МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 511.9

ДОБРОВОЛЬСКИЙ Михаил Николаевич

Некоторые теоретико-числовые методы

приближенного анализа

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико – математических наук

Москва — 2009

Работа выполнена на кафедре математического анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Чубариков Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Журавлев Владимир Георгиевич кандидат физико-математических наук, Кан Игорь Давидович

Ведущая организация: Московский государственный педагогический университетет

Защита диссертации состоится 6 ноября 2009 г. в 16 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, дом 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 6 октября 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Возникновение метода тригонометрических сумм обычно связывают с основополагающей работой Г. Вейля [1 ], хотя впервые частный случай полных рациональных тригонометрических сумм встречается уже в первой половине XIX века в исследованиях К. Ф. Гаусса по квадратичным вычетам [2 ]. Он рассматривал суммы второй степени, называемые теперь суммами Гаусса. В указанной работе Г. Вейля, вышедшей в 1916 году, содержался интегральный критерий равномерного распределения последовательности по модулю 1 и были получены первые нетривиальные оценки тригонометрических сумм.

Теория равномерного распределения по модулю 1 и оценки А. Вейля полных рациональных тригонометрических сумм по простому модулю лежали в основе теоретико-числового метода в приближенном анализе, созданного Н. М. Коробовым в году [3 ].

Первым классом многомерных теоретико-числовых сеток были предложенные Н. М. Коробовым неравномерные сетки, обеспечивавшие детерминированные оценки погрешности приближенного вычисления многомерных интегралов вместо вероятностных оценок того же порядка точности, получающихся по методу Монте-Карло Д. фон Неймана. В отличие от равномерных сеток, качество которых быстро убывало с ростом размерности единичного s-мерного куба, основной области интегрирования, неравномерные сетки имели порядок убывания погрешности приближенного интегрирования в зависимости от числа узлов многомерной квадратурной формулы одинаковый для всех размерностей. С ростом размерности росла только константа в оценке погрешности.

Принципиальный прорыв в теории и практике вычисления кратных интегралов от гладких периодических функций многих переменных связан с методом оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова. Важность оптимальных параллелепипедальных сеток обусловлена их простотой и ненасыщаемостью алгоритмов приближенного интегрирования по соответствующим квадратурным формулам, заключающейся в росте точности квадратурных формул с ростом гладкости интегрируемых функций.

К наиболее важным направлениям исследований по методу оптимальных коэффициентов относятся получение алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов высокого качества для параллелепипедальных и комбинированных сеток и изучение гиперболической дзета-функции целочисленных решёток. Именно этим двум направлениям посвящена диссертация.

В процессе диссертационного исследования обнаружилась обратная связь теоретико-числового метода приближенного анализа с тригонометрическими суммами.

А именно, этим методом удалось получить новые результаты о тригонометрических суммах, что является третьим направлением диссертационного исследования.

В соответствии с указанными актуальными направлениями были сформулированы следующие цели работы:

— цель первой главы — построение алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов и оценка их качества;

— цель второй главы — получение функционального уравнения гиперболической Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313– (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984) Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. М.: Из-во АН СССР, 1959.

Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. № 6. С. 1062 — 1065.

дзета-фунции произвольной целочисленной решётки, как функции комплексного переменного;

— цель третьей главы — изучение нового класса тригонометрических сумм, квазиполных коротких рациональных тригонометрических сумм, а также получение для них нетривиальных асимптотических формул.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами диссертационной работы можно считать следующие:

— построено несколько новых алгоритмов вычисления наборов оптимальных коэффициентов и даны оценки их качества;

— получено функциональное уравнение для гиперболической дзета-фунции произвольной целочисленной решётки;

— найдены асимптотические формулы для квазиполных коротких кубических рациональных тригонометрических сумм.

Методы исследования. В работе используются методы аналитической теории чисел и геометрии чисел.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по приложению методов теории чисел к вопросам приближенного анализа. Предложенные в диссертации алгоритмы могут использоваться для практического применения при составлении таблиц оптимальных коэффициентов и создании программ численного интегрирования функций многих переменных.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на:

— научно-исследовательском семинаре "Арифметика, алгоритмы, теория сложности вычислений"в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова;

— Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" в Тульском государственном университете. Тула, ноябрь 2002.

