WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 515.142.22

Артамонов Дмитрий Вячеславович

Гомологические подходы в задачах о

неподвижных точках, точках

совпадения, в теории обобщенных

полиэдров.

01.01.04 – геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2009

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии МеханикоМатематического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Скляренко Евгений Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, Ахметьев Петр Михайлович кандидат физико-математических наук, доцент Фоменко Татьяна Николаевна

Ведущая организация: Московский государственный педагогический университет.

Защита диссертации состоится 15 мая 2009 г. в 1645 на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-Математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-Математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А.О. Иванов Актуальность темы.

Теорема о точках совпадения, дающая достаточное условие для наличия точки совпадения у двух отображений многообразий одной размерности, впервые была доказана Лефшецом, в 1926-ом году 1. Теорема была доказана для случая двух кусочно-линейных отображений компактных связных триангулированных ориентируемых многообразий одной размерности без края. Формулировка теоремы состоит в том, что отличие от нуля некоторого числа (называемого числом Лефшеца совпадений), вычисляемого по тому, как данные отображения действуют на гомологиях и когомологиях, влечет наличие точки совпадения.

В 70-е годы, в связи с открытием топологических нетриангулируемых многообразий были доказаны теоремы, обобщающие теорему Лефшеца на случай двух неперывных отображений замкнутых топологических ориентируемых многообразий одинаковой размерности 2,3.

Обобщения данного результата на случай отображений многообразий с краем было получено в 1980-м году 4. При этом требуется, чтобы одно из отображений сохраняло край.

В случае, когда оба отображения сохраняют края, имеется два подхода к построению числа Лефшеца, и они приводят к разным числам. При этом оба числа Лефшеца могут быть выражены через число Лефшеца для отображений краев и число Лефшеца для отображения удвоенных многообразий (т.е. многообразий без края, получаемых в результате склейки по краям пар экземпляров многообразий с краем) Были найдены обобщения и на случай отображений многообразий компактных, но, вообще говоря, неориентируемых и имеющих края 6. При этом налагаются два дополнительных требования. Первое состоит в том, что одно из отображения ориентируемо (т.е. обратный образ ориентирующего пучка образа есть ориентирующий пучок прообраза), второе требование состоит в том, что одно из отображений сохраняет границу.

Lefshetz S. Intersections and transformations of complexes and manifolds. - Trans. Amer. Math. Soc., 28, (1926), p. 1-49.

Щелокова Т.Н. К теории совпадений пары непрерывных отображений. - Сборник рабок аспирантов ВГУ, 1972, вып. 2, с. 70-71.

Mukherjea K. A survey of coincidence theory. - Global Anal. and appl. Lact. Int. Semin. Trieste, 1972, vol. 3, Vienna, 1974, p. 55-64.

Nakaoka M. Coincidence Lefshetz numbers for bre preserving maps. - J. Math. Soc. Japan 1980, 32, p.

751-779.

Mukherjea K. Coincidence theory for manifolds with boundary. - Top. and appl., 1992, 46, p. 23-39.

Goncalves D.L., Jezierski J. Lefshetz coincidence formula on non-orientable manifolds. - Fund. math., 1997, 53, №1, p. 1-23.

В каждой из этих двух ситуаций определено число Лефщеца совпадений двух отображений и доказано, что неравенство этого числа нулю влечет наличие совпадений.

В случае, когда оба отображения сохраняют края, также получается два способа определения числа Лефшеца. Было доказано, что их разность есть число совпадения для ограничений отображений на края.

Если обобщения на случай неориентируемых компактных многообразий с краем шли по пути обощения схемы доказательства в простейшем случае замкнутых ориентируемых многообразий, то случай некомпактных многообразий потребовал привлечения новых идей. В случае ориетируемых многообразий без края возникшие проблемы были преодолены в 1980-ом году 7. Предполагается, что одно из отображений компактное, а другое собственное.

