На правах рукописи

Озодбекова Наджмия Бекназаровна

Распределение дробных частей значений многочлена

аргумент, которого принимает значения из коротких

интервалов

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Душанбе – 2012 2

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

Научный руководитель: доктор физико–математических наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусенович

Официальные оппоненты: Гриценко Сергей Алексендрович доктор физико-математических наук, профессор, Белгородский государственный университет, заведующий кафедрой алгебры, теории чисел и геометрии Чариев Умидилла кандидат физико–математических наук, Таджикский педагогический университет им. С.Айни, доцент кафедры алгебры и теории чисел,

Ведущая организация: Таджикский национальный университет

Защита состоится 31 октября 2012 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан (734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АН РТ.

Автореферат разослан 28 сентября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Каримов У.Х.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Основным предметом исследования настоящей диссертации являются изучение поведения тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из интервала малой длины, а также их применения к задаче распределения дробных частей значений многочлена аргумент, которого принимает значения из коротких интервалов.

Тригонометрической суммой называется конечная сумма S вида S= e(F (x1, x2,..., xr )) (1) где F (x1, x2,..., xr ) вещественная функция от r переменных и суммирование ведется по целым точкам (x1, x2,..., xr ) некоторой области n – мерного пространства. Основной проблемой при изучении сумм S является проблема установления верхней границы модуля S. Обозначим через T количество целых точек области. Так как модуль каждого слагаемого суммы (1) равен 1, то для |S| имеем тривиальную оценку |S| T, причем знак равенства здесь имеет место тогда и только тогда, когда все значения функции F (x1, x2,..., xr ) имеют одну и ту же дробную часть.

Однако для весьма широких классов функций F (x1, x2,..., xr ) и совокупностей оказывается возможным установить для |S| верхнюю границу, несравнимо более точную, чем указанная тривиальная, а именно границу вида |S| T, где с возрастанием числа целых точек области и возможным одновременным изменением вида функции F (x1, x2,..., xr ) стремится к нулю. Этот множитель, отличающий такую границу от тривиальной, называется понижающим множителем.

Впервые тригонометрические суммы появились у Гаусса в одном из его доказательств закона взаимности квадратичных вычетов. Суммы, которые изучал Гаусс, имели вид (суммы Гаусса) q ax Гаусс полностью решил проблему поведения |S| и он дал точные выражения для |S|. Сумма Гаусса является частным случаем более общей полной рациональной тригонометрической суммы где В случае простого q = p, p – простое число, Морделл1 дал для этой суммы оценку которую А. Вейль2, следуя одной идее Хассе3, заменил следующей:

Оценка А. Вейля в смысле порядка роста (при постоянном n) с возрастанием p, вообще говоря, неулучшаема можно указать неограниченное число случаев, когда модуль суммы будет не меньше чем p. Наилучшую оценку суммы (2) в случае составного q дал Хуа4. Он установил неравенство Это неравенство замечательно тем, что при постоянном n в смысле порядка роста правой части с возрастанием q оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим. В.Н.Чубариков5 в 1976 г. получил оценки модуля кратной рациональной тригонометрической суммы.

Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида Mordel L.J. On a sum analogous ta o Gauss’s sum.Quart.J.Math. 3(1932), 161- Weyl A. Foundations of algebraic geometry, Amer.Math.Soc.Colloquim Pub., 29 (1947).

Hasse H. Abstracte Begrnting der komplexen Multiplication und Riemannsche Vermutung in Funktlonenkrpern, Abh.math.Sem.Univ.Hamburg, 10 (1934), 325-348.

Hua L.K. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. – М.: Мир, 1964,–190с.

Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68.

где f (x) = n xn +... + 1 x, и n,..., 1 любые вещественные числа. Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (3) дал Г. Вейль6, задолго до упомянутых результатов Морделла и Хуа. Поэтому этим суммам присвоено название суммы Г.Вейля. Существенным недостатком оценки Г.Вейля является быстрая потеря ее точности с возрастанием n. Тем не менее эта оценка сыграла заметную роль в развитии теории чисел: она позволила дать первые, хотя и далеко не совершенные решения ряда важных проблем этой области математики.

Одной из таких проблем явилась проблема распределения дробных частей значений многочлена f (t) = n tn +... + 1 t. Отметим также, что проблема распределения дробных частей значений многочлена f (t) явилась одной из первых общих проблем математики, для своего решения потребовавшей создание метода тригонометрических сумм. Эта проблема тесно связана в свою очередь с понятием равномерного распределения по модулю, равному единице. Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке также ввел в математику Г.

Вейль. Он доказал критерий равномерного распределения значений числовой последовательности на отрезке.

В 1934 г. И. М. Виноградов7 нашел новый метод в аналитической теории чисел. Этот метод не только позволил коренным образом усовершенствовать решения проблем, уже рассматривавшихся ранее с помощью других методов, но и открыл широкий путь к решению новых. Первым результатом, полученным новым методом (1934 г.), явилась принципиально новая верхняя граница для функции G(n) в проблеме Варинга, G(n) наименьшее значение r, при котором все целые N, начиная с некоторого N0, представляются в виде Следующим результатом, полученным новым методом, явились принципиально новые оценки сумм Г. Вейля (1935 г.). Основу этих оценок составила “теорема о среднем И.М. Виноградова”.

Отметим, что оценками тригонометрических сумм Г.Вейля по методу И.М. Виноградова занимался также Хуа Ло-ген. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 1916, 77, s.313–352.

Виноградов И.М. Избранные труды. – М.: Изд-во АН СССР, общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В году Ю.В.Линником8 было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа p. Другое p – адическое доказательство, то есть использующее свойства сравнений по модулю простого числа p, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой9 на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового p–адического метода И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм. Данная задача была решена Г.И.Архиповым10 в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков11 дали обобщение результатов Г.И.Архипова на кратный случай. В 1976г. В.Н.Чубариков12 получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм. В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков13 продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г.

результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии “Теория кратных тригонометрических сумм” 14. В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте 15.

Линник Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, Т.34, №7, c. 201-203.

Карацуба А.А. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа // Вестник МГУ, 1962, Сер.1, №1, с.28-38.

Архипов Г.И.Оценки двойных тригонометрических сумм // Труды МИАН им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, Т. 142, с. 46-66.

СССР.Сер.мат., 1976, Т.40, с.209-220.

Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68.

Архипов Г.И.,Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723-781.

Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм.

–М.: Наука, 1987, –368с.

Чубариков В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, №5. с. 1031-1067.

Английский математик Р.Вон,16 изучая суммы Г.Вейля вида методом Ван дер Корпута, доказал:

При условии, что очень хорошо приближается рациональным числом со знаменателем q, то есть при выполнении условии он также доказал:

Поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида