На правах рукописи

Филимоненкова Надежда Викторовна

Качественное исследование слабых

решений m–гессиановских уравнений

01.01.02 дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2010

Работа выполнена на кафедре математики ГОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.

Научный доктор физико-математических наук, руководитель профессор Ивочкина Нина Михайловна Официальные доктор физико-математических наук, оппоненты профессор Назаров Александр Ильич доктор физико-математических наук, профессор Шишков Андрей Евгеньевич Ведущая Санкт-Петербургский государственный организация электротехнический университет (ЛЭТИ)

Защита состоится 2010 года в ч. на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова РАН по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СанктПетербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук А. Ю. Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В 80-е годы прошлого века в Н.М.Ивочкиной1, работах Л.Каффарелли, Л.Ниренберга, 2 3 Д.Спрука, Н.В.Крылова, Л.Эванса были заложены основы современной теории полностью нелинейных уравнений второго порядка в частных производных: F (uxx, ux ) = f. В таких уравнениях присутствует нелинейная зависимость от первых и вторых производных решения, и, если при этом главная часть уравнения зависит только от вторых производных, они называются гессиановскими. В отличие от линейных эти уравнения не сохраняют тип (эллиптичность, параболичность, гиперболичность) на функциях из пространства C 2. Поэтому вопрос о разрешимости гессиановских уравнений ставят на более узком множестве допустимых C 2 -гладких функций.

Именно, в конусе положительной монотонности функции F (S, p) относительно матрицы S. Основной чертой публикаций вышеназванных авторов является стремление охватить как можно более общий класс функций F в рассматриваемых уравнениях.

Последнее приводит к большому набору дополнительных условий, которые отодвигают на второй план основную специфику этой теории и истинную новизну методов исследования. Имеет смысл конкретизировать исследование на одном из типичных представителей гессиановских уравнений для получения результатов, близких к предельным. Мы рассматриваем задачу Дирихле для m-гессиановского уравнения.

Ивочкина, Н. М. Описание конусов устойчивости, порождаемых дифференциальными операторами типа Монжа – Ампера // Мат. сборник. – 1983. – Т. 122(164), № 2(10). – С. 265–275.

Caarelly, L., Nirenberg, L., Spruck, J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations III. Functions of the eigenvalues of the Hessian // Acta Math. – 1985. – Vol. 155. – P. 261–301.

Крылов, Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. – М.: Наука, 1985. – 376 с.

Evans, L. C. Classical solutions of fully nonlinear convex second order elliptic equations // Comm.Pure and Appl.Math. – 1982. – Vol. 35, № 3. – P. 333–363.

где trm uxx – это сумма главных миноров порядка m матрицы uxx, называется m-гессиановским. В частности, при m = 1 перед нами уравнение Пуассона, при m = n – уравнение Монжа – Ампера. Интерес к m-гессиановским уравнениям родился из попыток распространить теорию уравнений Монжа – Ампера на родственные классы.

В настоящее время актуальным является изучение слабых решений задачи Дирихле для m-гессиановского уравнения.

Мы понимаем под слабыми аппроксимативные решения, введенные Н.Трудингером5 в 1997 году. Последние являются альтернативой вязкостным решениям6,7,8,9. Однако вязкостный подход гарантирует единственность решения только при условии непрерывности f. Представляется важным ослабить требования на правую часть уравнения. Теория аппроксимативных решений позволяет рассматривать f из лебеговых и соболевских пространств. Изучение таких решений берет начало в упомянутой работе Н.Трудингера, где было доказано существование аппроксимативного решения m-гессиановского уравнения из пространства C ( ),, при условии f Ln (). Вопрос Trudinger, N. S. Week solutions of Hessian equations // Comm. Partial Differential Equation. – 1997. – Vol. 22. – P. 1251–1261.

Crandall, M. G. Quadratic forms, semidierentials and viscosity solutions of fully nonlinear elliptic equations // Ann. I. H. Poincar Anal. Non Linaire. – 1989. – Vol. 6 – P. 419–435.

Crandall, M. G., Ishii, M. G., Lions, P.-L. User’s guide to viscosity solutions of second order partial dierential equations // Bul. Amer. Math. Soc. – 1992. – Vol. 27 – P. 1–67.

Jensen, R. The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial dierential equations // Arch. Rat. Mech. Anal. – 1988. – Vol. 101. – P. 1–27.

Ishii, H. On uniqueness and existence of viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic PDE’s // Comm. Pure Appl. Math. – 1989. – Vol. 42. – P. 14–45.

