Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи

Лапин Николай Иванович

Применение метода неприводимых тензоров в

задачах динамики твердого тела

01.02.01. – Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2013

Работа выполнена на кафедре физики и физического образования Феде­ рального государственного бюджетного образовательного учреждения выс­ шего профессионального образования Нижегородского государственного пе­ дагогического университета им. Козьмы Минина

Научный руководитель:

Урман Юрий Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Кобрин Александр Исаакович, доктор физико-математических наук, профессор Буров Александр Анатольевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского

Защита состоится 26 апреля 2013 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московском государственном уни­ верситете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, 1, Главное здание МГУ ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале отдела диссер­ таций (Ломоносовский проспект, 27, Фундаментальная библиотека, сектор А - 8 этаж, к.812).

Автореферат разослан 26 марта 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.22, кандидат физико-математических наук, доцент В.А. Прошкин

Общая характеристика работы

Актуальность исследования обусловлена разви­ Актуальность темы.

тием устройств, использующих бесконтактное вывешивание твердого тела в магнитном или электрическом поле, исследование динамики космического аппарата в гравитационном и магнитном полях Земли, разработки новых технологических процессов и систем, технические характеристики которых определяются динамическим поведением твердого тела при взаимодействи­ ем с неоднородным силовым полем. Задача описания взаимодействия твер­ дого тела с неоднородным полем имеет свою специфику, приводящая к су­ щественному усложнению структуры взаимодействия тела с полем, по срав­ нению с классической постановкой задачи о движении твердого тела с за­ крепленной точкой в однородном гравитационном поле. Принципиальным в данных задачах является особый вид сил и моментов сил, возникающих при рассмотрении взаимодействия.

В связи с изложенным, возникает проблема описания взаимодействия в наиболее удобном для исследования виде. Так как силы и моменты сил имеют свою специфику, то точное аналитическое решение задачи о движе­ нии твердого тела недостижимо. Поэтому форма описания такого взаимо­ действия должна быть удобна для нахождения приближенных уравнений, описывающих динамику.

Актуальным становится задача создание такого математического аппа­ рата, который позволил бы учесть всю сложность описания взаимодействия и специфику сил и моментов сил, возникающих при рассмотрении взаимо­ действия твердого тела с неоднородным силовым полем.

Таким требованиям отвечает математический аппарат неприводимых тензоров. Применение этого математического аппарата позволяет записать силовую функцию взаимодействия твердого тела с неоднородным силовым полем в инвариантном виде, определить ясный физический смысл слож­ ных взаимодействий, легко проводить преобразование силовой функции из одной системы координат в другую, повернутой относительно первой, пред­ ставлять силовую функцию сложного взаимодействия в фазовых перемен­ ных задачи, использовать наличие симметрии как формы твердого тела, так и структуры силового поля.

Данный метод развивается в диссертационной работе и демонстриру­ ется на примерах получения инвариантного разложения силовой функции попарного взаимодействия произвольных зарядовых и токовых распределе­ ний, на изучении взаимодействия произвольного по форме однородного по составу диамагнитного тела с магнитным полем произвольной конфигура­ ции, получения осредненных уравнений динамики твердого тела.

Использование математического аппарата неприводимых тензоров поз­ воляет рассматривать сложные задачи динамики твердого тела в неоднород­ ных силовых полях различной физической природы, например задачи иссле­ дования движения космического аппарата в гравитационном и магнитном поле Земли, транспортировки и установки деталей, при создании сложных технических устройств электрическим и магнитным полем, создании цен­ трифуг, создающих при вращение поля в десятки миллионов, применя­ емых в ядерных исследованиях, создании высокоскоростного транспорта, исследование динамики левитирующего диамагнитного тела в магнитном поле.

Левитация диамагнитных тел в магнитном поле важна для множества практических приложений. Она открывает новые возможности для управле­ ния биологическими объектами, для сепарации нанотрубок, полимеров, об­ ладающих различной плотностью, выращивания белковых кристаллов до cm, для синтеза новых материалов и многого другого. Наиболее отличитель­ ная черта и преимущество диамагнитной левитации по сравнению с другими известными или возможными схемами, включая сверхпроводящую левита­ цию, есть то, что для однородного материала существуют магнитные поля с определенным профилем квадрата магнитной индукции, когда гравитация скомпенсирована фактически на уровне отдельных атомов и молекул. Это делает возможным симулировать состояние невесомости в очень хорошем приближении прямо на Земле, что нашло свое применение в медико-био­ логических исследованиях, пищевой промышленности, здравоохранении и многих других приложениях.

