На правах рукописи

Закиров Андрей Владимирович

Применение локально-рекурсивных

нелокально-асинхронных алгоритмов в

полноволновом численном моделировании

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2012

Работа выполнена на кафедре прикладной математики факультета управления и прикладной математики Московского физико-технического института (ГУ)

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук Левченко Вадим Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Тихоцкий Сергей Андреевич Институт физики земли им. О.Ю. Шмидта РАН заместитель директора по науке заведующий лабораторией доктор физико-математических наук, профессор Ильинский Анатолий Серафимович Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет ВМК заведующий лабораторией

Ведущая организация: Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

Защита состоится 10 декабря 2012 г. в 1030 часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д.9, ауд. 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ.

Автореферат разослан 7 ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Федько О. С.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке эффективных методов численного решения волновых уравнений в пространственно-временной области в конеч­ ных разностях. В ней исследуются следующие вопросы:

Реализация локально-рекурсивных нелокально-асинхронных (LRnLA) алгоритмов (Левченко, 2005) для трехмерного численного решения урав­ нений Максвелла методом FDTD (Finite-Difference Time-Domain) (Yee, 1966) и уравнений упругости с помощью численной схемы на смещен­ ных сетках, аналогичной FDTD.

Применение разработанного программного кода для решения актуаль­ ных задач нанооптики, геофизики и сейсморазведки.

Актуальность работы. Волновые уравнения описывают разнообраз­ ные физические процессы. Среди них особый интерес представляют процес­ сы, происходящие в сложных структурах, состоящих из мелких объектов, размер которых сравним с длиной волны либо много меньше ее.

В нанооптике такими структурами являются современные искусствен­ ные оптические устройства и материалы, такие как фотонные кристаллы, метаматериалы, обтекаемые покрытия. Их создание и изучение представляет­ ся актуальным ввиду открывающихся возможностей управления электромаг­ нитным излучением, построением различных волноводов, конструирования материалов с отрицательным показателем преломления, суперлинз, скрыва­ ющих покрытий и т.д. Аналитические расчеты распространения света в них, как правило, возможны лишь при существенно упрощающих предположени­ ях. Для конструирования таких устройств необходимо предварительное тео­ ретическое исследование, которое может оказаться чрезвычайно трудоемким, либо вообще невозможным.

Задачи сейсморазведки и геофизики в России традиционно важны. В настоящее время ведется интенсивная разведка перспективных месторожде­ ний, таких как баженовская свита в западной Сибири. Эти месторождения имеют мощность нефте- и газоносных пластов зачастую меньше длины вол­ ны сейсмического поля (10-30 м против 100 м) при глубине залегания более 2 км.

В задачах сейсморазведки, кроме этого, также очень важен высокий аб­ солютный темп счета. Это связано с тем, что решение задач сейсморазведки имеет реальное практическое коммерческое применение, при котором критич­ на минимизация стоимости расчетов. Основным результатом прямого моде­ лирования в задачах сейсморазведки месторождений нефти и газа являются сейсмограммы. Генерация синтетических сейсмограмм обязана в этом случае быть а) быстрой (стоимость разработки эффективных программ экономиче­ ски выгодней), б) адекватной (в смысле использования методов без суще­ ственных приближений), в) обладать высокой точностью, поскольку важно то, что конечной целью является не качественное решение той или иной за­ дачи, а генерация синтетических сейсмограмм, неотличимых от полевых.

Таким образом, актуальные волновые задачи нанооптики и сейсмораз­ ведки трехмерны, разномасштабны по пространству и требуют высокой точ­ ности и скорости вычислений. Наиболее адекватно и приближенно к реаль­ ности эти процессы описываются с помощью полноволнового численного мо­ делирования, то есть моделирования в пространственно-временной области.

Однако, из-за существенных размеров счетной области трехмерное пол­ новолновое моделирование в пространственно-временной области требует боль­ ших вычислительных ресурсов.

В то же время длительный экспоненциальный рост производительности вычислительной техники к настоящему моменту привел, с одной стороны, к практической готовности и возможности решения таких задач, однако, с другой стороны, существующие методы и алгоритмы не используют эти воз­ можности в полной мере и обладают в этом смысле низкой эффективностью.

