МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 517.982.254

Пухов Станислав Сергеевич

БАЗИСЫ ИЗ ЭКСПОНЕНТ

В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

01.01.01. вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2011

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Седлецкий Анатолий Мечиславович.

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, профессор Гольдман Михаил Львович;

кандидат физико–математических наук, доцент Садовничая Инна Викторовна.

Ведущая организация: Московский Энергетический Институт (Технический Университет).

Защита диссертации состоится 20 мая 2011 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, д.1, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 20 апреля 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико–математических наук, профессор В. Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Исследования отличных от тригонометрического базисов из экспонент (ein t ), n C, |n+1 | |n |, n= в функциональных пространствах на конечном интервале берут своё начало в 1930-х гг. в работе Р. Пэли и Н. Винера1, где данная система рассматривалась как базис Рисса в L2 (, ). В дальнейшем такие базисы, а также более общие e() = (ein t, tein t,..., tmn 1 ein t ), = (n, mn ), n=0 n= (1) mn N, n C, |n+1 | |n |, рассматривались различными исследователями в пространствах Lp (a, a) при произвольном p (1, +), в соболевских пространствах, в лебеговых пространствах, снабжённых весом, и т.п. Вопрос базисности систем экспонент тесно связан с другими вопросами теории аппроксимации проблемами полноты, минимальности, наличия базиса суммирования и т.д., и в целом эта посвящённая системам экспонент теория была названа негармоническим анализом (в отличие от анализа гармонического, изучающего исключительно свойства тригонометрической системы (eint ), n Z). Существенный вклад в её развитие внесли Н. Левинсон, Л. Шварц, Ж.–П. Кахан, А. Бьёрлинг и П. Мальявен, П. Кусис, Б. Я. Левин, А. Ф. Леонтьев, Р. Редхёффер, Р. Янг, Б. С. Павлов, А. М. Седлецкий, Н. К. Никольский, С. В. Хрущёв, А. М. Минкин, В. А. Ильин, Е. И. Моисеев и многие другие математики.

Пэли и Винер рассматривали базисы Рисса в L2 (, ) вида (ein t ), n C, n Z, (2) как возмущение тригонометрической системы, т. е. при определённой близости точек n к целым n, а именно, при условии sup |n n| < 1/ 2, n R.

В этом направлении окончательный результат получил М. И. Кадец2 : если sup |n n| <, n R, то система (2) образует базис Рисса в L2 (, ), причём постоянная 1/ точная.

Paley R., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. New York: Publ. Amer. Math. Soc., 1934.

Кадец М. И. Точное значение постоянной Палея–Винера // Докл. АН СССР. 1964. Т. 155.

С. 1253 – 1254.

Вопрос о критерии базиса Рисса вида (2) в L2 (, ) требовал достаточно общего подхода к изучению систем экспонент. Важной вехой здесь явились работы Б. Я. Левина3, предложившего задавать условия на последовательность (n ) в терминах т. н. порождающей функции. Приведём определение этого понятия сразу для системы (1).

Целая функция экспоненциального типа называется порождающей функцией системы (1) на интервале (a, a), если 1) множество её нулей совпадает с {n }, 2) каждый нуль n имеет кратность mn и 3) индикатор функции равен a| sin |.

Напомним, что по определению целая функция L(z) имеет экспоненциальный тип, если а индикатором такой функции называется величина где порядок функции L(z).

В работах Левина и В. Д. Головина4 в качестве порождающей выступала функция, получившая название функции типа синуса. Это целая функция, удовлетворяющая условию Последовательность называется отделимой, если Левиным доказано, что если порождающая функция системы e() является функцией типа синуса и последовательность отделима, то система образует базис L2 (a, a). Головин же дополнил этот результат, доказав наличие базиса Рисса в этом случае.

Стоит отметить5, что отделимость последовательности, а также (для последовательности, лежащей в горизонтальной полосе | Im z| h) условие sup mn < + необходимы для базиса системы e().

Левин Б. Я. О базисах показательных функций в L2 // Записки матем. отд. физ.-мат. фак-та ХГУ и ХМО, сер. 4. 1961. Т. 27. С. 39 – 48; Левин Б. Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа // Матем. физика и функц. анализ, ФТИНТ АН УССР. 1969. Вып. С. 136 – 146.