о поведении аппроксимативного решения в замкнутой области до сих пор оставался открытым – настоящая диссертация в значительной мере посвящена его исследованию.

Цель работы.

1. Представить полное доказательство существования классического решения задачи Дирихле для невырождающихся m-гессиановских уравнений методом непрерывности при минимальных требованиях на правую часть уравнения.

2. Построить теорию аппроксимативных решений задачи Дирихле для m-гессиановских уравнений, выделить зависимость качества аппроксимативного решения от регулярности правой части уравнения.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана разрешимость в пространстве C l+ () задачи Дирихле для невырождающегося (f > 0) m-гессиановского уравнения с правой частью из C l2+ (), l 4.

2. Проведен анализ глобального поведения аппроксимативного решения задачи Дирихле для m-гессиановского уравнения.

Показано, что аппроксимативное решение v принадлежит пространству C (), Lip() или vx Lip(), если правая часть уравнения принадлежит соответствующим лебеговым или соболевским пространствам и допускает вырождение (f 0).

Методы исследования. Математический аппарат состоит, во-первых, в адаптации известных подходов из области линейных уравнений к рассматриваемой задаче.

Во-вторых, представлены новые методические наблюдения в теории полностью нелинейных уравнений, не имеющие аналогов ни в теории линейных, ни в теории квазилинейных эллиптических уравнений. Отличительной особенностью диссертации является систематическое использование принципа максимума Александрова.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории дифференциальных уравнений в частных производных и ее приложениях в геометрии и математической физике. В частности, для изучения уравнений кривизны или для построения теории слабых решений эволюционных уравнений.

Апробация диссертации. Результаты диссертации обсуждались на заседаниях научного семинара им. В.И.Смирнова по математической физике в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова РАН (2009 – 2010), в рамках работы Российской Школы-конференции с международным участием “Математика, информатика, их приложения и роль в образовании” (2009, Москва, РУДН), на международной конференции “Современные проблемы математики, механики и их приложений”, посвященной 70летию академика В.А.Садовничего (2009, Москва, МГУ), и на международной конференции “Nonlinear partial dierential equations – 2010” в г. Днепропетровске. Работа поддержана РФФИ-грантом №09-01-00729.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 7 работах автора (две из них в соавторстве). Работа [5] опубликована в журнале из перечня ВАК. Pаботы [1] – [4] опубликованы в журнале, удовлетворяющем достаточному условию включения в перечень ВАК (переводная версия этого журнала “Journal of Mathematical Sciences” входит в системы цитирования Springer и Scopus).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 13 параграфов, указателя обозначений и списка литературы из 26 наименований. Общий объем диссертации составляет 80 страниц.

Во введении представлено описание рассматриваемой задачи, краткий обзор имеющихся на сегодняшний день результатов и обсуждение новых результатов, полученных в диссертации.

предварить описанием m-гессиановских функций и операторов.

Рассмотрим пространство Sym(n) симметричных матриц размера n n. Выберем и зафиксируем целое число m с условием 1 m n. Следом порядка m матрицы S, обозначаем trm S, называют сумму всех главных миноров порядка m матрицы S. В частности, tr1 S = trS, trn S = detS. След порядка m инвариантен относительно ортогонального преобразования в том смысле, что Поэтому можно рассматривать операцию trm S на диагонализации матрицы S, и тогда след порядка m – это значение элементарной симметрической функции на множестве собственных чисел матрицы S.

В работе Л.Гординга10, посвященной a-гиперболическим многочленам, введены конусы положительной монотонности этих многочленов. Примером такого многочлена является функция trm S, для которой конус Л.Гординга имеет вид В конусе Km рассмотрим 1-однородную функцию:

Л.Гординг доказал выпуклость конуса Km и вогнутость функций Garding L. An inequality for hyperbolic polynomials // J. Math.Mech. – 1959.

– Vol. 8. – P. 957–965.

Fm в конусе Km. В заметке Н.М.Ивочкиной11 представлено конструктивное описание конусов Km :

Из этого представления ясно, что Kn – это конус положительно определенных матриц.

Рассмотрим ограниченную область Rn.

Определение 1. Функция u C 2 () называется m-допустимой в области, если uxx (x) Km, x.

В частности, n-допустимая функция – это выпуклая функция в области. Множество m-допустимых функций образует конус Оператор, порожденный функцией Fm и действующий в конусе Km, назовем m-гессиановским оператором:

При m = 1 это оператор Лапласа, при m = n – Монжа – Ампера.

