МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико - математический факультет

На правах рукописи

УДК 514.763.8

МОРОЗОВ ОЛЕГ ИГОРЕВИЧ

МЕТОД ПОДВИЖНОГО КОРЕПЕРА В ГЕОМЕТРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 2011

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского государственного технического университета гражданской авиации

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Сергеев Игорь Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Красильщик Иосиф Семенович доктор физико-математических наук, профессор Аксенов Александр Васильевич доктор физико-математических наук, профессор Кушнер Алексей Гурьевич

Ведущая организация: Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ“ ”

Защита состоится 30 сентября 2011 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.

Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 26 августа 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор Сорокин В.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Дифференциальные уравнения являются эффективным средством описания и изучения разнообразных процессов в физике, технике, химии, биологии и экономике, а также важнейшей областью исследования, приводящей к развитию большинства отраслей математики. Функциональный анализ, линейная алгебра, численный анализ и многие разделы геометрии обязаны своим возникновением потребностям совершенствования теории дифференциальных уравнений. В частности, теория непрерывных групп, объединившая методы алгебры, анализа и геометрии и ставшая одним из краеугольных камней современной математики, была создана Софусом Ли для унификации методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений как обобщение теории Абеля – Галуа решения алгебраических уравнений. Непрерывные группы, названные Пуанкаре группами Ли, оказали глубокое влияние на многие области математики и физики, такие как теория гравитации, гидродинамика, квантовая механика, теория управления и другие.

Основой применения групп Ли для изучении дифференциальных уравнений является конструкция группы симметрий. В настоящее время имеется большое количество книг1, 2, 3, 4, 5, 6, детально описывающих этот подход.

В рамках классической теории Ли группа симметрий дифференциальных уравнений состоит из тех невырожденных (обратимых) замен его независимых и зависимых переменных, которые переводят совокупность решений этого уравнения в себя. Это условие дает сложные нелинейные уравнения для функций, задающих указанные преобразования (определяющие уравнения или уравнения Ли). Фундаментальное открытие Ли состояло в том, что в случае непрерывных групп преобразований эти нелинейные уравнения можно заменить на более простые условия, перейдя от преобразований, близких к тождественному, к порождающим их векторным полям (инфинитезимальным генераторам), то есть, на современном языке, перейдя от группы Ли к ее алгебре Ли. Коэффициенты инфинитезимальных генераторов удовлетворяют переопределенной системе линейных уравнений в частных производных (инфинитезимальные определяющие уравнения). Анализ этой системы и ее интегрирование позволяет в большинстве случаев найти инфинитезимальные генераторы группы симметрий явно, хотя, например, в случае одного обыкновенного уравнения первого порядка задача явного выLie S. Gesammelte Abhandlungen. Bd. 1 – 6, Leipzig: Teubner, 1919– Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, Олвер П.Дж. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Под ред. А.М. Виноградова и И.С. Красильщика, М.: Факториал, числения инфинитезимальных генераторов равносильна задаче нахождения его общего решения, что не всегда возможно 7.

Знание группы симметрий дифференциального уравнения позволяет явно находить решения этого уравнения, инвариантные относительно различных подгрупп этой группы, а также строить новые решения из уже известных. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений знание однопараметрической группы симметрий позволяет понизить порядок уравнения на единицу. Как показал Ли, этот подход позволяет унифицировать различные частные приемы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнений в частных производных функции, задающие решения, инвариантные относительно подгрупп группы симметрий, удовлетворяют редуцированным уравнениям, содержащим, как правило, меньшее число переменных, что упрощает задачу их анализа и решения.

Многие модели математической физики описываются дифференциальными уравнениями, содержащими числовые параметры или произвольные функции, присутствие которых либо отражает неполноту информации о модели, либо вызвано требованием расширить область ее применения. Поэтому возникает задача классификации таких совокупностей дифференциальных уравнений и выбора уравнений с наиболее богатой математической структурой, например, таких уравнений, для которых можно построить большое количество точных решений. Методы теории групп Ли оказываются действенными в решении таких задач. К этому кругу вопросов примыкает проблема эквивалентности дифференциальных уравнений задача нахождения необходимых и достаточных условий, при которых два данных дифференциальных уравнения связаны некоторой заменой переменных. Изоморфизм групп симметрий дает необходимое условие эквивалентности, в то время как достаточное условие формулируется в терминах дифференциальных инвариантов функций от переменнных уравнения и их производных, не меняющихся при преобразованиях, входящих в группу симметрий. Инфинитезимальный метод С. Ли позволяет находить дифференциальные инварианты групп симметрий, если явно известны ее инфинитезимальные генераторы.

Для этого требуется проинтегрировать еще одну переопределенную систему уравнений в частных производных 2,6, 8. Зачастую эта система оказывается весьма сложной, что вызывает значительные трудности в применении инфинитезимального подхода к нахождению дифференциальных инвариантов и решению проблемы эквивалентности для дифференциальных уравнений.

За последние сорок лет важные обобщения методов классической теории Ли групп симметрий дифференциальных уравнений были разработаны Ritt J.F. Integration in Finite Terms. Liouville’s Theory of Elementary Methods. N.Y.: Columbia University Press, Olver P.J. Equivalence, Invariants, and Symmetry. Cambridge: Cambridge University Press, в связи с развитием метода обратной задачи рассеяния9,10 и связанных с ним концепций высших симметрий11,12 и высших законов сохранения. Последовательная геометрическая формулировка метода обратной задачи рассеяния, а также связанных с ней представлений нулевой кривизны, структур продолжений Уолквиста–Эстабрука, преобразований Бэклунда, операторов рекурсии, нелокальных симметрий и нелокальных законов сохранения, основана на концепции дифференциального накрытия бесконечного продолжения дифференциального уравнения13,14. Существование дифференциального накрытия для данного дифференциального уравнения позволяет применять разнообразные методы для его исследования и получать значительную информацию о его решениях 9,10, 15, 16, 17, 18, 19. Поэтому проблема нахождения накрытия для данного дифференциального уравнения является весьма важной. В случае уравнений с двумя независимыми переменными имеется хорошо разработанный подход к этой проблеме, предложенный Уолквистом и Эстабруком20 и развитый в работах 21,13,14, 22, 23, 24, 25. Для уравнений с тремя и более независимыми переменными проблема нахождения условий сущеBcklund Transformations, the Inverse Scattering Method, Solitons, and Their Applications. Lect. Notes Math., 515 / Miura R.M., Ed. N.Y.: Springer-Verlag, Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, Виноградов А.М. Теория высших инфинитезимальных симметрий нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными // ДАН СССР, 1979, Т. 248, № 2, C. 274– Vinogradov A.M. Local symmetries and conservation laws // Acta Appl. Math., 1984, Vol. 2, No 1, P.