Такое положение вещей вынуждает уходить от трехмерного полноволново­ го моделирования в пространственно-временной области в пользу развития других методов, содержащих в свою очередь различные приближения и огра­ ничения (например, замена трехмерной задачи двумерной, моделирование в частотной области, пренебрежение неоднородностями исследуемого материа­ ла, дисперсионными потерями, предположение бесконечности образца и т.п.), которые позволяют описывать результаты в лучшем случае только качествен­ но.

Остается нерешенной актуальная задача разработки высокоэффектив­ ных алгоритмов, которые бы максимально использовали существующие вы­ числительные ресурсы для решения задач волнового моделирования без су­ щественных приближений.

Для полноволнового моделирования в пространственно-временной обла­ сти в качестве численной схемы, как правило, используется схема в конечных разностях FDTD (Taflove, 2005). Ввиду своей универсальности, эта схема за­ тем была распространена и на остальные волновые уравнения, в частности на уравнения упругости.

Исходя из конкретной постановки задачи необходимо учитывать несколь­ ко ограничений:

допустимые пределы численной дисперсии и анизотропии;

условие устойчивости схемы (Куранта).

Известно множество различных модификаций метода FDTD с целью осла­ бить или исключить данные условия. Но при этом сами по себе они сложнее как с вычислительной точки зрения, так и с точки зрения практической реа­ лизации. Поэтому необходимо количественно оценивать реальный практиче­ ский выигрыш от использования тех или иных модификаций FDTD.

Несмотря на то, что неявные схемы с абсолютной устойчивостью позво­ ляют исключить условие Куранта, тем не менее для большинства задач оно само по себе не является значительным ограничением и лишь немного мо­ жет усиливать ограничения допустимой численной дисперсии. В то же время неявные схемы требуют существенно больше операций, чем явные. Числен­ ную дисперсию уменьшают, используя схемы FDTD повышенного порядка точности.

В силу больших размеров обрабатываемых данных (из-за большого раз­ мера трехмерной рассчетной области и полноволнового моделирования) тре­ буется разработка и реализация эффективных алгоритмов численного моде­ лирования. Существующие программные реализации метода FDTD обладают низкой эффективностью кода, особенно при больших объемах данных.

Решение ресурсоемких задач на данный момент производится на мас­ сивно-параллельных вычислительных системах кластерного типа с использо­ ванием метода разделения области (domain decomposition). Но этот подход становится неэффективен для многоядерных систем и в особенности для ге­ терогенных систем с развитой иерархией параллельности.

Для достижения пиковой производительности при больших размерах данных необходимо учитывать иерархическую структуру подсистемы памяти вычислительного узла, с одной стороны, и иерархию параллельности, с дру­ гой стороны. Основываясь на этих требованиях, были разработаны локально­ рекурсивные нелокально-асинхронные (LRnLA) алгоритмы, являющиеся уни­ версальным эффективным инструментом программной реализации методов численного моделирования для явных схем эволюции во времени.

Отдельно можно отметить сложность программной реализации алгорит­ мов LRnLA, заключающуюся в новизне и оригинальности применяемых кон­ струкций.

Одна из особенностей задач моделирования наноматериалов состоит в большом количестве границ сред, где коэффициенты численной схемы раз­ рывны. Для сохранения порядка точности схемы необходимо корректно ап­ проксимировать моделируемые уравнения на этих границах. Одним из спосо­ бов такой аппроксимации является метод подсеточного сглаживания (subpixel smoothing, Farjadpour, 2006).

При моделировании открытых систем размеры области моделирования можно существенно уменьшить при использовании поглощающих граничных условий PML (Perfectly Matched Layer, Berenger, 1994). В то же время до сих пор остается открытым вопрос поиска оптимальных параметров PML для минимизации численного отражения от граничных условий типа PML.

Цель работы состоит в разработке и реализации эффективных мето­ дов, алгоритмов, комплекса программ для численного моделирования волно­ вых процессов в актуальных задачах нанооптики, геофизики и сейсморазведки.

Для достижения данной цели в рамках диссертации поставлены и реша­ ются следующие задачи:

1. Реализация высокоэффективного программного кода для решения урав­ нений Максвелла в пространственно-временной области. Программный код является открытым и свободным для использования.

2. Реализация высокоэффективного ядра программного комплекса для трехмерного полноволнового моделирования упругой среды. Внедрение про­ граммного комплекса в задачах сейсморазведки месторождений нефти и газа и массового расчета синтетических сейсмограмм.