Поставим в области задачу Дирихле для m-гессиановского уравнения:

Задача (1) является одним из основных примеров задачи Дирихле для полностью нелинейного уравнения второго порядка.

Ивочкина, Н. М. Описание конусов устойчивости, порождаемых дифференциальными операторами типа Монжа – Ампера // Мат. сборник. – 1983. – Т. 122(164), № 2(10). – С. 265–275.

В первой главе собраны вспомогательные факты, составляющие инструментальную базу нашего исследования.

В параграфе 1.2 перечислены алгебраические свойства оператора Fm. В частности, найдены достаточные условия, при которых форма Fm [u] i j, Rn, равномерно положительно определена. Воспользовавшись 1-однородностью функций Fm, запишем уравнение Fm [u] = f в “линейном” виде Тогда для любой функции u Km () выполняется двойное неравенство:

При наличии априорной оценки u C 2 () и при условии f > в cоотношение (3) гарантирует равномерную эллиптичность уравнения (2) в области. Поэтому, говоря о вырождении уравнения (2), будем иметь в виду случаи, когда f обращается в ноль.

Далее в параграфе 1.3 первой главы доказан принцип максимума Александрова12 в нетрадиционной форме – для произвольных областей, в том числе типа параллелепипеда:

Предложение 2. Пусть u – m-допустимая функция в области, z C 2 (). Если {x Rn : |xi | < ri, i = 1, 2,..., n}, Александров, А. Д. Задача Дирихле для уравнения Det zij = // Вестник ЛГУ. Сер. математика, механика, астрономия. – 1958. – Вып. 1. – С. 5–24.

Кроме того, в параграфе 1.4 первой главы описаны вспомогательные геометрические построения, необходимые для вывода приграничных оценок, и объяснены геометрические характеристики поверхности. В этой связи важную роль играет матрица кривизны13. Для ее определения рассмотрим какую-либо параметризацию = {X = (X 1, X 2,..., X n )(), Rn1 }. Тогда матрица метрического тензора поверхности имеет вид Представим матрицу g 1 в форме g 1 = T и обозначим Пусть x и N = N (x) – внутренняя нормаль к поверхности в точке x. Матрицей кривизны для поверхности в точке x назовем симметричную матрицу Она является геометрическим инвариантом поверхности, ее собственные значения – главные кривизны в точке x.

Определение 3. Поверхность C 2 называется строго p-выпуклой, если K[](x) Kp для всех точек x, т.е.

выполнены неравенства tri K[](x) > 0, i = 1,..., p. Число trp K[](x) называется p-кривизной поверхности в точке x (или кривизной порядка p).

Если поверхность строго p-выпукла в точке x, то в этой точке у нее имеется по крайней мере p положительных главных кривизн. Понятие строго (n 1)-выпуклой поверхности совпадает с общепринятым понятием строго выпуклой поверхности.

Ивочкина, Н. М. Задача Дирихле для уравнения кривизны порядка m // Алгебра и анализ. – 1990. – Т. 2, Вып. 3. – С. 192–217.

Темой второй главы является построение априорных оценок для решения задачи (1) в пространстве C 2 () и связанный с этим вопрос о разрешимости задачи (1) на множестве m-допустимых функций. Этот вопрос рассматривается в работе Н.М.Ивочкиной для частной ситуации: выпуклой области и нулевого граничного условия – и в работе Л.Каффарелли, Л.Ниренберга и Д.Спрука15 с правой частью уравнения из C. Для второй работы характерна большая общность класса рассматриваемых уравнений, которая достигается в условиях заведомо избыточной гладкости функций, образующих задачу Дирихле. Насущная проблема сводится, таким образом, к анализу минимальных условий разрешимости задачи (1) и выявлению четкой связи между качеством правой части уравнения и гладкостью его решения.

Одной из целей диссертации является доказательство разрешимости задачи (1) в пространстве гладких функций, начиная с C 4+ (). В параграфе 2.1 второй главы приведена следующая теоремы:

Теорема 4. Пусть – строго (m1)-выпуклая поверхность l 4, 0 < < 1. Тогда существует m-допустимое решение u C l+ () задачи (1).

При доказательстве теоремы 4 используем метод непрерывности (продолжения по параметру) с опорой на априорные оценки решения в пространстве C l+ (). Вывод априорных оценок состоит из трех ступеней:

I) Необходимо получить априорную оценку нормы u C 2 ().

