[ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
имени В.А. Стеклова
Отдел дифференциальных уравнений
На правах рукописи
Арутюнов Андроник Арамович
РЕДУКЦИЯ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ НА НЕКОМПАКТНОМ МНОГООБРАЗИИ
К ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРАМ НА
КОМПАКТНОМ МНОГООБРАЗИИ УДВОЕННОЙ
РАЗМЕРНОСТИ
01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управлениеАВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва -
Работа выполнена в Математическом институте Российской академии наук имени В.А. Стеклова Научные руководители:
доктор физико-математических наук, профессор Мищенко Александр Сергеевич доктор физико-математических наук, академик РАН профессор Аносов Дмитрий Викторович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Стернин Борис Юрьевич доктор физико-математических наук, профессор Нецветаев Никита Юрьевич
Ведущая организация:
Воронежский государственный университет.
Защита состоится " 21 " ноября 2013 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте РАН по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д.8.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН.
Автореферат разослан " " 2013 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.02, доктор физико-математических наук Ю.Н. Дрожжинов
Общая характеристика работы
Задача вычисления индекса эллиптических псевдодифференциальных операторов была поставлена И.М. Гельфандом в 1960 году. В 1962 году была опубликована известная теорема Атьи-Зингера (cм. [15]), позволяющая вычислять индекс эллиптического псевдодифференциального оператора на компактном многообразии через гомотопические инварианты. В тоже время вычисление индекса эллиптического оператора на некомпактном многообразии до сих пор является открытой задачей даже в случае, когда в роли многообразия выступает пространство Rn.
Еще одним направлением развития проблемы изучения индекса эллиптических операторов, является изучение нелокальных псевдодифференциальных операторов. Как и в случае обычных псевдодифференциальных операторов, есть большое количество весьма общих работ в которых вычисляется индекс для нелокальных псевдодифференциальных операторов на компактных многообразиях. Так в работе М.С. Аграновича ([12], 1990) получена формула для вычисления индекса нелокальных псевдодифференциальных операторов с конечной группой сдвигов. Для случая более сложных групп отметим монографию В.Е. Назайкинского, А.Ю. Савина, Б.Ю. Стернина ([7], 2008) в которой получены результаты для случая групп, сохраняющий некоторую метрику на компактном многообразии.
Имеются работы, в которых описаны достаточно узкие классы операторов, действующих в пространстве Шварца S(Rn ). Отметим, в частности, работы В.В Грушина [8] и В.С. Рабиновича [10], в которых рассматрены частные случаи ПДО, действующих в S(Rn ). В работе [8] строится формула для индекса, рассматриваемых в работе псевдодифференциальных операторов действующих в Rn. Однако, при этом на изучаемые в работе символы накладываются обременительные ограничения. В работе [10] обсуждается вопрос фредгольмовости, однако формула для индекса не получена.
Класс биградуированных псевдодифференциальных операторов рассматривался в монографии F. Nicola, L. Rodino ([16], 2010). В монографии изучены различные классы символов псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца. Изучается вопрос фредгольмовости операторов, однако явной формулы для индекса также не получено.
Для построения отождествления псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии и псевдодифференциальных операторов на компактном многообразии, строится редукция, впервые предложенная для изучения псевдодифференциальных операторов С.П.
Новиковым. Ранее данное отображание использовалось также в работе И.М. Гельфанда ([14], 1950) при доказательстве теоремы о разложении в интеграл фурье по собственным функциям. Указанная редукция используется также в задачах усреднения (во всем пространстве), см. например работу В.В. Жикова ([13], 2005).
Цель работы. Цель настоящей работы состоит в построении редукции псевдодифференциальных операторов с биградуированными символами, действующих над пространством Rn, к псевдодифференциальным операторам, действующим в пространстве гладких сечений некоторого расслоения тора удвоенной размерности T2n, а также при получении формулы для индекса широкого класса классических и нелокальных псевдодифференциальных операторов.
Методы работы. В работе применяются методы функционального анализа (преобразование Фурье), алгебраической топологии (формула Атьи-Зингера, векторные расслоения) и теории псевдодифференциальных операторов (общие свойства классических и нелокальных ПДО).
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:
• Построена редукция между пространством Шварца S(Rn ) и пространством гладких сечений расслоения тора T2n удвоенной размерности.
• Построена редукция биградуированных псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца, к псевдодифференциальным операторам в пространстве гладких сечений расслоения тора.
