На правах рукописи

Ганиев Муродбек Шамсивиеч

О РАЗРЕШИМОСТИ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ

ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ

НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические

системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе 2012 2

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

Научный руководитель: доктор физико–математических наук, Исхоков Сулаймон Абунасрович

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, доцент Гадоев Махмадрахим Гафурович доктор физико–математических наук, доцент Сафаров Джумабой

Ведущая организация: Худжандский государственный университет им. академика Б. Гафурова

Защита состоится " " февраля 2012 г. в часов мин. на заседании Диссертационного совета ДМ 047. 007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан.

Автореферат разослан " " января 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся нелинейных дифференциальных уравнений.

Краевые задачи для вырождающихся дифференциальных уравнений часто и естественным образом возникают в процессе моделирования ряда прикладных задач в теории малых изгибаний поверхностей, в газовой динамике и других разделах механики. Как отмечено авторами многих обзорных работ, существуют разнообразные способы вырождения, которые требуют применения соответствующих разных методов, и в настоящее время не существует единой теории, которая охватывала бы все результаты этого направления.

Подход к исследованию граничных задач для вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений на базе теории вложения весовых функциональных пространств впервые был продемонстрирован в работе Л.Д.Кудрявцева1. Результаты этой работы позже обобщались и дополнялись в работах С.М. Никольского, П.И. Лизоркина, Х. Трибеля, Л.Д. Кудрявцева, А. Куфнера, С.В. Успенского, Н.В. Мирошина, Ю.Д.Салманова, К.Х. Бойматова, С.А. Исхокова и др.

Исследования, проведенные в настоящей диссертационной работе, примыкают к работам указанных выше авторов и по сравнению с ними рассматриваются новые классы нелинейных дифференциальных уравнений с вырождением.

Цель работы 1. Исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле c однородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных + уравнений в полупространстве Rn = {x = (x1, x2,..., xn ) Rn : xn > 0} с нестепенным вырождением на гиперплоскости xn = 0 и при xn.

2. Исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных + уравнений в полупространстве Rn.

3. Исследование разрешимости вариационной задачи для нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях размерности m : 0 m n 1, удовлетворяющих условию Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, 1959, т. 55, с. 1-182.

конуса.

Методы исследования. Применяемый в диссертации метод основан на элементах функционального анализа и теории весовых функциональных пространств (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т.д.) Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Доказана теорема об однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве Rn с нестепенным вырождением на гиперплоскости xn = 0 и при xn.

2. Доказаны интегральные неравенства разных метрик со степенными весами для функций, определенных в полупространстве Rn и их применением исследована разрешимость вариационных задач Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве Rn.

3. Доказаны интегральные неравенства разных метрик со степенными весами для функций, определенных в области = Rn \ M, где Mнеограниченное C 0 -многообразие размерности m < n, удовлетворяющее условию конуса, и их применением исследована разрешимость вариационных задач Дирихле с однородными и неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в со степенным вырождением на многообразии M.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут послужить основой для дальнейших теоретических исследований в теории вложения весовых функциональных пространств, в теории краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.

Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью вырождающихся дифференциальных уравнений в решении прикладных задач механики и других разделов физики.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации обсуждались на международной научной конференции "Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика АН РТ Бойматова К.Х. (г. Душанбе, 23-24 июня 2010 г.), на международной научной конференции "Современные проблемы математки и ее приложения", посвященной 70-летию академика АН РТ Мухамадиева Э.М (г. Душанбе, 28-29 июня 2011 г.), на научно-исследовательских семинарах отдела теории функций и функционального анализа ИМ АН Республики Таджикистан (руководители: доктор физ.-мат. наук, академик АН РТ, профессор Шабозов М.Ш. и доктор физ.-мат. наук, профессор Исхоков С.А.) в 2006 – 2011 гг.; общеинститутском семинаре Института математики АН Республики Таджикистан (руководитель семинара: доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент АН РТ, профессор Рахмонов З.Х.) в 2011 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти научных работах, список которых приведен в конце автореферата. Три из них написаны в соавторстве с научным руководителем С.А. Исхоковым, которому принадлежат постановка задач и выбор метода доказательств результатов.