21– Krasil’shchik, I.S., Vinogradov, A.M. Nonlocal symmetries and the theory of coverings // Acta Appl.

Math., 1984, Vol. 2, P. 79– Krasil’shchik, I.S., Vinogradov, A.M. Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Bcklund transformations // Acta Appl. Math., 1989, Vol. 15, P. 161– Geometrical Approaches to Dierential Equations. Lect. Notes Math., 810. / Martini R., Ed. N.Y.:

Springer-Verlag, Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.:

Мир, Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. М.: Наука, Konopelchenko B.G. Introduction to Multidimensional Integrable Equations. The Inverse Spectral Transform in 2+1 Dimensions. N.Y.: Plenum Press, Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations // J. Math.

Phys., 1975, Vol. 16, P. 1– Estabrook F.B.: Moving frames and prolongation algebras // J. Math. Phys., 1982, Vol. 23, P. 2071– Hoenselaers C. More Prolongation Structures // Prog. Theor. Phys., 1986, Vol. 75, P. 1014– Sakovich S.Yu. On zero-curvature representations of evolution equations // J. Phys. A, Math. Gen., 1995, Vol. 28, P. 2861– Marvan M. A direct procedure to compute zero-curvature representations. The case sl2 // Proc. Int. Conf.

on Secondary Calculus and Cohomological Physics, Moscow, Russia, August 24-31, Igonin S. Coverings and the fundamental group for partial dierential equations // J. Geom. Phys., 2006, Vol. 56, P. 939– ствования накрытий является гораздо более сложной26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34.

Как показано в работе35, для большинства таких уравнений накрытия являются бесконечномерными. Поэтому проблема существования накрытия для дифференциального уравнения оказывается тесно связанной с бесконечномерными группами Ли (или псевдогруппами Ли).

Основы теории бесконечных непрерывных групп преобразований были созданы Ли (статьи в Bd. 5, S. 314–360, Bd. 6, S. 300–364 Собрания сочинений 1 ). Дальнейшее развитие теория псевдогрупп Ли получила в работах Э. Картана36. В отличие от инфинитезимального метода Ли, подход Картана к теории псевдогрупп Ли не использует инфинитезимальные генераторы и основан на описании преобразований из псевдогруппы Ли в терминах инвариантных дифференциальных 1-форм, называемых формами Маурера–Картана этой псевдогруппы. Для любой псевдогруппы Ли ее формы Маурера–Картана могут быть найдены с помощью операций линейной алгебры и дифференцирования и без использования интегрирования, что делает подход Картана особенно удобным для применения в компьютерных системах аналитических вычислений, таких как maple, reduce, mathematica и т.д. Выражения внешних дифференциалов форм Маурера– Картана в терминах самих этих форм дают структурные уравнения псевдогруппы Ли. Эти уравнения содержат полную информацию о псевдогруппе, в частности, их коэффициенты дают базисные дифференциальные инварианты псевдогруппы. Знание форм Маурера–Картана и дифференциальных инвариантов для псевдогруппы симметрии дифференциальных уравнений позволяет решать проблемы эквивалентности и классификации, а также явно находить отображения между эквивалентными уравнениями.

В то время как методу Ли посвящена обширная литература, нам известно Кузьмина Г.М. О геометрии системы двух дифференциальных уравнений в частных производных // Ученые записки МГПИ, 1965, № 243, C. 99 – Кузьмина Г.М. О возможности сведения системы двух уравнений с частными производными первого порядка к одному уравнению второго порядка // Ученые записки МГПИ, 1967, № 271, C. 67 – Morris H.C. Prolongation structures and nonlinear evolution equations in two spatial dimensions // J.

Math. Phys., 1976, Vol. 17, P. 1870– Morris H.C. Prolongation structures and nonlinear evolution equations in two spatial dimensions: a general class of equations // J. Phys. A, Math. Gen., 1979, Vol. 12, P. 261– Tondo G.S. The eigenvalue problem for the three-wave resonant interaction in (2+1) dimensions via the prolongation structure // Lett. Nuovo Cimento, 1985, Vol. 44, P. 297– Nucci M.C. Pseudopotentials for nonlinear evolution equations in 2+1 orders // Int. J. Non-Lin. Mech., 1988, Vol. 23, P. 361– Harrison B.K. On methods of nding Bcklund transformations in systems with more than two independent variables // J. Nonlinear Math. Phys., 1995, Vol. 2, P. 201– Harrison B.K. Matrix methods of searching for Lax pairs and a paper by Estvez // Proc. Inst. Math.

NAS Ukraine, 2000, Vol. 30, Part 1, P. 17– Palese M. Bcklund loop algebras for compact and non-compact non-linear spin models in (2+1) dimensions // Theor. Math. Phys., 2005, Vol. 144, No 1, P. 1014- Marvan M. On zero-curvature representations of partial differential equations // Proc. Conf. on Di.

Geom. and Its Appl., Opava (Czech Republic), 1992, P. 103– Cartan E. uvres Compl`tes, Part II, Vol. 2, Paris: Gauthier - Villars, сравнительно небольшое количество публикаций, в которых метод Картана применяется к симметриям дифференциальных уравнений.

В работах37,38,39 метод Картана был использован для нахождения симметрий и решения проблем эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений. А.М. Васильев40 и К.П. Суровихин41,42,43 нашли формы Маурера– Картана и структурные уравнения групп симметрий стационарных уравнений двумерной газодинамики и нестационарных уравнений одномерной газодинамики. Статьи Гарднера, Камрана, Шэдвика и Те44, 45, 46, 47 посвящены использованию метода Картана для нахождения симметрий квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными.

В работах Г.М. Кузьминой 26,27 метод Картана был применен к проблеме нахождения накрытий для уравнений с тремя независимыми переменными.

В работах Р.Л. Брайнта, Ф.А. Гриффитса и Л. Сю48, 49 был предложен основанный на методе Картана подход к изучению законов сохранения гиперболических и параболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Этот подход был обобщен Дж. Н. Клелланд50 на случай параболических уравнений второго порядка с тремя независимыми Kamran N., Lamb K.G., Shadwick W.F. The local equivalence problem for y = F (x, y, y ) and the Painlev transcendents // J. Di. Geom., 1985, Vol. 22, P. 139 – Hsu L., Kamran N. Classication of second-order ordinary dierential equations admitting Lie groups of ber-preserving symmetries // Proc. London Math. Soc., 1989, Vol. 58, P. 387 – Anderson I.M., Fels M.E. Transformations of Darboux integrable systems // Dierential Equations:

Geometry, Symmetries, and Integrability: The Abel Symposium 2008, Abel Symposia 5, Berlin: SpringerVerlag, 2009. P. 21 – Васильев А.М. Системы трех дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка при трех неизвестных функциях и двух независимых переменных (локальная теория) // Матем.

