На правах рукописи

Баядилов Ескендер Ергалиевич

О среднем значении функции делителей

от тернарной кубической формы

01.01.06 - математическая логика, алгебра

и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учной степени

е

кандидата физико-математических наук

Душанбе – 2009

2

Работа выполнена в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова Научные руководители: доктор физико–математических наук Чирский Владимир Григорьевич доктор физико–математических наук, член-корреспондент Академии наук Республики Таджикистан Рахмонов Зарулло Хусенович

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, академик АН Республики Таджикистан Шабозов Мирганд Шабозович кандидат физико–математических наук, доцент Буриев Абдукаххор

Ведущая организация: Таджикский национальный университет

Защита состоится 20 мая 2009 г. в 13 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 047.007.01 Института математики АН РТ (734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/1).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики Академии наук Республики Таджикистан.

Автореферат разослан 17 апреля 2009 г.

Учный секретарь е диссертационного совета Каримов У.Х.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проблемой делителей называют задачу об исследовании асимптотического поведения среднего значения функции делителей Дирихле, распространненных на множества натуральных чисел, имеющих различную природу. Поясним, что функцией делителей k (n) называется количество представлений натурального n в виде n = x1... xk, где x1,..., xk натуральные числа. Следует сказать, что данная задача допускает многочисленные арифметические и геометрические интерпретации. В частности, полученная самим Дирихле асимптотика для среднего значения числа делителей натурального аргумента одновременно является и асимптотикой для количества целых точек под гиперболой.

Проблема делителей Дирихле берет свое начало с классической работы Л.

Дирихле1 1849 г., посвященной выводу асимптотической формулы для количества целых точек под гиперболой.

Современная постановка проблемы делителей включает в себя много различных аспектов, одним из которых является задача получения новых оценок остаточного члена rk (x) в асимптотической формуле для сумматорной функции делителей вида xk +, Dk (x) = k (n) = xPk1 (ln x) + rk (x), rk (x) (1) nx где Pk1 (t) многочлен степени k 1.

Верхней оценкой остатка rk (x) при различных значениях величины k занимались многие известные математики. Кроме упомянутой выше работы Л.

Дирихле 1849 г., в которой получена k = 1/2, можно указать на работы Г.Ф.

Вороного2, Э. Ландау3, Х.Е. Рихерта4, Ж. ван дер Корпута5, Г. Харди и Дж.

Литтвуда6, А.А. Карацубы7, 8, также на работы А. Ивича9 и А. Ивича и М.

Dirichlet L. Uber die Bestimmung der mittleren Werte in der Zahlentheorie // Abh. Akad. Berlin (Werke, 2, 49-66), (1849), 69-83.

Вороной Г.Ф. Sur un probleme du calcul des fonctions asymptotiques // Fur die reine und angewandte math.

126 (1903), 241-282.

Landau E. Uber die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen // Gottingen Nachrichten (1912), 687-771.

Richert H.E. Einfuhrung in die Theorie der starken Rieszchen Summierbarkeit von Dirichletreihen // Nachr.

Akad. Wiss. Gottingen (Math. Physik) (1960), 17-75.

Corput J.G. van der Verscharfung der Abschatzungen beim Teilerproblem // Math. Ann. 87 (1922), 39-65.

Hardy G. H., Littlewood J.E. The approximate functional equation in the theory of the zeta-function, with applications to the divisor problems of Dirichlet and Piltz // Proc. London Math. Soc., (2) (1922), 39-74.

Карацуба А.А. Оценки тригонометрических сумм И. М. Виноградова и их применения // Труды МИАН СССР 112(1971), 245-255.

Карацуба А.А. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем. 36 №3 (1972), 475-483.

Ivic A. Some recent results on the Riemann zeta-function // Proc. of the Intern. Number Theory Conf.

(1989).

Квелета10. Последние результаты по проблеме делителей Дирихле изложены в монографии А. Ивича 11. Подчеркнем, однако, что интенсивные исследования, проводимые на протяжении многих лет и отраженные в указанных выше работах, в настоящий момент еще далеки от окончательного решения проблемы, которое предполагает получение наилучшей верхней оценки остаточного члена в асимптотической формуле, то есть получение оценки типа для любого > 0, соответствующей -теореме Г. Харди12 для величины, утверждающей, что верхняя оценка типа уже не имеет место.

