых в наибольшей степени проявляются определенные компоненты математической деятельности учащихся. Но в целом, в процессе решения задействованы и интуитивные, и логические, и творческие компоненты математической деятельности учащихся. Взаимосвязь требований заключается в том, что они во–первых, относятся к одному условию, во–вторых, результаты выполнения одного требования могут помочь учащимся в выполнении последующих действий. Необходимо подчеркнуть, что каждое последующее требование предлагается учащимся после выполнения предыдущего.

Например, «Существует ли зависимость между аргументами тригонометрических выражений, стоящих в левой и правой частях равенства cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x (2)? Какие изменения произойдут в правой части равенства (1), если cos x sin x, cos 2 x sin 2 x, cos 4 x sin 4 x ? Проверьте свои предположения. Обобщите полученные результаты».

В данном случае происходит постепенный переход от интуитивных компонентов математической деятельности учащихся к логическим и творческим. Высказывая предположения о зависимости аргументов, учащиеся могут предложить вариант 1 2 4 = 8 и предположить, что правая часть равенства (2) имеет вид. Проверив все свои выводы, учащиеся могут увидеть закономерность и сформулировать правило составления подобных тождеств. В качестве дополнения можно предложить учащимся, на основе полученных результатов, составить тригонометрические уравнения.

Третьему типу в наибольшей степени удовлетворяют задачи с пропусками:

задачи с недостаточными данными; задачи без требования (или без условия);

задачи с пропусками в решении; комбинированные задачи с пропусками (задачи с пропусками в условии и в решении; задачи без требования и с пропусками в решении; задачи с пропусками в условии, в решении и без вопроса). В параграфе подробно описаны методические аспекты использования задач каждого типа, рассмотрены примеры.

В связи с тем, что определенное внимание уделяется развитию у учащихся интуитивных компонентов математической деятельности (учащиеся высказывают предположения относительно различных математических ситуаций, делают выводы, руководствуясь интуитивными соображениями), необходимо у них формировать внимательное отношение к проверке полученных результатов. Для этого систематически в задачи «Три блока» и задачи с комбинированными требованиями следует включать требования, направляющие учащихся на анализ возможных ошибок в решении и на составление решений, которые содержат преднамеренно допущенные ошибки.

Например, «Решите уравнение: 2 sin 2 x 3 cos x = 0. Какие ошибки можно допустить в решении уравнения? Приведите варианты решений с ошибками.

Предложите другим учащимся оценить качество составленных вами решений».

Особо следует обратить внимание на то, что при решении задач с пропусками учащимся, в большинстве случаев, необходимо сопоставить между собой элементы условия и требования задачи таким образом, чтобы в результате получить полностью определенную задачу, то есть задачу, в которой четко описано условие и требование. Для этого необходимо привлекать учащихся к составлению математических задач в соответствии с конкретными рекомендациями учителя.

В пятом параграфе второй главы описан ход педагогического эксперимента, направленного на оценку эффективности интегрированного подхода к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников.

Экспериментальная проверка осуществлялась в течение 2003–2010 гг. на базе Муниципальных общеобразовательных учреждений (МОУ) «Лицей»

г. Дедовска и Лицей № 6 г. Химки (Московская область).

В 2003–2004 гг. осуществлялся констатирующий этап эксперимента, который был направлен на обоснование необходимости выявления средств для развития интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников. Для этого использовались различные методы исследования: анализ психолого–педагогической, методической литературы, проводились беседы с учителями, учащимися, применялись контрольные срезы.

В результате был сделан вывод о том, что уровень математической подготовки учащихся не соответствует уровню, которого они должны достичь в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего (полного) общего образования по математике.

Выводы констатирующего этапа эксперимента послужили основой для организации и проведения поискового этапа эксперимента (2004–2007 гг.), основной целью которого являлось выявление условий и методических средств реализации интегрированного подхода к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся, которые наиболее эффективно можно использовать в процессе обучения в старшей общеобразовательной школе.

В качестве методов исследования для поискового этапа эксперимента были выбраны: анализ и синтез, абстрагирование и конкретизация, сравнение, наблюдение, проведение контрольных срезов, беседы с учителями и учащимися, изучение результатов учебной деятельности учащихся.

В результате была спроектирована модель обучения математике старшеклассников, основанная на положениях компетентностного, личностно– ориентированного, развивающего подходов к обучению. Построение процесса обучения математике на основе такой модели способно обеспечить целенаправленное, интегрированное развитие компонентов математической деятельности учащихся. Также были определены уровни математической подготовки старшеклассников, для оценки которых учитывалось, насколько хорошо учащиеся знают и применяют математические факты, владеют компонентами математической деятельности, умеют саморегулировать свою учебную деятельность.

Основной задачей обучающего и контролирующего этапов эксперимента (2008–2010 гг.) являлась экспериментальная проверка гипотезы исследования.

Для этого, на основе модели обучения математике, обеспечивающей реализацию интегрированного подхода к развитию компонентов математической деятельности старшеклассников, было организовано экспериментальное обучение учащихся 10–11 классов МОУ «Лицей»

г. Дедовска и МОУ «Лицей № 6» г. Химки (147 человек).

Были отобраны экспериментальные (ЭК) и контрольные (КК) классы, 57 и 90 человек соответственно, выдвинуты гипотезы: Н0 - уровень развития компонентов математической деятельности учащихся экспериментальных и контрольных классов одинаков; Н1 - уровень развития компонентов математической деятельности учащихся различен.

Для проверки гипотез использовались контрольные работы, содержащие задачи, при решении которых учащиеся могли в совокупности проявить и интуитивные, и логические, и творческие компоненты математической деятельности.

