МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(государственный университет)

на правах рукописи

БЕРШАДСКИЙ Андрей Вячеславович

ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА СЦЕНАРНЫХ МЕТОДОВ

УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ

Специальность 05.13.18 – “Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ”

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2002

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Московского физико-технического института (Государственного университета)

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., проф. Столяров Лев Николаевич

Официальные оппоненты:

д.т.н., проф. Новиков Дмитрий Александрович к.ф.-м.н. Занин Виталий Витальевич

Ведущая организация:

Вычислительный центр (ВЦ) РАН

Защита состоится “” декабря 2002г. в _ час. в аудитории 903 КПМ на заседании диссертационного совета К 212.156.02 в Московском физикотехническом институте по адресу:

г.Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физикотехнического института.

Автореферат разослан “” ноября 2002 г.

Ученый секретарь к.ф.-м.н. Федько О.С.

диссертационного совета К 212.156.

Общая характеристика работы

Актуальность темы Диссертационная работа посвящена разработке новых формальноматематических методов оценки и управления финансовыми, операционными, экологическими и иными видами рисков в экономических и социальных системах.

Предложенная в работе методология сценарного моделирования может быть также использована и в решении задачи проведения экспертиз сложных экономических и научно-исследовательских проектов.

Проблема принятия эффективных управленческих решений в условиях возможности наступления неблагоприятного события, приводящего к потерям (финансовый риск), занимает одно из центральных мест в современной теории и практике финансов. Создание математических методов управления финансовым риском (с конца 50-х до начала 90-х гг. прошлого столетия) заложило теоретическую основу для бурного роста индустрии инструментов защиты от финансовых потерь на всех видах биржевых рынков – товаров, валют, акций, облигаций. Эти инструменты, являющиеся производными по отношению к названным традиционным объектам свободной торговли - базовым активам, суть специфические ценные бумаги, предоставляющие своему владельцу-инвестору права на совершение сделок куплипродажи базовых активов по фиксированным или рассчитываемым по специальным алгоритмам ценам в фиксированные моменты или интервалы времени. В математической теории риска среди таких инструментов особое место занимают опционы. В последнее время опционы стали активно применяться не только в биржевой торговле, но и в проектах по добыче природных ресурсов, в оценке предприятий индустрии “высоких технологий”.

Расчет справедливой стоимости производных инструментов с учетом оценки риска покупателя и продавца составляет основной предмет современной финансовой математики.

Настоящая работа представляет собой развитие трех фундаментальных экономических идей, определивших все развитие теории риска в XXначале XXI в. (все идеи были отмечены Нобелевскими премиями):

• Идея оптимального портфеля финансовых инструментов, выдвинутая Г.Марковицем. Марковиц ввел понятие финансового риска через дисперсию колебаний рыночной стоимости портфеля ценных бумаг, которыми владеет инвестор и предложил задачу оптимизации структуры портфеля по двум критериям - математическому ожиданию дохода портфеля и дисперсии стоимости портфеля. Марковиц рассматривал однопериодную стратегию управления портфелем в предположении гауссовского распределения приращений рыночных цен.

• Идея динамического хеджирования опционов, принадлежащая Ф.Блэку, Р.Шоулсу и М.Мертону. В основе хеджа лежит представление о возможности точного воспроизведения продавцом опциона потока выплат покупателю согласно договору опционного контракта при помощи динамического управления портфелем, составленным из базового актива и безрискового банковского кредита или депозита. Стратегия хеджа обеспечивает все предусмотренные договором опционного контракта выплаты с вероятностью 1 в каждый момент времени до истечения срока действия опциона. Блэк и Шоулс, и, независимо от них – Мертон, рассчитали стоимость премии за риск, выплачиваемой покупателем опциона его продавцу, исходя из предположения о виде случайного процесса движения рыночной цены как геометрического броуновского движения (модель Блэка-Шоулса) и как пуассоновского потока (модель Мертона).

• Идея эвристической вероятности и несовершенных рыночных механизмов Д.Канемана, А.Тверски и В.Смита. Эти авторы экспериментально показали, что 1) люди принимают решения на рынках, руководствуясь не рациональным анализом, а эвристиками, что приводит к появлению зависимости рыночного равновесия от механизма проведения торгов на рынке, 2) эти эвристики - в частности, субъективные оценки неопределенности, - противоречат фундаментальным положениям классического исчисления вероятностей. Например, вероятность конъюнкции двух событий субъективно оценивается выше, чем вероятность каждого события в отдельности, что находится в противоречии с правилом умножения вероятностей.

Анализ статистики финансовых рынков (в т.ч. проведенный в настоящей работе на примере российского фондового рынка) показывает, что процесс движения рыночных цен не соответствует предположениям БлэкаШоулса-Мертона; установлено, что на рынки влияют внешние политические, макроэкономические и др. события. События приводят к таким явлениям, как кризисы и бумы (достижение ценами экстремальных значений), смена трендов, скачки межрыночных корреляций. Распределение динамики цен далеко от нормального.

В связи с этим особую важность приобретают экспертные оценки.

Рыночные аналитики в своих исследованиях неявно формулируют логические сценарные модели, описывающие движение рынка под действием цепочек событий. Модели такого типа показывают лучшие прогностические результаты по сравнению со стохастическими моделями, однако отсутствие разработанных методик формализации таких моделей препятствует их широкому внедрению в практику торговли и управления рисками.

В задачах управления рыночным риском всё чаще встречаются платёжные обязательства с функцией выплат, отличной от опционов европейского типа, рассмотренных Блэком и Шоулсом; опционы на коммерческие кредиты, купонные облигации, опционы, встроенные в инвестиционные проекты, часто имеют очень сложную функцию выплат. Такие опционы получили название экзотических (exotic options). Единой методологии расчета таких опционов не предложено.

