WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

На правах рукописи

Волков Владимир Викторович

Восстановление линейных зависимостей по

неточной информации

05.13.17 – Теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2011

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики физико-математического факультета ГОУ ВПО Борисоглебский государственный педагогический институт

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Ерохин Владимир Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент Воронцов Константин Вячеславович кандидат физико-математических наук, доцент Кузнецов Олег Анатольевич

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 20 июня 2011 года в 16 часов 00 минут на заседании диссер тационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математиче ский факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогиче ского государственного университета по адресу: 119991, г. Москва, ул. Малая Пи роговская, д. 1.

Автореферат разослан мая 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Муравьева О. В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Задачи восстановления линейных зависимостей по неточной информации весьма широко распространены и часто возникают в при ложениях, связанных с обработкой подверженной погрешностям эксперименталь ной информации. Примерами подобных прикладных задач являются проблемы распознавания зависимостей, анализа временных рядов, обработки наблюдений, очистки данных от шума, параметрической идентификации линейных зависимо стей по экспериментальным данным, обратные задачи математической физики, встречающиеся в различных областях науки и техники.

В зависимости от специфики прикладной проблемы могут возникать различ ные классы задач, сводящиеся как к системам уравнений и неравенств, так и требующие более сложных моделей. Часто подобные модели приводят к задачам распознавания образов и классификации.

Одним из принципиально новых методов моделирования является алгебраи ческий подход к распознаванию образов с использованием эвристических инфор мационных моделей, предложенный и исследованный академиком РАН Ю. И. Жу равлевым и его учениками и коллегами академиком РАН В. Л. Матросовым (статистическое обоснование алгебраического подхода), членом-корреспондентом РАН К. В. Рудаковым (общая теория проблемно-ориентированного алгебраиче ского синтеза корректных алгоритмов), К. В. Воронцовым, В. В. Рязановым и другими.

Оригинальной методикой решения задачи обучения распознаванию образов является теория комитетов, тесно связанная с упомянутым алгебраическим под ходом к распознаванию образов. Первые исследования в этом направлении при надлежат научной школе академика И. И. Еремина.

Указанные выше подходы наиболее перспективны для решения прикладных задач в тех предметных областях, для которых нет адекватных математических моделей.

В контексте настоящего исследования наиболее интересен случай, когда в описанных приложениях распознавания зависимостей и обработки данных возни кают приближенные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для решения таких СЛАУ, как правило, используются два альтернативных подхода.

Первый подход представляет метод наименьших квадратов (МНК), предло женный для решения приближенных СЛАУ еще Лежандром и Гауссом. В тради ционной формулировке МНК заключается в поиске вектора решения, минимизи рующего норму невязки системы. Однако классический МНК можно также сфор мулировать как задачу поиска такого вектора поправок к правой части, который делает приближенную систему совместной и имеет минимальную норму.

Дальнейшим развитием этого подхода стал так называемый обобщенный ме тод наименьших квадратов Total Least Squares (TLS). TLS обобщает подход МНК, распространяя поправки не только на правую часть, но и на матрицу ко эффициентов системы. При использовании этого метода ставится задача найти такую минимальную по норме матрицу коррекции, что при ее добавлении к при ближенной матрице исследуемая приближенная СЛАУ становится совместной.

За рубежом интенсивные исследования метода TLS и его модификаций, а так же его активное использование при решении прикладных задач начались в конце 80-х годов XX века после появления работ бельгийского математика S. Van Hael.

Также заметный вклад внесли J. Vandewalle, J. B. Rosen, G. H. Golub и другие.

В отечественных научных работах методы, основанные на обобщении и моди фикации классического метода наименьших квадратов, получили название мат ричной коррекции.

Исследования в этом направлении велись параллельно с зарубежными уче ными. Первые результаты, связанные с матричной коррекцией систем линейных алгебраических уравнений и несобственных задач математического программиро вания получены научной школой Института математики и механики УрО РАН под руководством академика РАН И. И. Еремина. Так, матричная коррекция СЛАУ впервые была рассмотрена в работах ученика академика И. И. Еремина А. А. Ватолина в середине 80-х годов XX в.



Исследования И. И. Еремина и А. А. Ватолина в конце 90-х годов XX в. были продолжены (и продолжаются в настоящее время) в ВЦ им. А. А. Дородницына РАН В. А. Гореликом и его коллегами и учениками: В. И. Ерохиным, Р. Р. Иба туллиным, В. А. Кондратьевой, О. В. Муравьевой, Р. В. Печенкиным и другими.

Одна из наиболее существенных проблем МНК, а также его модификаций и обобщений, заключается в том, что минимизация нормы соответствующих попра вок происходит без учета информации о погрешностях исходных данных и явля ется безусловной. Как следствие, нормы поправок могут оказаться существенно меньше истинных значений погрешностей, в силу чего шум интерпретируется как полезный сигнал и соответствующее решение оказывается далеко от истинного решения точной системы.

Альтернативный подход к решению приближенных СЛАУ, предложенный академиком А. Н. Тихоновым, заключается в построении для заданной прибли женной СЛАУ регуляризующего алгоритма, который при определенном выборе регуляризующего параметра позволяет получить устойчивое решение этой систе мы. Тихоновым же предложен способ поиска регуляризованного решения с помо щью минимизации сглаживающего функционала. Аппарат регуляризации открыл новое направление в решении некорректных задач.

Основополагающие подходы для теории некорректных задач связаны с име нами А. Н. Тихонова, В. К. Иванова, М. М. Лаврентьева. Монографии А. Н. Ти хонова, В. Я. Арсенина и В. К. Иванова, В. В. Васина, В. П. Тананы являются ключевыми для теории линейных некорректных задач.

Также большой вклад в эту область внесли А. С. Апарцин, А. Б. Баку шинский, Ф. П. Васильев, В. В. Васин, Ю. Е. Воскобойников, С. И. Кабанихин, А. С. Леонов, В. И. Цурков и многие другие.

Однако и в данном подходе существуют проблемы, связанные с тем, что в классическом случае при минимизации сглаживающего функционала также не привлекается информация об истинных погрешностях матрицы коэффициентов и правой части приближенной системы. Поэтому существует опасность заглажи вания решения, также уводящая его от истинного решения точной системы.

В 80-х годах XX в. А. Н. Тихоновым был предложен подход к регуляри зации (позже названный им регуляризованным методом наименьших квадратов РМНК), привлекающий для решения исходной приближенной системы апри орную информацию сведения о величине ошибок, накладывающихся на мат рицу коэффициентов и правую часть. Такой подход позволяет избежать недо статков, присущих перечисленным выше методам, но накладывает повышенные требования на исходные данные (необходимо привлекать априорные сведения о погрешностях). Кроме того, проблемами данного метода являются плохая чис ленная обусловленность задачи, отсутствие эффективных алгоритмов решения, неизученность поведения решений при конечных значениях погрешностей исход ных данных.

