ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН

На правах рукописи

УДК 519.46

ДЗИГОЕВА ВАЛЕНТИНА СОЗРЫКОЕВНА

РАСПОЛОЖЕНИЕ ПОДГРУПП ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ

СТЕПЕНИ ДВА НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ,

СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТИЧНЫЙ ТОР

01.01.06. – математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2008

Работа выполнена в Институте прикладной математики и информатики ВНЦ РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Койбаев Владимир Амурханович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Нужин Яков Нифантьевич кандидат физико-математических наук, Алексеева Оксана Алексеевна

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 2008 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, ул. С.Ковалевской,16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " " 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук В. В. Кабанов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория линейных групп является наиболее важным, перспективным и интенсивно развивающимся направлением в современной алгебре. Находясь на стыке многих направлений (общая теория групп, теория колец, теория чисел, группы Шевалле и др.), теория линейных групп представляет собой обширную область приложений в различных разделах современного естествознания.

Различные вопросы, связанные со структурой классических групп, изучались в большом количестве работ на протяжении многих лет. Особый интерес вызывают такие вопросы, как описание нормального строения, описание изоморфизмов, образующие и соотношения, описание различных классов подгрупп.

Наша работа связана с исследованием структуры промежуточных подгрупп в линейных группах, содержащих фиксированную подгруппу. Поэтому мы подробнее остановимся на результатах этого направления.

Различные вопросы, связанные с описанием промежуточных подгрупп в линейных группах, рассматривались в работах многих авторов. Основополагающими исследованиями явились работы А. Бореля, Ж. Титса, Г. Зейтца, У. Кантора, О. Кинга, Р. Дая, Д. Дьековича, Ли Шанчжы, Н.С. Романовского и др. Следует отметить значительный вклад в развитие теории расположения подгрупп ленинградскойпетербургской алгебраической школы (З.И. Боревич, Н.А. Вавилов и их ученики).

Говоря о задаче описания надгрупп расщепимого максимального тора (которую можно связывать в контексте классов Ашбахера с классом C1 + C2 ), необходимо напомнить хорошо известный результат А. Бореля и Ж. Титса, в котором для алгебраически замкнутого поля было получено описание подгрупп групп Шевалле, содержащих расщепимый максимальный тор. В дальнейшем Г. Зейтц [27] перенес эти результаты на случай конечного поля (с числом элементов не менее 13) для надгрупп (не обязательно расщепимого) максимального тора.

Основой исследований подгрупп линейных групп, содержащих диагональную подгруппу, явилась известная работа З.И. Боревича ([2]), в которой было дано описание подгрупп полной линейной группы над полем, содержащих группу диагональных матриц. В дальнейшем, в работах З.И. Боревича и Н.А. Вавилова этот результат был перенесен на полулокальные кольца. Основным результатом этих исследований явилось стандартное описание промежуточных подгрупп. А именно, всякой подгруппе полной линейной группы G = GL(n, R), содержащей группу диагональных матриц, однозначно соответствует сеть идеалов = (ij ) над кольцом R такая, что N(), где N() – нормализатор сетевой группы G() в полной линейной группе G.

Подгруппы специальной линейной группы SL(n, R) над коммутативным кольцом R, содержащие группу диагональных матриц SD(n, R) были описаны при n Н.А. Вавиловым. Отметим отдельно, что достаточно сложный случай специальной линейной группы второго порядка над полем рассмотрен О. Кингом [24].

В работах Н.А. Вавилова и Е.В. Дыбковой [7]-[9],[29] были рассмотрены ортогональный и симплектический случаи над коммутативным полулокальным кольцом.

В работах Е.В. Дыбковой [13] получено полное описание подгрупп гиперболической унитарной группы над произвольным телом (вне зависимости от коммутативности и характеристики), содержащих диагональную подгруппу.