сборник, 1996, Т. 70 (112), C. 457 – Суровихин К.П. Внешние формы Картана и отыскание основной группы, допускаемой данной системой уравнений // Вестник МГУ, Сер. Мат. Мех., 1965, № 6, C. 70 – Суровихин К.П. О групповой классификации методом Картана уравнений одномерного течения газа // ДАН СССР, 1966, T. 171, № 1, C. 55 – Суровихин К.П. Структурные уравнения при наличии интранзитивной группы в случае общих одномерных течений газа // Вестник МГУ, Сер. Мат. Мех., 1967, № 1, C. 56 – Gardner R.B., Kamran N. Characteristics and the geometry of hyperbolic equations in the plane // J.

Di. Eq., 1993, Vol. 104, P. 60- Gardner R.B., Kamran N. Normal forms and focal systems for determined systems of two rst-order partial dierantial equations in the plane // Indiana Math. J., 1995, Vol. 44, P. 1127– Kamran N., Shadwick W.F. Equivalence locale des quations aux drives partielles quasi lineares du deuxi`me ordre et pseudo-groupes innis // Comptes Rendus Acad. Sc. (Paris), Srie I, 1986, Vol. 303, P.

555– The D. Contact geometry of hyperbolic equations of generic type // Symmetry, Integrability and Geometry:

Methods and Applications, 2008, Vol. 4, Paper Bryant R.L., Griths Ph.A., Hsu L. Hyperbolic exterior dierential systems and their conservation laws.

I // Selecta Math. New Ser., 1995, Vol. 1, No 1, P. 21– Bryant R.L., Griths Ph.A. Characteristic cohomology of differential systems (II): conservation laws for a class of parabolic equations // Duke Math. J., 1995, Vol. 78, P. 531– Clelland J.N. Geometry of conservation laws for a class of parabolic partial dierential equations I // Selecta Mathematica, New Series, 1997, Vol. 3, P. 1– переменными и К. Фолтинеком51 на случай эволюционных уравнений высших порядков с двумя независимыми переменными.

Как показано в статьях52,53, метод Картана является удобным инструментом для изучения интегрируемости по Дарбу гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

Работы54,55 посвящены разработке метода для нахождения структурных уравнений псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений из их инфинитезимальных определяющих уравнений. Этот метод применим только в случае транзитивных псевдогрупп и не позволяет находить явно их формы Маурера–Картана.

Новый метод изучения псевдогрупп Ли был предложен в работах П. Олвера, Ю. Похъянпелто и их сотрудников56, 57, 58, 59, 60. Он позволяет находить структурные уравнения и формы Маурера–Картана непосредственно из инфинитезимальных определяющих уравнений псевдогрупп симметрий, в том числе и в интранзитивном случае. При этом метод дает бесконечные наборы форм Маурера–Картана и бесконечные системы структурных уравнений, так что необходимо совершить дополнительные действия для выделения их конечных подсистем, необходимых для эффективной работы с изучаемыми псевдогруппами.

В работе П. Олвера и М. Фелса61 был развит намеченный Э. Картаном подход к нахождению форм Маурера–Картана псевдогрупп симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений, названный методом подвижного корепера (the moving coframe method).

Foltinek K. Third-order scalar evolution equations with conservation laws // Selecta Math., New Ser., 2002, Vol. 8, P. 201– Anderson I.M., Jur M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke J. Math., 1997, Vol. 89, P. 351– Anderson I.M., Fels M.E. Transformations of Darboux integrable systems // Dierential Equations:

Geometry, Symmetries, and Integrability: The Abel Symposium 2008, Abel Symposia 5, Berlin: SpringerVerlag, 2009. P. 21 – Lisle I.G., Reid G.J., Boulton A. Algorithmic determination of structure of innite Lie pseudogroups of symmetries of PDEs // Proceedinds of ISSAC’95 New York: ACM Press, Lisle I.G., Reid G.J. Geometry and structure of Lie pseudogroups from innitesimal dening equations // Journal of Symbolic Computation, 1998, Vol. 26, P. 355– Olver P.J., Pohjanpelto J. Maurer-Cartan forms and the structure of Lie pseudo-groups // Selecta Math., 2005, Vol. 11, P. 99– Olver P.J., Pohjanpelto J. Moving frames for Lie pseudo-groups // Canadian J. Math., 2008, Vol. 60, P.

1336– Cheh J., Olver P.J., Pohjanpelto J. Maurer–Cartan equations for Lie symmetry pseudo-groups of dierential equations // J. Math. Phys., 2005, Vol. 46, Paper Cheh J., Olver P.J., Pohjanpelto J. Algorithms for dierential invariants of symmetry groups of dierential equations // Foundations of Computational Mathematics, 2008, Vol. 8, P. 501– Valiquette F. Structure equations of Lie pseudo-groups // Journal of Lie theory, 2008, Vol. 18, No 4, P.

869– Fels M., Olver P.J.: Moving coframes. I. A practical algorithm // Acta. Appl. Math., 1998, Vol. 51, P.

161– Отметим также работы62,63,64,65,66, в которых с помощью метода Картана изучались преобразования Бэклунда для уравнений с двумя независимыми переменными.

Цель работы. Основными целями изложенных в диссертации исследований являются:

• разработка эффективной и универсальной техники применения метода эквивалентнтости Картана к нахождению инвариантных форм и структурных уравнений псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений в частных производных;

• решение с помощью этого подхода ряда проблем эквивалентности для дифференциальных уравнений (проблема Лапласа для линейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, линеаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения Калоджеро–Хантера–Сакстона, проблема эквивалентности для уравнений Христиановича–Рыжова);

• разработка процедуры применения метода Картана и структурной теории псевдогрупп Ли к задаче нахождения накрытий дифференциальных уравнений с тремя независимыми переменными;

• нахождение с помощью этой процедуры новых накрытий дифференциальных уравнений и соответствующих им преобразований Беклунда.

Методы исследования. Методологической основой изложенных в диссертации исследований являются теория псевдогрупп Ли и теория накрытий дифференциальных уравнений. Наряду с классическим методом Э.

Картана в диссертации применяются метод подвижного корепера, который обобщен в главах 4 и 5 на случай уравнений в частных производных, а также метод контактных интегрируемых расширений, который обобщен в параграфе 7.2 на случай дифференциальных уравнений с бесконечномерными накрытиями.

Звягин М.Ю. Преобразования Бэклунда уравнений Монжа–Ампера. Дисс.... к.ф.-м.н., Москва, МГУ, Ферапонтов Е.А. Преобразования Бэклунда квазилинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка при двух независимых переменных. Дисс.... к.ф.-м.н., Москва, МГУ, Clelland J.N. Homogeneous Bcklund transformations of hyperbolic Monge-Amp`re systems // Asian J.