';

Головин В. Д. О биортогональных разложениях в L2 по линейным комбинациям показательных функций // Записки мех.-мат. фак. ХГУ и ХМО, сер. 4. 1964. Т. 30. С. 18 – 29.

Седлецкий А. М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Гл.6.

Критерий базиса из экспонент для случая последовательности, лежащей в горизонтальной полосе, был найден Б. С. Павловым6 в 1979 г.

Говорят, что неотрицательная функция g(x) удовлетворяет Ap – условию, 1 < p <, если Будем в этом случае писать g(x) Ap.

Теорема A (Павлов). Пусть последовательность (n ) отделима и для некоторого h R+ и всех n верно | Im n | h. Тогда система (2) образует базис Рисса в L2 (a, a) тогда и только тогда, когда где L(z) порождающая функция системы (2).

Если отказаться от требования принадлежности точек n горизонтальной полосе, то L2 –нормы экспонент системы (2) станут неограниченными в совокупности, и понятие базиса Рисса в постановке задачи следует заменить на понятие безусловного базиса (система (en ) называется безусловным базисом гильбертова пространства, если система (en / en ) образует в нём базис Рисса). Для случая, когда точки n лежат в полуплоскости Im z h >, необходимое и достаточное условие безусловного базиса вида (2) вскоре нашли Н. К. Никольский, С. В. Хрущёв и Б. С. Павлов7. Общий случай рассмотрел А. М. Минкин8 в 1991 г.: к условиям A2 и отделимости (n ) в теореме A добавляется т. н. условие Карлесона, накладываемое на последовательности ± = (n : Im n 0).

Случай пространств Lp (a, a), p = 2, требовал новых подходов, и вплоть до 1970-х гг. соответствующих результатов не было. Продвижение в этом направлении достигнуто благодаря работам А. М. Седлецкого. Мы приведём те его результаты, которые наиболее тесно связаны с представленными в диссертации теоремами. Прежде, однако, заметим, что при переходе от L к другим функциональным пространствам теряется понятие базиса Рисса.

Некоторой его заменой для систем экспонент служит т. н. свойство Рисса, а именно ограниченность в норме рассматриваемого пространства оператора Павлов Б. С. Базисность системы экспонент и условие Макенхоупта // Докл. АН СССР. 1979.

Т. 247. С. 37 – 40.

Hruev S. V., Nikolskii N. K. and Pavlov B. S. Unconditional bases of exponentiales and reproducing kernels // Lect. Notes Math. 1981. V. 864. P. 214 – 235.

Минкин А. М. Отражение показателей и безусловные базисы из экспонент // Алгебра и анализ.

1991. Т. 3, №5. С. 109 – 134.

Это определение инициировано теоремой М. Рисса о сопряжённом ряде Фурье, согласно которой тригонометрический базис обладает этим свойством Следующая теорема9 является расширением достаточной части теоремы Павлова.

Теорема B. Пусть 1 < p 2, последовательность отделима и сосредоточена в горизонтальной полосе | Im z| h, а также sup mn < +.

Тогда если порождающая функция системы (1) при некотором H > h удовлетворяет условию |L(x + iH)|p Ap, то эта система образует базис Lp (a, a) со свойством Рисса.

Зачастую рассматривают порождающие функции, являющиеся преобразованием Фурье–Стилтьеса финитной меры:

В этом случае система (2) выступает как система собственных функций оператора дифференцирования D(y) = iy c "размазанным" краевым условием (а система (1) может рассматриваться как система собственных и присоединённых функций). С этой точки зрения системы экспонент изучали C. Верблюнский, А. П. Хромов, В. А. Молоденков и др.

Теорема C. Пусть9 1 < p < и последовательность нулей функции отделима. Тогда система (1) образует базис Lp (a, a) со свойством Рисса.

Седлецкий А. М. Биортогональные разложения в ряды экспонент на интервалах вещественной оси // Успехи матем. наук. 1982. Т. 57, №5. С. 51 – 95.

Седлецкий А. М. Базисы из экспонент в пространствах Lp (, ) // Матем. заметки. 2002.

Т. 72, №3. С. 418 – 432.

Тогда при 1Re < 1/p система e() образует базис со свойством Рисса в пространстве Lp (a, a), а при 1 Re > 1/p для всякого уже система e() {e } образует базис со свойством Рисса в L (a, a).

Случай порождающей функции вида (4) интересен в частности тем, что под него при некоторых подпадает система С системами (5) связаны системы синусов и косинусов первая из которых при = 1/4 является системой собственных функций задачи Штурма–Лиувилля для уравнения Лаврентьева–Бицадзе со специальными краевыми условиями11.

Для систем (5) и (6) с вещественными Е. И. Моисеевым12 даны критерии базиса соответственно в пространствах Lp (, ) и Lp (0, ), обобщённые Г. Г. Девдариани13 на комплексные. Результат Девдариани состоит в том, что критерием базиса экспонент, синусов или косинусов является условие соответственно.

В последнее время проявляется интерес к базисам из экспонент в весовых пространствах. Это пространства Lp (I, (t) dt) (где вес (t) измеримая, почти всюду положительная функция на конечном интервале I R), состоящих из определённых на интервале I измеримых функций с конечной нормой Естественно, что первой была исследована тригонометрическая система:

в 1973 г. Хант, Макенхаут и Виден14 установили, что она образует базис пространства Lp ((, ), (t) dt), 1 < p <, в том и только в том случае, Пономарев С. М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трёхмерной области // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246. С. 1303 – 1305; Пономарев С. М. Об одной задаче на собственные значения // Докл. АН СССР. 1979. Т. 249. С. 2068 – 2070.

Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов // Докл. АН СССР. 1984. Т. С. 794 – 798.

Девдариани Г. Г. Базисность некоторых специальных систем собственных функций несамосопряжённых дифференциальных операторов. Автореф. дисс.... канд. физ.–мат. наук. Москва: МГУ, 1986.

Hunt R. A., Muckenhoupt B. and Wheeden R. L. Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform // Trans. of Amer. Math. Soc. 1973. V. 176. P. 227 – 251.

когда периодически продолженный вес (t) удовлетворяет Ap – условию.

Что же до систем экспонент общего вида, то здесь рассматривались только веса, состоящие из произведения конечного числа степеней.

А. Буавеном и А. М. Седлецким15 рассмотрены пространства с весом и доказаны две следующих теоремы, обобщающие теоремы C и B.

Теорема E. Пусть 1 < p < и последовательность нулей функции вида (3) отделима. Тогда система e() образует обладающий свойством Рисса базис пространства Lp.

Теорема F. Пусть 1 < p <, p 2, последовательность отделима и сосредоточена в горизонтальной полосе | Im z| h, а также sup mn < +. Тогда если порождающая функция системы e() при некотором H > h удовлетворяет условию то система e() образует обладающий свойством Рисса базис Lp.

Данная диссертационная работа посвящена базисам из экспонент в пространствах Lp = Lp ((a, a), (t) dt), 1 < p <, с более общим по сравнению с (7) весом Так, ставится вопрос о расширении теорем E и F на веса (8), разрешаемый соответственно в главах 3 и 4.

Для веса вида Таким образом, у веса (t) вида (8) особенности порядка j в точках bj и порядка 0 во всех остальных. В следующей теореме функция 0 (t) является "погрешностью", расширяющей класс рассматриваемых функций.

Существо дела ярче выявляется при 0 (t) 0.

Теорема 3.3. Пусть последовательность отделима и верно условие (3), причём (t) = 0 (t) + 1 (t), где 0 (t) принадлежит соболевскому пространству Wq1 (a, a), а 1 (t) кусочно-постоянная функция со скачками в точках ci, a = c1 < <... < cm = a. Тогда система e() является базисом пространства Lp ((a, a), (t) dt) (и тогда обладает свойством Рисса) в том и только том случае, когда где i порядок особенности веса (t) в точке ci.

Теорема 3.3 демонстрирует неулучшаемость теоремы 3.1. Действительно, при нарушении условий последней на показатели j положим c = bj, если j >, и c {bj }, если < 0. По теореме 3.1 система экспонент, соответствующая функции (t) c единственным (помимо скачков на концах интервала) скачком в точке c, не будет базисом в Lp ((a, a), (t) dt).