Так как интерес к различным применениям диамагнитного подвеса ко­ лоссально возрос, и с каждым годом будет расти все больше и больше (в настоящее время созданы электромагниты, генерирующие магнитные поля с индукцией В 26,8 Т, и не за горами разработка магнитов, создающих поля с индукцией В 30-50 Т), появилась настоятельная необходимость в теоретическом осмыслении динамики различных слабых диамагнитных тел в магнитном поле.

Цель диссертационной работы.

общих методов описания и исследования взаимодействия твердого тела с неоднородным силовым полем произвольной физической природы. Разви­ тие аналитических и качественных методов исследования эволюционных движений твердого тела. Изучение причин, влияющих на устойчивость в неконтактном подвесе диамагнитного тела произвольной формы в произ­ вольном магнитном поле.

Методы исследования. В диссертации используется математический аппарата неприводимых тензоров. Применении математического аппарата неприводимых тензоров позволило: а) записать силовую функцию взаимо­ действия твердого тела с полем; б) выявить явный физический смысл чле­ нов разложения скалярного и векторного полей; в) получить теорему сло­ жения для тензорных решений уравнения Гельмгольца, которая позволила получить разложение силовой функции при трансляциях и поворотах; г) получить осредненные уравнения движения твердого тела под действием моментов сил; д) построить силовую функцию взаимодействия диамагнит­ ного ротора произвольной формы с магнитным полем подвеса, получить условия устойчивости, определить область устойчивости диамагнитного эл­ липсоида в поле кругового тока; е) проанализировать движения ротора при периодическом изменении формы.

Научная новизна. I. Обосновано использование математического ап­ парата неприводимых тензоров при описании и исследовании сложных вза­ имодействий твердого тела с силовым полем произвольной природы.

II. Представлены и проанализированы инвариантное разложение сило­ вой функции взаимодействия пространственных зарядовых и токовых про­ извольных распределений.

III. Построена теория расчета силовых характеристик подвеса диамаг­ нитного ротора произвольной формы в неконтактном подвесе.

IV. Найдены условия консервативной устойчивости и определена об­ ласть устойчивости диамагнитного симметричного эллипсоида в поле кру­ гового тока.

V. Показана эффективность использования неприводимых тензоров для построения эволюционных уравнений движения твердого тела и их осред­ нения.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическую и прак­ тическую значимость представляют предложенные в работе методы постро­ ения и исследования силовой функции взаимодействия твердого тела с неод­ нородным силовым полем. Практическая значимость этих результатов обу­ словлена возможностью их применения для решения задач связанных с изу­ чением при: движении космического аппарата в гравитационном и магнит­ ном поле Земли, транспортировки и установки деталей, при создании слож­ ных технических устройств электрическим и магнитным полем, создании центрифуг, создающих при вращение поля в десятки миллионов, приме­ няемых в ядерных исследованиях, создании высокоскоростного транспор­ та, левитации диамагнитных тел в магнитном поле. В качестве конкретного практического применения полученных результатов можно рассматривать результаты нахождения области устойчивости диамагнитного эллипсоида в поле кругового тока и результаты анализа при рассмотрении поведения диамагнитного эллипсоида в поле кругового тока при периодическом изме­ нении формы эллипсоида.

Основные результаты диссертационной работы являются частью иссле­ дований, проводимых при финансовой поддержке Российского фонда фун­ даментальных исследований (проекты № 12-01-31133 мол-а на 2012-2013 го­ ды, № 08-01-00333-а на 2008-2010 годы).