Отметим, что до настоящего времени методы матричной коррекции и регу ляризации приближенных линейных моделей не рассматривались во взаимосвязи и с единых позиций.

Не до конца исследован вопрос об условиях существования решений, получа емых указанными методами, не известны априорные оценки максимальных воз можных погрешностей этих решений. И, наконец, весьма актуальной проблемой является разработка эффективных вычислительных процедур решения практи ческих задач с использованием упомянутых подходов. До сих пор ощущается нехватка готовых алгоритмов, которые могли бы быть использованы при анализе приближенных линейных моделей и обработке неточной информации. Необходи мы также и исследования приближенных линейных моделей специального вида (с матрицами специальной структуры), встречающихся на практике.

Таким образом, развитие методов и алгоритмов решения приближенных СЛАУ и восстановления линейных зависимостей является актуальной научной пробле мой.

Объектом исследования служат задачи восстановления линейных зави симостей, встречающиеся в приложениях, связанных с обработкой зашумленных или подверженных погрешностям данных.

Предмет исследования составляют методы и алгоритмы построения реше ний приближенных систем линейных алгебраических уравнений и задач восста новления линейных зависимостей, а также свойства указанных решений: суще ствование, единственность, чувствительность к погрешностям исходных данных, близость к решениям гипотетических точных систем линейных алгебраических уравнений.

Цель диссертационной работы состоит в развитии математического ап парата оптимальной матричной коррекции несовместных СЛАУ (А. А. Ватолин, В. А. Горелик, В. И. Ерохин и др.) и математического аппарата построения регуля ризованных решений приближенных СЛАУ (А. Н. Тихонов) на случай конечных по величине погрешностей в матрице коэффициентов приближенной системы и векторе ее правой части, а также в построении соответствующих вычислительных алгоритмов.

В основу исследования положена гипотеза о том, что любая приближен ная линейная модель, возникающая в задаче восстановления линейных зависимо стей, формализованная в виде приближенной СЛАУ, может быть сопоставлена с некоторой гипотетической точной линейной моделью, формализованной в виде совместной СЛАУ, нормальное решение, матрица коэффициентов и правая часть которой считаются точными. При этом существуют математические методы и вычислительные алгоритмы, позволяющие на основе априорной информации о мере близости приближенной линейной модели к точной вычислять асимптотиче ски устойчивое решение приближенной системы и оценивать меру близости этого решения к нормальному решению точной системы при конечных ненулевых по грешностях, и, как следствие, получать восстановленные линейные зависимости.

Для достижения поставленной цели и проверки правильности выдвинутой гипотезы требуется решить следующие задачи:

1. Получить необходимые и достаточные условия эквивалентности задачи ре шения приближенной СЛАУ в постановке А. Н. Тихонова (РМНК) задаче минимизации сглаживающего функционала, методу наименьших квадратов, либо задаче минимальной матричной коррекции.

2. Оценить максимальное по евклидовой норме относительное отклонение ре шения приближенной СЛАУ от нормального решения гипотетической точ 3. Разработать, теоретически обосновать и проверить в вычислительных экс периментах алгоритмы решения приближенных СЛАУ при различных усло виях, а также некоторых, важных для практических приложений, дополни тельных модификациях задачи, таких как специальный вид матрицы коэф фициентов СЛАУ или запрет на коррекцию отдельных столбцов матрицы коэффициентов исследуемой линейной модели.

4. Рассмотреть приложения разработанной теории и методов решения прибли женных СЛАУ и анализа приближенных линейных моделей к решению прак тических задач восстановления линейных зависимостей по неточной инфор Методологическую основу работы составляют методы классической и вы числительной линейной алгебры, матричного анализа, математического програм мирования.

Научная новизна диссертации заключается в том, что впервые исследована взаимосвязь методов минимальной матричной коррекции, минимизации сглажи вающего функционала и метода наименьших квадратов в задаче решения прибли женной СЛАУ и построены априорные оценки максимального отклонения между решениями точной и приближенной СЛАУ при конечных ненулевых погрешно стях в матрице коэффициентов приближенной линейной модели. Элементы но визны содержатся в разработанных вычислительных алгоритмах решения прибли женных СЛАУ. Новой является постановка задачи и теоретическое обоснование методов решения для проблемы поиска решения приближенной СЛАУ с фикси рованными столбцами матрицы коэффициентов.

Практическая значимость результатов. Предложенные в работе методы и алгоритмы построения и анализа решений приближенных СЛАУ могут быть ис пользованы в задачах обработки зашумленных данных, прогнозирования и управ ления, относящихся к области исследования специальности 05.13.17 теоретиче ские основы информатики:

• разработка и исследование моделей и алгоритмов анализа данных, обнару жения закономерностей в данных и их извлечениях;

• разработка методов обеспечения высоконадежной обработки информации и обеспечения помехоустойчивости информационных коммуникаций для це лей передачи, хранения и защиты информации.

Основные положения, выносимые на защиту:

• необходимые и достаточные условия эквивалентности проблемы решения приближенной СЛАУ по А. Н. Тихонову (РМНК) одной из трех задач: за даче минимизации сглаживающего функционала, методу наименьших квад ратов или задаче минимальной матричной коррекции;

• априорные нижние оценки максимальной относительной погрешности реше ния приближенной СЛАУ для случая, когда правая часть системы свободна от погрешности;

• алгоритмы решения приближенной СЛАУ по А. Н. Тихонову (РМНК) для общего случая и для частных случаев: специального вида матрицы коэф фициентов СЛАУ и запрета на модификацию отдельных столбцов матрицы Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на российских и международных конференциях: Всероссийской молодежной конфе ренции Проблемы теоретической и прикладной математики (Екатеринбург, 2005, 2006, 2007 гг.), Международной конференции Информационные и коммуникаци онные технологии в образовании (Борисоглебск, 2006, 2009, 2010 гг.), Междуна родной конференции Обратные и некорректные задачи математической физи ки (Новосибирск, 2007 г.), Молодежной международной научной школе-конфе ренции Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач (Новосибирск, 2009 г.), научных семинарах кафедры прикладной математики и ин форматики физико-математического факультета Борисоглебского государствен ного педагогического института, кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного уни верситета имени М. В. Ломоносова, отдела интеллектуальных систем Вычисли тельного центра РАН имени А. А. Дородницына и кафедры ресурсосберегающих технологий Санкт-Петербургского государственного технологического института (технического университета).