3. Реализация поглощающих граничных условий PML как для уравнений упругости, так и для уравнений электродинамики. При этом граничные слои также обрабатываются локально-рекурсивным образом, как и вся область.

4. Подбор оптимальных параметров поглощающего слоя PML исходя из требований максимально допустимого коэффициента отражения от границ для схем FDTD 2-го и 4-го порядков аппроксимации.

5. В рамках решения уравнений Максвелла с использованием алгорит­ мов LRnLA реализация возможности моделирования различных материалов:

бездисперсионных диэлектриков, материалов с дисперсией, проводников, ани­ зотропных материалов, материалов с отрицательным показателем преломле­ ния. Реализация подсеточного сглаживания для разрывных коэффициентов материальных уравнений, реализация подсчета вектора Пойнтинга со 2-м по­ рядком точности.

6. Для уменьшения дисперсионных отклонений волн реализация повы­ шенного 4-го порядка точности разностной схемы по пространству; анало­ гичное изменение порядка схемы в PML.

Методы исследования: теория численных методов, теория алгорит­ мов, теория упругости, методы волновой оптики, вычислительные методы математической физики, методы численного эксперимента, современные тех­ нологии программирования.

Научная новизна работы 1. Впервые реализован метод FDTD как для уравнений упругости, так и для уравнений электродинамики, с реальной производительностью, при­ ближеной к пиковой при произвольном объеме обрабатываемых данных. Это качественно расширяет круг моделируемых систем. Программный код мо­ жет одинаково эффективно применяться как на небольших персональных компьютерах, так и на кластерных суперкомпьютерах, с высокой эффектив­ ностью во всех случаях.

2. Предложен способ подбора оптимальных параметров граничных усло­ вий PML для достижения минимального отражения от границ для схем FDTD 2-го и 4-го порядков аппроксимации по пространству. При этом обнаружено, что расчет отражения от границ PML, основанный на одномерном уравнении, хорошо описывает отражение и в реальных трехмерных расчетах.

3. С помощью программного комплекса продемонстрирована возмож­ ность численного моделирования ряда задач нанооптики, моделирование ко­ торых ранее требовало либо больших вычислительных мощностей и ресурсов, либо было в принципе невозможным.

4. С помощью программного комплекса впервые появилась возможность трехмерного численного моделирования распространения упругих волн в зем­ ной коре на глубину до 50 км и генерации синтетических сейсмограмм за приемлемое время.

Практическая ценность работы 1. Разработан программный комплекс для решения уравнений упруго­ сти для массовой генерации синтетических сейсмограмм в прямых задачах сейсморазведки нефти и газа. Программный комплекс обладает высокой эф­ фективностью, позволяющий проводить расчеты с высокой скоростью без существенных приближений задач.

2. В программном комплексе для моделирования задач нанооптики ре­ ализованы методы задания сложных геометрических объектов, материалов, структур с различными материальными моделями, такими как анизотроп­ ные, дисперсионные среды, проводники и т.д.

3. Приведены примеры эволюции электромагнитного поля в реальных за­ дачах распространения электромагнитных волн в таких материалах и струк­ турах, как трехмерные фотонные кристаллы, метаматериалы, материалы с отрицательным показателем преломления. В рамках программного комплек­ са разработаны методы диагностики и анализа результатов. Реалистичное моделирование позволяет визуально наблюдать происходящие процессы, ре­ альное поведение полей.

Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность рас­ четов обеспечивается использованием признанных и неоднократно исследо­ ванных численных схем; сравнением реализованного программного кода с другими аналогичными программами; сравнением результатов моделирова­ ния с реальными физическими процессами и явлениями.

Апробация работы. Результаты, описанные в диссертации, доклады­ вались и обсуждались на следующих научных конференциях:

50-я, 51-я, 52-я, 53-я, 54-я научные конференции МФТИ (2007 — 2011, Дол­ гопрудный); Progress in Electromagnetics Research Symposium (2009, Moscow;

2012, Kuala-Lumpur, Малайзия); Фундаментальные проблемы оптики (2010, Санкт­ Петербург); First Russian — Italian joint seminar on mathematical and physical models applications to condensed matter and preservation of the cultural heritage (On the occasion of ICIAP) (2011, Ревенна, Италия); Взаимодействие ионов с поверхностью (2011, Звенигород); Вторая научно-практическая конференция «Суперкомпьютерные технологии в нефтегазовой отрасли» (2011, Москва);

Балтийская школа-семинар «Петрофизическое моделирование осадочных по­ род» (2012, Петергоф); XIII школа-семинар им. академика Л.М. Бреховских «Акустика океана» (2011, Москва); XI Международная научно-техническая конференция «Современные методы и средства океанологических исследова­ ний» (2009, Москва); Пятая международная конференция «Распределённые вычисления и Грид-технологии в науке и образовании» (2012, Дубна); Меж­ дународная конференция по математическим методам в геофизике (2008, Но­ восибирск).