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на X Все­ российском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и при­ кладной механике (Нижний Новгород, 2011); на Международной конферен­ ции Устойчивость, управление и динамика твердого тела (Донецк, 2011); на X Международной молодежной научно-технической конференции "Будущее технической науки"(Нижний Новгород, 2011); на Международной конфе­ ренции "Тараповские чтения"(Харьков, 2011); на Международной конфе­ ренции "XI математическая Белорусская конференция"(Минск, 2012); на IV Всероссийской молодежной научно-инновационной школе "Математика и математическое моделирование"(Саров, 2010); на Нижегородской сессии молодых ученых (Нижний Новгород, 2006–2010).

По теме диссертации были сделаны доклады на семинаре "Математиче­ ское моделирование динамических систем и процессов управления"в НИИ ПМК ННГУ имени Н.И. Лобачевского (рук. проф. Д.В. Баландин), семина­ ре кафедры физики и физического образовании НГПУ им. Козьмы Минина (рук. проф. Ю.М. Урман).

Материалы диссертации опубликованы в 15 печатных Публикации.

работах. В том числе из них 4 статьи в рецензируемых журналах, рекомен­ дованных ВАК для публикации результатов диссертаций. В конце авторе­ ферата приведены наиболее значимые публикации по теме диссертации.

Личный вклад. В публикациях, выполненных совместно с научным руководителем Ю.М. Урманом, соискателю принадлежит качественный и численный анализ результатов полученных выражений, обоснование воз­ можности использования методов при рассмотрении сложных взаимодей­ ствий, выведение конечных выражений необходимых для численного ана­ лиза, Ю.М. Урману принадлежат постановки задачи, формулировки утвер­ ждений, участие в обсуждении результатов и общее руководство работой.

Диссертация является продолжением работ, проводившихся в НИИ ПМК ННГУ им. Н.И. Лобачевского.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, списка ли­ тературы, содержит 124 страницы основного текста, 20 рисунков, библио­ графию 59 названий.

Содержание работы обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ Во введении мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, пока­ зана теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

Введение содержит обзор литературы и краткое содержание работы.

В первой главе представлены необходимые сведения из теории групп, определены основные понятия, необходимые для дальнейшего изложения результатов работы. Введены матрицы конечных вращений, на основе кото­ рых дано определение неприводимых тензоров. Приведена тензорная алгеб­ ра и примеры неприводимых тензоров.

Математический аппарат неприводимых тензоров создавался для нужд квантовой механики и оказался весьма универсальным. Насколько известно автору в механике этот аппарат в первые был применен в работах Ю.М. Ур­ мана и Г.Г. Денисова. Его использование позволяет увидеть ясный физи­ ческий смысл сложных взаимодействий, выражать эти взаимодействия в инвариантном виде, легко проводить преобразования из одной системы ко­ ординат в другую, повернутую относительно первой, рассматривать доволь­ но сложные взаимодействия, давая им компактную форму записи и явную зависимость от фазовых переменных задачи, легко использовать наличие симметрии как формы твердого тела, так и структуры силового поля, про­ водить процедуру осреднения не покомпонентно, а всего объекта целиком.

Это имеет значительное преимущество при рассмотрении динамики твердо­ го тела в полях различной природы.

разуется по неприводимому представлению Из определения следует, что при повороте системы координат, определяе­ мом углами Эйлера,,, компоненты неприводимого тензора преобразу­ ются линейно. Коэффициенты этого преобразования являются матрицы представления Для неприводимых тензоров вводится алгебра аналогично алгебре де­ картовых тензоров. Для декартовых тензоров определены три типа опера­ ций: сложение, умножение и свертка по паре индексов. Для неприводимых тензоров вводится сложение двух неприводимых тензоров, а вместо опера­ ции умножения и свертки определяется операция неприводимого тензорного произведения L ранга двух неприводимых тензоров M1 N На основе неприводимого тензорного произведения, можно построить неприводимое тензорное произведение трех и более неприводимых тензоров.

Вторая глава посвящена получению формульных преобразований тен­ зорных решений уравнения Гельмгольца при трансляциях, что находят свое применение при решении задач, в которых необходимо связать граничные условия двух или большего числа пространственных тел.