Структура и объм работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 105 страницах компьютерного набора. Библиография насчитывает 54 наименования.

Во введении дается краткий исторический обзор результатов по рассматриваемой проблеме, обосновывается актуальность темы. Приводится также краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

В диссертации использована двойная нумерация параграфов, причем первая цифра означает номер главы, вторая – номер параграфа в главе.

Первая глава состоит из двух параграфов и посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле c однородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве Rn с нестепенным вырождением на гиперплоскости xn = 0 и при xn.

В первом параграфе первой главы введено весовое пространство Vp; (Rn ) и изучены его основные свойства.

Пусть (xn )– положительная непрерывная функция, определенная на полуоси (0, ). Пусть r – натуральное число и p 1. Символом Vp; (Rn ) обозначим пространство функций u(x), определенных в полупространстве Rn, имеющих все обобщенные производные u(k) (x) до порядка r включительно, с конечной нормой Основным результатом первого параграфа первой главы является слеr + дующая теорема вложения разных метрик для пространств Vp; (Rn ).

Теорема 1.1.2. Пусть r –натуральное число, s [0, r]–целое число, 1 p < и выполняется условие Тогда если то справедливо вложение где Во втором параграфе первой главы исследуется разрешимость вариационной задачи Дирихле для нелинейного дифференциального уравr + нения, решение которой является элементом пространства Vp; (Rn ). Так как C0 (Rn ) плотно в пространстве Vp; (Rn ), то граничные условия в этой задаче являются однородными.

Каждому мультииндексу k такому, что |k| r, сопоставим число pk 2 и рассмотрим дифференциальное уравнение Очевидно, это уравнение является нелинейным, если pk = 2 хотя бы для одного мультииндекса k.

Определение 1.2.1. Функция U (x) называется обобщенным решением уравнения (6), если для всех v(x) C0 (Rn ) выполняется тождество где < F, v > означает значение функционала F на функции v(x), если же F – обычная функция, то < F, v > – скалярное произведение функций F (x) и v(x) в L2 (Rn ).

При |k| = 0, |k| = r положим pk = p.

Задача D0. Для заданного функционала F Vp; (Rn ) требуется найти обобщенное решение уравнения (6), принадлежащее пространству Vp; (Rn ), то есть функцию U (x) Vp; (Rn ), удовлетворяющую тождеству (7).

Предполагается, что коэффициенты ak (x) уравнения (6) удовлетворяют условию где положительные числа c1, c2 не зависят от x. Также, как в §1.1 считается, что (xn ) – положительная функция из класса C 1 (R1 ), удовлетворяющая условию (2). Относительно чисел pk предполагается выполнение следующих условий:

Прежде чем доказать существование решения задачи D0, более подробно изучаются свойства функционалов, связанных с уравнением (6) где F – заданный элемент из пространства Vp; (Rn ).

Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия (8) – (9). Тогда для люr бого заданного функционала F Vp; (Rn ) существует единственная функция U (x) Vp; (Rn ) такая что где инфимум берется по всем u Vp; (Rn ).

Теорема 1.2.2. Пусть выполнены все условия теоремы 1.2.1. Тогда функция U (x) из этой теоремы является единственным решением задачи D0 и справедлива оценка где число M > 0 не зависит от F.

Вторая глава диссертационной работы посвящена изучению разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве Rn. Она состоит из двух параграфов и в первом параграфе определено пространство Wp;,, (Rn ), изучены его основные свойства и доказаны некоторые вспомогательные интегральные неравенства.

Пусть функция (t) C (R1 ) такая, что 0 (t) 1 для любого любых двух вещественных чисел, определим функцию Пусть p (1; +) и r – некоторое целое неотрицательное число. Определим следующие весовые классы функций, заданных в полупространстве Пространство Vp; (Rn ) при (xn ) =, (xn ) обозначим через Vp;, (Rn ).

Если D - некоторое весовое пространство функций на Rn, то через D обозначим пополнение класса C0 (Rn ) в метрике пространства D.

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия + p {1, 2,..., r} ;

+ p {1, 2,..., r}, r. Тогда с точностью до эквивалентности норм имеет место равенство Теорема 2.1.3. Пусть p > 1 и числа,, удовлетворяют условиям теоремы 2.1.1. Пусть также где инфимум берется по всем u W (Rn ).

Теорема 2.2.3. В условиях теоремы 2.2.2 решение U (x) вариационной задачи (21) будет единственным решением задачи D и удовлетворяет следующей оценке Более того, если pk < p + 1 при 1 |k| r 1, то решение U (x) задачи D удовлетворяет оценке Далее рассматривается случай задачи D, когда решение дифференциального уравнения (6) удовлетворяет неоднородным граничным условиям на гиперплоскости xn = 0 и однородным условиям при xn. Решение в этом случае ищется в пространстве W r,, (Rn ).

данной функции (x) Wp;,, (Rn ) требуется найти обобщенное реr + шение U (x) уравнения (6), принадлежащее пространству Wp;,, (Rn ) и удовлетворяющее условию Замечание 2.2.2. Условие (24) означает, что функция U (x) имеет одни и те же следы на гиперплоскости xn = 0, что и функция (x).

Теорема 2.2.4. Пусть выполнены все условия теоремы 2.2.2 кроме условии < 1/p. Пусть также бой заданной функции (x) Wp;,, (Rn ) существует единственная функция U (x) из класса W (Rn ), которая является решением вариационной задачи (21)и задачи D1 и для нее справедливы неравенr ства (22), (23), в которых норма F ; Wp;,, (Rn ) заменена нормой Далее рассмотривается более конкретный случай задачи D1, когда граничные условия на гиперплоскости xn = 0 выписываются в явном виде.

Справедлива следующая лемма Лемма 2.2.1. Пусть 1 p <, r + p < < p. Тогда для любого набора функций где Bp (Rn1 ) – классы Бесова функций, определенных на Rn1, s0 – целое число удовлетворяющее неравенствам существует функция Lr (Rn ) такая, что:

Задача D2. Для заданного функционала F Wp;,, (Rn ) и заданного набора граничных функций (25) требуется найти обобщенное реr + шение U (x) уравнения (6), принадлежащее пространству Wp;,, (Rn ) и удовлетворяющее граничным условиям Теорема 2.2.5. Пусть выполнены все условия теоремы 2.2.4 и пусть числа,, удовлетворяют условиям Через Kh (), где Rn и || = h, обозначим конус, который получается путем поворота конуса Kh вокруг начала координат так, что при этом точка (0, 0,..., 0, h) переходит в точку. Объединение всех конусов Kh (), когда пробегает Sh обозначим через Vh.

Определение 3.1.1. Будем говорить, что неограниченное C 0 -многообразие M Rn размерности m удовлетворяет условию конуса если существует линейное преобразование A : Rn Rn, осуществляющее поворот вокруг начала координат, такое, что Далее предполагаем, что M-неограниченное C 0 -многообразие размерности m < n, удовлетворяющее условию конуса, = Rn \ M и (x) = dist{x, M} для всех x.

Пусть функция (t) C (0, +) такая же, как в первой главе. Для двух вещественных чисел, определим функцию, (x) = ((x)) (x) + (1 ((x))) (x) (x ).

Пусть p (1, +) и пусть r - целое неотрицательное число. Аналогично пространствам Lr (Rn ), Wp;,, (Rn ) определяются пространr + ства Lr (), Wp;,, () функций, определенных в области. В перr вом параграфе третьей главы продолжены изучения свойств пространств p;,, (), Wp;,, (). В частности, найдены достаточные условия, при выполнении которых на функциях u C0 () полунорма u; Lr () p;, эквивалента норме пространства Wp;,, () (теорема 3.1.3), а также доказаны вспомогательные интегральные неравенства вида (теоремы 3.1.4 и 3.1.5) где s – целое число из интервала (0, r) и числа s, s определяются через,,, r, s, p, q0.