Большой цикл работ был посвящен задаче, которая для полной линейной группы над коммутативным кольцом R звучит как описание в ней подгрупп, содержащих группу клеточно-диагональных матриц над R (размеры клеток не менее 2). Сформулируем результат для произвольной группы Шевалле. Пусть – подсистема корней системы корней (причем ранги ее неприводимых слагаемых не меньше 2), 2 обратимо в R. Пусть, далее, = Al, Bl, Cl, Dl. Тогда подгруппа H группы Шевалле G(, R), содержащая E(, R), нормализует подгруппу, порожденную всеми элементарными корневыми унипотентами из H. Пользуясь введенным З.И. Боревичем языком сетевых подгрупп, этот результат означает, что существует единственная D–сеть идеалов кольца R соответствующего типа (симплектическая или ортогональная в соответствующих случаях) такая, что E() N(). Основной вклад в решение этой задачи внесли З.И. Боревич, Н.А. Вавилов, Н.С. Романовский, В.А. Койбаев, И.З.

Голубчик, В. Наркевич (см.[4], [5],[11],[12], [14],[20]).

Вопросам описания подгрупп исключительных групп Шевалле, содержащих регулярно вложенную элементарную подгруппу, посвящены работы Н.А. Вавилова и Е.Б. Плоткина [10].

С классом C5 связана задача описания промежуточных подгрупп, содержащихся между классической группой, заданной над кольцом и его подкольцом. Отметим результаты в этом направлении, полученные Я.Н. Нужиным [18], Н.С. Романовским [19], Р.А. Шмидтом [21] и некоторых других авторов. Под стандартностью описания соответствующей решетки понимается то, что базисные подгруппы однозначно определяются промежуточными кольцами. Обобщению этих результатов посвящена работа А.В. Степанова [28], который использовал понятие идеального стабильного ранга кольца.

Рассмотрим теперь результаты, которые непосредственно связаны с диссертацией. С классом Ашбахера C3 связана задача описания надгрупп нерасщепимого максимального тора. Сформулируем известный результат Ли Шанчжы [25], сводящий решение задачи к нерасщепимому максимальному тору. Пусть L/K – расширение степени m, n 3. Тогда для любой подгруппы H, SL(n, L) H G = GL(mn, K), существует единственное промежуточное подполе K L, [L : E] = d такое, что подгруппа H содержится между подгруппой SL(dn, E) и ее нормализатором в группе G. Заметим, что в случае n = 2 описание аналогично, но при этом возникает еще одна серия – группы Sp(2d, E). Таким образом, остается не рассмотренным случай n = 1, при этом группа G = GL(1, L) = L является максимальным тором. Перейдем теперь к обзору исследований, которые связаны именно с этим последним случаем.

В работе У. Кантора [23] получено описание подгрупп полной линейной группы над конечным полем, содержащих нерасщепимый максимальный тор (Цикл Зингера). Г.

Зейтц [27] перенес этот результат на конечные группы Шевалле. Случай поля вещественных чисел рассмотрен в работе Дьековича [22]. Во всех этих случаях ответ носил геометрический характер. А именно, всякая промежуточная подгруппа была связана с промежуточным подполем. В работе [15] В.А. Койбаевым было показано, что для произвольных полей ответ выглядит значительно сложнее, точнее, он зависит от арифметики основного поля; были изучены подгруппы полной линейной группы GL(2, Q) над полем рациональных чисел, содержащих мультипликативную группу квадратичного расширения основного поля Q (нерасщепимый максимальный тор квадратичный тор), в частности, показано, что в рассмотренном случае существует континуум промежуточных подгрупп. В дальнейшем в работе З.И. Боревича, В.А.

Койбаева и Чан Нгок Хоя [6] было получено полное описание указанных подгрупп. В работе А.А. Бондаренко [1] рассмотрен случай локального числового поля. Отметим также, что для локальных полей проблема рассматривалась в работах С.Л. Крупецкого [17] и В.П. Платонова [26]. В случае произвольного поля вопрос с описанием надгрупп нерасщепимого тора остается открытым.

Настоящая диссертация примыкает к направлению, связанному с изучением расположения подгрупп в линейных группах, содержащих максимальный тор. Вопросы и методы, возникающие в работе оказываются естественно связанными с перечисленными циклами исследований. Это и определяет актуальность темы диссертации.

Цель работы. Целью работы является описание решетки промежуточных подгрупп полной линейной группы степени два над полем рациональных функций конечного поля констант нечетной характеристики, содержащих нерасщепимый максимальный тор (квадратичный тор), связанный с квадратичным расширением основного поля.