Math., 2002, Vol. 6, P. 433 – Clelland J.N., Ivey T.A. Parametric Bcklund transformations I: phenomenology // Trans. Amer. Math.

Soc. 2005, Vol. 357, P. 1061 – Clelland J.N., Ivey T.A. Bcklund transformations and Darboux integrability for nonlinear wave equations // Asian J. Math., 2009, Vol. 13, P. 15 – Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Основные из них следующие:

• C помощью метода подвижного корепера получено полное решение проблемы Ли–Лиувилля–Тресса нахождения необходимых и достаточных условий эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно псевдогруппы точечных преобразований.

• Метод подвижного корепера распространен на случай дифференциальных уравнений в частных производных, разработана универсальная и эффективная процедура применения метода эквивалентности Э.

Картана для нахождения инвариантных форм псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений с частными производными.

• Эта процедура применена к решению ряда задач эквивалентности дифференциальных уравнений, в том числе – получено полное решение проблемы Лапласа для классов линейных гиперболических и параболических уравнений с двумя независимыми переменными;

– на основе решения проблемы Лапласа установлена линеаризуемость и интегрируемость в квадратурах обобщенного уравнения Калоджеро–Хантера–Сакстона, в частности, установлена контактная эквивалентность обобщенного уравнения Хантера–Сакстона и уравнения Эйлера–Пуассона, c помощью найденного контактного преобразования получена явная формула, задающая общее решение обобщенного уравнения Хантера–Сакстона;

– установлена контактная эквивалентность уравнений Христиановича–Рыжова (уравнения коротких волн) с исключительными значениями параметра уравнению Хохлова–Заболотской, для неисключительных значений параметра установлена эквивалентность уравнений Христиановича–Рыжова этому же уравнению с нулевым значением параметра.

• Предложен метод нахождения накрытий дифференциальных уравнений, основанный на структурной теории псевдогрупп Ли (метод контактных интегрируемых расширений). C его помощью найдены интегрируемые расширения псевдогрупп симметрий обобщенного модифицированного уравнения Хохлова–Заболотской (mdKP), интерполяционного уравнения Дунайского, обобщенного бездисперсионного (2+1)мерного уравнения Дима (rdDym) и обобщенного дважды модифицированного бездисперсионного уравнения Кадомцева–Петвиашвили.

Это позволило воспроизвести в рамках единого подхода известные накрытия этих уравнений, а также найти их новые накрытия и преобразования Бэклунда.

• Показана принципиальная возможность установления с помощью метода контактных интегрируемых расширений существования накрытий с неустранимым (спектральным) параметром. Построено накрытие одного уравнения из семейства rdDym с неустранимым параметром.

• С помощью известных ранее и новых накрытий найдены классы точных многозначных решений уравнения Хохлова–Заболотской и интерполяционного уравнения Дунайского.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Развитые в ней методы приложимы к широкому классу дифференциальных уравнений. Результаты могут быть использованы в геометрии дифференциальных уравнений и физических приложениях (физике жидких кристаллов, теории относительности и гидродинамике).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на следующих научных конференциях:

• Пятая международная конференция Симметрия в нелинейной математической физике“, институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, Украина, 23–29 июня 2003 г.

• Международная конференция Дифференциальные уравнения и смежные вопросы“, посвященная И.Г. Петровскому, МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, 16–22 мая 2004 г.

• Шестая международная конференция Симметрия в нелинейной математичекой физике“, институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, Украина, 20–26 июня 2005 г.

• Международная конференция Геометрия в Одессе – 2006“, ОНАПТ, Одесса, Украина, 22–27 мая 2006 г.

• Международная научно-техническая конференция Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества“, МГТУ ГА, Москва, 18–19 мая 2007 г.

• Международная конференция Дифференциальные уравнения и смежные вопросы“, посвященная И.Г. Петровскому, МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, 21–26 мая 2007 г.

• Международная конференция Симметрия и теория возмущений – 2007“, университет Саленто, Отранто, Италия, 2–9 июня 2007 г.

• Конференция по группам Ли в Твенте – 2007“, университет Твенте, Энсхеде, Нидерланды, 12–14 декабря 2007 г.

• Международная конференция Интегрируемые системы и смежные вопросы“, институт математики Академии наук Тайваня (Academia Sinica), Тайбей, Тайвань, 15–16 марта 2009 г.

• Восьмая международная конференция Симметрия в нелинейной математичекой физике“, институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, Украина, 21–27 июня 2009 г.

• Международная конференция Геометрия дифференциальных уравнений и интегрируемость“, институт математики Силезского университета, Градец-над-Моравичи, Чехия, 11–15 октября 2010 г.

Кроме того, автор выступал с докладами на следующих семинарах:

• научный семинар по геометрии дифференциальных уравнений под рук.

проф. И.С. Красильщика, Независимый Московский университет, 2004, 2007, 2008, 2009, 2010 гг.

• научный семинар по качественной теории дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ под рук. проф. В.М.

Миллионщикова, проф. В.А. Кондратьева и проф. Н.Х. Розова, 2005, 2010 гг.

• научный семинар Ортоподобные системы“ под рук. проф. Т. П. Лукашенко, доц. Т.В. Родионова и доц. В.Р. Галатенко, кафедра математического анализа механико-математического факультета МГУ, сентябрь 2009 г.

• семинар факультета математики Национального университета обороны Тайваня, г. Тао-Юань, Тайвань, март 2009 г.

• семинар факультета математики Национального центрального университета Тайваня, г. Джонг-Ли, Тайвань, март 2009 г.

• семинар факультета прикладной математики Национального университета Цяо-Тунг, г. Синь-Чжу, Тайвань, март 2009 г.

• научный семинар Проблемы современной математики“ под рук. проф.

Н.А. Кудряшова, Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ“, февраль 2010 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работе (из них 15 в изданиях, рекомендованных ВАК). Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, разбитых на двадцать четыре параграфа, заключения и списка литературы, включающего 207 наименований. В работе имеется 6 поясняющих иллюстраций. Общий объем диссертации 286 страниц.

Работа выполнена при поддержке научно-исследовательского гранта МГТУ ГА 501_06 (2006 г.), российско-тайваньского гранта 95WFE (грант РФФИ 06-01-89507-HHC) и совместного гранта 09-01-92438-KЭ_a РФФИ и Consortium E.I.N.S.T.E.IN (Италия).

Основное содержание работы

Во введении дан исторический обзор известных результатов по теме диссертационной работы и сформулированы ее главные результаты.