Модель хеджа по Блэку-Шоулсу-Мертону предполагает существование на рынке безрисковых возможностей заимствования или кредитования (т.н. безрискового актива). Однако, на практике редко удается найти подходящий безрисковый актив. Г.А.Агасандян предложил расширение модели Блэка-Шоулса для ценообразования опциона европейского типа в отсутствие безрискового актива в предположении, что процессы движения цен рискового и “безрискового” активов подчиняются стохастическим уравнениям Ито и эквивалентны в смысле коэффициентов сноса и диффузии. Исследование статистики рынков показывает, что реальные рынки этому предположению не удовлетворяют.

Таким образом, является актуальной разработка новых методов управления финансовым риском:

• Опирающихся на логико-вероятностные событийные модели динамики • Предполагающих построение многошаговых стратегий хеджа по критериям “эффективность - риск”, • Учитывающих отсутствие на рынке безрисковых активов, • Предоставляющих механизмы принятия решений по управлению риском через междисциплинарные экспертизы в коллективах экспертов.

Цель работы Цель настоящей диссертации состоит в разработке новых методов сценарного логико-вероятностного моделирования и оценки риска в финансовых и организационных системах. Для реализации поставленной цели необходимо решение следующих задач:

1. Формализация среды для решения задач управления финансовыми рисками, в т.ч. создание аппарата сценарных событийных моделей риска 2. Постановка и решение задачи динамического хеджирования платежных обязательств произвольного вида при отсутствии безрискового актива и в предположении событийного дискретного рынка 3. Анализ статистики рыночных данных и разработка алгоритмов идентификации событий и построения логико-вероятностной модели финансового рынка 4. Постановка и решение многопериодной задачи управления портфелем платежных обязательств с ограничением величины потерь ресурсов и возможности разорения инвестора 5. Разработка методики междисциплинарных экспертиз для оценки риска Научная новизна и практическая ценность работы Научная новизна работы состоит:

В создании единой и универсальной системы понятий и формальных объектов для описания предметной области задач управления финансовыми рисками;

В формулировке и решении задачи динамического хеджирования платежных обязательств, отличающейся от известных постановок тем что: a) допустима функция выплат произвольного вида (в т.ч. заданная алгоритмически), б) рынок описывается событийной моделью в форме недетерминированного конечного автомата, в) на рынке отсутствуют безрисковые активы;

В формулировке и решении многопериодной задачи управления портфелем платежных обязательств, отличающейся а) новым критерием оптимальности – максимальной скорости прироста капитала инвестора, б) ограничением на максимальные потери ресурсов за время управления;

В разработке механизма экспертизы для построения логиковероятностных моделей дискретных событийных систем и реализации человеко-машинной процедуры принятия решений по этому механизму, отличающихся а) использованием субъективно-вероятностных оценок неопределенности, б) методом обработки противоречивых и пропущенных данных, полученных от коллектива экспертов.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы при расчетах экзотических опционов, управлении рисками инвестиционных проектов, проведении экспертиз риска проектов в производстве, финансах, научных исследованиях.

Результаты, полученные в работе, имели следующие научнопрактические приложения:

• в программно-методическом комплексном решении компании “ПрограмБанк”, г. Москва – “СУБИР – Система Управления Банком, Использующая Информацию о Рисках”, 1999-2001 гг.

• при оценке рисков инвестиционного проекта РАО “Норильский Никель”, г.Москва, 2000 г.

• при оценке рисков инвестиционного проекта в области электронной коммерции – Интернет-портала по продажам климатического оборудования, компания “АльтерМедиа”, г.Москва, 2001 г.

• в экспертизе уровня энергетической безопасности Восточно-Сибирского региона – Институт систем энергетики СО РАН, Институт динамики систем управления СО РАН, Правительство Иркутской обл., г.Иркутск – оз. Байкал, 2001 г.

• в практике управления портфелем ценных бумаг хеджевого фонда, г.Москва, 2001-2002 гг.

• в практике Отдела по управлению финансовыми рисками Департамента операций на финансовых рынках ОАО ИМПЭКСБАНК, г.Москва, 2002г Апробация работы Результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на следующих научных семинарах и конференциях:

cеминары:

семинары Отдела Информационно-вычислительных систем Вычислительного центра РАН в 2001-2002 гг.

семинары лаборатории активных систем Института Проблем Управления РАН в 2002 г.

Summer School “Advanced Course on Mathematical Finance: Further Models” MATFIN-2002, Universitat Autonoma de Barcelona, Centre de Recerca Matematica, Bellaterra, Spain, июль 2002 (под руководством – Prof. Ole E.

Barndorff-Nielsen, University of Aarhus, Дания, Prof. Neil Shephard, Oxford University, Великобритания, Prof. Thomas Mikosch, University of Copenhagen, Дания, Prof. Thomas Bjork, Stockholm School of Economics, Швеция) семинар кафедры “Математическое моделирование экономических процессов” Финансовой Академии при Правительстве РФ, 2002 г.

научные конференции:

Третий Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, 1-6 октября 2002, г. Сочи Международная научно-практическая конференция “Теория активных Систем”, ИПУ РАН, г.Москва, 19-21 ноября The 3rd Moscow International Conference On Operation Research (ORM2001), ВЦ РАН, г.Москва, 4-6 апреля 2001 г.

Байкальская Международная конференция “Информационные и телекоммуникационные технологии в науке и образовании Восточной Сибири”, Институт Систем Энергетики им. Мелентьева Сибирского отделения РАН, г.Иркутск, 2001 г.

Научно-практическая конференция “Корпоративное финансирование и финансовый инжиниринг”, ВЦ РАН, Финансовая Академия при Правительстве РФ, г.Москва, 2000 г.

Пятый Всероссийский форум молодых ученых и студентов “Конкурентоспособность территорий и предприятий – стратегия экономического развития страны”, Институт экономики Уральского отделения РАН, г.Екатеринбург, 2002 г.

XXXIX Юбилейная научная конференция “Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики”, МФТИ, г.Долгопрудный, 1997 г.

Диссертационная работа поддержана грантами РФФИ – инициативный проект №01-07-90277, а также персональным грантом по конкурсу молодых ученых РАН в 2002 г.

Публикации Результаты диссертации опубликованы в 9 работах.

Структура и объем диссертации Работа состоит из Введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Общий объем диссертации составляет 156 страниц. Список литературы включает 125 наименований.