Общая методика выполнения исследований. В работе используются методы теории групп, колец, полей. Методика описания подгрупп основана на построении колец, определяющих промежуточные подгруппы, извлечении трансвекций, а также некоторых матриц специального вида.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Получены следующие основные результаты:

- получено представление произвольного неприводимого многочлена четной степени над полем нечетной характеристики;

- дано явное описание наименьшего кольца, определяющего расположение промежуточных подгрупп, содержащих квадратичный тор;

- дано описание допустимых колец и допустимых пар, позволяющих сводить исследование решетки всех промежуточных подгрупп к исследованию подрешеток, связанных с допустимыми парами;

- дано описание подрешеток, связанных с допустимыми парами, в частности, доказано, что для каждой промежуточной подгруппы второй нормализатор и второе нормальное замыкание являются самонормализуемой и полной промежуточной подгруппами соответственно;

- вычислен стабильный ранг класса колец, связанных с промежуточными подгруппами, содержащими квадратичный тор.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Развитые в ней методы, введенные понятия и полученные результаты могут быть использованы при описании надгрупп нерасщепимого тора в линейных группах размерностей n 3.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной алгебраической конференции памяти Д.К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997), Международной школе-конференции по теории групп (Нальчик, 2006), Международной алгебраической конференции памяти Д.К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007).

Неоднократно результаты докладывались на объединенном семинаре "Алгебра и анализ" Института прикладной математики и информатики ВНЦ РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [30]перечисленных в конце автореферата.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и занимает 107 страниц машинописного текста. Библиография содержит 152 наименования.

Первая глава носит предварительный характер и посвящена общим вопросам расположения промежуточных подгрупп. В этой главе (в хронологическом порядке) приводятся понятия и методы, необходимые нам для изложения результатов диссертации. В §1 напоминаются определения сети и сетевой группы. В §2 даются определения веерной и полинормальной подгрупп. В §3 излагается общий подход, предложенный 3.И. Боревичем, к исследованию решетки промежуточных подгрупп произвольной группы G, содержащих фиксированную подгруппу T, а именно: на решетке Lat(T, G) вводится структура графа (граф нормальности). В качестве вершин графа принимаются все промежуточные подгруппы. Вершина H1 соединяется направленным ребром с вершиной H2, если H1 H2. Связные компоненты графа нормальности называются гирляндами решетки Lat(T, G). Таким образом, решетка Lat(T, G) представляется в виде дизъюнктного объединения своих гирлянд. Следовательно, изучение решетки Lat(T, G) сводится к описанию множества всех гирлянд, а затем к описанию строения каждой гирлянды в отдельности.

Среди множества всех гирлянд выделяются две: гирлянда, содержащая подгруппу T и гирлянда, содержащая группу G. Они называются соответственно нижней и верхней гирляндами решетки Lat(T, G). На решетке Lat(T, G) вводятся операции подъема H H (1) = NG (H) и спуска H H(1) = T H = h1 T h : h H. Очевидно, что каждая гирлянда решетки Lat(T, G) инвариантна относительно этих операций. Операции подъема и спуска допускают итерирование: H (n) = (H (n1) )(1), H(n) = (H(n1) )(1). Гирлянда решетки Lat(T, G) называется ограниченной сверху (соответственно снизу), если для любой подгруппы H последовательность подъемов (спусков) стабилизируется на конечном шаге. Гирлянда имеет конечный тип, если она ограничена сверху и снизу. В §3 формулируются утверждения об ограниченных сверху и снизу гирляндах. Оказывается, что гирлянда решетки Lat(T, G) ограничена снизу тогда и только тогда, когда она содержит полную промежуточную подгруппу (то есть подгруппу F такую, что T F = F ). Следовательно, все ограниченные снизу гирлянды решетки Lat(T, G) находятся во взаимно однозначном соответствии со всеми полными промежуточными подгруппами. Аналогичное утверждение справедливо для ограниченных сверху гирлянд (при условии, что операция подъема удовлетворяет условию монотонности на гирляндах: если A, B и A B, то A(1) B (1) ).

В §4 исследуется связь между факторизацией группы G по выделенной подгруппе G0 и промежуточными подгруппами H, G0 H G.

Во второй главе излагается общая техника исследования структуры Lat(T, G) промежуточных подгрупп H полной линейной группы G = GL(2, k) (char k = 2), содержащих квадратичный тор T, предложенная в [16]. Основная идея метода заключается в расчленении решетки Lat(T, G) на подрешетки и исследовании каждой подрешетки в отдельности.