Ряд задач теоретической и математической физики приводит к необ­ ходимости представить решения уравнений Гельмгольца или Лапласа, за­ писанные в одной системе координат, через решения того же уравнения в другой системе координат, сдвинутой относительно первой. Такая проблема возникает, когда нужно связать краевые условия для двух или большего числа тел в задачах электродинамики и теплопроводности, в задачах кван­ товой механики, при разложении по мультиполям энергии взаимодействия гравитирующих тел либо зарядовых или токовых пространственных рас­ пределений. Для всех задач такого типа необходимо знать оператор сдвига, преобразующий решение из одной системы координат в другую.

Известно, что группа движений пространства (3), состоящая из вра­ щений относительно начала координат и сдвигов, является группой сим­ метрии уравнения Гельмгольца. Она отображает решения уравнения Гельм­ гольца снова в решения.

Пусть (r)–решение уравнения Преобразование Фурье также удовлетворяет уравнению Гельмгольца. Здесь k–единичный вектор (k·k) = 1, пробегающий единичную сферу 2 : 1 +2 +3 = 1, –обычная мера телесного угла на этой сфере и –произвольная комплекснозначная измеримая функция на 2 (относительно ) такая, что Множество 2 (2 ) таких функций образует гильбертово пространство со скалярным произведением Следовательно, данное пространство можно разложить на неприводи­ мые, в каждом из которых найдется оператор (), который, действуя на функции (r), индуцируют операторы, действующие на функции. Таким образом, операторы () определяют неприводимые представления группы (3) на пространстве функций 2 (2 ).

Если же рассмотреть пространство, состоящее из решений уравне­ ния Гельмгольца (r), определенных формулой преобразования Фурье, то для (r) = () и некоторого 2 (2 ) пространство является гильбер­ товым пространством со скалярным произведением Следовательно, () является унитарным преобразованием из 2 (2 ) в.

Существование унитарного отображения дает нам возможность переходить в задачах от пространства к пространству 2 (2 ).

В задачах, связанных с решением уравнения Гельмгольца, большое зна­ чение имеет получение формул, дающих разложение базисных функций с разделяющимися переменными в одной криволинейной системе коорди­ нат в виде суммы или интеграла от базисных функций в другой криволи­ нейной системе координат. Часто бывает необходимо применить евклидово преобразование к функции и затем осуществить разложение по базису. Поскольку –гильбертово пространство, мы имеем где сумма заменяется интегралом, если –собственные функции непрерыв­ ного спектра. Следовательно, мы можем найти коэффициенты разложения в пространстве 2 (2 ) вместо того, чтобы искать их в пространстве.

Рассмотрим неприводимое представление () группы (3) в 2 (2 ).

Если ограничить на подгруппу 3, то оно становится приводимым и разбивается на прямую сумму где –унитарные неприводимые представления группы 3. Таким обра­ зом 2 (2 ) можно разложить на прямую сумму взаимно ортогональных под­ пространств. Элементы из этих подпространств являются собственны­ ми функциями оператора Лапласа на сфере 2 и совпадают со сферически­ ми функциями (орты канонического базиса неприводимого представления с целым весом ). Следовательно, базис для пространств состоит из соб­ ственных функций где (cos())–нормированная присоединенная функция Лежандра.

Матричные элементы операторов переноса (, a) = (a · p) на ба­ зисных функциях 2 (2 ) определяются формулой для вычисления интеграла используем формулу разложения плоской волны:

и значение интеграла где (kr)–сферическая функция Бесселя, 1 2 2 –коэффициент Глебша­ Гордана для 3, тогда получим Таким образом, матричные элементы оператора трансляции имеют вид Данные матричные элементы используются для получения теоремы сложения решений уравнения Гельмгольца в сферической системе коорди­ нат. В общем виде это выражается через формулу В явном виде теорема сложения может быть выражена как разложе­ ние через биполярные гармоники (неприводимые тензорные произведения сферических функций).

Выбирая в представленной формуле в качестве () сферическую функцию Бесселя () и устремляя 0, учитывая при этом, что () 2+1 получаются формулы для преобразования при трансляциях решений уравнений Лапласа не имеющих особенности в нуле Аналогично, если в качестве () выбрать функцию Неймана () и устремляя 0 будем иметь, учитывая, что () (21)!!(+1) решение уравнения Лапласа имеющих особенности в нуле В представленных формулах регулярные и иррегулярные (в соответствии с их поведением в точке = 0) шаровые функции.