— международной конференции "Аналитические и комбинаторные методы в теории чисел и геометрии" в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова. Москва, май 2006.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]–[6], выполненных по грантам РФФИ 02-01-00584, 05-01-00672 и 08-01-00790.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 119 страницах и состоит из введения, трех глав, списка литературы, включающего 74 наименования, и приложения с таблицей оптимальных коэффициентов.

В книге Н. М. Коробова [4 ] излагается теоретикочисловой метод в приближенном анализе, созданный им в 1957 – 1963 годах. В частности, там дается теория квадратурных формул с параллелепипедальными сетками вида где a1,..., as – целые числа, взаимно простые с p. Класс оптимальных параллелепиp педальных сеток выделен следующим образом. Пусть p > 1 – целое, p1 =, Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

, a = a (p) – целые, взаимно простые с p и величина символа Коробова p (m) определена равенством Если существуют константы = (s) и B = B(s) такие, что для некоторого бесконечного множества значений p выполняется неравенство то целые a1,..., as называются оптимальными коэффициентами индекса, а соответствующие им сетки Mk — оптимальными параллелепипедальными сетками.

В частности в [4 ] с. 148–157, доказаны две теоремы Н. М. Коробова, дающие достаточно удобные алгоритмы построения оптимальных коэффициентов по простому модулю и по составному, равному произведению двух простых. Первый алгоритм основан на поиске минимума функции Hp (z), определенной равенством где p — простое число, большее s. Если при z = a достигается минимум функции Hp (z) на интервале 1 z оптимальными коэффициентами по модулю p. Легко видеть, что этот алгоритм позволяет вычислять оптимальные коэффициенты по модулю p за O(p2 ) элементарных операций.

При больших значениях p для вычисления оптимальных коэффициентов удобнее использовать второй алгоритм Коробова, позволяющий уменьшить число соответствующих элементарных операций до 1+ 3 ). Для p = p p, где p и p простые, большие s, причем p имеет порядок p и целого a, вычисленного по первому алгоритму с заменой в нем p на p, согласно второму алгоритму Коробова надо найти минимум функции H(z), определеной равенством то целые a1 = p + p, a2 = p b + p a,..., as = p bs1 + p as1 будут оптимальными коэффициентами по модулю p = p p. Легко видеть, что при этом способе)нахождения ( оптимальных коэффициентов по модулю p = p p достаточно O p1+ 3 элементарных операций.

В 1992 году Н. М. Коробов ввёл новый класс сеток — комбинированные сетки, основы теории которых были опубликованы в работе [6 ]. В этой работе впервые Н. М. Коробов применил принципиально новую идею в методе усреднений, Здесь и далее означает, что из области суммирования исключен нулевой набор, для вещественного x обозначаем x = max(1, |x|).

Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55. Вып. 2. С. 83 — 90.

которым ранее доказывались теоремы о существовании оптимальных коэффициентов. А именно, если имеется какая-то функция f от оптимальных коэффициентов, для которой среднее арифметическое значение по множеству всех наборов коэффициентов заданного вида в количестве P совпадает с каким-то критерием оптимальности, то перенумеровав все наборы этого вида в порядке возрастания значений этой функции, можно значение функции f от набора с номером [(P + 1)/2] оценить величиной 2, при этом данная оценка будет справедлива для [(P + 1)/2] наборов, по которым можно усреднять значение другой функции. Особенно эффектно эта идея работает, когда f — целочисленная функция, а < 1, тогда получаем более сильное утверждение о том, что для [(P + 1)/2] наборов значение f равно 0. В работе примером применения этой идеи являются доказательства теорем об алгоритмах построения оптимальных коэффициентов.