Мы доказываем, что если промежуточная подгруппа содержит общую трансвекцию, то она содержит нетривиальную элементарную трансвекцию. Поэтому основным объектом исследований служат промежуточные подгруппы H, содержащие элементарную трансвекцию. Для них определяются модуль трансвекций и его кольцо множителей Далее, если подгруппа A аддитивной группы (k, +) и кольцо множителей R модуля A реализуются в качестве промежуточной подгруппы H, то есть существует подгруппа H Lat(T, G) такая, что A = A(H), R = R(H), то пара (R, A) называется допустимой. Кольцо R такое, что R = R(H) для некоторой промежуточной подгруппы H Lat(T, G) также называется допустимым кольцом.

Доказывается (теорема 2.5.2), что если (R, A) допустимая пара, то множество образует подрешетку решетки Lat(T, G). Далее (2.5.1.), подрешетка Lat(R, A) инвариантна относительно операций спуска и подъема. В частности (следствие 2.5.3), всякая нетривиальная гирлянда содержится в Lat(R, A) для некоторой допустимой пары (R, A).

Таким образом, исследуемая решетка представляет собой дизъюнктное объединение где L = Lat(R, A), объединение берется по всем допустимым парам (R, A).

Отсюда следует необходимость выявления прежде всего допустимых пар. В соответствующем критерии ключевую роль играет подкольцо основного поля k, а именно, кольцо R0 = ring 1, 2, определенное в §1 (теорема 2.1.2, следствие 2.1.3.).

Сам критерий формулируется следующим образом (теорема 2.2.5.). Для того, чтобы пара (R, A) была допустимой, необходимо и достаточно, чтобы R0 R, µA2 R.

(Здесь µ – неквадрат поля k, K = k( µ) – квадратичное расширение поля k).

Далее, выделяется идеал Q кольца R, а именно, Q = ideal и рассматx2 µ ривается сеть идеалов Доказывается (теорема 2.3.1), что всякая промежуточная подгруппа H Lat(T, G), содержащая трансвекцию, удовлетворяет включениям где E() – элементарная сетевая подгруппа.

Затем основным объектом исследований становится подрешетка Lat(R, A) = {H Lat(T, G) : A = A(H), R = R(H)}. В ней выделяются наименьшая F0 (теорема 2.6.1) и наибольшая F 0 (теорема 2.6.3) подгруппы, затем описываются (теорема 2.7.3) все промежуточные подгруппы H подрешетки Lat(R, A). В параграфах 8 и 9 рассматриваются общие вопросы, связанные с нормальным замыканием и нормализатором произвольной промежуточной подгруппы H Lat(R, A).

В третьей главе излагаются основные результаты диссертации, а именно, дается описание решетки промежуточных подгрупп, содержащих квадратичный тор, для случая поля рациональных функций.

Пусть k = Fq (t) – поле рациональных функций от одной переменной над конечным полем Fq нечетной характеристики, µ Fq \F2 – неквадрат поля констант, K = k( µ) – квадратичное расширение поля k. Рассматривается регулярное вложение мультипликативной группы K в группу всех k-линейных автоморфизмов Autk (K) сопоставляющее всякому ненулевому элементу оператор умножения : K K такой, что (x) = x.

Далее для удобства мы переходим на язык матриц. В базисе 1, µ образом K при регулярном вложении служит подгруппа (квадратичный тор) Исследуется решетка Lat(T, G) промежуточных подгрупп H полной линейной группы степени два G = GL(2, Fq (t)) над полем рациональных функций k = Fq (t), содержащих квадратичный тор T, Согласно техники, описанной во второй главе, наша задача сводится к описанию допустимых пар (R, A), затем исследованию подрешетки Lat(R, A).

В §1 проводятся исследования, касающиеся неприводимых многочленов над конечным полем нечетной характеристики, используемые нами в дальнейшем. В частности, получен следующий результат (в диссертации - 3.1.6).

Теорема 1. Для всякого неприводимого многочлена Fq [t] четной степени 2m и любого неквадрата µ Fq \F2 существуют взаимно простые многочлены f, g Fq [t] такие, что В §2 описывается (3.2.1.) кольцо R0, определяющее допустимые пары (R, A).