Получены 4 свидетельства о регистрации алгоритмов [7–10].

Публикации. Материалы, составляющие основное содержание диссертации, опубликованы в 17 печатных работах, из них 3 статьи в изданиях, включенных в перечень ВАК РФ [1–3], 2 статьи в журналах [4, 5], 12 в сборниках и трудах конференций [6, 11–21].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пя ти глав, заключения и списка литературы, содержащего 130 источников. Объем диссертации составляет 135 страниц.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформули рована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практи ческая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Первая глава является вводной. Она содержит общую постановку задачи, в ней же вводятся базовые обозначения, используемые во всей диссертации. Кроме того, она содержит некоторые сведения из линейной алгебры, такие, как сингу лярное разложение, псевдообращение и его использование для нахождения нор мальных псевдорешений возможно несовместных систем линейных алгебраиче ских уравнений. Указанные сведения составляют, наряду с методом множителей Лагранжа, основу используемого в диссертации математического аппарата.

Приводится постановка задачи поиска решения приближенной СЛАУ в фор мулировке А. Н. Тихонова. Под решением по А. Н. Тихонову приближенной СЛАУ будем понимать метод, названный им регуляризованным методом наименьших квадратов (РМНК).

Задача P0 (µ, ): Пусть существует точная совместная конечномерная СЛАУ где A0 Rmn, b0 Rm, b0 = 0, соотношения между размерами A0 и ее рангом не оговариваются, x0 Rn решение системы (1) с минимальной евклидовой нормой (нормальное решение). Численные значения A0 и b0 неизвестны, а вместо них заданы приближенные матрица A Rmn и вектор b Rm, b = 0, такие, что известные параметры. Полнота ранга матрицы A и совместность системы Ax = b в общем случае не предполагаются.

Описывается метод решения указанной задачи, заключающийся в сведении к задаче математического программирования:

Традиционным способом решения приближенных систем уравнений является регуляризация, которую принято сводить к задаче:

Задача P2 : (x, A, b) min, где Вводится обозначение z для решения задачи P2. Известно, что при любом > 0 существует единственный вектор z. При соответствующем > 0 вектор z является устойчивым приближением к вектору x0, то есть служит решением задачи P0 при µ, 0.

Вводится обозначение x для нормального решения системы при любом фиксированном R, In единичная матрица порядка n.

Известно, что для любого > 0 вектор z совпадает с x.

Доказывается теорема, которая показывает, что решение задачи P1 дает устой чивое приближение к нормальному решению гипотетической совместной системы в случае, если погрешности исходных данных стремятся к нулю.

Теорема 1.2.1. Пусть матрица A0 и вектор b0 удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместность системы (1), x0 нормальное решение этой системы, A0 A µ, b0 b, (µ, ) и (µ, ) какие-либо возрастающие функции µ и, стремящиеся к нулю при µ 0 и 0 и такие, что µ (µ, )(µ, ).

Тогда для любого > 0 найдутся положительные числа 0 = 0 (, x0 ) и µ0 = µ0 (, x0 ) такие, что < 0 (, x0 ) и µ < µ0 (, x0 ) и при, удовле творяющем условию (µ,) (µ, ), элемент x, доставляющий минимум функционалу (2), удовлетворяет неравенству x x0.

Для задачи P1 сформулирована и обоснована модификация, возникающая, если система имеет специальную структуру: рассмотрен случай, когда один или несколько столбцов матрицы приближенной системы известны точно. Такая моди фикация может оказаться полезной при решении некоторых практических задач (первый раздел пятой главы).

Указанная модификация задачи P1 имеет вид:

жащий n столбцов, заданных точно, A Rm блок матрицы A из n столбцов с неточно заданными коэффициентами, n = n + n, x = x x, где x Rn, x Rn.

В третьем разделе первой главы кратко рассматриваются задачи матричной коррекции несовместных СЛАУ. Даны постановки основных задач матричной кор рекции несовместных СЛАУ в общем виде. В частности, рассмотрены задачи, когда коррекции подвергается как матрица коэффициентов, так и правая часть системы и когда правая часть освобождается от коррекции (здесь X (A, b) мно жество решений системы Ax = b):

Приведены условия существования решения для указанных задач.

Рассмотрена задача матричной коррекции приближенных систем линейных алгебраических уравнений для систем специального вида (с матрицами Теплица или Ганкеля) и показаны подходы к ее решению. Указанные системы встречаются в практических приложениях, пример одного из которых приводится в третьем разделе пятой главы.

Во второй главе сформулирована и доказана теорема, определяющая усло вия, при выполнении которых задача математического программирования P1 сво дится либо к классической регуляризации, либо к методу наименьших квадратов, либо к матричной коррекции. Здесь и далее x = A+ b шение приближенной системы Ax = b (решение системы по методу наименьших квадратов).

Теорема 2.1.1. Если задача P1 (µ, ) имеет решение xµ, то возможны слу чаи:

1. Если выполняется условие b A < µ x +, то вектор xµ является единственным решением задачи P1 (µ, ) и совпадает с единственной точкой минимума функционала (2) при некотором > 0 (решение задачи P1 совпадает с решением задачи P2 ).

2. Если выполняется условие b A = µ x +, то вектор x = xµ явля ется единственным решением задачи P1 (µ, ) и точкой минимума функционала (2) при = 0.

3. Если выполняется условие b A > µ x +, то вектор xµ являет ся решением задачи P1 (µ, ), а также стационарной точкой функционала (2) при 0. При этом, если матрица A имеет полный столбцевой ранг, то < 0 (т.е. решение задачи P1 (µ, ) совпадает с решением некоторой задачи минимальной матричной коррекции) и вектор xµ является единственным ре шением задачи P1 (µ, ). В противном случае = 0, решение не единственно и имеет вид: xµ = x + x, где x произвольный вектор, такой, что Ax = 0, Приводятся численные примеры, иллюстрирующие результаты теоремы.

В третьей главе описываются алгоритмы, разработанные для решения за дач восстановления линейных зависимостей, которые могут быть формализованы приближенными СЛАУ. Рассматриваются задачи матричной коррекции (5), с уче том использования взвешивания матрицы коррекции с произвольными положи тельными весами, и задача РМНК, а также ее модификация с фиксированными столбцами матрицы коэффициентов.