по модулю p. Комбинированными сетками называются сетки вида В [6 ] Н. М. Коробовым доказано, что для простого p большего s существуют оптимальные коэффициенты a1,..., as по модулю p такие, что для любого > выполняются оценки где сумма r распространена на системы целых (m1,..., ms ), содержащие ровно r величин mj, отличных от нуля. Для погрешности квадратурной формулы выполняется оценка Такие оптимальные коэффициенты можно найти с помощью функции Hpns (z), определенной равенством где p — простое число большее s и n ln p, (n, p) = 1. Если при z = a достигается минимум функции Hpns (z) на интервале 1 z p 1, то целые a1 = 1, a2 = a,..., as = as1 будут оптимальными коэффициентами по модулю p и для них справедлива оценка (8) в квадратурной формуле (7).

Для переменных величин A и B > 0 запись A B означает, что |A| константой C > 0.

Заметим, что здесь используется комбинирование параллелепипедальной сетки по простому модулю и равномерной сетки из ns точек с небольшим значением n взаимно простым с этим модулем. Впервые комбинирование двух параллепипедальных сеток по двум различным простым модулям встречалось во втором алгоритме Коробова. Операцию комбинирования сеток удобно называть произведением сеток (см. [8 ], [9 ]).

О качестве оптимальных коэффициентов a1 = 1, a2 = a,..., as = as1 можно судить по величине разности Hp (a) 1, имеющей для наиболее хороших оптимальных параллелепипедальных сеток порядок O(ln2(s1) p/p2 ). Аналогично, о качестве комбинированной сетки с теми же оптимальными коэффициентами можно судить по разности Hpns (a) 1, имеющей порядок O(ln2(s1) p/(pns )2 ).

Как было указано выше, квадратурные формулы с параллелепипедальными сетками вида:

автоматически реагируют на гладкость интегрируемых периодических функций.

Как показал Н. М. Коробов, если f ( ) Es ( > 1), то для погрешности приx ближенного интегрирования по формуле (10) справедлива оценка:

Здесь норма f ( )Es на банаховом пространстве Es задается через коэффициенты Фурье равенством:

а пространство Es состоит из периодических функций, для которых коэффициенты Фурье функции f ( ) удовлетворяют неравенству (12).

Ряд, стоящий в правой части неравенства (11), является гиперболической дзетафункцией решётки (a1,..., as ; N ) решений линейного сравнения и является частным случаем общего понятия гиперболической дзета-функцией произвольной полной решётки.

Рассмотрим произвольную решётку Rs, s 2. В работе под решёткой всегда понимается полная решётка.

Быковский В. А. Экстремальные кубатурные формулы для анизотропных классов. Хабаровск, 1995. С. 1 — 13. (Препринт.) Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Аккуратова С. В. О некоторых свойствах нормированных пространств и алгебр сеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика.

Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. С. 100 — 113.

Определение 1 Гиперболической дзета-функцией решётки называется функция H (|), = + it, задаваемая при > 1 абсолютно сходящимся рядом Определение 2 Обобщенной гиперболической дзета-функцией решётки называется функция H +, = + it, задаваемая при > 1 абсолютно Первоначально гиперболическая дзета-функция решёток изучалась только для целочисленной решётки решений сравнения (14) и для вещественных значений > 1.

Для этого случая были получены следующие результаты. Н. М. Коробов 1959 г. показал, что если целые a1,..., as — оптимальные коэффициенты индекса по модулю N, то для решётки = (a1,..., as ; N ) и её гиперболической дзета-функции H (|) справедливо неравенство С другой стороны, если N > 2s и a1,..., as — произвольные целые, то для решётки = (a1,..., as ; N ) и её гиперболической дзета-функции H (|) справедливо Эта оценка снизу указывает наилучший возможный порядок погрешности для параллелепипедальных и комбинированных сеток. В настоящее время вопрос о достижимости такого порядка остается открытым. По теореме Шарыгина [10 ], доказанной в 1963 году, порядок погрешности)квадратурной формулы с весами на классе Es не может быть меньше O N ln N при любом выборе сетки и весов в квадратурной формуле с N узлами. Таким образом, из результатов Н. М. Коробова 1959– годов следует, что известные оптимальные параллелепипедальные сетки дают порядок погрешности не более чем на ( 1)s + 1 степень логарифма от числа точек сетки хуже оптимальной.