Во втором параграфе третьей главы исследуется разрешимость вариационной задача Дирихле с однородными граничными условиями для нелинейного дифференциального уравнения вырождающегося на неограниченном многообразии размерности m n 1. Здесь также, как в §3.1 считается, что = Rn \M, где M – неограниченное C 0 – многообразие размерности m n 1, удовлетворяющее условию конуса и (x) = dist{x, M} для всех x. Решение рассматриваемой задачи ищется в пространстве W r,, () и как элемент этого пространства удовлетворяет однородным граничным условиям на многообразии M.

принадлежащее пространству W r,, () Разрешимость задачи D0 изучается при следующих ограничениях на коэффициенты ak (x) дифференциального уравнения (30):

I) pk = p 2 при |k| = 0, |k| = r и существуют положительные числа c1, c2 такие, что где, (x) такая же функция как в §3.1;

II) 2 p pk < при 1 |k| r 1 и существуют положительные числа c3, c4 такие, что где Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия I), II) и пусть Тогда для любого заданного функционала F W p;,, () существует единственная функция U (x) из пространства W r,, (), коp;

торая является решением вариационной задачи Более того, функция U (x) является единственным решением задачи D и при этом справедлива следующая оценка где число M > 0 не зависит от F.

Далее рассмотривается более конкретный случай задачи D0, когда ее решение принадлежит классу L r, ().

Теорема 3.2.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.2.1 и пусть где s0 – целое число, которое удовлетворяет неравенствам Тогда решение U (x) задачи D0 удовлетворяет следующим однородным граничным условиям где t – единичный вектор нормали к многообразию M в точке x.

Последний параграф третьей главы посвящен исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейного дифференциального уравнения, вырождающегося на неограниченном многообразии M размерности m n 1, удовлетворяющее условию конуса.

Задача D. Для заданного функционала F Wp;,, () и заданr ной функции (x) Wp;,, () требуется найти обобщенное решение U (x) уравнения (30), принадлежащее пространству Wp;,, () и удовлетворяющее условию Разрешимость задачи D изучается при более жестких ограничениях на коэффициенты ak (x), (|k| r), чем в §3.2. Здесь предполагается, что коэффициенты ak (x) уравнения (30) удовлетворяют условиям:

I) pk = p 2 при |k| = 0, |k| = r и существуют положительные числа c1, c2 такие, что где, (x) – весовая функция, определенная в §3.1;

II) 2 p pk < при 1 |k| r 1 и существуют положительные числа c3, c4 такие, что где k, k – вещественные числа, удовлетворяющие условиям Теорема 3.3.1. Пусть выполнены условия I), II) и пусть для всех мультииндексов k, удовлетворяющих условию 1 |k| r 1.

Тогда для любого заданного функционала F W r,, () и люp;

бой заданной функции (x) W r,, () существует единственная функция U (x) W p;,, () такая, что где и инфимум берется по всем u W r,, ().

Более того, эта функция U (x) является единственным решением задачи D и удовлетворяет оценке В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору С.А. Исхокову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

1. Исхоков С.А., Ганиев М.Ш. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве // Доклады АН Республики Таджикистан, 2009, т. 52, №4, с. 255-260.

2. Ганиев М.Ш. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для нелинейного дифференциального уравнения с нестепенным вырождением // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика К.Х.Бойматова, Душанбе, июнь, 3. Исхоков С.А., Ганиев М.Ш. Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве // Доклады АН Республики Таджикистан, 2011, т. 54, №2, с. 97-104.

4. Исхоков С.А., Ганиев М.Ш. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для нелинейных дифференциальных уравнений с вырождением // Материалы международной конференции "Современные проблемы математики и ее приложения", посвященной 70-летию профессора Мухамадиева Э.М., Душанбе, июнь 2011г., с. 52-54.

5. Ганиев М.Ш. Вариационная задача Дирихле для нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях // Доклады АН Республики Таджикистан, 2011, т. 54, №5,