Также к проблеме делителей относят еще целый класс задач, состоящий в нахождении асимптотических формул с оценкой остатка для среднего значения функции k (n), когда n пробегает некоторое подмножество множества натуральных чисел, не совпадающее с натуральным рядом. Количество таких задач очень велико, как и число работ, им посвященных. Можно указать, например, на проблему нахождения асимптотики для среднего значения функции k ([nc ]), рассмотренную А. Закзаком13, Х. М. Солибой14, Г.И. Архиповым и В.Н. Чубариковым15.

Важным направлением в круге указанных проблем является нахождение асимптотик функции k (f ()), где f () целозначный многочлен от нескольz z ких переменных z = (z1,..., zm ). Сюда может быть отнесена, как основная задача, рассматриваемая в диссертации, нахождение асимптотического поведение величины Vk (x) – среднего значения функции k (n) при условии, что 1 n x, а n пробегает значения, которые принимает тернарная кубическая форма вида где z1, z2, z3 целые числа, так и нахождение асимптотик для сумм вида Ivic A., Quellet M. Some new estimates in the Dirichlet divisor problem// Acta Arithmetica 52(1989), 241-253.

Ivi c A. Riemann Zeta-function, Wiley, New-York, 1985.

Hardy G.H. On Dirichlet’s divisor problem// Proc. Lond. Math. Soc. (2), 15, (1915), 1-25.

Закзак А. Проблема делителей Дирихле в редких последовательностях. Диссертация на соиск.... канд.

физ.–матем. наук,1993, 1–80.

Солиба Х. М. О среднем значении тернарной функции делителй на последовательности нецелых степеней натуральных чисел // Материалы Международной Конференции по аналитической теории чисел, Москва,МГУ, 1997, 30.

Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О распределении простых чисел в последовательности вида [nc ] // Вестн. Московского ун-та. Сер. Мат. Мех. 6(1999), 25 – 35.

где k, l 2. Исследованию k = 2, l 2 посвящены фундаментальные работы Эстермана, Титчмарша, Хооли, Линника, Бредихина, Мотохаши, Тимофеева, А. И. Виноградова и других математиков. Следует сказать, что случай k = l = 3 представляет собой актуальную проблему, не решенную до сих пор.

В случае k = 1 и k = 2 задача отыскания асимптотики для Vk (x) рассматривалась в кандидатской диссертации Х.Т. Нгуена16, защищенной на механико-математическом факультете МГУ в 1990 г. Там же получена асимптотика для близкой по тематике (случай k = 3) задачи представления нуля кубической формой от шести переменных вида с условием x.

Цель работы. Целью данной работы является нахождение асимптотических формул и оценки остатков, а также улучшение оценок для абсциссы Карлсона и экспоненты Карлсона в теории дзета-функции Римана.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• получено представление производящего ряда Fk (s) функции tk (n) = k (n)t(n) через функции (s) и L(s, ) (3t(n) количество представлений натурального n в виде n = z1 +z2 +z3 3z1 z2 z3, где z1, z2, z некоторые целые числа);

• найдено новое значение параметра a = 15, 21 в теореме А. А. Карацубы и Х. Е. Рихерта об оценках дзета–функции Римана в окрестности единичной прямой;

• получена новая оценка абсциссы Карлсона и экспоненты Карлсона в теории дзета–функции Римана;

• получены новые оценки остатка rk (x) в проблеме делителей Дирихле при k 100 и оценка остатка в асимптотической формуле для средних Рисса от многомерной функции делителей веса 1;

• получена асимптотическая формула для среднего значения многомерной функции делителей от кубической формы вида = z1 + z2 + z3 3z1 z2 z3 .

Методика исследований. В работе использованы методы теории дзета-функции Римана, соединяющие в себе методы теории чисел и комплексного анализа.

Нгуен Хак Тхань, Диофантовы уравнения с малым числом переменных. Канд. дис. – М.: МГУ, 1990.

Практическая и теоретическая и ценность работы. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы специалистами в области аналитической теории чисел.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах по аналитической теории чисел под руководством Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова на механико–математическом факультете МГУ им. М.

В. Ломоносова, на IV Международной конференции “Современные проблемы теории чисел и ее приложения” в Туле в 2001 г. (10.09.2001 - 15.09.2001), на Международной конфренции “Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы “Казахстан в третьем тысячелетии” (Алматы, 26 - 28 октября, 2000)”, на общеинститутском семинаре Института математики Академии наук Республики Таджикистан.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы и списка литературы. Текст диссертации изложен на 68 страницах. Список литературы содержит 85 наименований.

Во введении излагается история вопроса и приводится краткий обзор результатов, связанных с темой диссертации. Также во введении формулируются основные результаты диссертации и кратко описывается ее содержание.