Также результаты были представлены и неоднократно обсуждались на науч­ ных семинарах кафедры прикладной математики Московского физико-тех­ нического института, семинарах научно-образовательного центра Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, семинарах ВНИИГеосистем, семинаре лаборатории метаматериалов Санкт-Петербургского Университета информационных технологий, механики и оптики. Работа стала лауреатом конкурса прикладных разработок и исследований в области компьютерных технологий «Компьютерный континуум: от идеи до воплощения», проводи­ мого компанией Intel в 2011 году.

Работа поддержана грантами РФФИ 09-07-00236, 12-01-00708, Гос. кон­ трактом 02.740.11.0475.

Разработанный программный комплекс CFgeo в течение нескольких лет используется на практике для моделирования синтетических сейсмограмм в ФГУП ВНИИГеосистем.

На основе диссертации разработан курс «Моделирование устройств на­ нооптики», читаемый автором на кафедре прикладной математики МФТИ.

Личный вклад соискателя в работах с соавторами. Автором са­ мостоятельно написана существенная часть программы, реализованы гранич­ ные условия, все модели среды. Автором был самостоятельно предложен и реализован способ подбора оптимальных параметров граничных условий для 2-го и 4-го порядков точности. Автором получены все результаты и примеры расчетов.

Публикации. Научные результаты диссертации опубликованы в 14 ра­ ботах, из которых 5 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ [1–5].

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка ис­ пользованных источников, состоящего из 122 наименований, и приложения.

Объем диссертации без приложения составляет 137 страниц, диссертация со­ держит 51 рисунок.

Содержание работы Во введении содержится описание проблемы, которой посвящена дис­ сертация, анализ публикаций, сформулированы цели работы, обоснована ак­ туальность диссертации и представлены выносимые на защиту научные по­ ложения. Также описано современное состояние разработанных методов пол­ новолнового моделирования в задачах сейсморазведки и нанооптики.

Первая глава посвящена постановке задач численного решения трех­ мерного волнового уравнения в пространственно-временной области в конеч­ ных разностях. И уравнения электродинамики (1), и уравнения упругости (2) можно записать как систему уравнений в частных производных первого по­ рядка, являющуюся частным случаем более общего волнового уравнения.

Численные схемы и алгоритмы решения строятся для уравнений, записан­ ных именно в этом виде.

Уравнения Максвелла запишем в дифференциальном виде в отсутствие токов и свободных зарядов:

где B — вектор магнитной индукции, D — электрической, E, H — напряжен­ ности электрического и магнитного полей соответственно. Для того, чтобы замкнуть эту систему уравнений, необходимо дополнить ее материальными уравнениями, связывающими вектора D с E (электрические свойства матери­ ала) и B с H (магнитные свойства). В простейшем случае эта связь линейна с двумя коэффициентами (диэлектрическая проницаемость) и (магнитная):

Уравнения упругости запишем в следующем виде:

Для решений уравнений Максвелла используется конечно-разностный метод во временной области в виде численной схемы FDTD и аналогичная схема в конечных разностях на сдвинутых сетках для уравнений упругости.

Рассмотрению данных схем посвящен раздел 1.2.

Проведенный анализ схемы FDTD повышенного порядка точности в ви­ де простейшей модификации показывает зависимость численной дисперсии от различных параметров. Можно сделать вывод о рациональности исполь­ зования 4-го порядка аппроксимации по пространству, что вследствие значи­ тельного укрупнения сетки (по сравнению с незначительным уменьшением количества операций) будет давать ускорение по сравнению с использовани­ ем 2-го порядка точности. Более точно можно сказать, что для практических задач общее количество операций уменьшается примерно в 30 раз, а количе­ ство данных — в 60 раз.