Алгоритмы матричной коррекции основаны на сведении исходной задачи к задаче безусловной минимизации аналитически дифференцируемой функции (для решения которой можно использовать методы Ньютона и Марквардта) и предназначены для решения двух классов задач: задачи с матрицей, содержащей произвольные элементы и задачи с матрицей коэффициентов, имеющей специаль ную структуру (представляющей собой, например, матрицу Теплица или Ганке ля). Для обоих классов задач используется взвешивание расширенной матрицы коррекции с произвольными положительными весами, что позволяет учитывать априорную информацию при ее наличии.

При использовании взвешивания с произвольными положительными весами задачи (5) можно переформулировать в виде:

Здесь W = (wij > 0) весовая матрица с размерами m (n + 1), как у матрицы H h, или с размерами m n, как у матрицы H, знак означает умножение матриц по Адамару.

Исходные задачи сводятся к безусловной минимизации дифференцируемой функции: f (x) = rT (x)X +T (x)X + (x)r(x), где r(x) = r1 (x) · · · rm (x) = b Ax вектор невязок системы Ax = b при фиксированном векторе x, X(x) = X(x)·W, W = (diag())1, а X(x) матрица, специальным образом сконструированная из элементов вектора x.

С использованием аналитического представления производных функции f (x) для указанной задачи становится возможным применение методов безусловной минимизации Ньютона и Марквардта.

Аналогичный прием применяется и к системам, матрица коэффициентов ко торых имеет специальный вид. Рассматривается система вида A(a)x = b. Матрица A(a) = (aij ) Rmn имеет специальную структуру: является параметрической и может быть задана вектором a = (ai ) RN. Задача матричной коррекции такой системы также может быть сведена к безусловной минимизации аналитически дифференцируемой функции f (x) = rT (x) · X +T (x)X + (x) · r(x). При этом зна чения производных этой функции находятся с учетом специальной структуры исходной системы и весовой матрицы.

Во втором разделе третьей главы приводятся и обосновываются процедуры, позволяющие строить приближенные и точные системы линейных алгебраических уравнений с заданными свойствами для частного случая, когда правая часть си стемы свободна от погрешности. Предложенные процедуры могут быть полезны для построения модельных примеров, а обосновывающие их теоремы, приведен ные ниже, могут быть использованы для теоретического исследования указанного частного случая.

Теорема 3.2.1. Пусть A Rmn произвольная матрица; x0 Rn |x0 = 0;

Тогда система A0 x = b0 совместна, x0 ее нормальное решение, xµ единственное решение задачи P1 (µ, 0), СЛАУ A0 x = b0 и Ax = b0 являются соответственно точной и приближенной системами, отвечающими условиям задачи P0 (µ, 0).

Теорема 3.2.2. Пусть A Rmn |rank A = n; xµ Rn произвольный век тор; b0 = Axµ +A+T xµ +b; x0 Rn |x0 = 0; A0 = A+(b0 Ax0 )x+ +Z; rank A0 = Тогда система A0 x = b0 совместна, x0 ее нормальное решение, xµ единственное решение задачи P1 (µ, 0), СЛАУ A0 x = b0 и Ax = b0 являются соответственно точной и приближенной системами, отвечающими условиям задачи P0 (µ, 0).

Теорема 3.2.3. Пусть A Rmn |rank A < n; x = 0 |A+ A = x ; xµ = x + x; b0 = A +b; x0 R |x0 = 0; A0 = A+(b0 Ax0 )x0 +Z; rank A0 = n; Ax = Тогда система A0 x = b0 совместна, x0 ее нормальное решение, xµ при надлежит множеству решений задачи P1 (µ, 0), которое содержит более одного решения, СЛАУ A0 x = b0 и Ax = b0 являются соответственно точной и при ближенной системами, отвечающими условиям задачи P0 (µ, 0).

Далее во втором разделе третьей главы формулируются и обосновываются алгоритмы, предназначенные для нахождения устойчивого решения приближен ной системы линейных алгебраических уравнений в постановке А. Н. Тихонова (задачи P1 ).

Первый алгоритм основан на использовании следующей теоремы.

Теорема 3.2.4. Если существует решение задачи P1 (µ, ), причем xµ < x, то существует единственный параметр, такой, что При этом xµ = x, вектор x единственным образом определяется усло вием (3).

Следствие. Для нахождения xµ можно использовать алгоритм, включаю щий в себя решение системы (3) и дихотомию по параметру. Экспериментальные исследования показали, что для поиска наиболее предпочтителен именно ме тод дихотомии. Другие численные методы (например, метод хорд) на практике работают медленнее, что обусловлено особенностями функции f () = bAx Указанное следствие из теоремы фактически формулирует численный метод решения задачи P1 (µ, ), в котором задача минимизации заменяется задачами решения СЛАУ и поиска корня нелинейного уравнения методом дихотомии.

Данный алгоритм допускает модификацию для задачи с фиксированным бло ком. Для этого достаточно изменить вид матрично-векторных объектов с уче том структуры исходной матрицы коэффициентов: система (3) преобразуется к виду Второй алгоритм решения задачи P1 основан на использовании метода наи скорейшего спуска, применяемого к минимаксной задаче. Приведем этот алго ритм.

Вспомогательные функции: f1 (x) = b Ax, f2 (x) = µ x +.

На входе: A, b, µ, параметры задачи P1 (µ, ), x0 начальное приближение для решения.

На выходе: вектор x, являющийся решением задачи P1 (µ, ).

Шаг 1. Вычислить градиенты функций f1 (xi ) и f2 (xi ): g1 (xi ) = f1 (xi ) = AT (b Axi )/ b Axi, g2 (xi ) = f2 (xi ) = µxi / xi.

Шаг 2. Найти вектор градиента g как линейную комбинацию градиентов Параметр может быть найден следующим образом:

Шаг 3. Найти новое значение вектора xi+1 по формуле: xi+1 = xi g.

Для поиска решить вспомогательную задачу: f (xi+1 ) = f (xi g) min.

Если рассматривать f1 (x g) и f2 (x g) как функции от, легко по казать, что каждая из них имеет по единственной точке глобального минимума.

Эти точки могут быть найдены аналитически в следующем виде (для f1 (xi g) и f2 (xi g) соответственно): 1 = (x ) A Ag+g AAAg 2b Ag, 2 = (x T) g g.

Если функции f1 (x g) и f2 (x g) не имеют точек пересечения, то искомое значение может быть найдено по формуле:

В противном случае, искомое значение можно найти, применив метод дихо томии к функции () = f1 (xi g)f2 (xi g) на отрезке [min(1, 2 ); max(1, 2 )].

Шаг 4. Если g = 0, то положить i = i + 1 и вернуться к шагу 1, иначе конец алгоритма и x = xi+1 искомое решение.