Содержание работы Во Введении к настоящей работе дана новая универсальная система понятий для описания предметной среды решения задач управления финансовым риском.

Определение 1 Экономический субъект (инвестор, трейдер, портфельный управляющий и т.д.) – лицо, принимающее решения на финансовом рынке.

Экономический субъект располагает разными видами ресурсов (наличными денежными средствами, акциями, облигациями, производными контрактами и т.д.), он также может привлекать эти виды ресурсов из внешней среды и размещать их вовне, преследуя при этом некоторые собственные экономические цели.

Определение 2 Разные виды ресурсов, доступные экономическому субъекту суть финансовые инструменты.

Для каждого финансового инструмента существует финансовый рынок, на котором можно разместить имеющееся количество данного финансового инструмента либо взять взаймы требуемое количество. Тип рынка обозначается буквенным префиксом (например, рынок акций будет обозначаться как S-рынок – от англ. stock). Разновидность ресурса на данном рынке будет обозначаться индексом i.

Определение 3 Единица инструмента i-го вида на соответствующем этому ресурсу S-рынке в каждый момент времени t имеет цену Sit. Стоимость t единиц ресурса в момент t суть Vt=tSt.

Операции размещения и привлечения конкретного вида ресурса на рынке порождают поток выплат от экономического субъекта и к нему.

Определение 4 Моделью потока выплат по этим операциям является платежное обязательство; если обозначить через Vt стоимость ресурса у экономического субъекта в момент времени t, то платежное обязательство – это последовательность {Vt}, t=0,1,…,T расходов (Vt0) ресурса (в стоимостном выражении), упорядоченная во времени.

Определение 5 Если у экономического субъекта до момента t0 ресурс отсутствовал (Vt=0 tt0 в объеме V1 (Vt1=V1) и количестве единиц – Рис.1 – то такое платежное обязательство называется короткой позицией по данному ресурсу.

Определение 6 Если у экономического субъекта до некоторого момента t имелся ресурс стоимостью V0 (Vt=V0 tt0 в объеме V1 (Vt1=V1) – Рис.3 – то такое платежное обязательство называется длинной позицией по ресурсу.

Операции, определенные в (5) и (6), составляют исчерпывающий набор операций над любыми видами ресурсов на финансовых рынках. Любая операция может быть представлена как комбинация длинной и короткой позиции.

Пример 1 Экономический субъект может занять короткую позицию по одному ресурсу и длинную – по другому; например, в момент t=0 он может взять в кредит V0 наличных денег со сроком погашения T и купить на них акций по цене S0. Тогда в момент t=0 его позиции будут {+V0, –S0}, а в момент погашения кредита t=T – соответственно, {–V0, +ST}. Позицию по акциям назовем S-позицией, позицию по кредиту – B-позицией.

Определение 7 Множество позиций экономического субъекта в каждый момент времени t по m различным видам ресурсов - t={1tS1t, 2tS2t,…, mtSmt}={V1t,V2t,…, Vmt } называется портфелем в момент t.

В условиях Примера 1 имеем позиции на B- и S-рынке t={-V0, +St}, t>0.

Определение 8 Стоимость портфеля в каждый момент времени t называется капиталом - X t = Vt i.

Определение 9 Последовательность портфелей {t}, t[0,T] называется инвестиционной стратегией.

Пример 2 В условиях Примера 1 X0= V0–S0=0, XT=ST–V0, Xt=St–V0. Стратегия Примера 1 - t==const. Это стратегия “buy-and-hold” – “купил-идержи”.

Определение 10 Наличный остаток ресурса в стоимостном выражении к моменту t с учетом изъятий и поступлений ресурса до момента t согласно платежному обязательству {Vt}, t=t0,…,t,…,tn называется кэшем (cash):

cash (t ) = V. Кэши для платежных обязательств Рис.1 и Рис.3 изображены на Рис.2 и Рис.4 соответственно.

С формальной точки зрения кэш является интегралом платежного обязательства по времени и представляет собой модель “аккумулятора” ресурсов. Для непрерывного кэша (например, для позиции по банковскому счету с непрерывным начислением процентов – B-рынку Bt = B0 e r ( t t ) ) мож- но определить cash (t ) = Vt dt. Если Vt содержит неопределенность (наприt мер, Vt суть стохастический процесс), то интеграл выше понимается как интеграл по траекториям стохастического процесса. В частном и хорошо изученном в финансовой математике случае, когда Vt представляет собой броуновское движение со сносом µV и диффузией 2V, кэш может быть опредеt t лен как интеграл типа Ито cash (t ) = cash (t 0 ) + µV ( s )ds + V ( s )dw s, где wt – обобщенный винеровский процесс.

Пример 3 В условиях Примера 1 обозначим приращения цены акции St=StS00.

тать ее позицией на условном B-рынке) cash (t ) = ( V ) = (t + 1)V.

Определение 11 Кэши в соответствии с логикой операций обмена потоками стоимостей в конкретной задаче объединяются в потоковую сеть Cash Flow Net: если C={c1,c2,…,cN} – кэши, то выделенное подмножество множества их пар (ci,cj) CFN СС называется сетью ресурсных потоков. При этом над любой парой кэшей из CFN может быть определен путем обычной операции интегрирования кэш второго уровня: с1,c2 (c1,c2)CFN с12(t)=c1(t)+c2(t).

Объединение пар кэшей 2-го уровня даст сеть 2-го уровня CFN2. Продолжая по индукции, можно выстроить иерархию кэшей и соответствующих ресурсных сетей (Рис.5).

Пример 4 В условиях Примера 1 определим кэш 2-го уровня:

Cash ( B,S ) (t ) = cashB (t ) + cashS (t ) = S и сеть B- и S-кэшей: CFN={CashB,CashS}.

Центральными для данной работы являются определения риска и рисковой ситуации.

С содержательной точки зрения, риск связан с попаданием некоторого управляемого объекта в неблагоприятную ситуацию. Далее естественно формализовать меру возможности (шансы) попадания в эту ситуацию, меру ”неблагоприятности” ситуации, причину попадания в рисковую ситуацию.