В главе 1 вводятся основные понятия и обозначения, а также приводится обзор основных результатов геометрической теории дифференциальных уравнений, метода Картана и теории псевдогрупп Ли. Центральной частью главы является параграф 1.5, в котором дается краткое описание метода эквивалентности Картана. В известной нам литературе отсутствует полное изложение обоснования этого метода в том случае, если структурная группа проблемы эквивалентности зависит от точки основного многообразия. При этом в задачах, решаемых в главе 7, нам приходится сталкиваться именно с таким случаем. Поэтому для обоснования возможности использовать метод Картана в этой ситуации мы доказываем теорему о существовании послойного группового действия структурной группы на существенные коэффициенты кручения структурных уравнений проблемы эквивалентности (теорема 1.17). Кроме того, в примере 1.6 мы доказываем существование послойного группового действия структурных групп на коэффициенты переопределенной проблемы эквивалентности. Это необходимо для обоснования подхода к нахождению симметрий вложенных подмногообразий с помощью метода Картана (пример 1.11).

В главе 2 мы применяем метод Картана для решения классической проблемы Ли – Лиувилля – Тресса нахождения необходимых и достаточных условий эквивалентности двух обыкновенных уравнений второго порядка относительно псевдогруппы точечных преобразований Насколько нам известно, в существующих публикациях отсутствует полное решение этой задачи, хотя многие частные случаи разобраны со всеми подробностями 37,38, 67, 68, 69. С помощью метода Картана мы получаем полное решение задачи Ли – Лиувилля – Тресса, сформулированное в теореме 2.1.

В классе уравнений (1) выделены 17 подклассов, инвариантных относительно действия псевдогруппы (2). Из них 6 подклассов относятся к случаю, когда для уравнения (1) выполнено условие Fux ux ux ux = 0, оставшиеся 9 подклассов относятся к случаю Fux ux ux ux 0. Каждое уравнение (1) приводимо с помощью преобразований (2) к уравнению, принадлежащему одному из этих подклассов. Как установили Ли (статья в Bd 5, S. 362 – 427 Собрания сочинений 1 ) и Р. Лиувилль70, один из этих подклассов содержит все уравнения (1), линеаризуемые преобразованиями (2), причем все такие уравнения приводимы к виду uxx = 0. Еще для трех инвариантных подклассов найдены нормальные формы uxx = u4, uxx = u3 и uxx = u2.

Для остальных 13 подклассов найдены базисы дифференциальных инвариантов и операторы инвариантных дифференцирований, в терминах которых определены классифицирующие многообразия этих подклассов. Локальная конгруэнтность классифицирующих многообразий является необходимым и достаточным условием эквивалентности двух уравнений из одного и того же инвариантного подкласса.

Непосредственное перенесение метода Картана на случай уравнений в частных производных приводит к быстрому росту объема вычислений с ростом количества независимых переменных, что делает невозможным его применение с использованием современных компьютерных систем аналитических вычислений уже в случае трех независимых переменных. В главе мы анализируем различные встречающиеся в литературе подходы, направленные на преодоление этих трудностей. В результате сравнений метода 4651, основанного на использовании априорно известных геометрических свойств изучаемого уравнения, метода 54, 55, основанного на использовании разложения инфинитезимальных генераторов транзитивных псевдогрупп Ли в ряды Тейлора и метода 5660, использующего инвариантизованные определяющие Babich M.V., Bordag L.A. Projective dierential geometrical structure of the Painlev equations // J.

Di. Eq., 1999, Vol. 157, P. 452 – Kruglikov B. Point classication of second order ODEs: Tresse classication revisited and beyound // Dierential Equations: Geometry, Symmetries, and Integrability: The Abel Symposium 2008, Abel Symposia 5, Berlin: Springer-Verlag, 2009. P. 199 – Yumaguzhin V.A. Dierential invariants of second order ODEs, I // Acta Appl. Math., 2010, Vol. 109, P.

283 – Liouville R. Sur les invariants de certaines quations direntielles et sur leurs applications. // J. de l’Ecole Polytechnique, 1889, Vol. 59, P. 7 – уравнения для форм Маурера–Картана, мы делаем вывод об их неуниверсальности неприложимости к тем или иным классам уравнений. По нашему мнению, единственным универсальным подходом является метод подвижного корепера, намеченный Э. Картаном в §13 статьи на стр. 719– в Собрании сочинений 36 и развитый в работе П. Олвера и М. Фелса 61 для случая обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для его применения к дифференциальным уравнениям в частных производных требуется найти формы Маурера–Картана и структурные уравнения псевдогрупп точечных и контактных преобразований на расслоениях джетов. Этому посвящена глава 4. В параграфе 4.1 мы рассматриваем псевдогруппу точечных преобразований на многообразии J 1 (Rn, Rm ) джетов первого порядка локальных сечений расслоения Rn Rm Rn, соответствующего случаю n независимых и m зависимых переменных. Мы находим формы Маурера–Картана этой псевдогруппы, имеющие вид gij = gji, а также доказываем инволютивность их структурных уравнений В параграфе 4.2 для псевдогруппы контактных преобразований на многообразии J 2 (Rn, R) джетов второго порядка локальных сечений расслоения Rn R Rn, соответствующего случаю n независимых и одной зависимой переменной мы находим формы Маурера–Картана где a = 0, det(bi ) = 0, bi Bj = j, f ij = f ji, sij = sji, wij = wji, zijk = zjik = zikj, и также доказываем инволютивность их структурных уравнений В главе 5 мы излагаем технику применения метода подвижного корепера к псевдогруппам точечных и контактных симметрий дифференциальных уравнений в частных производных. Мы приводим подробные примеры вычисления форм Маурера–Картана и структурных уравнений псевдогрупп симметрий системы уравнений, описывающих одномерную динамику политропного газа в лагранжевых переменных, и уравнения Лиувилля В главе 6 мы применяем метод подвижного корепера к решению проблем эквивалентности для различных дифференциальных уравнений.

В параграфе 6.1 мы решаем проблему эквивалентности для класса линейных гиперболических уравнений относительно действия псевдогруппы контактных преобразований на расслоении джетов второго порядка (теорема 6.1). Мы выделяем в этом классе 6 инвариантных подклассов и доказываем, что каждое уравнение (4) приводится к уравнению, принадлежащему одному из этих подклассов. Первый подкласс состоит из уравнений, приводимых к виду utx = 0 этот результат доказывается в § 9 монографии 2 с помощью инфинитезимального метода.

Второй подкласс состоит из уравнений, приводимых к виду или к уравнению Эйлера–Пуассона = const, µ = const, = 0, µ = 0. Для остальных четырех инвариантных подклассов мы находим базисы дифференциальных инвариантов и операторов инвариантных дифференцирований. Тем самым мы получаем полное решение проблемы Лапласа71, 72 для класса уравнений (4).

Ibragimov N.H. Laplace type invariants for parabolic equations // Nonlinear Dynamics, 2002, Vol. 28, P.

125 – Ибрагимов Н.Х. Инварианты гиперболических уравнений: решение проблемы Лапласа // Прикл.