Обоснование указанного алгоритма строится с использованием классических свойств метода наискорейшего спуска с привлечением аналитического представ ления градиентов компонентов целевой функции, а также с учетом выпуклости целевой функции.

Для всех алгоритмов, представленных в третьей главе, приведены вычисли тельные эксперименты, иллюстрирующие их работу.

На все алгоритмы получены свидетельства об отраслевой регистрации разра ботки ОФАП или свидетельства о регистрации электронного ресурса ОФЭРНиО [7–10].

Четвертая глава посвящена исследованию погрешностей решения задачи РМНК различными методами.

Для частного случая, когда правая часть системы свободна от погрешности, получены теоретические априорные нижние оценки максимальной относительной погрешности решения для трех случаев:

Теорема 4.1.1.При решении задачи P1 (µ, 0) для случая b0 A < µ x, rank A = n, µ < min, максимальное значение относительной погрешности x (где x = x0 xµ ) будет не меньше, чем величина: 1 = min +µ.

Теорема 4.1.2. При решении задачи P1 (µ, 0) для случая b0 A > µ x, rank A = n, µ < min, максимальное значение относительной погрешности x (где x = x0 xµ ) будет не меньше, чем величина: 2 = 4 2µ+µ4.

Теорема 4.1.3. При решении задачи P0 (µ, 0) для случая b0 A = µ x, rank A = n, µ < min максимальное значение относительной погрешности x (где x = x0 xµ ) будет не меньше, чем величина: 3 = 2 2µ+µ2.

Данный результат получен впервые. До этого были известны только оценки погрешности для решения приближенной СЛАУ методом наименьших квадратов.

Указанные теоретические результаты проиллюстрированы численными при мерами.

В пятой главе обсуждаются практические приложения исследованных в предыдущих главах методов к решению задач восстановления линейных зависи мостей по неточной информации.

В первом разделе рассматривается применение указанных методов для очист ки экспериментальных данных приближенной линейной модели от шума на примере задачи позиционирования с помощью глобальных спутниковых радио навигационых систем (СРНС). С использованием реальных данных о положении спутников Российской системы ГЛОНАСС на модельном примере проводятся чис ленные исследования эффективности применения различных методов для реше ния задачи позиционирования при разных уровнях погрешностей.

Основным содержанием задачи позиционирования в СРНС является опреде ление пространственно-временных координат потребителя: координат (xr, yr, zr ) и временной поправки шкалы времени потребителя относительно системной шкалы времени.

Пусть te время излучения сигнала спутником, tr время получения сигна ла приемником, c скорость света. Время распространения сигнала от спутника до потребителя tr te может быть получено из измерений. Тогда для каждого i-го из n видимых спутников может быть измерена так называемая псевдодальность:

В этих уравнениях четыре неизвестных: координаты приемника (xr, yr, zr ) и поправка часов. Поэтому для определения искомых навигационных парамет ров необходимо как минимум четыре уравнения (min n = 4), то есть данные как минимум с четырех спутников.

Линеаризованные функции (6) будут иметь вид Ri = xsDi r x + ysDi r y + (x0, yr, zr ) некоторая точка, которая является начальным (известным или при ближенно заданным) положением потребителя.

Введем обозначения: xi = xsDi r, yi = ysDi r, zi = zsDi r, i = 1,.., n.

В итоге получим систему n уравнений для четырех неизвестных:

В экспериментах исследовалось применение для решения задачи позициони рования (фактически, системы (7)) подхода А. Н. Тихонова (задача P1 ) в сравне нии с традиционными методами. Некоторые результаты представлены на графи ках (рис. 1–6).

Исходные данные о положении спутников ГЛОНАСС были получены из ар хива Информационно-аналитического центра Федерального космического агент ства.

В ходе экспериментов для пользователя задавалось смещение по координа там (x, y, z) и поправка по времени t и исследовались результаты опреде ления изменившегося местоположения и поправок часов при различных уровнях погрешности с помощью метода Монте-Карло. При этом сравнивались два метода решения с использованием метода наименьших квадратов (или поиск нормаль Рис. 3. Области для норм погрешностей реше Рис. 4. Области для норм погрешностей реше ного решения для системы из четырех уравнений) и с помощью решения задачи P1 (РМНК).

Для решения задачи РМНК могут быть применены алгоритмы [7, 8], описан ные во втором разделе третьей главы. При сравнении алгоритмов [7] и [8] на прак тике, оказалось, что быстрее работает алгоритм [8], поэтому в вычислительных экспериментах данного раздела использовался именно он, с учетом модификации для блочной матрицы.

Варьирование постановки экспериментов проводилось по двум параметрам:

величина погрешности часов приемника относительно смещения по координатам и количество спутников, используемых для позиционирования.

Для каждого из четырех случаев производилось 200000 запусков со случай ными погрешностями для вектора b, равномерно распределенными по норме в диапазоне от 0 до 2. Величина была задана в 1% от нормы вектора b.

На графиках (рис. 1–4) показаны области, в которые попали значения нор мы погрешности решения в зависимости от нормы погрешности исходных дан ных. Темные области на графиках погрешности решения задачи в постановке А. Н. Тихонова (РМНК), светлые метода наименьших квадратов (или нормаль ного решения).

Пример 5.1.1. Поправка на неточность часов приемника значительно больше смещения пользователя по координатам. Используются данные с четырех спутни ков.

Пример 5.1.2. Поправка на неточность часов приемника значительно больше смещения пользователя по координатам. Используются данные с пяти спутников.

Пример 5.1.3. Поправка на неточность часов приемника одного порядка со смещением пользователя по координатам. Используются данные с четырех спут ников.

Пример 5.1.4. Поправка на неточность часов приемника одного порядка со Рис. 5. Пример 5.1.1. Распределение нормы по Рис. 6. Пример 5.1.1. Распределение нормы по смещением пользователя по координатам. Используются данные с пяти спутни ков.

Также для иллюстрации распределения по количеству решений в указанных областях приводятся графики линий уровня с заливкой. В целях экономии здесь приведем лишь два таких графика (рис. 5, 6) для примера 5.1.1.

Во втором разделе приводится пример применения разработанных алгорит мов для решения обратных задач математической физики, сводящихся к задачам восстановления линейных зависимостей, которые могут быть формализованы ин тегральными уравнениями Фредгольма первого рода.

Рассмотрена задача поиска решения интегрального уравнения Фредгольма I рода где заданы функции K(s, t) ядро и g(s) правая часть. Требуется определить неизвестную функцию f (t).