Теорема 2. Кольцо R0 совпадает с множеством всех рациональных дробей, степень числителя которых не превосходит степени знаменателя, причем знаменатель представляет собой произведение неприводимых многочленов четной степени, то есть где S0 - множество всех неприводимых многочленов четной степени из Fq [t], а = Далее дается описание (3.3.1.) допустимых колец R и их идеалов (§4, 3.4.10., 3.4.11.).

Теорема 3. Пусть кольцо R допустимо (R R0 ). Тогда существует некоторое множество S неприводимых многочленов из Fq [t], содержащее S0, S S0, такое, что R совпадает либо с S 1 (Fq [t]), либо с S 1 (Fq [t]).

Теорема 4. Если кольцо R строго содержит кольцо R0, то R является кольцом главных идеалов. Если R = R0 = S0 (Fq [t]), то всякий идеал A кольца R является либо главным, либо порождается двумя элементами, A = A1, где g – произведение неприводимых многочленов четной степени, deg f deg g + 1, A1 = {u R0 : (u) 1}.

В §5 описывается подрешетка Lat(R, A), связанная с допустимой парой (R, A).

Роль наименьшей подгруппы F0 в подрешетке играет Далее, роль наибольшей подгруппы F 0 играет Основным результатом параграфа служит теорема (3.5.1.) Теорема 5. Если s.r.R = 1, то для произвольной промежуточной подгруппы H Lat(R, A) спуск и подъем стабилизируются на втором шаге. Точнее, второе нормальное замыкание совпадает с наименьшей подгруппой F0, а второй нормализатор - с наибольшей подгруппой F 0, то есть H(2) = F0, H (2) = F 0.

В §6 устанавливается (теорема 3.6.1), что стабильный ранг всех допустимых колец R (не содержащихся в ) равен 1.

Автор признателен своему научному руководителю Койбаеву В.А. за внимание и ценные указания в работе, а также с благодарностью вспоминает З.И.Боревича, поставившего задачу настоящей диссертации.

Список литературы [1] Бондаpенко А.А., Расположение подгpупп, содеpжащих неpазветвленный квадpатичный тоp, в полной линейной гpуппе степени 2 над локальным числовым полем (p = 2). – Зап. научн. семин. ПОМИ,221(1994),67-79.

[2] Боревич З.И., Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц. – Зап. научн. семин. ЛОМИ,64(1976),12-29.

[3] Боревич З.И., Вавилов Н.А., Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу диагональных матриц. – Тр. Мат. ин-та АН СССР,148(1978),43-57.

[4] Боревич З.И., Вавилов Н.А., Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом. – Тр. Мат. ин-та АН СССР,165(1984),24-42.

[5] Боревич З.И., Вавилов Н.А., Наркевич В., О подгруппах полной линейной группы над дедекиндовым кольцом. – Зап. научн. семин. ЛОМИ, 94(1979),13-20.

[6] Боревич 3.И., Койбаев В.А., Чан Нгок Хой., Решетки подгрупп в GL(2, Q), содержащих нерасщепимый тор. - Зап. научн. семин. ЛОМИ, 191(1991), 24-43.

[7] Вавилов Н.А., О подгруппах расщепимых ортогональных групп.I-IIСиб.мат.журн.,29:3(1988),12-25;Зап.научн.семин.ПОМИ,265(1999),42-63.

[8] Вавилов Н.А., О подгруппах спинорной группы, содержащих расщепимый максимальный тор.I,II. - Зап. научн. семин. ПОМИ,191(1991),49-75;289(2002),37-56.

[9] Вавилов Н.А., Дыбкова Е.В., О подгруппах полной симплектической группы, содержащих группу диагональных матриц. I,II. - Зап. научн. семин.

ЛОМИ,(103)1980,31–47;132(1983),44-56.

[10] Вавилов Н.А., Плоткин Е.Б., Сетевые подгруппы групп Шевалле.I,II. – Зап.

научн. семин. ЛОМИ,94(1979),40-49;114(1982),62-76.

[11] Вавилов Н.А., Степанов А.В., О подгруппах полной линейной группы над кольцом, удовлетворяющим условиям стабильности. – Изв. вузов. Мат.,10(1989),19-25.