Первая глава состоит из двух параграфов, в первом из которых приведены вспомогательные утверждения, а второй параграф посвящен выводу представления производящего ряда через функции (s) и L(s, ).

Важно учесть, что форма третьей степени (z1, z2, z3 ) = z1 +z2 +z3 3z1 z2 z является разложимой. Точнее, она разлагается на линейные множители в алгебраическом расширении Q( 3) поля рациональных чисел Q. Это свойство создает предпосылки использования в данной задаче техники производящих рядов Дирихле. Действительно, в упомянутой выше работе Х. Т. Нгуена при k = 1 и k = 2 был явно выписан искомый производящий ряд fk (s), причем существенным элементом рассуждений послужило доказательство мультипликативности арифметической функции t(n) = 3 t0 (n), где t0 (n) при каждом натуральном n определяется как количество решений диофантова уравнения вида Заметим, что наличие множителя 1/3 в равенстве t(n) = 1 t0 (n) говорит о том, что возможность использования мультипликативных свойств коэффициентов искомого производящего ряда Дирихле fk (s) заранее не очевидна.

Основным результатом первой главы диссертации является теорема:

Теорема 1.2.1. Для производящего ряда Дирихле функции tk (n) справедливо равенство где неглавный характер по модулю 3, а также равенство причем |ak (n)| n ( > 0 произвольно) и ряд сходится абсолютно при всех s с условием s > 1/2. В случае k = 1 имеем также g(s) = g1 (s) = 1 32s + 93s.

Здесь k любое натуральное число, большее двух, (s) дзета-функция Римана, L(s, ) L-ряд Дирихле, неглавный характер Дирихле по модулю 3.

Вторая глава состоит из двух параграфов, в первом из которых приведены вспомогательные утверждения, а во второй главе находится новое значение параметра a из теоремы А. А. Карацубы8 и Х. Е. Рихерта4 об оценках дзета– функции Римана в окрестности единичной прямой.

А. А. Карацуба и Х. Е. Рихерт для дзета-функции Римана (s) получили оценку вида Кроме того, А. А. Карацуба показал, что константу a можно связать с остаточным членом rk (x) xk + в асимптотической формуле (1) соотношением В ряде работ уточнялось значение параметра a. В частности, было показано, что можно положить a = 100 (Рихерт, 1967), a = 39 (Туран, 1971), a = (Рибенбойм, 1985), a = 26 и a = 21(Пантелеева, 1987, 1988), a = 17 (ХисБраун, 1990).

В этой главе нами устанавливается справедливость следующего утверждения, являющегося уточнением этих результатов.

Теорема 2.2.1. Пусть |t| 2, 1 2 · 104 < 1, ( + it) дзетафункция Римана. Тогда имеет место оценка вида где > 15611, a = 2 · 31,5 · 0,5 < 15, 21.

Доказательство этого утверждения опирается на результаты О. В. Тыриной17, касающиеся теоремы И. М. Виноградова18 о среднем значении тригонометрических сумм Г. Вейля, а также на известный многомерный аналог теоремы И. М. Виноградова о сглаживании двойных тригонометрических сумм, доказанный Э. Бомбьери и Г. Иванцом19.

Третья глава состоит из трех параграфов, в первом из которых приведены вспомогательные утверждения о вариантах формулы Перрона.

Во втором параграфе доказана новая оценка абсциссы Карлсона – параметра k, k = inf M, где M множество всех вещественных чисел 0 < < 1, для которых справедлива оценка Более точно, доказывается следующая теорема.

Теорема 3.2.1. Пусть при некоторых a, где 1 a 20, t 1 и всех (1/2, 1) выполняется оценка Тогда для функции k при всех k 45 имеет место оценка В этом параграфе, используя доказанные выше теоремы об оценках величины k, получаем новый результат для экспоненты Карлсона m():

Теорема 3.2.2. При всех 1 = 2880 и k0 = 44 [22/a] справедлива оценка Во третьем параграфе третьей главы в вопросе об оценке остаточного члена в классической проблеме делителей Дирихле, то есть в вопросе об оценке остаточного члена rk (x) в асимптотической формуле вида Тырина О. В., Новая оценка интеграла И. М. Виноградова // Изв. АН СССР. Сер. матем. 51, №2(1989), 363 – 376.

Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. – М.: Наука, 1980.

Bombieri E., Iwaniec H., Some mean value theorems for exponential sums // Ann.sur Pisa Norm. Sc., 14(4), 1986, 473 – 486.