Отметим, что доказательство наличия базиса, хотя и может вызывать значительные технические трудности, основано на весьма естественных приёмах оценке сверху неких интегралов, применении общих теорем функционального анализа и т.п. Для доказательства отсутствия базиса требуются более оригинальные, имеющие какую-то своеобразную идею рассуждения. В данном случае это доказательство основано на возможной расходимости частичного обратного преобразования Фурье в пространстве с более сильной (за счёт уменьшения показателя степени веса) нормой по сравнению с нормой пространства, содержащего преобразуемую функцию.

Эта возможная расходимость показана в параграфе 2.

Параграф 3 содержит доказательство теоремы 3.1, параграф 4 доказательство результата, связывающего наличие базиса с поведением частичного обратного преобразования Фурье, а параграф 5 посвящён доказательству теоремы 3.3.

В параграфе 1 главы 4 показано, что теорема F остаётся справедливой для случая (8) (то есть при различных некрайних показателях веса), результаты о полноте систем экспонент в весовом пространстве. Под обозначением L1 понимаем пространство L1 ((a, a), (t) dt) с весом вида (8), в котором условие 1 < 1,..., s < p1 заменено на 1 < 1,..., s 0.

Теорема 4.2. Обозначим за n (t) число точек последовательности в круге {|z| < t} (с учётом кратностей) и положим Тогда для любого значения p [1, ) условие влечёт полноту системы e() в пространстве Lp ((a, a), (t) dt).

Теорема 4.3. Пусть m, m+1,... (m N) ограниченная последовательность неотрицательных чисел. Тогда если при 1 < p < или при p = то система (ein t ), n Z, полна в пространстве Lp ((, ), (t) dt).

Также в параграфе 2 показано, что если последовательность (n ) лежит в горизонтальной полосе | Im z| h, то в условиях теоремы 4.3 можно рассматривать Re n вместо n. При этом константы (1 + )/2p и (1 + )/ как в этом результате, так и в самой теореме 4.3 не могут быть увеличены.

При = 0, 1 < p < и n 0 теоремы 4.2 и 4.3 представляют собой классические теоремы Н. Левинсона18. Для случая веса с одинаковыми показателями они получены Седлецким19, им же рассмотрен случай пространства C[a, a].

Благодарности Автор сердечно благодарит своего научного руководителя профессора Анатолия Мечиславовича Седлецкого за постановку задачи, постоянное внимание к работе и советы по оформлению научных трудов.

Levinson N. Gap and density theorems. New York: Publ. Amer. Math. Soc., 1940.

Седлецкий А. М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Гл.4.

Список работ автора по теме диссертации [1] Пухов С. С., Седлецкий А. М. Базисы из экспонент, синусов и косинусов в весовых пространствах на конечном интервале // Докл. Ак.

Наук. 2009. Т. 425, №4. С. 452 – 455.

[2] Пухов С. С. Базисы из экспонент, синусов и косинусов в весовых пространствах на конечном интервале // Известия РАН. Серия матем.

2011. Т. 75, №2. С. 167 – 196.

[3] Пухов С. С. Базисы из экспонент в весовых пространствах, порождённые нулями функции типа синуса специального вида // "Депонированные научные работы", ВИНИТИ. №2, 2011. 22.12.2010, №724 -В2010.

[4] Пухов С. С. Базисы из экспонент в весовых пространствах // Тезисы докл. 9-й Казанской летн. научн. школы-конф. "Теория функций, её прилож. и смежн. вопросы". Труды матем. центра им. Н. И. Лобачевского, т. 38. Казан. матем. общ-во. Казань, 2009. С. 232 – 234.

[5] Пухов С. С. О базисах в весовых пространствах систем экспонент, порождённых функцией ограниченной вариации со скачками на концах отрезка // Тезисы докл. 15-й Саратовской зимн. школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Изд-во Сарат.

ун-та. Саратов, 2010. С. 147 – 148.

В работе [1] А. М. Седлецкому принадлежат предложение 1, теоремы и 3 и следствие 1, С. С. Пухову теоремы 1, 4 и 5.