На правах рукописи

МЕЛЕШКО Евгений Сергеевич

ТРАНСПОРТНЫЕ МОДЕЛИ В ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА И ЭМИССИИ

ЭЛЕКТРОНОВ МАЛЫХ И СРЕДНИХ ЭНЕРГИЙ

Специальность 01.04.04 – Физическая электроника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Волгоград – 2008

Работа выполнена на кафедре «Физика» в Волгоградском государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Смоляр Владимир Алексеевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бурханов Анвер Идрисович.

кандидат физико-математических наук, доцент Свежинцев Евгений Николаевич.

Ведущая организация: Волгоградский государственный университет.

Защита состоится 2 октября 2008 г. в 1000 часов на заседании диссертационного совета Д 212.028.05 Волгоградского государственного технического университета по адресу: 400131 Волгоград, пр-т. Ленина, 28, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Волгоградского государственного технического университета.

Автореферат разослан « 2 » августа 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета _ Авдеюк О.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Задачи диагностики перспективных материалов и в том числе квантово-размерных структур, обладающих активными областями с размерами порядка несколько десятков атомов, требуют определения параметров исследуемых объектов с как минимум нанометровым разрешением. В настоящее время существует широкий ряд методов диагностики материалов, использующих рентгеновское излучение или электронные и ионные пучки для получения различной информации об исследуемых объектах. Методы, основанные на явлении электронной эмиссии, занимают в этом ряду особое место, поскольку, являясь неразрушающими, позволяют получать информацию о приповерхностных слоях сверхмалых размеров, вследствие малой эффективной глубины выхода эмитируемых электронов (10 100 нм).

Наиболее широко используемыми методами анализа поверхностей, в которых участвуют электроны в качестве воздействующих или регистрируемых частиц, являются: рентгеноспектральный микроанализ (EPMA), ожеспектроскопия (AES), рентгеновская фотоэлектронная спектроскопия (XPS), спектрометрия электронной эмиссии, возбуждаемой рентгеновским излучением (XIEES - разработан в институте им. Иоффе), метод рентгеновских стоячих волн, SEXAFS-спектроскопия, метод профилирования состава по глубине.

Применение этих методик позволяет определить химический состав, размеры неоднородностей (толщины слоев), атомную структуру, электронное строение и прочие характеристики образца с субатомным разрешением.

Помимо использования в диагностике, поток электронов широко применяется для изменения свойств поверхности. Примером такого рода может служить электронно-лучевая литография, которая широко используется при изготовлении интегральных схем. Применение потока электронов позволяет создавать структуры с наименьшими размерами активных областей.

Широкое использование пучков электронов для решения научных и прикладных задач требует проведения расчетов полей излучения для источников и поглотителей различных конфигураций и свойств. Кинетические уравнения, описывающие процесс прохождения частиц через вещество, имеют достаточно сложный вид и в большинстве случаев могут быть решены только на ЭВМ. Попытки решить аналитически кинетическое уравнение Льюиса - Спенсера, записанное в фазовом пространстве координат, направлений движения и остаточного пробега электронов и учитывающее одновременно потери энергии и упругое рассеяние электронов, пока нельзя назвать успешными. Это уравнение является основой для многих моделей переноса электронов, но оно непригодно для неоднородных рассеивателей, например, для многослойных мишеней, в силу отсутствия в неоднородных средах однозначного соответствия между остаточным пробегом и энергией электронов.

В настоящее время основными методами расчета характеристик переноса электронов средних энергий являются метод Монте-Карло, связанный с громоздкими вычислениями, и быстро работающие, но не точные феноменологические модели, требующие введения в расчеты большого числа подгоночных параметров даже при вычислении самых простых и хорошо известных характеристик, например, коэффициента обратного рассеяния.

Таким образом, большой интерес представляет поиск моделей кинетического уравнения, описывающих в комплексе процесс углового рассеяния и потерь энергии электронов и, в особенности, поиск математически замкнутых моделей кинетических уравнений, описывающих полностью процесс переноса электронов от вхождения в мишень бомбардирующего пучка электронов до их остановки. Математическая замкнутость модельных уравнений означает отсутствие в них подгоночных параметров. Это обеспечивает адекватность модельных уравнений физической реальности на уровне исходных приближений, на которых эти модельные уравнения выводятся из исходного кинетического уравнения Больцмана.

Только такие модели кинетического уравнения, основанные на применении физически обоснованных приближений и не содержащие подгоночных параметров, могут дать адекватное аналитическое описание процессов переноса частиц и получить количественные оценки характеристик переноса.

Целью исследований является вычисление характеристик процесса рассеяния и транспорта электронов малых и средних энергий в веществе.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1 Провести расчет и сравнение сечений упругого рассеяния, полученных при разных аппроксимациях экранирующего потенциала атома. Провести расчет сечений неупругого рассеяния.