Уравнения Максвелла необходимо дополнить материальными уравнени­ ями, задающими ту или иную модель среды: модель простого бездисперсион­ ного диэлектрика, диэлектрика с дисперсией по модели Друде, проводники, материалы с отрицательным показателем преломления, анизотропные мате­ риалы. Также специальным образом связь векторов D и E (равно как и на B с H) задает метод подсеточного сглаживания (subpixel smoothing) для раз­ рывных коэффициентов модели среды, необходимый для сохранения 2-го по­ рядка точности численной схемы. В уравнениях упругости модель среды за­ дается посредством коэффициентов,,.

Для возможности моделирования открытых областей, граничные усло­ вия задаются посредством условий поглощения PML (Perfectly Matched Layer).

Граничные условия PML формулируются схожим образом и для уравнений Максвелла и для уравнений упругости.

Также необходимо проанализировать отражение от граничных условий PML при дискретизации моделируемой области. Гармонический анализ позв­ ляет получить рекуррентную формулу для вычисления отражения от PML в одномерном случае в общем виде для волновых уравнений, решаемых в ко­ нечных разностях на сдвинутой сетке [1], как для 2-го, так и для 4-го порядка аппроксимации численной схемы по пространству.

0. 1e- 1e- 1e- Рис. 1. Сравнение спектров падающей и отраженной зировать толщину слоя) для волны при оптимальных параметрах PML, обеспечи­ вающих минимальное отражение. В квадрате на ри­ сунке сравнение форм падающей и отраженной волн.

нений. На рис. 1 показано сравнение спектров падающей волны и отраженной от границы с PML.

В завершение главы описываются способы задания источника волн, ме­ тод TF/SF (Total field/ Scattered field).

Во второй главе подробно рассматриваются локально-рекурсивные нело­ кально-асинхронные алгоритмы (LRnLA). Учет современных требований к программной реализации численных методов моделирования физических про­ цессов для больших задач с явными численными схемами с локальным шаб­ лоном привел к созданию методики численного моделирования на основе ал­ горитмов LRnLA, которые и будут рассмотрены далее.

Для объяснения концепции алгоритмов LRnLA необходимо поэтапно вве­ сти понятия графа зависимостей численной схемы, локальности. Обосно­ вывается проблема достижения теоретической пиковой производительности с точки зрения необходимости правильно организованного хранения данных, использования алгоритма обхода графа зависимостей и распределения его участков между параллельными потоками вычислений.

Для огранизации данных используется локально-рекурсивное хранение на основе порядка Мортона (Z-order), программная реализация которого на­ зывается структурами cubeLR. Хранение данных в PML также можно огра­ низовать при помощи структур cubeLR.

Семейство алгоритмов LRnLA основано на рекурсивной декомпозиции графа зависимостей численной схемы и его локально-рекурсивном обходе. По аналогии с конусом Минковского вводятся понятия конусоида зависимости­ влияния, являющегося подграфом исходного графа зависимостей; понятие элементарного конусоида; а также величина локальности конусоида.

Предложен универсальный алгоритм ConeFold с набором конусоидов одной формы. Кроме этого, его коэффициент локальности больше коэффициента локальности элементарных конусоидов. Классификацию конусоидов можно провести по различным параметрам: класс, размерность, форма, вид, ранг, координаты; предложен способ буквенного кодирования ConeFold’ов.

Все численные схемы при реализации с помощью алгоримов LRnLA должны быть описаны в виде локального шаблона. В разделах 2.2.2 и 2.2. приводятся геометрические иллюстрации локальных шаблонов для схем FDTD уравнений Максвелла с анизотропными материальными уравнениями (кото­ рые содержат наибольшее количество зависимостей среди других материаль­ ных уравнений), локального шаблона для вычисления вектора Пойнтинга, локальный шаблон для уравнений упругости для схемы FDTD 4-го порядка точности по пространству. Численная схема на границе TF/SF является ло­ кальной, а значит для нее можно применять алгоритмы LRnLA. В рамках LRnLA рассмотрен способ реализации подсеточного сглаживания (subpixel smoothing). Для уменьшения хранимых данных проводится индексация па­ раметров среды.

На основе конусоидов ConeFold можно построить асинхронные конусои­ ды: ChessFold и ChessTorre, применяемые при разных способах параллели­ зации. Для программной реализации алгоритмов LRnLA необходимо приме­ нение кодогенерации.