Определение 12 Для кэша 2-го уровня cij: cij(t)=сi(t)+cj(t), (ci,cj)CFN рисковой ситуацией называется множество Sit={t: cij(t)0 назовем пространством сценариев.

Пример 6 (Биномиальная модель) Рассмотрим событийную модель, в которой алфавит состоит из двух событий. Моделируется движение цены на Sрынке St в дискретном времени. В каждый момент времени t цена может принять только два возможных значения. Именно, существуют два положительных числа d и u такие, что 0 < d < u и если в начальный момент t0 акция стоила S0, то в следующий момент t1 её цена будет либо dS0, либо uS0. Выберем 0 < d < 1 < u; тем самым dS0 моделирует падение, а uSo – рост цены ресурса. Пусть для определения направления движения цены (d или u) некто подбрасывает монету: если выпадает “герб” (это событие обозначим Г), то цена растет, если выпадает “решка” (соответственно, это событие Р) – цена падает. Алфавит событий внешней среды в таком исследуемом случае будет состоять из двух элементов E={Г,Р}, также, как и алфавит приращений цен рынка – S={u,d}. Так, на первом такте S1(Г)=uS0, S1(Р)=dS0, на втором такте S2(ГГ)=uS1(Г)=u2S0, S2(ГР)=dS1(Г)=duS0, S2(РГ)=uS1(Р)=udS0, S2(РР)=dS1(Р)=d S0.

Ясно, что после трех последовательных событий (бросков монеты) мы будем иметь 8 значений цены S3, причем необязательно различных.

Оборвем последовательность простых событий-исходов бросаний монеты на третьем такте (t=3) – тогда множество всех возможных исходов-цепочек длины 3 имеет вид: ={ГГГ;ГГР;ГРГ;ГРР;РГГ;РГР;РРГ;РРР}. На Рис. показаны сценарии для модели {S0=4, d=1/2, u=2}.Каждый исход длины k ={1, 2,…, k} в такой модели и есть сценарий, здесь i – элементарные события (результаты отдельных подбрасываний монеты). Так, для сценария ={ГРГ} 1=Г, 2=Р, 3=Г. Интересующее нас значение цены на k-ом шаге модели обозначим Sk(). Событийный сценарий внешней среды порождается причинно-следственной моделью, связи в которой суть только бинарные.

Эквивалентными записями такой модели являются: матрица инциденций, дерево вывода, ярусно-параллельная форма, регулярное выражение. Так, например, для внешней среды с алфавитом событий E={Г,Р} причинноследственная модель записывается матрицей Eij или соответствующим ей бинарным графом (Рис.8). Пространство возможных сценариев представлено ярусно-параллельной формой-ЯПФ (Рис.7 – показаны ярусы с № от 0 до k=3, глубина ЯПФ k=3 считается от корня дерева) и регулярным выражением вида R=(ГГГР)* & (РГРР)* (“*” обозначает операцию итерации – см.

ниже Определение 21).

Пусть в ЯПФ-представлении пространства сценариев на k-м ярусе Nk вершин. В частном случае биномиальной модели (см. Пример 6) Nk=2k.

Пусть для каждой i-ой вершины k-го и j-ой вершины k-1-го ярусов заданы уверенности ik и jk-1 попадания в эту вершину. Каждой из вершин ЯПФ сопоставлен путьik длины k (цепочка из k событий) из корня в эту вершину.

По определению 16, ik - сценарий. Множество уверенностей {ik, ik[0,1]} задает распределение уверенностей на пространстве сценариев. Имеет место правило сложения (дизъюнкции): для любой вершины i на k-1-м ярусе уверенность ik-1 суть сумма уверенностей jk всех j-х вершин k-го яруса (Рис.11), инцидентных вершине i. При этом сумма уверенностей всех вершин одного яруса необязательно равна 1 (если она равна 1 для каждого яруса, то такое распределение уверенностей называется байесовским, а сами уверенности могут рассматриваться как классические вероятности).

На сценариях i и j длины k задана попарное модифицированное расстояние по Хэммингу rij=|mi-mj|, где mi и mj – взвешенные на глубину k яруса двоичные коды wi и wj сценариев i и j. Сценарии рассматриваются в данном контексте как двоичные векторы длины k (см. Рис.11 – коды wi показаны справа). Вводятся функции распределения уверенности j=hi f(rij). Выдвигая гипотезу о характере распределения f(rij) - например, гипотезу норri r j ) ных оценок или статистики ik для некоторых вершин на k-м ярусе восстановить эти значения по известным уверенностям в остальных вершинах. Для байесовских распределений уверенности потребуется перенормировка k = 1, где знак “тильда” обозначает восстановленные значения уверенi = ностей.

В Главе 1 рассматривается задача динамического хеджирования в специфицированной выше среде. Конкретизируем событийную модель рынка финансового инструмента следующим образом. Пусть E={E1,E2,…,En} – алфавит событий. Сценарий k есть последовательность событий {Et}, t=0,..,k.

Последовательность событий (сценарий) образует входную ленту для автомата, описанного в следующем определении.

Определение 18 Внешней средой называется недетерминированный конечный автомат, определенный на алфавите событий E, получающий на такте t на входную ленту событие Et, и, в зависимости от распознанного к этому такту сценария t-1 и полученного на входной ленте события Et, переходящий в состояние Et+1: t+1=F(Et|t-1).

Рассматриваются только регулярные сценарии, которые есть результат применения к сценариям t конечного числа следующих операций:

Определение 19 Объединение - для m сценариев ik, i=1,2,…,m, k=k1,k2,…,km объединение есть множество состоящее из всех этих сценариев. Операция соответствует логической дизъюнкции “ИЛИ”.

Определение 20 Конкатенация & - для двух сценариев 1k1 и 2k2 конкатенация 12k1+k2 есть результат приписывания справа к первому сценарию второго: 12k1+k2=1k12k2. Для множеств сценариев 1 и 2 конкатенацию образуют все сценарии, получающиеся приписыванием справа к любому сценарию из 1 любого из сценариев из 2. Операция соответствует логической конъюнкции “И”.