2 На основе диффузионных моделей кинетического уравнения Больцмана рассмотреть решения конкретных прикладных задач.

3 На основе рассмотренных методов и алгоритмов расчета построить вычислительную систему для расчета параметров рассеяния и транспорта электронов с организацией хранения данных расчетов в электронной базе данных.

4 На основе полученных сечений упругого и неупругого рассеяния вычислить спектр по энергии функции выхода электронов из вещества.

5 Вычислить интегральную функцию выхода электронов при рентгеновской фотоэмиссии, распределение электронов по энергии при воздействии пучка электронов на мишень.

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

вычислены сечения упругого рассеяния электронов с энергиями от 5 эВ до кэВ на атомах в приближении Дирака-Хартри-Фока-Слейтера с учетом обменных эффектов и суперпозиции потенциалов соседних атомов;

на основе рассчитанных сечений рассеяния получено более точное решение уравнения диффузии в случае малых и средних энергий электронов, чем полученное ранее решение на основе аппроксимаций аналитических выражений для сечений;

впервые показано наличие в энергетических спектрах электронов при рентгеновской фотоэмиссии, пика первичных низкоэнергетических электронов, расположенного в области энергий вторичных электронов (< 50 эВ).

Практическая значимость работы заключается в том, что создан и опубликован на сайте кафедры физики Волгоградского государственного технического университета www.physica.vstu.ru архив сечений упругого и неупругого взаимодействия электронов с веществом; создана вычислительная система для расчета параметров рассеяния и транспорта электронов, позволяющая варьировать методы расчета и исходные данные для решения широкого спектра прикладных задач с возможностью удаленного вычисления.

Реализация и внедрение результатов работы. Работа велась в рамках НИР «Исследование взаимодействия электромагнитных волн и электронных потоков со средами и изучение характеристик мишеней», выполняемой на кафедре физики Волгоградского государственного технического университета в рамках плана перспективных и фундаментальных работ. Программа «Расчет параметров рассеяния и транспорта электронов» зарегистрирована в ФГУ ФИПС и внедрена в учебный процесс подготовки магистров по специальности «Физическая электроника» Волгоградского государственного технического университета. База данных «Параметры рассеяния и транспорта электронов»

опубликована на сайте ВолгГТУ.

Достоверность результатов исследования обусловлена строгой аналитической аргументацией полученных теоретических положений с использованием физических законов, достаточным количеством результатов, коррелирующих с экспериментальными и литературными данными, а также совпадением аналитических решений с результатами численного моделирования методом МонтеКарло, а также с данными опубликованными в электронном архиве ФТИ им.

Иоффе.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1 Значения дифференциальных сечений упругого рассеяния электронов на атомах полученные в приближении Дирака-Хартри-Фока-Слейтера с учетом обменных эффектов и суперпозиции потенциалов соседних атомов.

2 Характеристики транспорта электронов малых и средних энергий (вероятность выхода, энергетический спектр, энерговыделение), вычисленные по транспортным моделям кинетического уравнения Больцмана без введения в теорию подгоночных параметров для электронов малых и средних энергий и с использованием вычисленных сечений рассеяния, вместо аналитических выражений для сечений рассеяния.

3 Наличие в энергетических спектрах электронов при рентгеновской фотоэмиссии, пика первичных низкоэнергетических электронов, расположенного в области энергий вторичных электронов (< 50 эВ).

Апробация результатов. Результаты исследований докладывались на IX межвузовской конференции студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области (Волгоград, 2004 г.); II Международном семинаре «Физикоматематическое моделирование систем» (Воронеж, 2005 г.); XII Всероссийской Научной Конференции Студентов–Физиков и молодых учёных (Новосибирск, 2006 г.).

Публикации. По результатам данной работы имеется 9 публикаций (из них 4 статьи в журналах из перечня ВАК), список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Диссертант полностью выполнил аналитическое и численное исследование в соответствии с задачами, поставленными научным руководителем: произвел анализ алгоритмов расчета сечений упругого и неупругого рассеяния; систематизировал и оформил в виде программы различные подходы к расчету параметров переноса электронов в веществе в рамках диффузионной модели кинетического уравнения Больцмана; разработал структуру и организовал публикацию в сети интернет базы данных параметров рассеяния и транспорта электронов; произвел расчет сечений упругого и неупругого рассеяния, спектра функции выхода по энергии, распределение выделенной энергии остановившихся электронов, интегральной функции выхода. Основные научные результаты, содержащиеся в диссертации, опубликованы в соавторстве с научным руководителем профессором Смоляром В.А.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 93 наименований. Основная часть работы изложена на 115 странице и содержит 33 рисунка и 2 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, определены научная новизна и практическая значимость результатов работы.