[12] Голубчик И.З., О подгруппах полной линейной группы GLn (R) над ассоциативным кольцом. – Успехи мат. наук,39:1(1984),125-126.

[13] Дыбкова Е.В., О сетевых подгруппах гиперболических унитарных групп. – Алгебра и анализ,9(1997),87-96.

[14] Койбаев В.А., О подгруппах полной линейной группы, содержащих группу элементарных клеточно-диагональных матриц. – Вестник Ленингр. ун-та,13(1982),33Койбаев В.А., Подгруппы группы GL (2, Q), содержащие нерасщепимый максимальный тор. – Докл. АН СССР,312:1(1990),36-38.

[16] Койбаев В.А., Подгруппы группы GL(2, k), содержащие нерасщепимый максимальный тор. – Зап. научн. семин. ПОМИ,221(1993),136-145.

[17] Крупецкий С.Л., О подгруппах унитарной группы над диадическим локальным полем. – Зап. научн. семин. ЛОМИ,103(1980),79-89.

[18] Нужин Я.Н., О подгруппах, лежащих между группами Шевалле над различными кольцами. – Алгебра и логика,22:5(1983),525-541.

[19] Романовский Н.С., Подгруппы, лежащие между специальными линейными группами над кольцом и его подкольцом. – Мат. заметки,6:3(1969),335-345.

[20] Романовский Н.С., О подгруппах общей и специальной линейных групп над кольцом. – Мат. заметки,9:6(1971),699-708.

[21] Шмидт Р.А., О подгруппах полной линейной группы над полем частных дедекиндова кольца. - Зап. научн. семин. ЛОМИ,94(1979),119-130.

[22] Djokovic D.Z., Subgroups of compact Lie groups containing a maximal torus are closed.– Proc. Amer. Math. Soc., 83:2(1981),431-432.

[23] Kantor W.M., Linear groups containing a Singer cycle. – J. Algebra,62:1(1980), p.232–234.

[24] O. King, Subgroups of the special linear group containing the diagonal subgroup. – J.Algebra,132(1990),p.198–204.

[25] Li Shangzhi, Overgroups in GL(nr,F) of certain subgroups of SL(n,K).I. – J.Algebra,125:1(1989),p.215-235.

[26] Platonov V. P., Subgroups of algebraic groups over local or global elds containing a maximal torus. – C.R. Acad. Sci. Paris.318:10 (1994), p.899-903,J. Algebra.39:1(1976), p.328-333.

[27] Seitz G. M., Subgroups of nite groups of Lie type. – J. Algebra, 61:1 (1979), p.16-27.

[28] Stepanov A., Non-standard subgroups between En (A) and GLn (A). – Algebra Collog.,11:3(2004), p.321-334.

[29] N.A.Vavilov, On subgroups of split orthogonal groups in even dimensions. – Bull.

Acad. pol. sci., Sr.sci.math., 29:9-10(1981), p.425-429.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[30] Дзигоева В.С., Койбаев В.А., Подгруппы полной линейной группы степени над полем рациональных функций, содержащие нерасщепимый тор. – Междунар.

алгебр. конф. памяти Д.К. Фаддеева.СПб,Тезисы докл., 1997, с.193.

[31] Дзигоева В.С., Описание допустимых колец поля рациональных функций. – Вестник СОГУ.Естественные науки, 1(1999),15-17.

[32] Дзигоева В.С., Койбаев В.А., О подгруппах полной линейной группы степени 2 над полем рациональных функций, содержащих нерасщепимый тор. – Вестник СОГУ.Естественные науки,1(1999),22-24.

[33] Дзигоева В.С., О решетке промежуточных подгрупп полной линейной группы степени 2 над полем рациональных функций, содержащих нерасщепимый максимальный тор. – Междунар. алгебр. конф. памяти Д.К. Фаддеева.СПб,Тезисы докл., 2007, с. [34] Дзигоева В.С., Койбаев В.А., Промежуточные подгруппы в полной линейной группе второго порядка над полем рациональных функций, содержащие нерасщепимый тор. – Владикавказский мат. ж.,10:1(2008),27-34.

[35] Дзигоева В.С., О решетке промежуточных подгрупп полной линейной группы степени 2, содержащих квадратичный тор. – Изв.вузов.Сев.Кавк.регион.Естеств.науки.3(2008),8-9.