• Получена формула для индекса биградуированных псевдодиффернциальных операторов в пространстве Шварца.
• Построена редукция нелокальных псевдодифференциальных операторов с целочисленными сдвигами в пространстве Шварца, к псевдодифференциальным операторам без сдвигов в пространстве гладких сечений расслоения тора. Получена формула для вычисления индекса таких операторов.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к теории псевдодифференциальных операторов и могут применяться для изучения псевдодифференциальных операторов (локальных и нелокальных) на некомпактных многообразиях, а также для переноса топологических инвариантов со случая компактных многообразий на некомпактные.
Аппробация работы • На семинаре "Некоммутативная геометрия и топология"механикоматематического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством проф. А.С. Мищенко. (2012 год).
• На топологическом семинаре имени В. А. Рохлина петербужского отделения математического института РАН имени В. А. Стеклова.
под руководством проф. Нецветаева (2013 год).
• На семинаре отдела дифференциальных уравнений математического института РАН имени В. А. Стеклова. под руководством академика Д.В. Аносова (2013 год).
• На семинаре кафедры дифференциальных уравнений механикоматематического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством проф. Е.В. Радкевича. (2013 год).
• На семинаре кафедры общих проблем механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством проф.
В. М. Тихомирова (2012 год).
• На международной молодежной конференции Ломоносов- (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2013 год).
Структура работы. Работа создает из введения, четырех глав, разбитых на параграфы и списка литературы, включающего в себя 20 наименований. Общий объем диссертации – 58 страниц.
Публикации. По теме диссертации опубликовано три печатные работы.
Краткое содержание работы Во введении дается литературный обзор, обосновывается актуальность работы, описывается структура и дается краткое содержание диссертации. Приводятся основные результаты, выносимые на защиту.
В первой главе формулируются основные определения (параграф 1.1) и формулируются основные теоремы для псевдодифференциальных операторов без сдвигов (параграф 1.2).
Определенный в диссертации класс символов псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца, являющийся для нас основным, определяется аналогично классу так называемых SG-операторов (см. работы ([16], 2010), ([18], 2003)). Класс рассматриваемых символов состоит из бесконечно-дифференцируемых функций (x, ), удовлетворяющих при некоторых вещественных параметрах (m1, m2 ) и при всех мультииндексах, неравенству Класс таких cимволов мы будем обозначать через S m1,m2 (Rn Rn ), а пару (m1, m2 ) будем называть обобщенным порядком роста символа. Псевдодифференциальные операторы, действующие в пространстве Шварца S(Rn ) с символами из класса S m1,m2 (Rn Rn ), мы будем называть биградуированным операторами обобщенного порядка (m1, m2 ).
Операторы с такими символами отождествляются с псевдодифференциальными операторами, действующими в пространстве гладких сечений некоторого расслоения тора T2n удвоенной размерности. Это пространство M (R2n ) можно также понимать, как функциональное пространство состоящее из бесконечно-дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию косопериодичности. А именно, бесконечнодифференцируемая функция h(t, v) C (Rn Rn ) лежит в пространстве M (R2n ), если для нее выполняются следующие условия для всякого целочисленного вектора e Zn.
Редукцию осуществляет преобразование, определяемое следующим образом Преобразование устанавливает изоморфизм между пространствами S(Rn ) и M (R2n ).
Теорема 1. Ряд (1) сходится абсолютно. Пространство Шварца S(Rn ) изоморфно пространству M (R2n ) относительно отображения. Обратное преобразование 1 задается по формуле Теорема 1 была ранее приведена в одномерном случае в монографии В. Е. Назайкинского, А.Ю. Савина, Б.Ю. Стернина ([7], 2008).
Теорема 1 позволяет отождествить классы псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца с псевдодифференциальными операторами, действующими в пространстве M (R2n ) в следующем смысле.
Пусть оператор A : S(Rn ) S(Rn ) явлется ПДО с символом (x, ) обобщенного порядка (m1, m2 ). Рассмотрим оператор A = A1, действующий в прострнастве M (R2n ).
Теорема 2. Оператор A является псевдодифференциальным оператором в пространстве M (R2n ) с символом ( 2 + v, 2 ). Для любых 2nмерных мультииндексов = (1, 2 ) и = (1, 2 ), найдется такая неотрицательная констаната C,, что имеет место неравенство Кроме того, оператор A задается по формуле Формулу (4) следует понимать в следующем смысле. Если взять функцию h(t, v) M (R2n ) и применить к ней, как к обобщенной функции, оператор A, определенный в формуле (4) и действующий, вообще говоря, в пространстве обобщенных функций D (R2n ), то, как доказано в теореме 2, получится функция, лежащая в пространстве M (R2n ).
