На правах рукописи

Ваганова Наталия Анатольевна

ЧИСЛЕННО–АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ

ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

01.01.07 вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Екатеринбург – 2007

Работа выполнена в Институте математики и механики УрО РАН.

Научный руководитель: доктор физико -математических наук профессор Александр Илларионович Короткий,

Официальные оппоненты: доктор физико -математических наук профессор Сергей Сергеевич Титов, доктор физико -математических наук профессор Василий Павлович Шапеев.

Ведущая организация: Ростовский государственный университет.

Защита состоится “ ” 2007 г. в часов на заседании диссертационного совета К 004.006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Институте математики и механики УрО РАН (620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. С.Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН.

Автореферат разослан “ ” 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 004.006. кандидат физико -математических наук В.Д. Скарин

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена разработке и применению численно– аналитического подхода, основанного на методе специальных рядов, для конструктивного построения решений некоторого класса нелинейных уравнений механики сплошной среды, а также моделированию и численной реализации задачи о нахождении теплового поля от заглубленного теплового источника с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.

Актуальность темы. Для решения различных проблем, возникающих в современной науке и технике, актуальной задачей является построение адекватных математических моделей, которые как правило описываются нелинейными уравнениями с частными производными. Стремительное развитие вычислительной техники позволило рассматривать все более сложные многомерные модели, учитывающие тонкие явления, без которых невозможно точно описать реальные физические процессы.

Для исследования таких моделей создаются различные методики, требующие надежных способов их верификации. Поэтому важной задачей является построение тестов для отладок численных методик, например, получение точных решений в замкнутой форме, или в виде сходящихся рядов пусть даже и для упрощенных моделей. Кроме того, решения полученные аналитическими методами дают возможность изучить свойства исследуемых моделей. В ряде задач механики сплошной среды перспективным направлением получения приближенных решений нелинейных уравнений с частными производными является сочетание численных и аналитических методов.

Поэтому наряду с численными методами интенсивно развиваются и аналитические подходы к получению решений. Большое развитие получили аналитические методы решения нелинейных уравнений с частными производными, использующие в качестве основной конструкции ряды. Главным образом, это степенные ряды либо ряды Фурье, а в случае уравнений с малым параметром асимптотические ряды. Для представления решений линейных и нелинейных систем уравнений с частными производными были разработаны характеристические ряды (работы Р. Куранта, Д. Людвига, В.М. Бабича, А.А. Дородницына, А.Ф. Сидорова, В.М. Тешукова, С.П. Баутина, М.Ю. Козманова и др.). Эти работы послужили основанием для создания А.Ф. Сидоровым нового аналитического метода представления решений нелинейных уравнений в частных производных метода специальных рядов. Этот метод был с успехом использован в работах А.Ф. Сидорова, С.С. Титова, М.Ю. Филимонова, Л.Г. Корзунина, С.В. Вершинина, О.В. Коковихиной и К.В. Курмаевой.

В диссертационной работе получил свое развитие конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными метод специальных рядов, который позволяет строить новые классы решений начальных и начально-краевых задач для некоторого класса нелинейных уравнений с частными производными.

При решении реальных физических задач редко удается обойтись без применения численных методик. Например, к такой задаче относится описание тепловых полей от заглубленного источника с учетом лучистого излучения тепла от дневной поверхности. Эта задача важна для многих приложений, в частности, при проведении мониторинга целостности теплоизолированного заглубленного трубопровода. При этом может оказаться, что трубопровод проложен в слоях грунта, имеющих различные тепловые характеристики. Под воздействием различных факторов теплоизолирующая оболочка трубопровода может разрушиться и начнется теплообмен с окружающей средой (к примеру, температура нефтепродуктов движущихся по трубопроводу составляет около 30 градусов Цельсия). Существуют различные приборы (тепловизоры), которые позволяют снимать с большой точностью тепловые поля с поверхности, расположенной над трубопроводом. Основной задачей мониторинг-контроля является определение возможных областей повреждения теплоизоляции трубопровода и трещин. Интересно рассмотреть также и обратную задачу об определении характера повреждений и интенсивности тепловыделения по результатам измерения теплового поля на дневной поверхности. В настоящее время открытыми остаются также вопросы: имеет ли смысл проводить тепловизорные контрольные замеры поверхности, расположенной над трубопроводом при наличии снежного покрова? И если да, то в каком спектре излучения?