Данная задача может быть сведена к задаче P0 путем дискретизации. В вы числительных экспериментах для этого использовался квадратурный метод, в ко i= С другой стороны, In (si ) = g(si ), i = 1,..., n. Таким образом, получаем систему вида Ax = b, где матрица A и вектор b заданы лишь приближенно, что обусловлено погрешностями дискретизации.

Для данной задачи также было проведено несколько вычислительных экспе f(ti), xi риментов, которые продемонстрировали применимость исследованных в работе методов. Вычисления производились при помощи алгоритмов [7, 8], описанных во втором разделе третьей главы. На рис. 7 представлены результаты одного из экспериментов.

Третий раздел посвящен задаче параметрической идентификации сигнала, при решении которой возникают системы специального вида с матрицами Теп лица (Ганкеля). Описывается метод линеаризации модели и исследуется его при менение на примере задачи анализа и прогнозирования солнечной активности с использованием индексов, называемых числами Вольфа. Для расчетов использо вался модифицированный метод де Прони.

снятыми через промежутки времени t значениями непрерывного сигнала ви параметры p, i, i, i, i которого неизвестны, (t) шум. Требуется оценить неизвестные параметры полезного сигнала.

Интересующие нас СЛАУ возникают при поиске значений коэффициентов i.

Для их определения можно воспользоваться приведенными ниже рассуждениями.

Функция f (t) = y (t) является решением уравнения вида c0 f (t) + c1 f (t + Тогда для определения каждой из величин i = i ei t cos(i t + i ) получаем алгебраическое уравнение: c0 + c1 + c2 2 +... + cp p = 0.

Для нахождения коэффициентов ci придется решать следующую систему ли нейных алгебраических уравнений с матрицей Ганкеля (коэффициент cp норми В отличие от классического метода де Прони, в котором матрица коэффи циентов квадратная, система линейных уравнений (8) бралась переопределенной (для того, чтобы уменьшить влияние шума на точность определения искомых параметров). Из-за наличия шума указанная система оказывается несовместной, в силу чего задача поиска ее решения трансформируется в задачу оптимальной матричной (многопараметрической) коррекции.

Для решения этой задачи могут быть применены алгоритмы [9, 10], описан ные в первом разделе третьей главы. Т.к. в данном случае матрица системы имеет специальный вид, то использовался алгоритм [10].

Приводятся вычислительные эксперименты, показывающие адекватный ха рактер построенной модели. На рис. 8 представлено сравнение прогнозирования солнечной активности с помощью этой модели с прогнозом NASA и с действи тельными данными для 23-го солнечного цикла.

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертации.

Основные выводы:

• Теоретически исследованы взаимосвязи методов регуляризации, матричной коррекции и метода наименьших квадратов при построении решения при ближенной СЛАУ по А.Н. Тихонову. Получены необходимые и достаточные условия эквивалентности указанных задач задаче поиска устойчивого реше ния приближенной СЛАУ в постановке А. Н. Тихонова, предоставляющие качественную информацию о характере задачи восстановления линейных зависимостей по неточной информации.

• Для случая, когда правая часть приближенной СЛАУ свободна от ошибок, получены априорные нижние оценки максимальной относительной погреш ности решения приближенной СЛАУ. Указанные оценки могут быть исполь зованы на практике для априорного анализа погрешностей решения задачи восстановления линейных зависимостей по неточной информации.

• Предложены вычислительные алгоритмы для поиска решения приближен ных СЛАУ в постановке А. Н. Тихонова, основанные на сведении указанной задачи к задачам безусловной и условной минимизации. Алгоритмы построе ны на идеях безусловного минимакса методом наискорейшего спуска и поис ка решения системы условий Лагранжа соответствующей задачи условной минимизации. Предложены алгоритмы матричной коррекции приближен ных СЛАУ по минимуму евклидовой нормы, взвешенной с произвольны ми положительными весами. Алгоритмы основаны на сведении указанной задачи к задаче безусловной дифференцируемой минимизации. Указанные алгоритмы теоретически обоснованы и проверены в экспериментах. Также для них учтены дополнительные модификации, позволяющие решать зада чи восстановления линейных зависимостей по неточной информации в ряде важных практических приложений, таких как идентификация сигналов, ре шение обратных задач математической физики и позиционирование в нави гационных системах.

• Показано, что предложенные в работе методы анализа приближенных ли нейных моделей и решения приближенных СЛАУ могут быть использованы для решения задач анализа зашумленных временных рядов, решения инте гральных уравнений с неточным оператором, позиционирования объекта с помощью глобальных спутниковых навигационных систем в условиях иска жения спутниковых сигналов. Используемые при этом модели и алгорит мы принадлежат к моделям и алгоритмам анализа зашумленных данных с целью высоконадежной и помехоустойчивой обработки информации, от носящихся к области исследований специальности 05.13.17 теоретические основы информатики.

Основное содержание диссертации отражено в работах 1. Волков В. В., Ерохин В. И. О тихоновских решениях приближенных систем линейных алгебраических уравнений при конечных возму щениях их матриц // Журнал вычислительной математики и мате матической физики. 2010. Т. 50, № 4. С. 618–635. (авторский вклад 2. Ерохин В. И., Волков В. В. Методы и модели восстановления ли нейных зависимостей по неточной информации // Известия Санкт Петербургского государственного технологического института (тех нического университета). 2011. № 10. С. 53–58. (авторский вклад 3. Ерохин В. И., Волков В. В. Приближенные линейные модели в зада чах позиционирования с использованием глобальных спутниковых навигационных систем // Системы управления и информационные технологии. 2010. № 4.1(42). С. 145–149. (авторский вклад 50%).

4. Ерохин В. И., Волков В. В. Построение модельных приближенных систем ли нейных алгебраических уравнений с известными тихоновскими решениями // Cибирские электронные математические известия. 2010. Т. 7. С. 207–218.

Труды первой Международной молодежной школы-конференции Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач. Часть I. URL:

http://semr.math.nsc.ru/v7/1-394.pdf (дата обращения: 4.01.2011). (ав торский вклад 50%).

5. Волков В. В. Методы решения приближенных систем линейных алгебраиче ских уравнений в задачах позиционирования с использованием глобальных спутниковых навигационных систем // Научная жизнь. 2010. № 6. С. 64–69.

6. Волков В. В. О возможной погрешности решения регуляризованной по Тихо нову СЛАУ с возмущенной матрицей и точной правой частью // Информаци онные и коммуникационные технологии в образовании. Сборник материалов Х Международной научно-практической конференции в 2-х томах. Т. 2. Бо рисоглебск: ГОУ ВПО БГПИ, 2009. С. 175–179.