Поскольку пространство M (R2n ) отождествлено с пространством гладких сечений расслоения тора, то к оператору A в случае, если он является эллиптическим псевдодифференциальным оператором, можно применять формулу Атьи-Зингера. Напомним, что символ оператора называется эллиптическим если он обратим. Псевдодифференциальный оператор называется эллиптическим, если его символ эллиптический ([15], 1968, cтр. 130).
Теорема 3. Пусть A и A – операторы из условия теоремы 2 обобщенного порядка (m1, m2 ). Если оператор A является эллиптическим, то для любых вещественных параметров s1, s2 операторы A и A продолжаются до фредгольмовых операторов Имеет место следующая формула для индекса В формуле (6) через ch[] мы обозначаем характер Черна (см. [6] стр. 81) расслоения, задаваемого символом [], приведенным к базе T2n при помощи изоморфизма Тома ([7], 2008, cтр. 141).
Во второй главе приводятся доказательства теорем, сформулированных в первой части. В пункте 2.1, доказываются теоремы об изоморфности пространств S(Rn ) и M (R2n ) и об эквивалентности норм в этих пространствах. В пункте 2.2. редукция расширяется на пространства обобщенных функций. В пункте 2.3. доказывается теорема о редукции псевдодифференциальных операторов (без сдвигов) в пространстве Шварца к псевдодифференциальным операторам в пространстве M (R2n ). В пункте 2.4. вычисляется индекс псевдодифференциальных операторов и доказывается теорема 3.
Множество псевдодифференциальных операторов действующих в пространстве M (R2n ) с символами вида 2 + v, 2, не исчерпывает всех псевдодифференциальных операторов, действующих в нем. В третьей главе приводятся и доказываются теоремы для нелокальных псевдодифференциальных операторов.
В пункте 3.1 формулируются основные определения и теоремы определяющие более общий, чем рассмотренный выше, класс псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве M (R2n ). Будем говорить, что бесконечно-дифференцируемая функция (a, b, c, d) C (R4n ) лежит в классе функций SM1,m2, если она пердиодична по перm вым двум переменным и, кроме того, для всяких n-мерных мультииндексов, найдется такая неотрицательная константа C,, что имеет место неравенство c d (a, b, c, d) C, (1 + |c|)m1 || (1 + |d|)m2 ||, a, b, c, d.
Пару (m1, m2 ) мы будем называть обобщенным порядком символа.
Если рассмотривать в качестве символа оператора A такие биградуированные функции, то после подстановки ее в формулу (4), определяемый ей оператор A будет псевдодифференциальным.
Если функция обладает обобщенным порядком (m1, m2 ), то в силу периодичности по первым двум группам переменных она разложима в абсолютно сходящийся ряд Фурье Такое естественное расширение класса рассматриваемых ПДО в пространстве M (R2n ) за счет умножения символов на периодические коэффициенты, позволяет расширить действующие в пространстве Шварца псевдодифференциальные операторы до класса нелокальных ПДО с целочисленными сдвигами, определенные в пункте 3.2. следующим образом.
Класс нелокальных псевдодифференциальных операторов определяется следующим образом (см. например [12], 1973). Обозначим через Tg паралельный перенос на вектор g Zn. То есть Пусть для всех l, k Zn Alk - псевдодифференциальные операторы обобщенного порядка (m1, m2 ). Рассмотрим действующий в пространстве Шварца S(Rn ) оператор A : S(Rn ) S(Rn ). Если оператор A представим в виде абсолютно сходящегося ряда то будем говорить, что оператор A является нелокальным псевдодифференциальным оператором обобщенного порядка (m1, m2 ).
В работах ([7], 2008), ([12], 1973) рассматривается более узкий класс операторов у которых отличны от нуля только слагаемые Al,0, то есть предполагается, что ряд (11) не содержит умножения на периодические функции.
В пунтке 3.3. строится редукция нелокальных ПДО, действующих в пространстве Шварца S(R2n ) к псевдодифференциальным операторам, действующим в пространстве M (R2n ).