Представленная выше физическая задача может быть описана линейным уравнением теплопроводности в трехмерной области при наличии нелинейных граничных условий на дневной поверхности. Теоремы существования и единственности решения для некоторых таких моделей рассматривались в работах П. Куитнера1.

Необходимость изучения нелинейной модели проявляется при исследовании многих задач. Например, в работе С.С. Титова2 рассматривалась задача о распределении температуры в тонком кольце, нагреваемом точечным источником (с учетом излучения при сварке), описываемая параболическим уравнением с нелинейной правой частью. Сравнение построенного решения в виде специального тригонометрического ряда для линейной и нелинейной модели показало, что линейная теория дает существенно завышенные значения температуры.

При построении алгоритмов расчета нелинейное граничное условие, как правило, аппроксмируется на решении, полученном либо из линейной модели, либо вычисленном на предыдущем шаге итерационного процесса. Например, в работах В.П. Шапеева, А.Н. Черепанова3 и др. авторов4 одно из граничных условий для уравнения теплопереноса включает в себя нелинейный радиационный коэффициент теплоотдачи, значение которого аппроксимируется на решении, вычисленном на предыдущей итерации.

Однако работ по прямому численному моделированию задач о распространении тепла при непосредственном решении задачи с нелинейными граничными условиями, учитывающими солнечную радиацию, автору не известны. Таким образом, представляется весьма актуальным вопрос о решении прямой задачи нахождения теплового поля на дневной поверхности. Решение и моделирование этой прямой задачи позволяет ответить на многие интересующие вопросы и получить приемлемые качественные и количественные результаты.

Цель работы:

Построить новые решения в виде специальных сходящихся рядов и применить ряды, содержащие функциональный произвол, для построения решений начально– краевых задач для нелинейного уравнения фильтрации.

Для представления решения начально–краевой задачи для нелинейного волнового уравнения с точным удовлетворением нулевых краевых условий построить специальный ряд и провести численное сравнение метода специальных рядов и метода Фурье на этом примере.

Разработать методику расчета прямой задачи распространения тепла в приповерхностном слое грунта с условием лучевого обмена энергией (солнечная радиация и тепловое излучение поверхности грунта, а также теплообмен, связанный с подводом тепла из глубин Земли или от аккумулирующих тепло источников: трубопроводов, подземных объектов, геологических аномалий и т.д.) с прилегающим к поверхноQuitner P. Global existence of solutions of parabolic problems with nonlinear boundary conditions // Singularities and dierential equations Banach center publications. 1996. V. 33. P. 309–314.

Титов С.С. Решение периодических задач Коши с помощью специальных тригонометрических рядов // Числ. методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1984. Т.9. N 2. 1978. С. 112–124.

Шапеев В.П., Черепанов А.Н. Конечно–разностный алгоритм для численного моделирования процессов лазерной сварки металлических пластин // Вычислительные технологии. Т. 11. № 4. 2006.

С. 102–117.

Черепанов А.Н., Шапеев В.П., Фомин В.М., Семин Л.Г. Численное моделирование теплофизических процессов при лазерно–лучевой сварке с образованием парового канала // Прикладная механика и техническая физика. Т. 47. № 5. 2006. С. 88–96.

сти слоем воздуха, позволяющую моделировать различные условия тепловизионной съемки.