Для получения формул преобразований при трансляциях тензорных решений уравнения Гельмгольца () используем изменение схемы связи в неприводимых тензорных произведениях и теорему сложения для скалярных волн. Формула преобразования сферических тензорных волн при трансляциях имеет вид Аналогично получению формул для трансляций скалярных решений уравнения Лапласа, получим формулы для тензорных решений уравнения Лапласа.

Здесь частные тензорные решения уравнения Лапласа с особенностью на беско­ нечности и с особенностью в нуле соответственно.

В третьей главе на основе результатов, полученных в предыдущих строятся инвариантные разложения силовых функций электромагнитного взаимодействия пространственных зарядовых и токовых распределений. Где зарядовое распределение представляет скалярное взаимодействие, а токовое распределение - векторное. Исследуются свойства силовой функции, завися­ щие как от симметрии тела, так и от симметрии структуры силового поля.

Для попарного взаимодействия зарядовых распределений строятся инвари­ антные представления силы и момента сил.

Используя теорию потенциала и разложение функции Грина скалярно­ го уравнения Лапласа в ряд на регулярные и иррегулярные функции, опи­ раясь на свойства скалярного произведения двух неприводимых тензоров и применяя теорему сложения для скалярных решений уравнения Гельм­ гольца удается представить выражение силовой функции взаимодействия в виде, который удобен для исследования При получении данного выражения не вводилась система координат, и сам вид разложения - скалярное произведение инвариантных объектов - пока­ зывает, что они представляют собой инварианты. Каждый член в данном выражении можно трактовать как взаимодействие мультиполей разных по­ рядков сгустков зарядов 1 и 2. Физический смысл неприводимого тензора определяется при взятии интеграла при последовательной подстановки = 0, 1, 2, получаем, что 0 – заряд рас­ пределенный в объеме сгустка, 1 – дипольный момент и так далее.

Сила и момент, действующие в системе двух сгустков зарядов полу­ чается нахождением вариации силовой функции при бесконечно малом из­ менении, соответственно сила получается после нахождения вариации при бесконечно малом изменении, а момент сил при нахождении вариации силовой функции при бесконечно малом повороте 1 (1) = Для нахождения инвариантного разложения силовой функции взаимо­ действия двух объемных токовых распределений (что представляет собой векторное взаимодействие) используется разложение функции Грина век­ торного уравнения Лапласа на регулярные (r) и иррегулярные (r) шаровые векторы, понятие векторного мультипольного момента и применяется теорема сложения тензорных решений уравнения Гельмголь­ ца.

Общее выражении для энергии взаимодействия токовых распределений имеет вид которое можно трактовать как взаимодействие векторных мультиполей од­ ного токового распределения с полем, создаваемым другим токовым распре­ делением. Это выражение можно обобщить на попарное взаимодействие пространственных токовых распределений. В качестве примера рассматри­ вается задача о взаимодействие произвольно расположенных витков с то­ ком.

Выражение энергии для случая произвольного расположения токовых витков представляется в компактном виде:

Четвертая глава посвящена демонстрации использования математи­ ческого аппарата неприводимых тензоров при построении силовой функции взаимодействия твердого тела с полем произвольной физической природы и получении осредненных эволюционных уравнений динамики твердого тела в силовых полях произвольной природы.

В общем случае, движение твердого тела описывается системой урав­ нений где M – момент внешних сил, F – внешние силы, v – скорость центра масс, K – кинетический момент.

Законы связаны, так как не могут применяться независимо один от другого. Действительно, сила F зависит от углов поворота тела, от угло­ вых скоростей, определенных законом кинетического момента и, наоборот, момент сил M зависит от положения центра масс, его скорости, которые определяются из закона движения центра масс.

Силовая функция, описывающая движение твердого тела под действи­ ем произвольных моментов сил, имеет вид где Процедура выведения уравнений движений твердого тела в перемен­ ных – вектор кинетического момента,, – сферические углы, характе­ ризующие положение вектора кинетического момента и углы Эйлера,,, состоит в следующем:

Определение проекции уравнения движения вектора кинетического момента на оси координат системы, связанной с кинетическим момен­ Нахождение проекции абсолютной угловой скорости тела на оси коор­ динат, связанной с твердым телом.