мат. техн. физ., 2004, Т. 45, № 2, C. 11– В параграфе 6.2 мы решаем проблему эквивалентности для класса линейных параболических уравнений относительно псевдогруппы контактных преобразований (теорема 6.2). В классе уравнений (6) выделяется 5 инвариантных подклассов и доказывается, что каждое уравнение (6) приводимо к уравнению, принадлежащему одному из этих подклассов. Первый подкласс состоит из уравнений, приводимых к виду uxx = ut этот результат был доказан в работе73 с помощью инфинитезимального метода. Второй подкласс состоит из уравнений, приводимых к виду N = const, N = 0.

Для остальных трех инвариантных подклассов мы находим базисы дифференциальных инвариантов и операторов инвариантных дифференцирований. Тем самым мы получаем полное решение проблемы Лапласа для класса уравнений (6).

В параграфе 6.3 мы рассматриваем класс обобщенных уравнений Калоджеро–Хантера–Сакстона74, 75, при G (ux ) = 2 (при G (ux ) 2 это уравнение может быть приведено к уравнению в частных производных первого порядка). Мы находим формы Маурера–Картана и структурные уравнения псевдогруппы симметрий уравнения (7). Основываясь на результатах параграфа 6.1, мы доказываем в теореме 6.3, что каждое из уравнений (7) эквивалентно относительно псевдогруппы контактных преобразований некоторому линейному гиперболическому уравнению (4). При этом соответствующее линейное уравнение оказывается интегрируемым в квадратурах с помощью преобразования Лапласа, которое обсуждается в § 9.3 монографии 2. Отсюда следует интегрируемость в квадратурах уравнения (7) при G (ux ) = 2 и любой функции F (ux ) (теорема 6.4). В наиболее важном частном случае уравнения (7) Johnpillai I.K., Mahomed F.M. Singular invariant equation for the (1+1) Fokker - Planck equation // J.

Phys. A Math. Gen., 2001, Vol. 34, P. 11033– Calogero F. A solvable nonlinear wave equation // Stud. Appl. Math., 1984, Vol. 70, P. 189– Rabelo M.L. On equations which describe pseudospherical surfaces // Stud. Appl. Math., 1989, Vol. 81, P. 221– Brunelli J.C., Das A., Popowicz Z. Deformed Harry Dym and Hunter-Zheng equations // J. Math. Phys., 2004, Vol. 45, P. 2646– случае обобщенного уравнения Хантера–Сакстона77, 78, 79, 80, соответствующее уравнение (4) оказывается уравнением Эйлера–Пуассона (5) с = и µ = 2. Знание форм Маурера–Картана псевдогрупп симметрий уравнений (8) и (5) позволяет явно найти контактное преобразование между уравнением Эйлера–Пуассона и уравнением (8), записанным в координатах t, x, u (теорема 6.5). С помощью преобразования Лапласа нетрудно найти общее решение уравнения Эйлера–Пуассона. Это решение вместе с преобразованием (9) дает локальную формулу общего решения уравнения (8), в котором R и S произвольные функции параметров x и t, таких что t + x = 0.

В параграфе 6.4 рассматривается проблема эквивалентности для уравHunter J.K., Saxton R. Dynamics of director elds // SIAM J. Appl. Math., 1991, Vol. 51, P. 1498 – Tod K.P. Einstein–Weil spaces and third order dierential equations // J. Math. Phys., 2000, Vol. 41, P.

5572 – Golovin S.V. Group foliation of Euler equations in nonstationary rotationally symmetrical case // Proc.

Inst. Math. NAS of Ukraine, 2004, Vol. 50, Part 1, P. 110 – Olver P.J., Rosenau Ph. Tri-Hamiltonian duality between solitons and solitary wave solutions having compact support // Phys. Rev. E, 1996, Vol 53, P. 1900 – Reyes E.G. The soliton content of the Camassa–Holm and Hunter–Saxton equations // Proc. Inst. Math.

NAS of Ukraine, 2002, Vol. 43, Part 1, P. 201 - нений Христиановича–Рыжова82, 83, 84, 85, Используя метод подвижного корепера, мы доказываем (теорема 6.6), что при {2, 1 } уравнение (10) эквивалентно относительно псевдогруппы контактных преобразований потенциальной форме уравнения Хохлова–Заболотской (уравнению Линя–Рейсснера–Цзяна) а при {2, 1 } все уравнения (10) эквивалентны друг другу, в частности они эквивлентны уравнению (10) с = 0. Соответствующие преобразования легко находятся при известных формах Маурера–Картана псевдогрупп симметрий уравнений (10) и (11). Они приведены в теореме 6.7.

Глава 7 посвящена изложению подхода к нахождению накрытий дифференциальных уравнений с помощью метода Картана.

В параграфе 7.1 приводятся примеры, показывающие, что формы Уолквиста–Эстабрука, задающие известные накрытия над уравнением Лиувилля (3) и вторым небесным уравнением Плебанского получаются из инвариантных линейных комбинаций форм Маурера–Картана псевдогрупп симметрий этих уравнений.

В параграфе 7.2 мы вводим определение контактного интегрируемого расширения структурных уравнений псевдогруппы симметрий.

Пусть G псевдогруппа Ли на многообразии M и 1,..., m ее формы Маурера–Картана, удовлетворяющие структурным уравнениям этих уравнений зависят от инвариантов U, {1,..., }, 0, имеющих Христианович С.А., Рыжов О.С. О нелинейном отражении слабых ударных волн // Прикл. мат.

техн. физ., 1958, Т. 58, № 5, C. 586– Kucharczyk P. Group properties of the "short waves" equation // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Technol.

1965, Vol. XIII, No 4, P. 469– Хамитова Р.С. Структура группы и базис законов сохранения // Теор. мат. физ., 1982, Т. 52, № 2, C. 244– Roy S., Roy Chowdhury A., De M. Loop algebra of Lie symmetries for a short-wave equation // International Journal of Theoretical Physics, 1988, Vol. 27, No 1, P. 47– Xu Xiaoping. Stable range approach to short wave and Khokhlov–Zabolotskaya equations // Acta Appl.

Math., 2009, Vol. 106, No 3, P. 433– Plebaski J.F. Some solutions of complex Einstein equations // J. Math. Phys., 1975, Vol. 16, P. 2395 – дифференциалы с коэффициентами Cj, зависящими от U 1,..., U. Рассмотрим систему уравнений с неизвестными 1-формами q, q {1,..., Q},, {1,..., R}, и неизвестными функциями V, {1,..., S} для некоторых Q, R, S N. Коэффициенты Dr,..., Kq в уравнениях (14), (15) предполагаются зависящими от U и V.

Система (14), (15) называется интегрируемым расширением системы (12), (13), если уравнения (14), (15), (12) и (13) в совокупности удовлетворяют условиям совместности и инволютивности.