Пусть оператор A псевдодифференциальный оператор обобщенного порядка (m1, m2 ), действующий в пространстве M (R2n ). Рассмотрим оператор A = 1 A, замыкающий коммутативную диаграмму Иимеет место следующая редукция ПДО A к нелокальным операторам, действующим в пространстве Шварца.
Теорема 4. Оператор A является нелокальным ПДО обобщенного порядка (m1, m2 ) и задается по формуле где операторы Al,k псевдодифференциальные операторы с символами l,k (x, ).
Данная редукция позволяет расширить область применения теоремы 3 на нелокальные операторы с целочисленными сдвигами, действующие в пространстве Шварца и вычислить индекс таких операторов.
Теорема 5. Пусть A и A - операторы из теоремы 4. Тогда, если оператор A – эллиптический, то операторы A и A фредгольмовы в соответствующих нормах, то есть для любых вещественных параметров s1, s2 R фредгольмовы операторы Имеет место формула для индекса Четвертая глава содержит некоторые примеры применения результатов диссертации. В пункте 4.1. проводится сравнение с грушинскими операторам, изученными ранее В.В. Грушиным в работе 1970 года [8].
Эта работа важна тем, что она является наиболее полной из известных автору работ, в которой вычисляется индекс псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца S(Rn ). В пункте 4.2.
описан широкий класс псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца, но не поддающихся изучению методами цитированной работы [8]. В пункте 4.3. разбирается частный случай этого класса ПДО, в который, в частности, входят и дифференциальные операторы с полиномиальными коэффициентами.
Автор выражает свою глубокую признательность научным руководителям академику РАН профессору Дмитрию Викторовичу Аносову и профессору Александру Сергеевичу Мищенко за внимание к работе и всестороннюю поддержку.
Список литературы [1] Арутюнов А.А., Мищенко А.С. Редукция ПДО исчесления на некомпактном многообразии к компактному многообразию удвоенной размерности ДАН. 2013. Т.451, н.4, стр. 369- [2] Арутюнов А.А., Мищенко А.С. Редукция исчисления псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии к псевдодифференциальным операторам на компактном многообразии удвоенной размерности, Математические заметки, том 94, номер 4, стр. 488- Публикации, цитированные в работе [3] Гельфанд И.М. Об эллиптических уравнениях. Успехи матем.
наук 15 но.3, 1960, 121-132.
[4] Рудин У. Функциональный анализ. Мир, [5] Шубин, М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, Добросвет 2003.
[6] Мищенко, А.С. Векторные расслоения и их применения, Наука, [7] V. E. Nazaikinskii, A. Yu. Savin, B. Yu. Sternin, Elliptic Theory and Noncommutative Geometry. Nonlocal Elliptic Operators, Birkhauser Verlag AG, 2008.
[8] Грушин В.В. Псевдодифференциальные операторы и Rn с ограниченными символами, Функциональный анализ и его прил., :3(1970), 37–50.
[9] Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях, Итоги науки и техники. Совр. проблемы матем.
Фунд. напр. Т. 63. М.: ВИНИТИ, 1990, стр. 5- 129.
[10] Рабинович В.С. Априорные оценки и фредгольмовость одного класса псевдодифференциальных операторов Математический сборник, Т. 92 (134), Но.2 (10) 1973 стр. 195 - 208.
[11] Маслов В.П. Операторный метод Издательство наука, г.
Москва, 1973.
[12] А.Б. Антоневич Эллиптические псевдодифференциальные операторы с конечной группой сдвигов Известия академии наук СССР, серия математическая 37(1973), 663-675.
[13] В. В. Жиков О спектральном методе в теории усреднения Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Тр. МИАН, 250, Наука, М., 2005, 95Џ [14] И. М. Гельфанд Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами // ДАН СССР. 1950.
Т. 73, є 6. С. 1117Џ1120.
[15] Atiyah M. F., Singer I. M. The index of elleptic operators on compact manifolds. Bull. Amer. Math. Soc. 69 1963, 422-433.
[16] Fabio Nicola, Luigi Rodino Global Pseudo-Dierential Calculus on Euclidian Spaces Pseudo-Dierential Operators Theory and Applications, Vol. 4 Springer Basel AG, 2010.
[17] V. Rabinbovich, S.Roch, B.Silbermann Limit operators and their applications in operator theory, in ser. Operator Theory Advances and Applications, vol.150, Birkhauser, 2004.
[18] Fabio Nicola K-theory of SG-pseudo-dierential algebras
«