Написать и отладить комплекс программ для решения задачи о тепловом поле на дневной поверхности от подземного трубопровода с возможными его повреждениями. Провести серию численных расчетотов для получения атласа тепловых полей, полученных при типичных повреждениях теплоизоляции трубопроводов для выработки рекомендаций при проведении реальных тепловизионных съемках.

Методика исследований.

В работе используются методы и подходы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы приближенного решения уравнений, методы визуального графического представления результатов расчетов.

В качестве аналитического аппарата в работе используется конструктивный метод представления решений нелинейных уравнений с частными производными (метод А.Ф. Сидорова) метод специальных рядов. Рассматриваются начально–краевые задачи для некоторого класса нелинейных уравнений теплопроводности, для которых известны точные решения в виде полиномов по пространственным переменным.

Методы численного моделирования используются при исследовании задачи о тепловом поле от заглубленного теплового источника с учетом лучистого излучения на дневной поверхности. Используется метод геометрического расщепления многомерной краевой задачи по направлениям на ортогональной сетке. Применяется неявная шеститочечная двухслойная разностная схема для решения одномерного уравнения теплопроводности. Для решения соответствующей системы линейных разностных алгебраических уравнений используется метод прогонки. При численного решения нелинейного уравнения четвертого порядка используется метод Ньютона.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

На базе известного точного решения построены новые приближенные решения для нелинейного уравнения фильтрации и приближенно описано распространение фронта решения по нулевому фону от некоторого граничного режима.

Проведено численное исследование применимости некоторых построенных конструкций специальных рядов, согласованных с известным точным решением и содержащих функциональный произвол, для решения начально-краевых задач нелинейных уравнений фильтрации газа в пористом грунте.

Построены конструкции специальных согласованных рядов и рядов Фурье для нелинейного уравнения колебаний струны с закрепленными концами. Проведено численное сравнение метода специальных согласованных рядов и метода Фурье.

Разработан и отлажен комплекс программ для расчета тепловых полей от заглубленного источника в неоднородном грунте с учетом лучистого излучения и неровности на дневной поверхности, позволяющий проводить непосредственное численное моделирование теплового поля в трехмерной области с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.

С помощью разработанного комплекса программ были рассчитаны типичные варианты, соответствующие возможным повреждениям трубопровода. Полученные выводы на основе анализа численных расчетов и атлас тепловых полей могут быть использованы при проведении реальных тепловизионных съемок трубопроводов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический и практический характер. Метод специальных рядов получил дальнейшее развитие на пути практического применения этого подхода к приближенному решению краевых задач. Построен новый класс решений нелинейного уравнения фильтрации в виде специальных рядов, согласованных с точным решением.

Разработан комплекс программ, позволяющий моделировать различные условия тепловизионной съемки, и тем самым повысить эффективность таких наблюдений и, как следствие, разработать методы диагностики целостности трубопровода и наличия несанкционированных врезок. Непосредственное численное моделирование температурных полей, возникающих на дневной поверхности над участком заглубленного трубопровода, позволяет сделать ряд выводов о возможности обнаружения тепловых неоднородностей на рассматриваемом участке, а также обосновать правила проведения тепловизионных съемок.

Получен акт о внедрении разработанного комплекса программ в ТПИ МИФИ (г.

Трехгорный).

Публикации. Основные результаты опубликованы в центральных научных изданиях, рекомендованных ВАК [15, 19], в сборниках [5, 6, 14, 16–18], а также в трудах международных и всероссийских конференций [3, 4, 7–13, 20]. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты, полученные автором.

Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции, посвященная 150-летию С.В. Ковалевской, СанктПетербург (2000); всероссийских школах–семинарах “Современные проблемы математического моделирования”, Абрау–Дюрсо (2003, 2005); международных конференциях “Симметрия и дифференциальные уравнения”, Красноярск (2000, 2002); всероссийской конференции “Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики”, посвященные памяти К.И. Бабенко, Абрау–Дюрсо (2002); международных летних школах–конференциях “Прикладные проблемы механики”, Санкт-Петербург (2002, 2003, 2004); всероссийских школах – семинарах “Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа”, Красноярск (2002); всероссийской школе – конференции “Актуальные проблемы прикладной математики и механики”, посвященной памяти А.Ф. Сидорова Екатеринбург, Абрау–Дюрсо (2003, 2004, 2006); региональных молодежных конференциях “Проблемы теоретической и прикладной математики”, Екатеринбург, (2000, 2001, 2002, 2003, 2005) и других конференциях. Материалы выступлений представлены в сборниках тезисов (24 работы).

Работа также была представлена на расширенном научном семинаре Отдела прикладных задач Института математики и механики УрО РАН, руководитель д.ф.м.н. А.И.Короткий.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 2 глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты.

Нумерация глав, параграфов и пунктов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, паpагpаф и номеp фоpмулы. Общий объем работы 130 страниц. Библиография содержит наименования.

Основное содержание работы

.

Во введении обсуждаются актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, приведены основные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена применению метода специальных рядов для построения решений начально–краевых задач нелинейных эволюционных задач математической физики.

Приводится краткий обзор аналитических методов построения решений в замкнутой форме и методов, позволяющих находить решение с любой заданной точностью.

В § 1.1 строится специальный ряд, содержащий в качестве нулевого члена ряда известное точное решение.

Рассматривается нелинейное уравнение второго порядка Для исследования решений этого уравнения А.Ф. Сидоровым5 были построены хаСидоров А.Ф. Аналитические представления решений нелинейных параболических уравнений типа нестационарной фильтрации // ДАН РАН, 1985, т. 15, N 1, c. 47–51.

рактеристические ряды, сходимость которых была установлена С.П. Баутиным6. В диссертационной работе используются специальные ряды согласованные с точным решением, которые были предложены М.Ю. Филимоновым7.

Пусть начальные данные представимы в виде Точное решение уравнения (1) было получено С.С. Титовым.

Ищем решение уравнения (1) в виде ряда ( f (t) C 1 [0, ) ) Пусть f (t) имеет вид Тогда для определения коэффициентов n (t) подставим ряд (4) в уравнение (1) и приведем подобные члены (с одинаковыми степенями базисной функции R(x, t) ).

Для n 1 получим последовательность обыкновенных линейных дифференциальных уравнений где Kn = (2n 3n+1)/3 и начальные данные определяются из (2), то есть n (0) = n0 = const, n 2.

Лемма 1.1.1. Если 1 0, то при n 2 уравнения (6) имеют решения следующего вида:

Баутин С.П. Аналитическая тепловая волна. М.: Физматлит, 2003, 88 с.

Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для построения новых классов решений нелинейных уравнений с частными производными // Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, N 6, с. 801–808.

где коэффициенты Anj находятся по рекуррентным формулам где Bnq =2n2 3(n+q)+4. При этом в правой части все слагаемые, включающие Aij при i 0, D шаг сетки; f1 > 0 и f0 прогоночные коэффициенты.

решения уравнения (20) можно использовать метод Ньютона:

Также в § 2.2 приводятся блок-схемы программы расчета и представлен алгоритм циклической редукции для решения трехдиагональных и блочно-трехдиагональных систем разностных линейных алгебраических уравнений для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью.

В § 2.3 приводятся результаты тестовых расчетов: распределение температур по вертикали для случая фиксированной температуры на глубине и на дневной поверхности и с потоком тепла через дневную поверхность. Показано, что если модель не учитывает эффект излучения “черного тела”, то есть расчет проводится по линейной модели, то возникает существенный, но не наблюдаемый на практике, перегрев поверхности. Также приводятся картины тепловых полей на дневной поверхности при расчете на сгущающихся сетках.