Определение 21 Итерация * - Для множества сценариев итерацию * образуют все сценарии, получающиеся приписыванием справа к любому сценарию из любого из сценариев из того же множества (в частности, того же самого выбранного сценария) любое конечное число раз.

Согласно Первой теореме Клини, для любого регулярного сценария следующие представления эквивалентны: конечный автомат, регулярное выражение, дерево вывода, ЯПФ, контекстно-свободная грамматика.

Определение 22 Регулярная внешняя среда – которая описана регулярным автоматом.

Пример 7 Введем внешнюю среду с алфавитом событий E={E1,E2,E3,E4} и на Рис.12. Пространству сценариев этого автомата соответствует ЯПФ, изображенная на Рис.13.

Определение 23 Рынком называется отображение сценариев t, порожденных регулярной внешней средой, в последовательность цен финансового инструмента St: S = S ( E,, S ) = {uS, либо dS,0 < d < 1 < u}. По определению, рощенный рынок, когда на каждое событие рынок реагирует повышением u или падением d цены. Вместе с тем, это не ограничивает общности последующих выводов.

Для дальнейшего рассмотрения введем следующие рынки:

• S-рынок – рынок базового актива (напр., рынок акций) с рыночной ценой St за единицу ресурса, и • В-рынок – рынок денежного ресурса (напр., рынок кредитов или просто банковский счет, по которому можно брать денежные ресурсы в кредит или помещать их на депозит) с рыночной ценой bt за единицу ресурса.

Пусть у экономического субъекта имеется короткая позиция по платежному обязательству Vt(St)=f(t,t,Et), t=0,…,T. Это означает, что в момент t=0 им была получен денежный ресурс в объеме V0 (см. Рис.1) в обмен на обязательство произвести поток выплат Vt(St)=f(t,t,Et) в будущем. Выплата V называется премией по данному платежному обязательству.

Рис. 1 Платежное обязательство с образо- Рис. 2 Кэш для платежного обязательства ванием короткой позиции по ресурсу на Рис. зованием длнной позиции уровнях абстракции Рис. 7 Пространство сценариев биноми- Рис. 8 Граф и матрица событийного сценаальной модели рия биномиальной модели с алфавитом Рис. 9 Неблагоприятные ситуации для двух кэшей из Примера Рис. 10 К определению риска для Рис. 11 К вычислению расстояния попарного Начиная с момента t0 и вплоть до момента T экономический субъект должен осуществить такое управление премией V0 (а также, если необходимо, управление дополнительным кредитом) на S- и B-рынках, которое гарантирует невозможность попадания в рисковую ситуацию в любой момент t[0,T] с наперед заданной уверенностью. Это управление осуществляется посредством хеджирующего портфеля со стоимостью Xt из двух позиций на B- и S-рынках, такого, что t=0,…,T Xt(t)Vt(t) с заданным уровнем уверенности. Для определения рисковой ситуации в данном случае вводятся два кэша – кэш хеджирующего портфеля cashX(t)=cashB(t)+cashS(t) и кэш платежного обязательства cashV(t) (ср. с Примерами 3,4,5). Рисковая ситуация задается на кэше 2-го уровня Cash(t)=cashX(t)+cashV(t) согласно Определению 12.

тегий П здесь понимается в смысле одного из определений хеджа, данных выше.

Наиболее широко в практике управления рисками применяются платежные обязательства специального вида, называемые опционами.

Определение 31 Европейским опционом “колл” называется платежное обязательство вида VT(T)=Max{0,ST(T)-K}, где K – цена исполнения опциона “колл”, T – срок исполнения.

Определение 32 Европейским опционом “пут” называется платежное обязательство вида VT(T)=Max{0,K-ST(T)}, где K – цена исполнения опциона “пут”, T – срок исполнения.

Классическая теория расчета опционов предполагает наличие безрискового банковского счета (B-рынка) со ставкой r на 1 период, так, что длинная позиция на B-рынке объема V0, открытая в момент t=0, приносит ее обладателю вне зависимости от сценария внешней среды T безрисковую Рассматриваются хеджи, состоящие из позиций на S- и B-рынках. Тем самым, для каждого t=0,1,…,T имеет место система (линейных) уравнений динамического хеджа (1), (2):

В работе рассматривается случай, когда внешние среды для B- и S-рынков идентичны (т.е. порождающие автоматы совпадают).

Взаимосвязь между системой уравнений хеджа (1,2) и структурой ЯПФ внешней среды устанавливают следующие леммы.

Лемма 1 Пусть в ЯПФ внешней среды (B,S)-рынка на t-м ярусе имеется Nt вершин. Тогда в системе (1,2) этому ярусу соответствуют Nt-1 стратегий tt-1), Nt-1 капиталов Xt-1( t-1) и Nt уравнений связи.

Лемма 2 На каждом t-м моменте времени в систему (1,2) добавляются 2Nt- неизвестных и Nt уравнений связи.

Определение 33 Индексом разрешимости хеджа для опциона европейского типа со сроком исполнения T, определенного на (B,S)-рынке, описанном Доказана следующая Теорема 1 (основная теорема динамического хеджирования платежных обязательств) Для любого регулярного (B,S)-рынка и определенного на нем опциона европейского типа со сроком исполнения T существует динамический хедж. При этом, если для срока T а) T0, то существуют хеджи в среднем и в среднеквадратичном, в) T=0, то существует единственный совершенный хедж.

Во всех трех случаях существует стоимость риска V0, понимаемая в смысле соответствующего хеджа.

Теорема 1 обобщает ряд широко известных результатов теории ценообразования опционов. В частности, из условия (в) Теоремы 1 получается, как следствие Утверждение 1 (модель Кокса-Росса-Рубинштейна) Для внешней среды, управляемой двумя событиями E1=”Г” и E2=”Р” и автоматом E j = F (E i ) = (см. Рис.8) на безрисковом B-рынке со ставкой b и рисковом S-рынке S ( E,, S ) = {uS, либо dS,0 < d < 1 < u} и для определенного на них опциона европейского типа со сроком исполнения T существует единственный совершенный хедж со стоимостью риска, определяемой по формуле Кокса-Росса-Рубинштейна.

Применение Теоремы 1 иллюстрирует следующий Пример 9 Для внешней среды, описанной в Примере 7, рассмотрим уравнения динамических хеджей для опционов европейского типа на акции S со сроками исполнения T=1,2,3,4. Ниже выписана система уравнений хеджа, где, как обычно, Et и t – событие и сценарий на момент t, St(Et,t) – цена акции-базового актива в момент t, bt(Et,t)-ставка на B-рынке, t – стратегия хеджа (число акций в хеджирующем портфеле в момент t), Vt - стоимость опциона, Xt – капитал хеджа, V0 – премия по опциону:

t=0: V0=X0=0S0+(V0-0S0) t=1: V1(E1)=X1(E1)=0S1(E1)+b(E1)(X0-0S0) V1(E2)=X1(E2)=0S1(E2)+b(E2)(X0-0S0) V1(E3)=X1(E3)=0S1(E3)+b(E3)(X0-0S0) V1(E4)=X1(E4)=0S1(E4)+b(E4)(X0-0S0) t=2: V2(E2E1)=X2(E2E1)=1(E1)S2(E2E1)+b(E2E1)(X1(E1)-1(E1)S1(E1)) V2(E3E1)=X2(E3E1)=1(E1)S2(E3E1)+b(E3E1)(X1(E1)-1(E1)S1(E1)) V2(E3E2)=X2(E3E2)=1(E2)S2(E3E2)+b(E3E2)(X1(E2)-1(E2)S1(E2)) V2(E2E3)=X2(E2E3)=1(E3)S2(E2E3)+b(E2E3)(X1(E3)-1(E3)S1(E3)) V2(E4E3)=X2(E4E3)=1(E3)S2(E4E3)+b(E4E3)(X1(E3)-1(E3)S1(E3)) V2(E4E1)=X2(E4E1)=1(E4)S2(E4E1)+b(E4E1)(X1(E4)-1(E4)S1(E4)) t=3:

V3(E3E2E1)=X2(E3E2E1)=2(E2E1)S3(E3E2E1)+b(E3E2E1)(X2(E2E1)-2(E2E1)S2(E2E1)) V3(E2E3E1)=X2(E2E3E1)=2(E3E1)S3(E2E3E1)+b(E2E3E1)(X2(E3E1)-2(E3E1)S2(E3E1)) V3(E4E3E1)=X2(E4E3E1)=2(E3E1)S3(E4E3E1)+b(E4E3E1)(X2(E3E1)-2(E3E1)S2(E3E1)) V3(E2E3E2)=X2(E2E3E2)=2(E3E2)S3(E2E3E2)+b(E2E3E2)(X2(E3E2)-2(E3E2)S2(E3E2)) V3(E4E3E2)=X2(E4E3E2)=2(E3E2)S3(E4E3E2)+b(E4E3E2)(X2(E3E2)-2(E3E2)S2(E3E2)) V3(E3E2E3)=X2(E3E2E3)=2(E2E3)S3(E3E2E3)+b(E3E2E3)(X2(E2E3)-2(E2E3)S2(E2E3)) V3(E1E4E3)=X2(E1E4E3)=2(E4E3)S3(E1E4E3)+b(E1E4E3)(X2(E4E3)-2(E4E3)S2(E4E3)) V3(E2E1E4)=X2(E2E1E4)=2(E1E4)S3(E2E1E4)+b(E2E1E4)(X2(E1E4)-2(E1E4)S2(E1E4)) V3(E3E1E4)=X2(E3E1E4)=2(E1E4)S3(E3E1E4)+b(E3E1E4)(X2(E1E4)-2(E1E4)S2(E1E4)) В этом примере:

Из таблицы видно, что существуют а) бесконечно много хеджей для опциона со сроком исполнения T=3 такта и более, б) хеджи в среднеквадратичном и среднем для опциона со сроком T=1 (на 1-м ярусе – переопределенная система из 4-х уравнений с 2-мя неизвестными), и в) для опциона со сроком T=2 существует совершенный хедж.

Определение 34 Внешняя среда называется бинарной, если ЯПФ описывающего ее автомата – бинарное дерево. При этом класс бинарных сред обозначается B(k), где k – мощность алфавита событий (или, что эквивалентно, состояний автомата). Следующая теорема устанавливает существование хеджей в классе B(k).

Теорема 2 В классе B(k) существуют хеджи в среднем и среднеквадратичном для любого натурального k>0. В классе B(k) не существует совершенных хеджей при k>2.

Определение 35 Пусть мощность алфавита событий внешней среды |E|=a и в дереве ЯПФ на каждом ярусе t число вершин Nt=a+(t-1)x, t=1,2,... Такая внешняя среда называется арифметической. Класс таких сред обозначается как A(a,x).

Теорема 3 В классе A(a,x) существует европейский опцион со сроком исполнения T-1, для которого возможен совершенный хедж. При этом T определяется как один из строго положительных корней уравнения xT2+(2ax)T+2(3x-2a+2)=0.

Пример 10 В условиях Примера 9 T1=0 и T2=3, что соответствует ярусу t=2, на котором, как показано в Примере 9, существует совершенный хедж.

В работе также сформулированы аналогичные теоремы для случая, когда внешние среды B- и S-рынков различны.

До сих пор рассматривались стационарная внешняя среда. Для такой среды описывающий её событийный недетерминированный автомат имеет неизменные во времени уверенности (или вероятности) переходов pij: (Ei,Ej), pij=const t[0,T]. Рассмотрим нестационарную внешнюю среду. Для этого необходимо ввести последовательность из T автоматов Et с одними и теми же алфавитом E и правилами переходов E = F (E ) = E, но с меняющимися во времени уверенностями переходов pij(t), t=1,…,T. Фундаментальным является следующий результат.