граммного комплекса CFmaxwell, основанного на алгоритмах LRnLA для чис­ ленного решения задач нанооптики, а также примеры результатов моделиро­ вания. Вначале приводится описание программного комлекса CFmaxwell.

аналогичной программой Meep, разработанной в MIT, для численного реше­ ния уравнений Максвелла с помощью FDTD. Тестирование проводилось по нескольким параметрам: ускорение при многоядерном распараллеливании, параллельная эффективность на системе с неоднородной памятью, зависи­ мость абсолютной эффективности от размера данных.

(в расчете на ядро), ячейки/сек Темп обработки ячеек Рис. 2. Темп обработки ячеек, отнесенный к количе­ ству задействованных ядер.

стимый размер сетки для Meep составляет 231 ячеек, что принципиально огра­ ничивает область применения этого программного кода задачами сравнитель­ но небольшого размера, несмотря на сносные характеристики ее эффектив­ ности в скорости вычислений.

Сверх того, зависимость темпа вычислений при размере данных, пре­ вышающем оперативную память, показало, что при размере данных больше оперативной памяти (примерно 3 · 108 узлов сетки), время вычислений для Meep резко возрастает (возникает «экспоненциальная стенка»), в то время как время вычислений для CFmaxwell растет лишь незначительно.

Во второй части приведены примеры расчетов: распространение волно­ вого импульса в волноводе из трехмерного фотонного кристалла (рис. 3), в Рис. 3. a) Структура волновода, белый цвет — диэлектрик, серый — вакуум; б) Распреде­ ление компоненты поля в различные моменты времени волноводе в квазидвумерном фотонном кристалле с Г-образным изгибом под прямым углом, в сплиттере из квазидвумерного фотонного кристалла, про­ хождение волнового импульса в призме из метаматериала с отрицательным показателем преломления.

Четвертая глава содержит описание программного комплекса CFgeo, основанного на алгоритмах LRnLA для численного решения задач сейсмораз­ ведки и геофизики, а также содержит примеры результатов моделирования.

Приведены примеры трехмерного полноволнового моделирования рас­ пространения волнового возмущения в реальной модели соляного купола в районе прикаспия, полноволнового трехмерного моделирования на глубину земной коры вплоть до границы Мохоровичича (50км), распространения мик­ росейсм в океанической среде (импульсных сейсмоакустических полей по оке­ аническим волноводам поверхность воды-дно и на границе океан-континент в низкочастотном диапазоне от 0.05 до 1Гц).

На рис. 4 изображена синтетическая сейсмограмма, полученная в резуль­ тате моделирования на глубину 50км с фрактальной границей Мохоровичича.

Рис. 4. Синтетическая сейсмограмма, полученная в результате моделирования на глубину земной коры. По горизонтальной оси — номер пункта приема, по вертикальной — время.

Расстановка пунктов приема на дневной поверхности в одну линейку по оси X, взрыв производится с фланга. Показана величина компоненты поля.

На рис. 5 (1–7) представлены последовательные, со сдвигом около 10 с, «снимки» распространения и преобразования поля микросейсм.

Рис. 5. Последовательные (со сдвигом около 10 с сверху вниз) «снимки» распростране­ ния и преобразования поля микросейсм (компонента ) в океаническом волноводе, на континентальном склоне и части суши.

В заключении приводятся основные результаты диссертации.

Приложение посвящено программно-аппаратному техническому описа­ нию программных комплексов CFmaxwell и CFgeo.

Основные результаты работы 1. Реализованы локально-рекурсивные нелокально-асинхронные алгорит­ мы для метода конечных разностей во временной области (численной схемы FDTD) 2-го и 4-го порядков, для поглощающих граничных условий (PML), для различных моделей сплошной среды.

2. Предложен способ подбора оптимальных параметров PML для дости­ жения заданного отражения от границ.

3. Разработан высокоэффективный программный комплекс численного решения уравнений Максвелла, который может быть использован для моде­ лирования сложных устройств и материалов нанооптики.

4. Разработан программно-аппаратный комплекс для прямого моделиро­ вания эволюции сейсмического поля в земной коре. Комплекс использован для решения задач геофизики (распространения штормовых микросейсм в океаническом волноводе) и сейсморазведки нефти и газа. Произведено моде­ лирование волнового поля на глубину земной коры.