7. Волков В. В. Минимаксный алгоритм регуляризованного по Тихонову реше ния приближенной СЛАУ с учетом априорной информации о погрешности матрицы коэффициентов и правой части. Объединенный фонд электронных ресурсов Наука и образование. Свидетельство о регистрации №15165. 8. Ерохин В. И., Волков В. В. Алгоритм регуляризованного по Тихонову реше ния приближенной СЛАУ с учетом априорной информации о погрешностях расширенной матрицы коэффициентов. Объединенный фонд электронных ресурсов Наука и образование. Свидетельство о регистрации №16064. августа 2010 г. (авторский вклад 50%).

9. Ерохин В. И., Волков В. В., Красников А. С. Матричная коррекция несовмест ных систем линейных алгебраических уравнений по минимуму взвешенной с индивидуальными весами евклидовой нормы. Отраслевой фонд алгоритмов и программ. Свидетельство о регистрации №5806. 09 марта 2006 г. (авторский 10. Ерохин В. И., Красников А. С., Волков В. В. Метод Ньютона для матричной коррекции однородных несовместных систем линейных алгебраических урав нений с матрицами Теплица по минимуму взвешенной с индивидуальными весами евклидовой нормы. Отраслевой фонд алгоритмов и программ. Свиде тельство о регистрации №5798. 02 марта 2006 г. (авторский вклад 33%).

11. Ерохин В. И., Волков В. В. Применение методов анализа временных рядов к задаче прогнозирования солнечной активности // Совершенствование препо давания физико-математических и общетехнических дисциплин в педвузе и школе. Сборник научных трудов Борисоглебского государственного педагоги ческого института / ГОУ ВПО БГПИ. Борисоглебск, 2006. С. 6–11. (авторский 12. Ерохин В. И., Волков В. В. Применение регуляризации по А. Н. Тихонову к ре шению интегральных уравнений Фредгольма первого рода // Совершенство вание преподавания физико-математических и общетехнических дисциплин в педвузе и школе. Сборник научных трудов Борисоглебского государственного педагогического института / ГОУ ВПО БГПИ. Борисоглебск, 2007. С. 71–75.

(авторский вклад 50%).

13. Ерохин В. И., Волков В. В. Тихоновская задача для приближенной системы линейных алгебраических уравнений с фиксированным блоком матрицы ко эффициентов // Информационные и коммуникационные технологии в образо вании. Сборник материалов ХI Международной научно-практической конфе ренции. Борисоглебск: ГОУ ВПО БГПИ, 2010. С. 252–255. (авторский вклад 14. Ерохин В. И., Волков В. В. О некоторых взаимосвязях методов регуляриза ции и матричной коррекции при нахождении устойчивого решения прибли женной системы линейных алгебраических уравнений // Обратные и некор ректные задачи математической физики: Труды международной конферен ции, посвященной 75-летию академика М. М. Лаврентьева / СО РАН. Новоси бирск, 2007. URL: http://www.math.nsc.ru/conference/ipmp07/abstracts/ Section3/ErohinVIVolkovVV.pdf (дата обращения: 03.04.2010). (авторский 15. Ерохин В. И., Волков В. В. Устойчивые методы решения приближенных си стем линейных алгебраических уравнений // Материалы ежегодной научной конференции преподавателей и студентов БГПИ по итогам НИР за 2006 год / ГОУ ВПО БГПИ. Борисоглебск, 2007. С. 24–27. (авторский вклад 50%).

16. Волков В. В., Ерохин В. И. Некоторые свойства решений по А. Н. Тихонову приближенных систем линейных алгебраических уравнений // Проблемы тео ретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2007. С. 90–94. (авторский вклад 17. Ерохин В. И., Волков В. В. Использование подхода А. Н. Тихонова для ре шения приближенных систем уравнений специального вида // Информацион ные и коммуникационные технологии в образовании. Сборник материалов VII Всероссийской научно-практической конференции. Борисоглебск: ГОУ ВПО БГПИ, 2006. С. 107–110. (авторский вклад 50%).

18. Красников А. С., Волков В. В., Ерохин В. И. Алгоритм матричной коррек ции несовместных однородных систем линейных алгебраических уравнений с матрицами Теплица по минимуму евклидовой нормы // Проблемы теоре тической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2006. С. 127–131. (авторский вклад 19. Волков В. В., Ерохин В. И., Красников А. С. Использование матричной кор рекции систем линейных алгебраических уравнений специального вида в зада че прогнозирования солнечной активности // Проблемы теоретической и при кладной математики: Труды 37-й Региональной молодежной конференции.

Екатеринбург: УрО РАН, 2006. С. 122–126. (авторский вклад 33%).

20. Ерохин В. И., Волков В. В., Красников А. С. Матричная коррекция несовмест ных систем линейных алгебраических уравнений по минимуму евклидовой нормы, взвешенной с произвольными положительными весами // Информа ционные и коммуникационные технологии в образовании. Сборник материа лов VI Всероссийской научно-практической конференции. Борисоглебск: ГОУ ВПО БГПИ, 2005. С. 90–95. (авторский вклад 33%).

21. Ерохин В. И., Красников А. С., Волков В. В. Метод Ньютона для матрич ной коррекции несовместных систем линейных алгебраических уравнений со специальной структурой по минимуму взвешенной евклидовой нормы // Ин формационные и коммуникационные технологии в образовании. Сборник ма териалов VI Всероссийской научно-практической конференции. Борисоглебск:

ГОУ ВПО БГПИ, 2005. С. 95–102. (авторский вклад 33%).





Похожие работы:

«Полуэктова Мария Михайловна МЕТОД ОЦЕНКИ ЗАГРЯЗНЕНИЯ АТМОСФЕРНОГО ВОЗДУХА АВТОМОБИЛЬНЫМ ТРАНСПОРТОМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГЕОИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Специальность: 25.00.30 - метеорология, климатология, агрометеорология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Санкт-Петербург 2009 Работа выполнена в государственном учреждении Главная геофизическая обсерватория им. А. И. Воейкова Научный руководитель : Заслуженный деятель науки РФ, доктор...»

«Смилянская Елена Борисовна Суеверие и народное религиозное вольнодумство в России XVIII в. Специальность 07.00.02 - Отечественная история Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора исторических наук Москва...»

«МИХАЙЛОВ Андрей Юрьевич СОЦИАЛЬНАЯ ДОКТРИНА ПРАВОСЛАВНОЙ ЦЕРКВИ В ТРУДАХ И.С. БЕРДНИКОВА Специальность: 07.00.09. – Историография, источниковедение и методы исторического исследования АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата исторических наук КАЗАНЬ – 2006 2 Работа выполнена на кафедре отечественной истории до XX века исторического факультета государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Казанский государственный...»