Ивочкина, Н. М. Решение задачи Дирихле для некоторых уравнений типа Монжa – Ампера // Мат. сборник. – 1985. – Т. 128(170), № 3(11). – С. 403–415.

Caarelly, L., Nirenberg, L., Spruck, J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations III. Functions of the eigenvalues of the Hessian // Acta Math. – 1985. – Vol. 155. – P. 261–301.

II) Согласно методике, разработанной Н.В.Крыловым и Л.Эвансом17 для нелинейных равномерно эллиптических уравнений, из ограниченности u C 2 () следует оценка u C 2+ () с небольшим > 0. Полное доказательство этого перехода в конкретном случае m-гессиановских уравнений составляет содержание статьи Н.М.Ивочкиной18.

III) Продифференцировав уравнение (1), получим новое уравнение Fm [u]ukij = fk относительно uk, которое является равномерно эллиптическим (см. неравенство (3)) при условии f (x) > 0 в и наличии априорной оценки u C 2 (). Это позволяет применить к нему линейную теорию Шаудера, чтобы подтянуть оценку u C 2+ () до u C l+ (), >.

Таким образом, в основе всего лежит оценка u C 2 (), ее последовательный вывод составляет главное содержание второй главы. Остановимся на этом чуть подробнее. Определим в области приграничную полосу d = {x : dist(x, ) < d} ширины d > 0. Положим Обозначим символом km1 минимальное значение кривизны порядка (m 1) поверхности :

Справедлива следующая лемма:

Лемма 5. Пусть – строго (m 1)-выпуклая поверхность, f 0, u – m-допустимое решение задачи (1), q > n+1. Тогда Крылов, Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. – М.: Наука, 1985. – 376 с.

Evans, L. C. Classical solutions of fully nonlinear convex second order elliptic equations // Comm.Pure and Appl.Math. – 1982. – Vol. 35, № 3. – P. 333–363.

Ивочкина, Н. М. Оценка постоянной Гельдера вторых производных решения m-гессиановского уравнения // Проблемы математического анализа.

– 2010. – Вып. 50. – С. 65–77.

Помимо перечисленных параметров константы c зависят еще от величин m, n и диаметра области.

В частности, если функция f выпукла, то fxx Ln () = 0 и для оценки u C 2 () достаточно ограниченности f и fx на.

Производство этих оценок состоит из двух фаз: принцип максимума Александрова вытесняет задачу оценивания на границу области, получение оценок на границе – наиболее трудоемкая и продолжительная часть диссертационной работы.

Для вывода приграничных оценок un и ukn, где k = 1, 2,..., n 1, мы используем модификацию метода О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой19 и вспомогательные области с барьерными функциями из работы Н.М.Ивочкиной20. Конструктивные особенности метода барьеров описаны в параграфе 2.2. Имея оценки величин un и ukn, представляется естественным извлечь оценку unn прямо из уравнения (1). Это проделано с помощью более сложного барьера и синтетической техники, опирающейся на богатые алгебраические свойства оператора Fm и геометрические особенности приграничной вспомогательной области.

Работа с барьерными функциями проводится в специальной вспомогательной области r, построенной в окрестности точки x0. Область r представляет из себя приграничную “линзу” с радиусом r и толщиной порядка r2. Общую часть границы r и обозначаем символом r. Иначе говоря, r = Br (x0 ).

Доказательство приграничных оценок un (x0 ), ukn (x0 ), unn (x0 ) реализовано в параграфах 2.3, 2.4, 2.5 настоящей диссертации.

Ладыженская, О. А., Уральцева, Н. Н. Оценки на границе области норм Гельдера производных решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений общего вида // Препринты ЛОМИ P-I-85. – Л., 1985.

Ивочкина, Н. М. Задача Дирихле для уравнения кривизны порядка m // Алгебра и анализ. – 1990. – Т. 2, Вып. 3. – С. 192–217.

Лемма 6. Пусть r – строго (m 1)-выпуклая поверхность, f 0, q > n+1.

Если u – m-допустимое решение задачи (1), то Если u C 3 () – m-допустимое решение задачи (1), то Символ km1 обозначает в данном случае минимальное значение кривизны порядка (m 1) поверхности r.

Априорные оценки, полученные в главе 2, не только способствуют классической разрешимости задачи (1), но и дают важные результаты для анализа ее аппроксимативного решения.