Список публикаций автора по теме диссертации 1. Закиров А.В., Левченко В.Д. Подбор оптимальных параметров идеально­ согласованного слоя для задач нанооптики // Математическое Модели­ рование. — 2011. — Т. 23, № 8. — С. 55–64.

2. Левченко Д.Г., Левченко В.Д., Закиров А.В. Динамическое полноволно­ вое моделирование распространения штормовых микросейсм в океаниче­ ской среде // Океанология. — 2011. — Т. 51, № 4. — С. 723–733.

3. Левченко Д.Г., Левченко В.Д., Закиров А.В. Динамическое моделирова­ ние распространения низкочастотных сейсмоакустических полей в оке­ анической среде // Доклады Академии наук. — 2010. — Т. 435, № 4. — С. 544–547.

4. Левченко В.Д., Змиевская Г.И., Бондарева А.Л., Закиров А.В. Модели­ рование задач нанофотоники и получения нанопленок: кинетический код lrnla/nano // Прикладная физика. — 2012. — № 3. — С. 9–18.

5. Zakirov A.V., Levchenko V.D. The effective 3d modeling of electromagnetic waves’ evolution in photonic crystals and metamaterials // PIERS Proceedings, Moscow, Russia. — 2009. — Pp. 580–584.

6. Закиров А.В., Левченко В.Д. Эффективный алгоритм для трехмерно­ го моделирования распространения электромагнитных волн в фотонных кристаллах: Препринт / ИПМ. — М., 2008. — № 21. — 20 с.

7. Закиров А.В., Левченко В.Д. Реализация высокоэффективного кода для трехмерного моделирования эволюции электромагнитного поля в ак­ туальных задачах электродинамики: Препринт / ИПМ. — М., 2009. — 8. Закиров А.В., Левченко В.Д. Эффективный алгоритм для моделирова­ ния трехмерного фотонного кристалла // Современные проблемы фун­ даментальных и прикладных наук. Часть VII. Управление и приклад­ ная математика, Т.2: Труды 50-й научной конференции МФТИ. /Моск.

физ.-техн. ин-т. — М. — Долгопрудный, 2007. — C. 77.

9. Закиров А.В., Левченко В.Д. Трехмерное моделирование эволюции во времени электромагнитного поля в фотонных кристаллах // Современ­ ные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Управ­ ление и прикладная математика, Т.1: Труды 51-й научной конференции МФТИ. /Моск. физ.-техн. ин-т. — М. — Долгопрудный, 2008. — C. 76.

10. Закиров А.В., Левченко В.Д. Трехмерное моделирование эволюции во времени электромагнитного поля в актуальных задачах нанооптики // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Управление и прикладная математика, Т.1: Труды 52-й научной кон­ ференции МФТИ. /Моск. физ.-техн. ин-т. — М. — Долгопрудный, 2009.

11. Закиров А.В., Левченко В.Д. Адаптация идеально согласованного слоя pml для задач нанооптики // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Управление и прикладная математика, Т.3: Труды 53-й научной конференции МФТИ. /Моск. физ.-техн. ин-т. — М. — Долгопрудный, 2010. — C. 116.

12. Закиров А.В., Левченко В.Д. Интерфейс задания параметров и обработ­ ки результатов программного комплекса lrnla/nano для моделирования задач нанооптики // Современные проблемы фундаментальных и при­ кладных наук. Часть VII. Управление и прикладная математика, Т.2:

Труды 54-й научной конференции МФТИ. /Моск. физ.-техн. ин-т. — М.

— Долгопрудный, 2011. — C. 118.

13. Закиров А.В., Левченко В.Д. Трехмерное моделирование эволюции во времени электромагнитного поля в актуальных задачах нанооптики // Сборник трудов конференции «Фундаментальные Проблемы Оптики» / ИТМО — С.-Петербург, 2010. — С. 424.

14. Левченко Д.Г., Левченко В.Д., Закиров А.В. Численное моделирование распространения низкочастотных сейсмоакустических полей в океаниче­ кой среде // Материалы XI международной научно-технической конфе­ ренции «Современные методы и средства океанологических исследова­ ний». — Т. 1. — М., 2009. — С. 159–167.

Применение локально-рекурсивных нелокально-асинхронных алгоритмов в полноволновом численном моделировании Подписано в печать 30.10.2012. Формат 60 x 84 1 /16. Усл. печ. л. 1,0.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)»

Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф»

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер.,