В этом случае существуют совокупности 1-форм q и функций V, удовлетворяющие уравнениям (14) и (15). При этом формы q вместе с формами i определяют некоторую псевдогруппу Ли H, действующую на многообразии M RQ.

Интегрируемое расширение называется тривиальным, если существует замена переменных на многообразии действия псевдогруппы H, такая что в новых переменных коэффициенты Fr, Gq, Hj, Ijk и Jj равны нулю, а коэффициенты Dr, Ers и Kq не зависят от U. В противном случае интеq q грируемое расширение называется нетривиальным.

Пусть I и j совокупность форм Маурера-Картана псевдогруппы симметрий Lie(E) дифференциального уравнения E, причем 1... n = 0 на любом решении E, и I Определение 7.3: Нетривиальное интегрируемое расширение структурных уравнений псевдогруппы Lie(E) симметрий уравнения E, имеющее вид q, r {1,..., N }, N 1, мы назовем контактным интегрируемым расширением, если выполнены следующие условия:

(iii) q I (v) Коэффициенты в разложениях форм q по формам {I, i } и форм q по формам {I, j, r, i } зависят от инвариантов псевдогруппы Lie(E) и, возможно, от совокупности некоторых дополнительных функций W, {1,..., }, 1. В последнем случае существуют функции P, Q, Rq и Sj, такие что При этом для уравнений (17) выполнено условие совместности Это определение является обобщением определения интегрируемого расширения из § 6 работы 49. Необходимость введения определения 7.3 вызвано тем, что определение работы 49 применимо только в случае конечномерных накрытий, в то время как в случае трех и более независимых переменных накрытия являются, как правило, бесконечномерными 35.

В этом же параграфе мы приводим пример применения определения 7. находим все контактные интегрируемые расширения с одним дополнительным инвариантом для структурных уравнений псевдогруппы симметрий уравнения Хохлова–Заболотской в потенциальной форме (11). В результате анализа мы получаем единственное интегрируемое расширение, соответствующее накрытию, в других обозначениях и другими методами полученному в работах 27,88.

В параграфе 7.3 мы изучаем контактные интегрируемые расширения структурных уравнений псевдогруппы симметрий обобщенного модифицированного уравнения уравнения Хохлова–Заболотской При = 1 мы находим одно контактное интегрируемое расширение, все инварианты которого совпадают с инвариантами уравнения (19). Ему соответствует накрытие, заданное системой Кричевер И.М. Метод усреднения для двумерных "интегрируемых" уравнений // Функц. анализ и прил., 1988, T. 22, № 3, C. 37– Blaszak M. Classical R-matrices on Poisson algebras and related dispersionless systems // Phys. Lett. A, 2002, Vol. 297, P. 191– Анализ контактных интегрируемых расширений с одним дополнительным инвариантом дает следующие результаты: при {3; 1} существует одно такое расширение, при = 3 к нему добавляется второе. Первому расширению при {2; 3/2; 1} соответствует накрытие, заданное системой при = 2 заданное системой и при = 3/2 заданное системой При = 3 второе контактное интегрируемое расширение соответствует накрытию вида При = 1 существует одно контактное интегрируемое расширение с одним дополнительным инвариантом. Этому расширению соответствуют два накрытия, первое из них задается системой и содержит неустранимый параметр, а второе задается системой Мы отмечаем, что наличие неустранимого параметра может быть установлено из вида уравнений, задающих контактное интегрируемое расширение, с помощью результатов §§ 3.2, 3.6 работы 14 и работ90, 91, 92, 93. Накрытие (21) было найдено при = 0 в работе94, при = 1 в работе95 и при {2, 3/2, 1} в работе96 другими методами. Накрытие (25) найдено в работах97, 98. Накрытия (20), (22), (23), (24) и (26) являются новыми.

В параграфе 7.4 мы рассматриваем уравнение описывающее структуры Эйнштейна–Вейля возникающие в теории относительности99. Анализ контактных интегрируемых расширений структурных уравнений его псевдогруппы симметрий дает единственное расширение с одним дополнительным инвариантом (теорема 7.4), соответствующее накрытие задается системой В параграфе 7.5 результаты, полученные в параграфах 7.3 и 7.4, применяются для построения точных многозначных решений уравнения Хохлова– Заболотской и уравнения (27).

Мы используем преобразование 27 u = 2 wx wy, связывающее уравнение (30) с модифицированным уравнением Хохлова–Заболотской Krasil’shchik, I.S.: On one-parametric families of Bcklund transformations. Preprint DIPS-1/2000, The Diety Institute, Pereslavl-Zalessky (2000) Igonin S., Krasil’shchik J. On one-parametric families of Bcklund transformations. Preprint arXiv:nlin/0010040 (2000) Marvan M. On the horizontal gauge cohomology and nonremovability of the spectral parameter // Acta Appl. Math., 2002, Vol. 72, P. 51– Igonin S., Kersten P., Krasil’shchik I. On symmetries and cohomological invariants of equations possessing at representations. Preprint DIPS-07, The Diety Institute, Pereslavl-Zalessky (2002) Chang J.-H., Tu M.-H.: On the Miura map between the dispersionless KP and dispersionless modied KP hierarchies // J. Math. Phys., 2000, Vol. 41, P. 5391 – Konopelchenko B., Mart quasi-classical -method // J. Math. Phys., 2003, Vol. 43, P. 3807 – Pavlov M.V. The Kupershmidt hydrodynamics chains and lattices // Intern. Math. Research Notes, 2006, Vol. 2006, article ID 46987, P. 1 – Pavlov M.V. Integrable hydrodynamic chains // J. Math. Phys., 2003, Vol. 44, P. 4134 – Dunajski M. A class of Einstein–Weil spaces associated to an integrable system of hydrodynamic type // J. Geom. Phys., 2004, Vol. 51, P. 126 – Dunajski M. Interpolating dispersionless integrable system // J. Phys. A, 2008, Vol. 41, совпадающим с уравнением (19) при = 0, а также преобразования Бэклунда (20), (21), связывающие при = 0 уравнение (31) с уравнениями соответственно. К уравнениям (31), (32) и (33) мы применяем подстановку вида из § 5.IV главы VIII монографии 18. Для каждого из этих уравнений подстановка (34) дает связь между функциями F и G. Выражая из этих связей функцию F через произвольную функцию G, мы получаем три семейства решений уравнения (30), заданные равенствами Для каждой из этих систем многозначная функция z, зависящая от переменных t, x, y, задана неявной формулой с произвольными функциями Q и G.