В работе [11 ] Н. С. Бахвалов в 1959 году установил важную связь между величиной параметра гиперболического креста, не содержащего ненулевых точек данной решетки, и погрешностью квадратурной формулы с параллелепипедальной сеткой (10) на классе Es. Усеченной нормой называется величина q( ) = x1... xs, а гиx перболический параметр решетки определяется равенством Множество точек K(T ) = { | q( ) T } называется гиперболическим крестом, а величина T — его параметром. Ясно, что при T < q() гиперболический крест K(T ) не содержит ненулевых точек решетки. Согласно Н. С. Бахвалову, если Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 7. 1963. № 4. С. 784 — 802.

Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959.

№ 4. С. 3 — 18.

a1,..., as — произвольные целые, то для решётки = (a1,..., as ; N ) и её гиперболической дзета-функции H (|) справедливо неравенство В этой же работе Н. С. Бахвалов показал, что для простых p существуют решётки с q() N ln(s1) N.

В 1976 году К. К. Фролов в работе [12 ], используя алгебраические сетки, порожденные чисто вещественным алгебраическим полем степени s, построил сетки для которых на классе Es достигается правильный порядок погрешности приближенного интегрирования и правильный порядок гиперболической дзета-функции решётки, то есть O N lns1 N. При этом исследования по методу оптимальных коэффициентов не потеряли своей актуальности, так как квадратурные формулы К. К. Фролова с алгебраическими сетками гораздо сложнее квадратурных формул Н. М. Коробова с параллелепипедальными сетками.

В 1984 году в работе [13 ] Н. М. Добровольский обобщил результаты Коробова и Бахвалова о гиперболической дзета-функции решеток на случай произвольной решётки. Из обобщенной теоремы Бахвалова как элементарное следствие получался результат К. К. Фролова о гиперболической дзета-функции решётки. Из работ [14 ] и [15 ] следует, что результаты Н. М. Коробова о параллелепипедальных сетках и К. К. Фролова об алгебраических сетках являются следствиями общей теории обобщенных параллелепипедальных сеток с весовыми функциями, в которой центральную роль играет гиперболическая дзета-функция решёток. Отметим, что весовые функции в этой теории выбраны таким образом, что для целочисленных решёток они суммируются и получаются равные веса. В этом случае важную роль играют полные рациональные кратные тригонометрические суммы по обобщенным рациональным парралелепипедальным сеткам. Эти суммы играют такую же характеристическую роль, что и символ Коробова, поэтому их называют многомерным символом Коробова. Изучение гиперболической дзета-функция решёток было продолжено в работах [16 ], [17 ], [18 ],[19 ], [20 ] несколькими авторами.

Алгебраические поля сыграли важную роль в работах С. М. Воронина и Н. ТеФролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. № 4. С. 818–821.

Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решеток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090–84.

Добровольский Н. М., Ванькова В. С., Козлова С. Л. Гиперболическая дзета–функция алгебраических решёток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, № 2327–B90.

Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах Es (c) и Hs (c). Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6091–84.

Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. Непрерывность гиперболической дзетафункции решёток // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 4. 1998. C. 522–526.

Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О непрерывности гиперболической дзета-функции решёток // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула: Изд–во ТулГУ, 1996. С. 77 — 87.

Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета–функции решёток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.3. С. 99–108.

Реброва И. Ю. Пространство решёток и функции на нем. Дис.... канд. физ.-мат. наук. Москва.

МПГУ, 1999.

Рощеня А. Л. Аналитическое продолжение гиперболической дзета–функции решёток. Дис....

канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.

миргалиева [21 ], [22 ], [23 ], но были основаны на совсем других идеях и давали новые виды оптимальных коэффициентов параллелепипедальных сеток по простым модулям, связанным с порядком круговых полей.

Как уже отмечалось выше, первые работы Н. М. Коробова по применению методов теории чисел к построению многомерных квадратурных формул были основаны на оценках А. Вейля полных рациональных сумм по простому модулю или аналогичных оценках полных рациональных сумм по квадрату простого модуля (см. [24 ], [25 ]).