Третья глава посвящена качественному исследованию слабой разрешимости задачи (1). В работе Н.Трудингера введено понятие слабого решения в аппроксимативном смысле, частным случаем которого является следующее определение:

Определение 7. Пусть – липшицева область. Функция v называется m-аппроксимативным решением задачи (1) с f Lp (), p > 1, C(), если существует последовательность m-допустимых функций {uk } такая, что uk (x) v(x), x и Trudinger, N. S. Week solutions of Hessian equations // Comm. Partial Differential Equation. – 1997. – Vol. 22. – P. 1251–1261.

В настоящей диссертации найдены условия, гарантирующие существование, единственность и регулярность m-аппроксимативного решения. Совокупный результат главы 3 изложен в следующей теореме:

Теорема 8. Пусть C 4+, > 0, – строго (m 1)выпуклая поверхность, C 4 (), f 0.

(i) Если f Ln (), то существует единственное m-аппроксимативное решение v задачи (1), причем v C()C () с любым f > 0 в приграничной полосе d, то vx Lip().

Доказательство пунктов (i) и (ii) теоремы 8 является целью третьей главы. Существование сходящейся в C() аппроксимационной последовательности гарантируется принципом максимума Александрова и теоремой 4 о разрешимости в классическом смысле, примененной к регуляризованным задачам. Единственность обеспечена принципом максимума Александрова. В упомянутой статье Н.Трудингера намечен вывод локальной оценки постоянной Гельдера с зависимостью от расстояния до границы. Технология Н.Трудингера для извлечения локальных оценок представлена в параграфах 3.2, 3.3 в значительно преобразованном виде.

Существенно новым результатом настоящей диссертации является глобальный анализ поведения m-аппроксимативного решения – пункты (ii)–(iv) теоремы 8. В частности, параграф 3.4 воспроизводит доказательство гельдеровости m-аппроксимативного решения в замкнутой области. Метод построения оценки гельдеровской полунормы в замкнутой области – по сути синтез внутренней оценки постоянной Гельдера и оценки для скорости роста решения вблизи границы. Дальнейшее улучшение свойств слабого решения, описанное в пунктах (iii) и (iv), автоматически следует из равномерных оценок в C 1 () и C 2 () для аппроксимационной последовательности, которые получены во второй главе и приведены выше в лемме 5. Причем пункты (iii) и (iv) верны для полностью или частично вырождающегося уравнения (1) (т.е.

допустимо f = 0). Аппроксимативное решение из пространства Липшица существует даже при полном вырождении. Если же m-гессиановское уравнение вырождается только внутри области, то существует m-аппроксимативное решение v такое, что vx Lip().

Работы автора по теме диссертации [1] Ивочкина, Н. М., Филимоненкова, Н. В. Лемма о возрастании для аппроксимативных решений задачи Дирихле для m-гессиановских уравнений // Проблемы математического анализа. – 2008. – Вып. 38. – С. 37–45.

В работе [1] Ивочкиной Н.М. принадлежит формулировка основной теоремы и идея доказательства, Филимоненковой Н.В. принадлежит детальное проведение доказательства и сопровождение техническими утверждениями.

[2] Ивочкина, Н. М., Филимоненкова, Н. В. Оценка постоянной Гельдера для m-гессиановских уравнений // Проблемы математического анализа. – 2009. – Вып. 40. – С. 69–76.

В работе [2] Ивочкиной Н.М. принадлежит общая постановка задач, Филимоненковой Н.В. принадлежит идея вывода основной оценки и реализация доказательства.

[3] Филимоненкова, Н. В. Теорема типа Фрагмена-Линделефа для m-гессиановских уравнений // Проблемы математического анализа. – 2009. – Вып. 39. – С. 147–155.

[4] Филимоненкова, Н. В. Анализ поведения слабого решения m-гессиановского уравнения в замкнутой области // Проблемы математического анализа. – 2010. – Вып. 45. – С. 103–119.

[5] Филимоненкова, Н. В. Оценка постоянной Гельдера для слабых решений m-гессиановских уравнений в замкнутой области // Вестник СПбГУ. Серия 1. Математика, механика, астрономия.

– 2010. – № 3. – С. 70–79.

[6] Филимоненкова, Н. В. Качественное исследование слабых решений m-гессиановских уравнений. Тезисы Российской Школы-конференции с международным участием “Математика, информатика, их приложения и роль в образовании”, 14- декабря, 2009, Москва, Российский университет дружбы народов.

С. 73.

[7] Filimonenkova N. V. The analysis of the smoothness of approximate solution of m-Hessian equation. Abstracts of the International Conference “Nonlinear partial dierential equations”, 6-11 september, 2010, Dnipropetrovsk, Ukraine. P. 23–24.