§ 2.4 посвящен анализу результатов вычислительных экспериментов, проведенных с использованием разработанного комплекса программ. Приводятся рассчитанные картины тепловых полей в трехмерной области при различных условиях тепловизионной съемки. Показано, что даже если оболочка трубопровода полностью теплоизолирована (поток тепла через оболочку равен нулю), то за счет лучшего прогрева солнцем приповерхностного слоя над трубопроводом, трубопровод будет проявлять себя как пассивный источник тепла и может быть обнаружен тепловизором.

Приводятся расчеты различных вариантов расположения повреждений на трубопроводе и представлены соответствующие им тепловые картины на дневной поверхности. Также в диссертации представлены результаты серии численных экспериментов по моделированию условий тепловизионной съемки при наличии снежного покрова.

уравнения с малым параметром при старшей производной // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 15. № 6. 1975. С. 1457–1465.

Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: УрО РАН. 1992.

Целищева И.В., Шишкин Г.И. Метод декомпозиции области для сингулярно возмущенных параболических задач с переходным слоем // Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы III Всероссийского семинара, Казань, 2000. С. 129-131.

Рис. 1. Распределение температуры на дневной поверхности при частичном повреждении теплоизоляции трубопровода и при наличии траншеи.

Рис. 2. Распределение температуры на дневной поверхности при различных положениях траншеи относительно трубопровода.

Кроме того, исследуется влияние неровности на дневной поверхности и направления солнечного света. На рис. 1 и 2 представлены тепловые картины на дневной поверхности при различном положении траншеи относительно трубопровода. Солнце с “запада”, вдоль трубопровода. Светлые участки более теплые, темные холодные. Тепловой след от трубопровода ярче проступает на дне траншеи.

Основные результаты Главы 2.

• Разработан и отлажен комплекс программ для расчета тепловых полей от заглубленного источника в неоднородном грунте с учетом лучистого излучения и неровности на дневной поверхности, позволяющий проводить непосредственное численное моделирование теплового поля в трехмерной области с учетом нелинейных краевых условий, определяемых солнечным излучением.

• С помощью разработанного комплекса программ были рассчитаны типичные варианты, соответствующие возможным повреждениям трубопровода. Полученные выводы на основе анализа численных расчетов и атлас тепловых полей могут быть использованы при проведении реальных тепловизионных съемок трубопроводов.

• Получен акт о внедрении разработанного комплекса программ в ТПИ МИФИ (г.

Трехгорный).

В заключение выражаю глубокую благодарность Александру Илларионовичу Короткому и Михаилу Юрьевичу Филимонову за внимание, ценные советы, замечания и интерес к моим исследованиям, а также Владимиру Витальевичу Башурову за постановку задачи и полезное обсуждение.

Публикации по теме диссертации [1]Башуров В.В., Ваганова Н.А., Ртищев Д.Е., Филимонов М.Ю. Моделирование тепловых полей на дневной поверхности от заглубленного источника с учетом лучистого излучения / Труды 34-ой Региональной молодежной конференции “Проблемы теоретической и прикладной математики”. Екатеринбург, 2003. С.

[2]Башуров В.В., Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Расчет тепловых полей от заглубленного источника с учетом лучистого излучения и при возможной неровности дневной поверхности / Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 36-ой Региональной молодежной конференции. 2005, Екатеринбург.

С. 115–118.

[3]Башуров В.В., Ваганова Н.А., Жаринов С.В., Ртищев Д.Е., Филимонов М.Ю.

Анализ температурных полей над магистральными трубопроводами / Труды VIII Всероссийской конференции “Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф”, Кемерово 26-28 октября 2006 г., с 89–96.

[4]Башуров В.В., Ваганова Н.А., Жаринов С.В., Филимонов М.Ю. Программа и метод расчёта тепловых задач с граничными условиями, учитывающими излучение / Труды международной научно-практической конференции “Снежинск и наука - 2006. Трансфер технологий, инновации, современные проблемы атомной отрасли”, г. Снежинск 4-9 июня 2006 г. с. 70–74.

