[
На правах рукописи
Фозилова Давлатбахт Миралибековна
Асимптотическая формула в кубической задаче
Эстермана с почти равными слагаемыми
01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Душанбе – 2012
2
Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан
Научный руководитель: доктор физико–математических наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусенович
Официальные оппоненты: Чубариков Владимир Николаевич доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, декан механико-математического факультета Табаров Абдулло Хабибуллоевич доктор физико–математических наук, Таджикский национальный университет, заведующий кафедрой высшей математики
Ведущая организация: Таджикский педагогический университет им. С.Айни
Защита состоится 28 марта 2012 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан (734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4).
С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АН РТ.
Автореферат разослан 27 февраля 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Каримов У.Х.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена задачам аналитической теории чисел. Основным предметом исследования является изучение поведения коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля и вывод асимптотической формулы в тернарной задаче Эстермана о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и куба натурального числа при условии, что они почти равны.
Впервые тригонометрические суммы стал рассматривать К.Ф.Гаусс. В частности, он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства, носящей его имя “суммы Гаусса”:
q am S (a, q) = e, (a, q) = 1.
q m= Он показал пользу тригонометрических сумм, как средства решения задач теории чисел. В частности, используя свойства суммы Гаусса, он построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов.
В дальнейшем тригонометрические суммы стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.
Сумма Гаусса является частным случаем более общей рациональной полной тригонометрической суммы:
q f (m) S (f, q) = e, q m= где f = f (t) = an tn +... + a1 t – многочлен степени n > 1 с условием (an,..., a1, q) = 1. Наилучшую оценку суммы в общем случае дал Хуа Ло-ген1, 2. Он установил неравенство где c(n) – абсолютная постоянная зависящая только от степени n многочлена f (t). Это неравенство замечательно тем, что при постоянном n в Hua L.K. Abschddotatzungen von Exponentialssumen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie, Enzuyklopadie der mathemathischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bahd I, Teil 2, Heft 13, Teil 2, Teudner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1959.
Хуа Ло-ген Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. – М.:
Мир, 1964, –190с.
смысле порядка роста правой части с возрастанием q оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим.
Хуа-Ло-ген3 для многочленов с целыми коэффициентами вида f (t) = atn + bt, (a, q) = 1 также доказал, что Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида
«