В первой главе рассмотрены способы описания транспорта электронов в веществе.

Уравнения переноса представляют собой интегро-дифференциальные уравнения, и большая часть методов их решения основана на том, что разделением переменных эти уравнения преобразуются в системы дифференциальных или интегральных уравнений, для решения которых затем используют стандартные методы. Разделение переменных обычно проводится разложением дифференциальной плотности потока по какой-либо полной системе ортогональных функций, после чего уравнение переноса превращается в уравнение для коэффициентов этого разложения. При решении уравнений переноса чаще всего используют разложения по сферическим функциям, полиномам Эрмита и Лагерра, а также преобразования Фурье, Лапласа, Меллина и Фурье-Бесселя.

Большая часть методов решения основана на уменьшении числа переменных методом разложения по сферическим функциям с последующим отсечением получившейся системы уравнений по произвольно выбранному максимальному коэффициенту разложения по полиномам Лежандра (РL – приближение). В результате разложения получаются системы связанных между собой дифференциальных уравнений от пространственных переменных и энергии, для решения которых затем используют стандартные методы. Численное моделирование поведения потока заряженных частиц методом Монте-Карло является привлекательным с точки зрения относительной простоты реализации и хорошей точностью вычислений, однако требует значительных вычислительных ресурсов, что в настоящее время не является существенным, однако не дает аналитического описания процессов переноса электронов и, по существу, является численным экспериментом.

Во второй главе описываются модели кинетических уравнений в диффузионном и транспортно-малоугловом приближениях. Описываемые модели математически замкнуты и не требуют ввода подгоночных параметров.

Кинетическое уравнение в приближении непрерывного замедления для плотности потока F x,, E электронов в точке x, энергии которых лежат в интервале от E до E + d E, а направления движения находятся в телесном угле d около направления имеет вид где QV x,, E - заданное распределение источников; ( E ) - средние потери энергии на единицу пути; wel E, - дифференциальное сечение упругого рассеяния электронов с энергией E из направления в направление.

Это кинетическое уравнение, записанное в фазовом пространстве координат, направлений движения и энергий, будет исходным для построения транспортных моделей. Данное уравнение удобно для исследования многослойной рассеивающей среды. В приближении непрерывного замедления интеграл столкновений выражается через производную по энергии, после чего уравнение переноса становится дифференциальным уравнением, решение которого получить значительно проще, чем решение интегро-дифференциального уравнения.

В рамках модели с центром диффузии, проникновение частиц в мишень, сопровождающееся постепенной изотропизацией, сводится к двум предельным этапам: сначала они движутся по прямой до некоторой точки rd = 0 Sd, которую назовем центром диффузии, а затем изотропно рассеиваются в этой точке.

Величина Sd определяется как среднее смещение остановившихся частиц в направлении падения.

Первый этап исключается из рассмотрения заменой падающего на поверхность мишени пучка QV x,, E на изотропный точечный источник частиц, расположенный в центре диффузии rd и описываемый выражением уравнение (1) сводится к уравнению диффузии где d 0 ( r, E ) – плотность частиц (плотность потока частиц в единичном интервале пробегов), – переменная, называемая возрастом частиц, однозначно связана с энергией и играет роль времени в уравнении диффузии.

Граничное условие имеет вид Усреднение транспортной длины tr ( ) :

в граничном условии (5), выполненное искусственно, приводит уравнение (3) к 3-му роду, и, таким образом, позволяет решить его аналитически. Плотность потока, вычисляемая в диффузионном приближении по формуле позволяет вычислить в аналитическом виде любые характеристики переноса заряженных частиц.

Транспортное приближение кинетического уравнения, суть которого состоит в замене дифференциального сечения упругого рассеяния wel E, в уравнении (1) на транспортное сечение wT ( E ), определяемое выражением где w0 ( E ) и w1 ( E ) - нулевой и первый коэффициенты разложения wel E, по полиномам Лежандра. Полагается где wtr, wtr – обратная длина упругого рассеяния и ее малоугловой компонент.

В соответствии с этим плотность потока F x,, E представляет собой декомпозицию во всем фазовом пространстве координат, направлений и энергий:

где F, Ff и Fd - плотности потока электронов в точке x, движущихся в направлении с энергией E. При нормальном падении пучка электронов с начальной энергией E0 на многослойную структуру уравнение (1) в транспортном приближении сводится к двум уравнениям:

с дополнительным условием:

описывающим поток электронов, падающий на образец по нормали n к поверхности с начальной энергией E0 в точку начала координат r = 0. Здесь ( E ) – средние потери энергии на единице пути, - оператор Лапласа по вектору