Аналогично мы строим два семейства многозначных решений уравнения (27). Применяя подстановку (34) к самому уравнению (27), а также к уравнению связанному с уравнением (27) преобразованием Бэклунда (29), мы находим многозначные семейства функций ux и uy, определяющие структуры Эйнштейна–Вейля (28). Эти функции заданы формулами ux = z, uy = G(z), F (z) = u = ln |z| G(z), где многозначная функция z задана той же неявной формулой (35) с произвольными функциями Q и G.

В параграфе 7.6 мы изучаем контактные интегрируемые расширения структурных уравнений псевдогруппы симметрий обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения Дима 89,100, 101, 102, Мы устанавливаем, что структурные уравнения псевдогруппы симметрий уравнения (37) имеют единственное контактное интегрируемое расширение с одним дополнительным инвариантом (теорема 7.5). В теореме 7.6 мы находим соответствующие накрытия. При {2; 1; 0} накрытие задается системой при = 2 накрытие задается системой Konopelchenko B.G., Moro A.: Integrable equations in nonlinear geometrical optics // Stud. Appl. Math., 2004, Vol. 113, P. 325 – Ferapontov E.V., Khusnutdinova K.R., Tsarev S.P.: On a class of three-dimensional integrable Lagrangians // Comm. Math. Phys., 2006, Vol. 261, P. 225 – Ferapontov E.V., Moro A., Sokolov V.V.: Hamiltonian systems of hydrodynamic type in 2+1 dimensions.

Preprint www.arXiv:0710.2012 (2007) Ovsienko V. Bi-Hamiltionian nature of the equation utx = uxy uy uyy ux. Preprint www.arxiv.org/0802.1818 (2008) а при = 1 уравнение (37) имеет два накрытия причем параметр = 0 в последнем накрытии является неустранимым, что может быть установлено непосредственно по виду уравнений, задающих контактное интегрируемое расширение. Накрытие (38) при = 1, = 1/2, = 2 и {2; 0} было найдено другими методами в работах 100,101,102, соответственно. Накрытия (39), (40) и (41) являются новыми.

В параграфе 7.7 мы рассматриваем уравнение с {2, 3/2, 1}, связанное с уравнением (19) преобразованием Бэклунда (21). Мы находим два расширения, инварианты которых совпадают с инвариантами псевдогруппы симметрий уравнения (19), и одно расширение, содержащее один дополнительный инвариант (теорема 7.7). Соответствующие этим расширениям накрытия имеют вид sy = s+2 + uy + u+1 sx.

Система (43) задает преобразование Бэклунда между уравнением (42) и уравнением связанным с уравнением (19) преобразованием Бэклунда (20). Исключение u из системы (44) показывает, что функция s является решением того же самого уравнения (42). Таким образом система (44) определяет автопреобразование Бэклунда для уравнения (42).

В заключении мы суммируем результаты диссертационной работы и обсуждаем дальнейшие направления исследований, в которых могут быть использованы разработанные в ней методы.

Основные публикации автора по теме диссертации (из официального перечня ВАК) 1. Morozov O.I. Moving coframes and symmetries of dierential equations // Journal of Physics, A, Mathematical and General, 2002, Vol. 35, No 12, P.

2965– 2. Morozov O.I. Contact-equivalence problem for linear hyperbolic equations // Journal of Mathematical Sciences, 2006, Vol. 135, No 1, P. 2680– 3. Morozov O.I. Contact integrable extensions of symmetry pseudo-groups and coverings of (2+1) dispersionless integrable equations // Journal of Geometry and Physics, 2009, Vol. 59, No 11, P. 1461 – 4. Morozov O.I. Cartan’s structure of symmetry pseudo-group and coverings for the r-th modied dispersionless Kadomtsev-Petviashvili equation // Acta Applicandae Mathematicae, 2010, Vol. 109, No 1, P. 257 – 5. Morozov O.I. Coverings of dierential equations and Cartan’s structure theory of Lie pseudo-groups // Acta Applicandae Mathematicae, 2007, Vol. 99, No 3, P. 309– 6. Morozov O.I. Cartan’s structure theory of symmetry pseudo-groups, coverings and multi-valued solutions for the Khokhlov–Zabolotskaya equation // Acta Applicandae Mathematicae, 2008, Vol. 101, No 1–3, P. 231 – 7. Morozov O.I. Structure of symmetry groups via Cartan’s method: comparison of four approaches // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2005, Vol. 1, Paper 8. Морозов О.И. Линеаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения Калоджеро–Хантера–Сакстона // Научный вестник МГТУ ГА, сер. Матем., физ., 2007, № 114 (4), C. 34– 9. Морозов О.И. Формы Маурера–Картана псевдогруппы симметрий и накрытие второго небесного уравнения Плебанского // Научный вестник МГТУ ГА, 2009, № 140, C. 14– 10. Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. I // Научный вестник МГТУ ГА, 2010, № 157, C. 92– 11. Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. II // Научный вестник МГТУ ГА, 2010, № 157, C. 100– 12. Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности обобщенных уравнений Эмдена–Фаулера // Дифференциальные уравнения, 2010, Т. 46, № 6, C. 902– 13. Морозов О.И. Геометрия класса уравнений Абеля и метод эквивалентности Картана // Научный вестник МГТУ ГА, сер. Матем., физ., 2005, № 91 (9), C. 28– 14. Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса обобщенных уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения, 2003, Т. 39, № 3, C.

423– 15. Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса рациональных обобщенных уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения, 2005, Т. 41, № 6, C. 855– (прочие) 16. Morozov O.I. Cartan structure of symmetry pseudo-groups of dierential equations via the moving coframe method // Foundations of Computational Mathematics – 2002. Minneapolis, 5–14 August 2002. Abstracts of talks.

P. 161– 17. Morozov O.I. Symmetries of dierential equations and Cartan’s equivalence method // Proceedings of the Fifth Conference Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics“, Kyiv, Ukraine, 23 – 29 June 2003, Part 1, P. 196– 18. Morozov O.I. Applications of Cartan’s structure theory of Lie pseudogroups in geometry of dierential equations // Abstracts of International Conference Geometry in Odessa – 2006“, Odessa, 22 – 27 May, 2006, P.

19. Morozov O.I. Maurer-Cartan forms for symmetry pseudo-groups and coverings of differential equations // Proceedings of the International Conference Symmetry and Perturbation Theory“ (SPT) 2007, Otranto, Italy, 2- June 2007, eds. G. Gaeta, R. Vitolo, S. Walcher. World Scientic, 2007, P.

20. Morozov O.I. Coverings of dierential equations and Lie pseudo-groups // Workshop on Integrable Systems and Related Topics. Abstracts of talks.

Institute of Mathematics, Academia Sinica, Taipei, Taiwan, 15 – 16 March 21. Морозов О.И. Контактные интегрируемые расширения псевдогрупп симметрий и накрытия уравнений r-mdKP и r-dDym // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. – М.: Университетская книга, 2009. C. 254–