где Pk1 (t) г.) и А. А. Карацубой (1971 г.) в случае k 100, кроме найденного нового значения параметра a = 15, 21 в теореме 2, также получено новое значение параметра B :

Вывод последней оценки для параметра B опирается на теорему 3 о новой оценке, известной в теории дзета-функции Римана величины k.

Полученная оценка для параметра B является уточнением результатов:

B (2·2 ) = 0, 31498... (А.А. Карацуба, 1971 г.), B 0, 5786... (Фуджи, 1976 г.), B 22/3 = 0, 6299... (Е. И. Пантелеевой, г.), B 22/3 · 31 = 0, 5782... (Ивича и Куэлето, 1989 г.).

0, 9, s = t > 1 удовлетворяет неравенству Обозначим через Pk1 (y) многочлен от переменной y = ln x степени k 1, причем Тогда при x справедлива асимптотическая формула где Заметим еще, что в ряде работ вместе с асимптотикой для среднего значения многомерной функции делителей k (n) рассматривается “среднее Рисса” веса 1 этой функции, то есть асимптотика для сумм вида В частности, асимптотическая формула для S(x) установлена в работе А. А. Карацубы8 и книге20, где она затем с помощью метода асимптотического дифференцирования используется для нахождения асимптотики среднего значения функции k (n), то есть для “средних Рисса” веса нуль. Оценка остатка Rk (x) в этих работах имела вид где 0 < k 1 (2ak)2/3.

В третьем параграфе третьей главы этот результат также улучшается.

Теорема 3.3.2. В обозначениях теоремы 3 при k 140 и a 3 для суммы D1,k (x), определяемой равенством справедлива асимптотическая формула вида где Qk1 (y) следующим соотношением Кроме того, для остаточного члена r(x) справедлива оценка вида Отсюда также следует, что соответствующий результат имеет место и для средних Рисса веса 1, касающихся значений функций k (n), распространенной на значения тернарной кубической формы В четвертой главе получена асимптотическая формула для среднего значения многомерной функции делителей от кубической формы вида Указанное выше представление для ряда fk (s) дает возможность применить метод контурного интегрирования для нахождения сумматорной функции коэффициентов ряда, а также выразить главный член и остаток искомой асимптотической формулы через вычет функции fk (s) в точке s = 1 и Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана – М.: Наука, 1994. – 376 c.

некоторый контурный интеграл соответственно. Но так как модуль характера равен трем, то исследование остатка искомой асимптотики в нашем случае в идейном смысле ничем не отличается от случая производящего ряда Gk (s) = 3k (s), но требует несколько более громоздких выкладок, связанных, в частности, с использованием функционального уравнения для L(s, ), а также разбиением ряда Дирихле, определяющего функцию L(s, ), на две прогрессии по модулю 3.

Другими словами, можно считать, что исследование остаточного члена в нашем случае фактически сводится к случаю производящего ряда Gk (s) = 3k (s), то есть к классической многомерной проблеме делителей Дирихле, отвечающей размерности m = 3k.

Теорема 4.2.1. В обозначениях теоремы 1 главы I для количества решений Vk (x) в натуральных числах x1,..., xk и z1, z2, z3 диофантова уравнения вида при k 1, z1 + z2 + z3 3z1 z2 z3 x (x ) справедлива следующая асимптотическая формула Здесь Q2k1 (y) при y = ln x является многочленом степени 2k 1, определяемым равенством При этом модуль остатка |Rk (x)| при любом > 0 удовлетворяет неравенствам Величины k и k при различных значениях k определяется равенствами В заключении автор выражает благодарность профессорам В.Г. Чирскому и З.Х. Рахмонову за научное руководство и постоянное внимание и помощь в работе.

1. Баядилов Е. Е. Об оценках дзета-функции Римана на критической прямой // Тезисы Международной конференции “Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы “Казахстан в третьем тысячелетии” (Алматы, 26 - 28 октября, 2000)”, 2000, с. 30.

2. Баядилов Е. Е. Об оценках дзета-функции Римана в окрестности прямой s = 1 // Интегральные преобразования и специальные функции.

Информ. бюллетень 2(2001), с. 42 – 49.

3. Баядилов Е. Е. О среднем значении функции делителей Дирихле на значениях тернарной кубической формы // IV Международная конференция “Современные проблемы теории чисел и ее приложения”, тезисы докладов, Тула, 2(2001), с. 20.

4. Баядилов Е. Е. О проблеме делителей для значений тернарной кубической формы // Вестник МГУ, сер. 1, матем.мех., 5(2001), с. 29 – 32.