С учетом того, что моменты сил порождаются силовой функцией, си­ стема уравнений в общем виде:

Первые три уравнения системы описывают изменение вектора кинети­ ческого момента по величине и направлению, остальные три – движение тела относительно кинетического момента.

Данные выражения применяются в задаче исследования Лунно-Сол­ нечной прецессии и нутации земной оси, как пример задачи о движении твердого тела под действием сил и моментов сил потенциального характе­ ра.

Исследуются угловые движения твердого тела в гравитационном поле – притягивающих центров, которые двигаются по разным эллиптическим орбитам и не взаимодействуют друг с другом.

Силовая функция взаимодействия твердого тела с двигающимися то­ чечными массами с точностью до кубов обратных расстояний до притяги­ вающих масс имеет вид:

В формуле – гравитационная постоянная, – масса притягивающей точ­ ки, 2 – неприводимый тензор инерции несферичного тела, 2 (e ) – сфериче­ ская функция, определяющая положение радиус-вектора R материальной точки. Выражение в круглых скобках скалярное произведение неприводи­ мых тензоров.

Выражение силовой функции через фазовые переменные задачи имеет вид:

здесь –большая полуось эллипса, – фокальный параметр, - эксцентри­ ситет эллипса орбиты, – долгота восходящего узла, – наклон орбиты к экватору, – аргумент перигея, – истинная аномалия, K – модуль вектора кинетического момента, углы и, характеризующие положение вектора кинетического момента относительно опорной системы координат.

После процедуры осреднения по свободному движению твердого тела Эйлера -Пуансо, осредненная функция примет вид:

Уравнения, описывающие изменение вектора K в пространстве для -го члена силовой функции с учетом эволюции орбит имеют вид:

Эта система в общем случае не интегрируется. Поэтому функцию необходимо осреднить по времени. полученное выражение которое при подстановки в систему уравнений, описывающих изменение ки­ нетического момента позволяет в явном виде получить эволюционные урав­ нения вектора кинетического момента в гравитационном поле масс, кото­ рые движутся по эллиптическим орбитам разных форм.

Полученные выражения используются для определения Лунно-Солнеч­ ной прецессии и нутации земной оси. Влияние Солнца на Землю описывает­ ся выражением:

Влияние Луны на Землю:

Уравнение, описывающее прецессию земной оси вокруг оси эклиптики на постоянном расстоянии от оси эклиптики:

где Из-за прецессии меняется положение небесного полюса - той точки, во­ круг которой, как нам кажется, происходит суточное вращение звезд. В настоящее время небесный полюс близок к Полярной звезде. Период пре­ цессии, найденный в работе, получается 25300 лет.

Нутация земной оси определяется формулами Поскольку | |, нутация происходит с периодом | |, то есть с пери­ одом прецессии лунной орбиты. Этот период равен 18, 6 лет. Если прецес­ сия земной оси вызвана совместным влиянием гравитационных моментов Луны и Солнца, то нутация почти исключительно влиянием прецессии лун­ ной орбиты.

Пятая глава посвящена расчету силовых характеристик подвеса диа­ магнитного ротора произвольной формы в магнитном поле. Левитация пред­ метов в магнитном поле важна для множества практических приложений.

Она открывает новые возможности для управления биологическими объек­ тами, для сепарации нанотрубок, полимеров, обладающих различной плот­ ностью, выращивания белковых кристаллов размерами до 1 cm, для синтеза новых материалов и многого другого.

Энергия взаимодействия диамагнитного ротора произвольной формы с магнитным полем произвольной конфигурации при условии, что магнитная восприимчивость диамагнетиков мала, находится по формуле:

в которой 0 - квадрат напряженности магнитного поля, которое было до внесения в это поле диамагнитного ротора. Основная сложность состоит в вычислении величины напряженности магнитного поля при условии разме­ ров ротора и произвольности поверхности ротора.