«ПУЧКОВ ПАВЕЛ АНДРЕЕВИЧ Социально-политические и исторические взгляды Джонатана Свифта АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата исторических наук Специальность 07.00.03 – Всеобщая история Москва 2011 2 Работа выполнена в Московском государственном областном университете на кафедре новой, новейшей истории и методологии доктор исторических наук, профессор Научный руководитель : Смоленский Николай Иванович Официальные оппоненты : доктор исторических наук,...»

«АХМЕТОВ НАИЛЬ ЗАНГИРОВИЧ ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕГУЛИРОВАНИЯ ВЫРАБОТКИ ОСТАТОЧНЫХ ЗАПАСОВ ИЗ МНОГОПЛАСТОВОГО ОБЪЕКТА ЦИКЛИЧЕСКИМ ЗАВОДНЕНИЕМ Специальность 25.00.17 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата технических наук Альметьевск - 2003 г. Работа выполнена в ОАО Татнефть Научный руководитель доктор техн. наук Хисамутдинов Н. И. Официальные оппоненты : доктор технических наук,...»

«Снятков Алексей Сергеевич Разрешимость теорий иерархий согласованных со сложением функций Специальность 01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Ярославль 2012 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Тверской государственный университет. Научный руководитель доктор физико-математических наук,...»

«АКМАЕВ ЛЕНАР РУСТАМОВИЧ ОСНОВНЫЕ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ НЕПРЕРЫВНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВЕЛИКОБРИТАНИИ (последняя четверть XX в.) 13.00.01 - общая педагогика, история педагогики и образования АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Казань 2002 Работа выполнена на кафедре педагогики гуманитарных факультетов Казанского государственного педагогического университета Научный руководитель - доктор педагогических наук, профессор...»

«Толкачев Дмитрий Дмитриевич Проблемы доказывания по делам из налоговых правоотношений в арбитражном процессе Специальность: 12.00.15 – гражданский процесс; арбитражный процесс АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата юридических наук Москва - 2012 Работа выполнена в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова (юридический факультет) Научный руководитель : доктор юридических наук Кудрявцева Елена Васильевна Официальные оппоненты : Никитин...»

«Сафонова Ольга Владимировна Банковские сделки как основание возникновения банковских правоотношений Специальность 12.00.14 – административное право, финансовое право, информационное право АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата юридических наук Москва – 2011 Работа выполнена на кафедре гражданского процессуального и предпринимательского права ФГБОУ ВПО Самарский государственный университет Научный руководитель : кандидат юридических наук, доцент...»

«Зубков Максим Витальевич Вычислимые линейные порядки и -представимость 01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чисел Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань – 2009 Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования ”Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина“. Научный руководитель : доктор...»

«ГОГОЛЕВ ДМИТРИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ И СРЕДСТВ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЕДИНСТВА ИЗМЕРЕНИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ОТКЛОНЕНИЙ ФОРМЫ СЛОЖНОПРОФИЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Специальность: 05.11.15 Метрология и метрологическое обеспечение АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва, 2009 г. 2 Работа выполнена в Федеральном государственном унитарном предприятии Всероссийский научно-исследовательский институт метрологической службы...»

«Смирнов Александр Николаевич УГОЛОВНОЕ НАКАЗАНИЕ В ВИДЕ ИСПРАВИТЕЛЬНЫХ РАБОТ Специальность 12.00.08. – уголовное право и криминология; уголовно-исполнительное право АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата юридических наук Томск - 2007 2 Диссертация выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Томский государственный университет на кафедре уголовно-исполнительного права и криминологии Научный руководитель :...»

«ХАРИНОВА ОЛЬГА ВАСИЛЬЕВНА ОЦЕНКА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАЗВИТИЯ КОРПОРАТИВНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ В ПРОМЫШЛЕННОСТИ Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами – промышленность) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Барнаул 2011 1 Работа выполнена на кафедре информационных систем в экономике ФГБОУ ВПО Алтайский государственный университет....»

«НУРИЕВ Артем Наилевич ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ВОКРУГ ОСЦИЛЛИРУЮЩЕГО ЦИЛИНДРА: ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ, АСИМПТОТИЧЕСКИЙ И БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Специальность 01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Казань — 2013 Работа выполнена на кафедре аэрогидромеханики Казанского (Приволжского) федерального университета. Научный руководитель : доктор физико-математических наук, старший научный...»

«Гигинейшвили Мария Теймуразовна АПАРТЕИД: ПРЕДПОСЫЛКИ И ПЕРСПЕКТИВЫ КРИМИНАЛИЗАЦИИ В УГОЛОВНОМ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВЕ РОССИИ 12.00.08 – уголовное право и криминология; уголовно-исполнительное право АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата юридических наук Краснодар - 2013 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Кубанский государственный университет на кафедре уголовного права и...»

«БАЙКОВСКИЙ Юрий Викторович ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОБЕСПЕЧЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ ЧЕЛОВЕКА В ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ ГОРНОЙ СРЕДЫ 13.00.08. – Теория и методика профессионального образования Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук Москва – 2011 2 Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Российский государственный университет физической культуры, спорта, молодежи и туризма...»

«УДК 517.55 + 517.958 Домрин Андрей Викторович ГОЛОМОРФНЫЕ РЕШЕНИЯ СОЛИТОННЫХ УРАВНЕНИЙ 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва 2013 Работа выполнена в ФГБОУ ВПО “Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова”. Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор Гриневич Петр Георгиевич, старший научный сотрудник ФГБУН Институт...»

«Надькин Леонид Юрьевич Исследование оптических свойств полупроводника в экситонной области спектра под действием мощного импульса накачки и слабого зондирующего импульса 01.04.21 – лазерная физика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2013 Работа выполнена...»

«УДК: 519.713 Мымрин Вячеслав Валерьевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАЛЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОНКИХ УПРУГИХ ПЛАСТИН Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2009 Работа выполнена в Институте математического моделирования РАН Научный руководитель доктор...»

«РЫЖОВ Василий Александрович ОБРАБОТКА МИКРОСЕЙСМИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В ЗАДАЧЕ ПАССИВНОГО НИЗКОЧАСТОТНОГО СЕЙСМИЧЕСКОГО ЗОНДИРОВАНИЯ ЗЕМЛИ Специальность 01.04.03 – радиофизика Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Казань – 2009 Работа выполнена на кафедре радиофизики физического факультета Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Казанский Государственный Университет им. В.И....»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.