[5]Ваганова Н.А. Декомпозиция области при расчете вихревых течений в каналах / В сб. “Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений”. Вып.

5. Екатеринбург. 2001. С. 71–81.

[6]Ваганова Н.А. Построение новых классов решений нелинейного уравнения фильтрации с помощью специальных согласованных рядов / Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2003. Т. 9. № 2. С. 10–20.

[7]Ваганова Н.А. Численно-аналитический метод решения двумерного уравнения фильтрации с помощью специальных рядов / /Труды Всероссийской конференции “Математическое моделирование и проблемы экологической безопасности”.

Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2000. С. 36–40.

[8]Ваганова Н.А. Применение специальных рядов для численного решения двумерного уравнения фильтрации / Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 32-й регион. молод. конференции. Екатеринбург. 29.01.01С. 102–105.

[9]Ваганова Н.А. Применение метода специальных рядов для описания фронта нелинейной фильтрации / Труды международной конференции “Математические модели и методы их исследования”. Том 1. Красноярск. 2001. С. 132–134.

[10]Ваганова Н.А. Использование специальных рядов для построения решений уравнения нелинейной фильтрации / Труды IX Всероссийской школысеминара “Современные проблемы математического моделирования” (17-21 сентября 2001 г.). Ростов-на-Дону: РГУ, 2001. С. 76-80.

[11]Ваганова Н.А. Об алгоритмических способах построения специальных рядов и рядов Фурье для нелинейных волновых уравнений / Труды 33-ей Региональной молодежной конференции “Проблемы теоретической и прикладной математики”. Екатеринбург, 2002. С. 121-125.

[12]Ваганова Н.А. Применение специальных согласованных рядов для приближенного описания процесса нелинейной фильтрации / Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 35-ой Региональной молодежной конференции. 2004, Екатеринбург. С. 105–109.

[13]Ваганова Н.А. Моделирование и расчет тепловых полей от заглубленного трубопровода / Труды XI Всероссийской школы-семинара “Современные проблемы математического моделирования” (4-10 сентября 2005 г.). Ростов-на-Дону:

Изд-во РГУ, 2005. С. 81–86.

[14]Ваганова Н.А. Моделирование неоднородных тепловых полей от заглубленного источника на дневной поверхности / Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. Вып. 7. Тюмень: Издательство “Вектор Бук”, 2005. С. 77–84.

[15]Ваганова Н.А., Коврижных О.О., Хайруллина О.Б. Моделирование газодинамических процессов в камерах сгорания на многопроцессорной машине/ Вы- / числительные технологии. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996. Т. 1. №. 2. С. 57– [16]Ваганова Н.А., Коврижных О.О., Хайруллина О.Б. Параллельный алгоритм решения блочно-техдиагональных систем линейных алгебраических уравнений / В сб. “Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений”.

Вып.2. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1998. С. 47 – 61.

[17]Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Представление новыми конструкциями согласованных рядов решений нелинейных уравнений в частных производных / / Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2001. Вып. 118. С. 103–108.

[18]Ваганова Н.А., Филимонов М.Ю. Применение метода Фурье и специальных рядов для представления решений нелинейных волновых уравнений / Динамика/ сплошной среды. Новосибирск, 2002. Вып. 120. С. 79–83.

[19]Vaganova N.A. Constructing New Classes of Solutions of Nonlinear Filtration Equation by Special Consistent Series / Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 2. 2003. P. S182–S184.

[20]Vaganova N.A. On certain properties of nonlinear ordinary dierential equations systems for simulating wave motions / Proc. of XXX Summer School “Advanced Problems in Mechanics”, June 27-Jule 6, 2002. St. Peterburg. 2003. P. 607–611.

Размножение с готового оригинал-макета в типографии “Уральский центр академического обслуживания” 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18.