Напряженность магнитного поля удобно представить через скалярное произведение функций, зависящих от коэффициентов разложения поля и и вектора смещения тела относительно центра подвеса При подстановки данного выражения в формулу для энергии, получа­ ется общее выражение энергии взаимодействия произвольного по форме и размерам диамагнитного ротора с произвольным магнитным полем где в круглых скобках приведено скалярное произведение двух неприводи­ мых тензоров. Тензор { } - связан с полем, а +2 (er ) - с телом.

Потенциальную энергию удобно представить через сумму энергий где первый член суммы - это энергия взаимодействия сферического рото­ ра с полем, а второй член - это энергия взаимодействия, обусловленная несферичностью. Оба слагаемых энергии выражаются через коэффициен­ ты разложения поля, что удобно для нахождения области устойчивости при различных конфигурациях поля. Для симметричного эллипсоида, радиус средней сферы которого, выражение для энергии через коэффициенты разложения поля:

здесь - неприводимый тензор формы тела, который характеризует гео­ метрию ротора. При этом 2 отвечает эллипсоидальности ротора, 3 – гру­ шевидности ротора.

Устойчивость состояния равновесия определяется согласно теореме Лагран­ жа, следуя которой потенциальная энергия в состоянии равновесия долж­ на иметь изолированный минимум. Требование минимума выполняется при условии положительной определенности матриц вторых производных функ­ ции потенциальной энергии в состоянии равновесия. Условия положитель­ ной определенности матриц вторых производных позволяет определить об­ ласть устойчивости для диамагнитного эллипсоида. Для симметричного эл­ липсоида получено несколько состояний равновесия. Устойчивое состояние равновесия {0 = 0, 0 = 0, 0 = } и неустойчивое {0 = 0, 0 = 1, 0 = 0}. Для устойчивого состояния равновесия рассчитана область устойчиво­ сти. В терминах размеров витка и размеров средней сферы ротора она для отношения радиуса средней сферы ротора к радиусу токового витка / = 0.8 лежит в пределах 0.408 0.597. Данные результаты могут быть использованы для конструирования различных приборов, использую­ щих явление левитации.

Использование общего выражения энергии взаимодействия диамагнит­ ного ротора с магнитным полем подвеса удобно для вычисления силы, дей­ ствующей со стороны ротора на диамагнитный ротор. Процедура вычис­ ления силы основана на нахождении первой вариации энергии при малом смещении ротора из положения равновесия. Выражение силы действующей на диамагнитный эллипсоид представляется в виде:

Выражение силы, представленное в данном виде, удобно для опреде­ ления перегрузочной способности ротора в магнитном поле, так как сила представляется через коэффициенты разложения поля, то данная форму­ ла применима для различных конфигураций поля. Это позволяет опреде­ лить конфигурацию поля, обеспечивающую максимальную область устой­ чивости.

Эксперименты по вывешиванию живых организмов (живые организмы - диамагнитные тела) в магнитном поле указали на интересные закономер­ ности поведения их в магнитном поле. Это позволило рассмотреть задачу о поведение ротора в поле подвеса при периодическом изменении формы ротора. То есть рассматривается диамагнитный эллипсоид, который меняет форму периодически с вытянутого на сплюснутый. В расчетах полагалось, что ось симметрии ротора совпадает с осью симметрии поля. Уравнение движения тела имеет вид:

Исследование данного уравнения позволяет рассмотреть динамику диа­ магнитного эллипсоида в поле кругового тока при периодическом изменении формы тела. Начальное положение тела задается в точке состояния равно­ весия (0) = 0. Анализ графических зависимостей, отражающих динамику ротора при периодическом изменении формы ротора, показывает, что коле­ бания формы являются причиной возбуждения колебательных движений тела, которые могут привести к выходу ротора из области устойчивости.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

На основе математического аппарата неприводимых тензоров приведе­ но математическое описание и исследование взаимодействия твердого тела с силовым полем различной физической природы:

Получена теорема сложения для тензорных решений уравнения Гельм­ гольца. Общие формулы преобразований для тензорных решений урав­ нения Гельмгольца позволяют в частном случае получить формулы преобразования для скалярных и векторных решений уравнения Гельм­ гольца.

Записаны инвариантные разложения силовой функции взаимодействия объемных зарядовых и токовых распределений.