Таблица 2. Результаты выполнения учащимися контрольных работ Анализ полученных данных с помощью двустороннего варианта критерия (уровень значимости =0,05; Т=5,99) позволяет утверждать, что учащиеся экспериментальных и контрольных классов до начала обучающего этапа эксперимента владели компонентами математической деятельности на одинаковом уровне, а после обучающего этапа эксперимента учащиеся экспериментальных классов эффективнее использовали компоненты математической деятельности в сравнении с учащимися контрольных классов.

Помимо этого для выявления изменений в качестве математической подготовки учащихся оценивалась динамика успеваемости учащихся по математике. Использовались психологическая методика «Числовые ряды», технология Т.С.Маликова для оценки соотношения логических и интуитивных компонентов, методика И.М.Смирновой для измерения познавательного интереса учащихся к изучению математики. Анализировались результаты, полученные учащимися после сдачи единого государственного экзамена по математике.

Сопоставление между собой всех факторов позволило составить общую таблицу, демонстрирующую качество математической подготовки учащихся экспериментальных и контрольных классов в начале и в конце обучающего этапа эксперимента (в таблице представлены количество и процент учащихся, качество математической подготовки которых соответствует тому или иному уровню).

Таблица 3. Качество математической подготовки учащихся Статистическая обработка полученных результатов с помощью критерия согласия Стьюдента показала значимость различий в качестве математической подготовки учащихся экспериментальных и контрольных классов. Обусловлено это построением процесса обучения математике учащихся старшей общеобразовательной школы на основе модели обучения, обеспечивающей реализацию интегрированного подхода к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов их математической деятельности. Полученные данные подтверждают гипотезу нашего исследования и доказывают эффективность интегрированного подхода к развитию компонентов математической деятельности учащихся.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Установлено, что в процессе обучения математике каждый учащийся способен выполнять действия, входящие в состав математической деятельности, то есть осуществлять математическую деятельность, в зависимости от качества своей подготовки, на одном из четырех уровней: демонстрационно– аналитическом; демонстрационно–подражательном; преобразовательно– контрольном; преобразовательном.

2. Спроектирована модель обучения математике старшеклассников, обеспечивающая реализацию интегрированного подхода к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся, и способствующая привлечению к поисковой деятельности учащихся с разным уровнем математической подготовки.

3. Определены методические средства организации учебной деятельности старшеклассников, позволяющие учащимся при изучении математических понятий и теорем, последовательно пройти стадии осуществления математической деятельности (подготовительная; логический поиск решения задачи; интуитивный поиск решения задачи; вербализация результатов решения; формализация решения; обобщение полученных результатов).

4. Разработан комплекс задач, позволяющих реализовать интегрированный подход к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников, и определена методика использования этого комплекса в обучении учащихся.

5. Экспериментально проверена эффективность процесса обучения математике, основанного на спроектированной модели обучения старшеклассников. Доказано, что интегрированный подход к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности учащихся способствует повышению качества их математической подготовки и создает условия для формирования у учащихся учебно– познавательных, информационных, личностных и коммуникативных компетенций.

Таким образом, в результате проведенного исследования решены все поставленные задачи и доказана выдвинутая гипотеза исследования.

В приложениях представлены практический материал для проведения педагогического эксперимента, статистическая обработка результатов педагогического эксперимента, методические рекомендации по организации интегрированного подхода к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кротова, В.Н. Как сделать стандартную задачу привлекательной для ученика? [Текст] / В.Н. Кротова // Математика в школе. - 2010. - № 10. С.18–22.- 0,25 п.л.

2. Кротова, В.Н. Курс по выбору «Интегрированный подход к развитию компонентов математической деятельности учащихся» [Текст] / В.Н. Кротова // Вестник Московского государственного областного университета. Серия «Педагогика». - 2010. - № 3. - С.138–141.- 0,25 п.л.

3. Кротова, В.Н. Интегрированный подход к развитию интуитивных, логических и творческих компонентов математической деятельности старшеклассников [Текст] / В.Н. Кротова // Вестник Московского государственного областного университета. Серия «Педагогика». – 2009.С.50-53.- 0,4 п.л.

4. Кротова, В.Н. Развитие интуитивных, логических и творческих компонентов мышления учащихся старших классов в процессе изучения математики [Текст] / В.Н. Кротова // Вестник Московского государственного областного университета. Серия «Педагогика». – 2007.С.39–44.- 0,4 п.л.

5. Кротова, В.Н. Развитие компонентов математической деятельности учащихся – одна из актуальных задач процесса обучения математике [Текст] / В.Н. Кротова // Теоретические и методологические проблемы современного образования. – М.: Институт стратегических исследований, 2010. – С.166–168.п.л.

6. Кротова, В.Н. Положительная мотивация – основа для развития компонентов математической деятельности учащихся старшей школы [Текст] / В.Н. Кротова // Объединенный научный журнал.-2010.- № 6. – С. 17–20.-0, п.л.

7. Кротова, В.Н. Критерии выбора методов и форм обучения [Текст] / В.Н. Кротова // Сборник научных материалов «Открытое образование: области применения, проблемы и перспективы развития», 2006. – С.101–103.- 0,1 п.л.

8. Кротова, В.Н. Развитие логического мышления учащихся в процессе доказательства теорем [Текст] / В.Н. Кротова, М.М. Рассудовская, Н.М. Антипина // материалы ежегодной научно – теорет. конференции преподавателей, аспирантов и студентов физико – математич. факультета, 2005.

– С.16–22.- 0,4 п.л./ 0,2п.л. (Авторский вклад 50 %).