Теорема 4 (о существовании хеджа в нестационарной внешней среде) Результаты Теоремы 1 остаются справедливыми в условиях нестационарной внешней среды.

В Главе 2 в заданной выше системе понятий переформулируется ряд известных постановок однопериодных задач оптимального управления портфелем платежных обязательств по критерию “ожидаемая эффективность – риск”. Сформулированы и решены новые задачи многопериодного управления портфелем рисковых инструментов с ограничением на максимальные финансовые потери внутри временного интервала t[t0, t0+T], на котором осуществляется управление.

Предложена постановка задачи управления портфелем, использующая критерий оптимальности Марковица (максимизацию математического ожидания стоимости портфеля на момент прекращения управления - t=T) при новом типе ограничений в форме максимальных финансовых потерь за период управления портфелем [t0, t0+T].

Рассмотрим задачу управления инвестиционным портфелем экономического субъекта на интервале [t0, t0+T] с начальным собственным капиталом V0.

Прирашения капитала в результате изменения стоимости инвестиционного Следующее определение вводит математический критерий оценки финансовых потерь за период управления портфелем рисковых инструментов.

Определение 36 Функцией потерь по портфелю за период [t0,t0+t] называется функция DD = Max {V } V. Тем самым функция потерь DDt0,t определеt0,t t на на отдельной реализации процесса изменения рыночной стоимости портфеля Vt и равна максимальной достигнутой к моменту t величине падения стоимости инвестиционного портфеля после того, как в прошлом эта стоимость достигла своего пика.

Процесс изменения рыночной цены инструмента St, t[t0,t0+T] суть исторический сценарий цены. Исторические сценарии являются выборками из доступной базы данных за период [tнач,tкон]: {St, t[tнач,tкон]}, параметризованными началами отсчета t0 и длиной T – см. Рис.14.

Варьируя начало отсчета t0 (перебирая сценарии St во временных окнах t[t0,t0+T]), мы искусственно получаем множество реализаций одного и того же (это – гипотеза стационарности) процесса Vt,t0 на единственной реализации процесса {St, t[tнач,tкон]}. Этим приемом (называемым бутстрепом) мы моделируем формирование экономическим субъектом портфеля в разные моменты времени и в разных режимах рынка.

Анализировать функцию потерь можно в двух временных разрезах – вдоль одного сценария DDt0,t, t[t0,t0+T] по параметру t, t0 при этом фиксировано, и на всем множестве сценариев t0[tнач, tкон-T] для какого-то конкретного момента t (т.е. по одному сценарию процесса DDt0,t и по ансамблю сценариев для фиксированного t, левый конец t0 не закреплен). В частности, нас будет интересовать распределение функции потерь по сценариям и его характеристики – среднее, экстремальные значения, квантили (аналог меры Value-AtRisk).

Определение 37 Потери в худшем случае определим как MaxDD = t Min-T ]{t[MinT ]{DDt,t }}, t0 [tнач, t кон - T ] Это – потери в самом худшем случае, наблюдавшемся в истории.

Здесь происходит усреднение как вдоль одного сценария (по t), так и по всем сценариям (по t0).

Определение 39 Потери с риском 1-, [0,1] – аналог меры Value-At-Risk – определим как соответствующий квантиль уровня распределения DDt0,t:

Здесь () – верхняя граница потенциальных потерь, такая, что (1-) значений DDt0,t меньше (). Например, нас может интересовать 95%-ный квантиль, т.е. потери будут превышать DDaR(95%) только в =5% случаев.

2.1 Формулировка задач управления портфелем инвестиций с учетом ограничений на риск Рассматривается S-рынок, на котором имеются n видов инструментов. Стратегия управления портфелем предполагает размещение начального капитала в объеме V0 на S-рынке в момент времени t0 пропорционально долям xi, i=1,…,n в i-й инструмент на срок T=tT-t0. Портфель не реструктурируется до момента tT=t0+T (тем самым применяется стратегия управления типа “buyand-hold” – см. Пример 2). Если rti=Sti-Sti-1 – приращения цен i-го инструмента на S-рынке, то эффективность портфеля на конец горизонта T определяетt критерий управления суть ограничение функции потерь. Предлагаются следующие разновидности ограничений:

(3) MaxDD(x)1V0 - ограничение максимальных потерь (4) AvDD(x)2V0 - ограничение на средние потери (5) DDaR(x,)3V0 - ограничение на потери с риском 1Аппетит” или “избегание” риска задается экспертами в виде весовых множителей 1,2,3[0,1]. На практике задаются также ограничениями на максимальный и минимальный размер инвестиций в каждый инструмент Sрынка; именно, задача выбора оптимального портфеля {xi} решается в прямоугольном параллелепипеде (6) Целью управления является максимизация эффективности портфеля R(Xt)max к моменту завершения инвестиций tT при одном из трех типов ограничений потерь в форме (3), (4) или (5) и ограничения на допустимые стратегии (6). А именно, имеем следующие задачи математического программирования:

(7) MaxDD( x ) 1V 0 - задача с ограничением на максимальные потери, (8) AvDD( x ) 2V 0 - задача с ограничением на средние потери, (9) DDaR( x ) 3V 0 - задача с ограничением на потери с риском 1-.

Рис. 14 Сценарии процесса изменения рыночной стоимости портфеля Vt,t 2.2 Дискретизация задач и их численное решение Разбивая временной интервал [t0, t0+T] на M дискретных моментов времени ti=t0+i*T/M, имеем дискретные представления вектора r(ti)=ri и функции потерь DDi(x)=Max{0jM:(rj,x)}-(ri,x), а также целевой функции эффективrr где в последней формулировке принято обозначение (f(x))+=max{0,f}. Следующая теорема устанавливает класс методов решения задач (8)-(10).

Теорема 5 Задачи (8)-(10) являются задачами линейного программирования независимо от распределения процесса цен St. В пространстве [R(x), DD(x)] существуют оптимальные портфели {xi}, i=1,..,n.

В работе также рассмотрена многопериодная стратегия Келли для динамического управления портфелем по критерию наибыстрейшего геометричеX i ( i ), где фильтрация соответствует пространству сценариев цен St биномиальной модели (см.