Найдены инвариантные представления силы и момента силы попарно­ го электромагнитного взаимодействия двух объемных зарядовых рас­ пределений.

Записана силовая функция взаимодействия диамагнитного ротора про­ извольной формы с магнитным полем произвольной конфигурации.

Найдена сила, действующая со стороны подвеса на произвольный по форме ротор.

Найдена область устойчивости для диамагнитного симметричного эл­ липсоида однородного по составу в поле кругового тока.

Проанализировано поведение ротора в поле подвеса при периодиче­ ском изменении формы ротора.

Ю. М. Урман, Н. А. Бугрова, Н. И. Лапин // Журнал Технической Физики. — 2010. — № 9. — С. 25–33.

[2] Применение метода неприводимых тензоров для вычис­ лений силовых характеристик подвеса диамагнитного шара в магнит­ ном поле произвольной конфигурации / Ю. М. Урман, Н. А. Бугрова, Н. И. Лапин // Научное обозрение. — 2010. — № 1. — С. 27–31.

[3] Динамика левитирующего ротора в магнитном поле / Ю. М. Урман, Н. А. Бугрова, Н. И. Лапин // Сборник научных тру­ дов по материалам международной научно-практической конференции Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транс­ порте 2011. Том 8. Физика и математика, Химия. — Одесса: Черномо­ рье, 2011. — С. 63–65.

[4] Устойчивое удержание диамагнитного шара в поле си­ стемы круговых токов / Н. А. Бугрова, Н. И. Лапин // Материалы VI международной научно–практической конференции Научный прогресс на рубеже тысячелетий–2010. — г. Прага, 2010. — С. 6–10.

ман, Н. И. Лапин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2011. — № 4. — С. 339–341.

[6] Теоремы сложения тензорных решений уравнения Гельм­ гольца / Ю. М. Урман, Н. И. Лапин // Вестник Нижегородского уни­ верситета им. Н.И. Лобачевского серия Механика. — 2011. — № 5(1). — [7] Динамика диамагнитных и свехпроводящих тел в маг­ нитном поле / Ю. М. Урман, Н. И. Лапин // Устойчивость, управление и динамика твердого тела Тезисы докладов XI Международной кон­ ференции. — Донецк: Институт прикладной математики и механики НАНУ, 2011. — С. 116–117.

[8] Об устойчивом состоянии равновесия диамагнитного те­ ла в поле магнитного подвеса / Н. И. Лапин // Подготовка специали­ стов на технологических факультетах педагогических вузов: Матери­ алы Международной научнопрактической конференции, посвященной 25-летию технолого-экономического факультета НГПУ. — Н. Новгород, [9] Безопорное удержание диамагнитного тела в магнитном поле / Н. И. Лапин // Современные проблемы математики и механи­ ки: Материалы Всероссийской молодежной научной конференции Том­ ского государственного университета. — Изд-во Томcкого университета, [10] Теоретическое исследование области устойчивости диа­ магнитных тел в магнитном поле / Н. И. Лапин // Сборник материа­ лов Четвертой Всероссийской молодежной научно-инновационной шко­ лы Математика и математическое моделирование. — г. Саров, 2010. — [11] Применение метода неприводимых тензоров для описания взаимодействия диамагнитного тела с магнитным полем / Н. И. Ла­ пин // XVI нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. — Н. Новгород, 2010. — С. 34–35.

[12] Представление энергии взаимодействия токовых витков / Н. И. Лапин // ВНКСФ-17, Материалы Всероссийской конференции студентов физиков. — Екатеринбург, 2011. — С. 58–60.

[13] О левитации произвольного по форме диамагнитного те­ ла в магнитном поле / Н. И. Лапин // Вестник Нижегородского уни­ верситета им. Н.И. Лобачевского серия Механика. — 2011. — № 1. — [14] Метод вторичных источников для расчета силовых ха­ рактеристик неконтактного подвеса тела в магнитном поле / Н. И. Ла­ пин // Будущее Технической Науки Сборник материалов X между­ народной молодежной научно-технической конференции. — НГТУ им.

Р.Е. Алексеева.- Нижний Новгород, 2011. — С. 380.