Таким образом, мы видим прямую связь между тригонометрическими суммами и теоретико-числовыми квадратурными формулами. А именно, результаты, например, о полных рациональных тригонометрических суммах такие как теорема А. Вейля дают результаты о квадратурных формулах.

Как правило, в вопросах связанных с числом решений сравнений возникают полные или короткие рациональные тригометрические суммы, а в вопросах о числе решений диофантовых уравнений появляются общие суммы Г. Вейля вида где f (x) = n xn +... + 1 x + 0 — произвольный многочлен с действительными коэффициентами.

Если мы на ряду с полной суммой рассмотрим сумму вида где fp (x) = as xs + as1 pxs1 +... + a1 ps1 x, то получим короткую рациональную сумму по модулю ps, которую надо исследовать методом Г. Вейля, но здесь возникают определенные трудности. Итак, в случае, когда f (x) = an xn +... + a1 x + a0 — многочлен с целыми коэффициентами, мы получаем короткую рациональную тригонометрическую сумму вида:

Как известно (см.[29 ], с. 96), для такого класса сумм нельзя получить общей нетривиальной оценки методом Вейля, так как этот класс содержит суммы, модуль которых по порядку равен длине суммы.

В данной работе будет показано, что даже для простейшей суммы такого вида Воронин С. М. О квадратурных формулах // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 58. № 5. С. 189 — 194.

Воронин С. М. О построении квадратурных формул // Изв. РАН. Сер. мат. 1995. Т. 59. № 4.

Воронин С. М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел // Мат. заметки. 1989. Т. 46. № 2. С. 34 — 41.

Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.:

МЦНМО, 2004.

нельзя применить оценки Вейля.

Отметим, что тригонометрические суммы более общего вида рассматривались в работе А. А. Карацубы [26 ]. Используя свои результаты из работы место асимптотическая формула где величины A,,, определяются равенствами Здесь предполагались следующие соглашения: n, t, P, a — целые числа, n 20, r — вещественное число, 1 r 0.1n, t n, p — простое число, (a, p) = 1, P 1.

В этом общем результате А. А. Карацуба выделял особенно простой вид асимптотической формулы при P = ps и t 0 (mod n), когда Для случая сумм вида (24) будет показано, что теорема А. А. Карацубы не применима по существу, а не только из-за несоответствия областей параметров.

В своей монографии [28 ]Монтгомери в пункте 8 на странице 194 сформулировал следующую проблему: "Покажите, что если P (x) = 1, то Или же постройте контрпример. Даже незначительные улучшения существующих границ были бы интересны. Например, при k = 3 и q N 3/2 получите верхнюю границу o(N 3/4 ), скажем O(N ) где < 3/4."

Ясно, что при f (x) = x3, рассматривая сумму Карацуба А. А. Асимптотические формулы для некоторого класса тригонометрических сумм // ДАН СССР. 1966. Т. 169. № 1. С. 9 — 11.

Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения // Известия АН СССР. 1964. Т. 28 №1. С. 237 — 248.

Montgomeri Hugh L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Providence, R.I. : Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences by the American Mathematical Society, 1994. (Заглавие серии: Regional conference series in mathematics, no.

84) Здесь e(P (n)) = e2iP (n).

мы попадаем в случай N = p, q = p3 = N 3. При g(x) = px3, рассматривая сумму мы попадаем в случай N = p, q = p = N. Наконец, при h(x) = p3 x3, рассматривая сумму мы попадаем в случай N = p, q = p = N 2. Таким образом, все эти три случая попадают в область гипотезы Монтгомери и не поддаются исследованию ни методом Г. Вейля, ни методом А. А. Карацубы.

Первая глава "Оптимальные коэффициенты комбинированных сеток" посвящена построению алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов и оценке их качества.