Пример 6). В работе предложены три численных метода поиска оптимальной (по Келли) стратегии управления портфелем.

Следующее предложение устанавливает распределение вероятности P{VN x, 1 n N} сокращения исходного капитала V0=1 до величины VN=xV0 на сценариях длины N в предположении, что эти сценарии суть реализации винеровского процесса.

Теорема 6 Для броуновского сценария Vt из N ставок при достаточно большом N вероятность когда–либо потерять долю (1-х) капитала экономического субъекта оценивается функцией В Главе 3 рассматривается проблема идентификации событий, влияющих на финансовый рынок. В работе предложен механизм идентификации модели реакций рынка на эволюцию внешней среды, описанной недетерминированным конечным автоматом (см. Определение 18) по временным рядам цен финансовых инструментов. В качестве критерия идентификации модели выбран минимум энтропии по Шеннону.

Решается задача классификации макроэкономических и корпоративных событий в кластеры, объединяющие эти события по критерию “близости” порожденных их появлением реакций рынка. Реакция рынка суть эмпирическое распределение выборки логарифмических приращений цены pt = ln t, t[ti,ti+1], где ti – моменты переломов трендов на графике цен (см. Рис.16).

Пусть задан временной ряд логарифма относительных приращений цен pt, t=1,..n:{p1,…,pn} рискового инструмента S-рынка. Предположим, что этот ряд представляет собой реализацию нестационарного процесса, т.е. распределение ряда меняется во времени Рис. 15 Нестационарный процесс изменения цены Тем самым, пройдя по всей выборке, образуем [n/l] вырезок (через [x] обозначена целая часть х). Маска играет роль шаблона, накладываемого на исходный временной ряд {pt}. На Рис.16 прямоугольником показан пример маски. Пусть теперь fi – функция распределения для вырезки, попавшей в маску Wil.

Объединим неразличимые (или близкие) с точки зрения некоторого критерия функции f в класс Сk. Сk для вырезок, порождаемых масками длины l, называется состоянием модели рынка. Поскольку модель нестационарна, то она описывается функцией поведения {Fb: (Сi,Сj)[0,1]}, определяющей вероятность или уверенность перехода модели из состояния Сi в состояние Сj.

Все наблюденные переходы СiСj можно записать в виде матрицы.

Каждый такой переход обозначим через ck. Пусть C – булевский вектор, в котором на i-м и j-м местах стоят 1, а остальные его компоненты – нули.

Индекс k пробегает по всем наблюденным различным переходам. Подсчитаем число наблюдений перехода СiСj, соответствующего некоторому ck – пусть это будет N(ck). Тогда, по определению, значение функции поведения Fb на этом переходе будет относительная частота Fb(ck)=N(ck)/ N(ck). Тем самым Fb является функцией распределения переходов между состояниями Сi. Для каждой маски получаем соответствующие модель переходов и функцию поведения. Вообще говоря, обе они для разных масок разные. Какую модель предпочесть? Сразу же следует отметить, что наилучшей маски не существует. Конечно, это имеет место при отсутствии у исследователя какой бы то ни было априорной информации о законе поведения системы. И тем не менее, предпочтительнее та модель, которая 1) имеет минимальное число состояний, и 2) содержит наименьшую неопределенность. Неопределенность функции поведения предлагается измерять через ее шенноновскую энтропию H ( F ( c )) = F ( c ) log F ( c ), где |C| - число различных векторов ck. По построению, H(Fb(c))[0,1].

Идентификация трендов и событий-переломов предполагает введение масок и расчет распределений процесса изменения цен в вырезках, порожденных наложением маски. В работе введена адаптивная маска, выделяемая специальным алгоритмом пилообразного приближения трендов временного ряда.

Результатом работы алгоритма является покрытие исходной выборки вырезками переменной длины, соответствующими трендам заданного порядка.

Трендом 0-го порядка считается тренд, проведенный от первой точки выборки до ее последней точки. Трендами 1-го порядка будет пилообразное приближение, соединяющее начальную и конечную точки выборки через экстремумы – минимум и максимум по всей выборке. Например, на Рис. показан временной ряд дневных цен закрытия акций ОАО Сургутнефтегаз за 2001 год и соответствующее этой выборке пилообразное приближение 10го порядка (номера событий-переломов, отграничивающих соответствующие им вырезки, также указаны на Рис.16). Пример одной из вырезок показан на Рис.16 прямоугольником Рис. 16 Разбиение временного ряда на вырезки. Цифрами помечены номера событийпереломов трендов. Вырезка 6 показана прямоугольником.

Рис. 17 Функция кумулянты (кривая) и плотности (гистограмма) распределения приращений цен для вырезок №1 и № Каждая из 10-ти вырезок на Рис.16 определяет некоторое состояние системы; точнее, состояние мы определим (как и в примере предыдущего пункта) через функцию распределения процесса изменения цен для подвыборки, задаваемой своей вырезкой. Примеры получившихся функций распределения для вырезок №1 и №6 приведены на Рис.17.

Теперь необходимо произвести сравнение реакций системы на события переломов; для этого понадобится ввести меру близости между функциями распределения, соответствующими каждой реакции. В качестве такой меры взят максимум поточечного отклонения функций распределения двух реакций: µ (C, C ) = max {C ( x ) C ( x )}. Такое расстояние симметрично, для него имеет место неравенство треугольника, но оно не аддитивно (т.е. если µ(С1,С2)=A, µ(С2,С3)=B, то µ(С1,С3)A+B).

C1 0 0.33 0.24 0.38 0.19 0.38 0.31 0.37 0.26 0. C2 0 0.38 0.06 0.27 0.06 0.41 0.14 0.22 0. Рис. 18 Матрица парных расстояний между вырезками ряда на Рис. Матрица попарных расстояний ||µ(Сi,Сj)|| для 10 вырезок Рис.16 приведена на Рис.18 (т.к. матрица симметрична, показана только верхняя треугольная форма). Для этой матрицы, задав пороговые значения для расстояний