Цель данной главы — провести сравнение качества квадратурных формул с параллелепипедальными сетками и комбинированными сетками, используя величину погрешности приближенного интегрирования функции 3s (1 2{x1 })2... (1 2{xs }) по единичному s-мерному кубу [0, 1]s. Данная функция принадлежит классу Es. В этой главе доказаны следующие две основные теоремы об оптимальных коэффициентах, дающие алгоритмы их вычисления.

Теорема 15. Пусть p — простое число. Если при z1 = a1 достигается минимум функции Hp (1, z1 ) на интервале 1 z1 p1, и при найденных a1,..., ak1 при zk = ak достигается минимум функции Hp (1, a1,..., ak1, zk ) на интервале 1 zk p 1 (1 k s 1), то целые a1, a2,..., as1 будут оптимальными коэффициентами по модулю p.

Теорема 16. Пусть p 17 — простое число и n ln p. Если при z1 = a1 достигается минимум функции Hpn2 (1, z1 ) на интервале 1 z1 p 1, и при найденных a1,..., ak1 при zk = ak достигается минимум функции Hpnk+1 (1, a1,..., ak1, zk ) на мальными коэффициентами по модулю p для комбинированной сетки из N = pns точек.

На основании этих алгоритмов составлены таблицы оптимальных коэффициентов для параллелепипедальных и комбинированных сеток, приведенные в приложении к диссертации, и дается сравнение их качества. Из анализа этих таблиц можно сделать вывод о сопоставимости величин погрешностей для обоих типов сеток.

Вторая глава "Функциональное уравнение для гиперболической дзетафункции" посвящена получению функционального уравнения для гиперболической дзета-функции целочисленных решеток, как функции комплексного переменного.

Как обычно через N ( ) = |x1... xs | будем обозначать мультипликативную норму вектора. Она отлична от нуля только для точек общего положения, то есть точек, не имеющих нулевых координат. Используя мультипликативную норму, в этой главе даются новые определения.

Определение 3 Дзета-функцией решётки называется функция (|), = + it, задаваемая при > 1 рядом Вообще говоря, дзета-функция решётки существует не для всякой решётки, так как соответствующий ряд может расходиться для любого значения = + it, но для произвольной декартовой решётки она очевидно существует при > 1.

Нетрудно видеть, что гиперболическая дзета-функция целочисленной решётки непосредственно выражается через сумму дзета-функции решётки и дзетафункций соответствующих целочисленных решёток меньших размерностей, которые получаются отбрасыванием нулевых координат.

Заметим, что гиперболическая дзета-функция не является однородной, как функция решётки, а дзета-функция решётки является: (T · |) = T s (|).

( Определение 4 Обобщенной дзета-функцией решётки называется функция При получении функционального уравнения гиперболической дзета-функции использовался новый подход. Если ранее для доказательства существования аналитического продолжения гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки использовалось только разложение целочисленной решётки по подрешётке det · Zs и затем функциональное уравнение Гурвица, то теперь использовались тригонометрические суммы решётки, что позволило использовать известные свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами.

В этой главе получены следующие основные результаты о функциональных уравнениях для дзета-функции и гиперболической дзета-функции целочисленных решеток, как функций комплексного переменного.

Теорема 21. Для дзета-функции произвольной целочисленной решётки в левой полуплоскости < 0 справедливо функциональное уравнение Теорема 22. Для гиперболической дзета-функции произвольной целочисленной решётки в левой полуплоскости < 0 справедливо функциональное уравнение Здесь (p) — присоединенная решётка, которая определяется через взаимную решётку соотношением (p) = det · и — "присоединеная" t-мерная решётка из координатной гиперполуплоскости, заданной вектором t — номеров ненулевых координат.

В третьей главе "Квазиполные тригонометрические суммы" оценки погрешности приближенного интегрирования периодических функций от одной переменной применяются для получения асимптотических формул для величины квазиполной рацинальной тригонометрической суммы. Суть этого подхода заключается в следующем. Пусть g(x) = e2if (x), где дважды непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция f (x) удовлетворяет условию В силу этого условия g(0) = g(1) и функцию g(x) можно на отрезке [0; 1] разложить в абсолютно сходящийся ряд Фурье:

Если F = max |f () (x)| ( = 1, 2), то для коэффициентов Фурье дважды непрерывx но дифференцируемой функции g(x) = e2if (x) при m = 0 справедлива оценка:

Таким образом, в обозначениях Н. М. Коробова g(x) E1 (см. [4 ]).

Рассмотрим квадратурную формулу правых прямоугольников для функции g(x):

Для погрешности приближенного интегрирования Rp [f ] справедливо равенство Тригонометрическую сумму вида будем называть квазиполной, если для дифференцируемой функции f (x) выполнено условие (32), которое будем называть условием квазиполноты. Очевидно, что выполняется тривиальная оценка Из оценки для погрешности приближенного интегрирования и квадратурной формулы правых прямоугольников для функции g(x) следует асимптотическое равенство для квазиполной тригонометрической суммы:

где для величины (f, p) справедливо неравенство |(f, p)| 1.

Заметим, что любая полная рациональная тригонометрическая сумма по модулю p является квазиполной короткой рациональной тригонометрической суммой. Действительно, если f (x) = an xn +...+a1 x+a0 — многочлен с целыми коэффициентами и fp (x) = an pn1 xn +... + a2 px + a1 x +, то справедливо равенство Очевидно, что в этом случае применить формулу (39) невозможно, так как F npn1 |an | и F2 n(n 1)pn1 |an |.

Для рациональных тригонометрических сумм первой степени верно обратное:

любая квазиполная рациональная тригонометрическая сумма первой степени является полной тригонометрической суммой.

Для достаточно широкого класса квазиполных коротких рациональных тригонометрических сумм можно получить асимптотическую формулу вида:

Для простоты изложения в диссертации рассматривается только случай квазиполных коротких кубических рациональных сумм с f (x) = ax3, где a — целое число, хотя аналоги многих из доказанных ниже утверждений будут справедливы и для f (x) = axn при любом n 2.

В нашем случае s = 1, t = n, r = n и теорема А. А. Карацубы, как будет видно из дальнейшего, в форме S = O(P 1 r2 ) перестает быть верной, хотя для большинства значений коэффициента a будет справедлив более сильный результат |S| 2P 2.

В этой главе получены следующие основные результаты для квазиполной короткой кубической тригонометрической суммы где a — целое, и для квазиполной короткой рациональной кубической тригонометрической суммы Теорема 25. Справедливо асимптотическое равенство Теорема 26. Справедливо асимптотическое равенство Сравним полученный результат с гипотезой Монтгомери. Согласно этой гипотезе для тригонометрической суммы справедлива оценка При N = pm, q = p2m+1 = N 2+ m получаем По теореме 26 справедливо асимптотическое равенство Отсюда следует, что при m = 1,..., 10 гипотеза Монтгомери — неравенство (26) справедливо. При m 11 получается оценка с < 3/4. При m 13 соотношения (45) лучше, чем общая оценка методом Вейля (см. [ ] с. 96) При m > 13 предложенный метод дает оценку хуже, чем метод Вейля.

В заключение выражаю благодарность своему научному руководителю профессору Чубарикову Владимиру Николаевичу за постановку задачи.

Литература В журналах из списка ВАК:

[1] Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзетафункции целочисленных решеток // ДАН. Т. 412, № 3, Январь 2007. С. 302–304.

[2] Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзетафункции целочисленных решёток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика.

Механика. 2007. № 5. С. 18–23.

[3] Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82 — 90.

В прочих изданиях:

[4] Добровольский М. Н. Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Чебышевский сборник 2004. Т. 5. Вып. 1(9). Тула, Из-во ТГПУ им.

Л.Н.Толстого. С. 95–121.

[5] Добровольский М. Н. Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами и функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Чебышевский сборник 2006 Т. 3. Вып. 2(4). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 43 — 59.

[6] Добровольский М. Н. Квазиполные короткие кубические тригонометрические суммы // Чебышевский сборник 2009 Т. 10. Вып. 1(29). Тула, Из-во ТГПУ им.

Л.Н.Толстого. С. 4 — 25.