Частично был разобран и случай, когда некомпактные (вообще говоря) многообразия ориентируемы и имеют края 8. При этом требовалось, что одно из отображений компактно и сохраняет край, а второе собственно.



Имеются также обобщения в другом направлении. Была доказана близкая теорема для случая отображений произвольного пространства, содержащего в качестве пожмножества замкнутое ориентируемое многообразие в ориентируемое компактное многообразие, той же размерности с краем, одно из которых отображает дополнение к выделенному подмножеству, являющемуся замкнутом многообразием, в край 9.

Известно, что для эйлеровой характеристики верно следующее. В случае, если имеется расслоение с постоянным пучком Лере, когомологии тотального пространства, базы и слоя конечномерны и равны нулю во всех размерностях, начиная с некоторой, эйлерова характеристика тотального пространства есть произведение эйлеровых характеристик базы и слоя10.

Аналогичное равенство имеет место для расслоений с локально постоянным пучком Лере, но при условии, что база - конечный CW комплекс 11. Без этого условия данная формула, вообще говоря, может Давидян В.Р. О точках совпадений двух отображений. - Мат. сборинк, 1980, 112(154), №2(6), С.

220-225.

Давидян В.Р. О точках совпадения двух отображений для многообразий с краями. - УМН., 1983, 38, №1(229), С. 149-150.

Saveliev P. A Lefshetz-type coincidence theorem. - Fund. math., 1990, 162, p. 65-89.

Leray J. L’homologie d’un espace bre dont la bre est connexe. - J. Math. Pures Appl., 1950, 29, p.

169-213.

Серр Ж.П. Сингулярные гомологии расслоенных пространств. - Ann. Math., 1957, 54, p. 425-505.

нарушаться 12.

Были получены обобщения данного равенства на случай, когда имеется послойное отображение в себя расслоения над тождественным отображение базы13. При условии, что пучок Лере этого расслоения постоянен, установлено, что все числа Лефшеца отображений в себя слоев одинаковы а число Лефшеца отображения в себя расслоения есть произведение числа Лефшеца отображений слоев и эйлеровой характеристики базы.

Похожая формула имеет место для чисел Лефшеца совпадений 14. Пусть имеются отображение расслоения, в которых базы, слои и тотальные пространства - многообразия, а соответсвующие размерности в образе и в прообразе совпадают. Пучки Лере предполагаются постоянными, но слои и тотальные пространства могут иметь края. Доказано, что может быть определено число, которое может быть интерпретировано как число Лефшеца совпадений отображений слоев. При этом число Лефшеца совпадения для отображения тотальных просранств есть произведения чисел Лефшеца для отображений баз и слоев.

Различными авторами ставились проблемы исследования классов hlcпространств 15 и AN R16 пространств на размерную полноценность. Однако обе эти гипотезы были опровергнуты17. В то же время было доказано, что обощенные многообразия 18 и даже (Z n)-пространства 19 размерно полноценны.

Цель работы - получение обобщения теоремы Лефшеца на случай отображений в общем случае некомпактных неориентируемых многообразий с краем, получение обощений формул для эйлеровой характеристики на случай отображений в себя расслоений, в том числе и с непостоянным, вообще говоря, пучком Лере, выделение класса размерно полноценных пространтсв, называемых обобщенными полиэдрами.

Douady A, Application de la suite spectrale des espace bres. - Sem. Cartan(1958/59)Exp.3.

Snyder D. F. Lefshetz number for sheaf-trivial proper surjections. - Top. and. its appl., 2003, 128, p.

239-246.

Nakaoka M. Coincidence Lefshetz numbers for bre preserving maps. - J. Math. Soc. Japan, 1980, 32, p. 751-779.

Dyer E. On the dimention of products. - Fund. math., 1959, 47, №2, P.141-160.

Borsuk K. Opening of the Conference on Geometric Topology: in proceedings of the International Conference on Geometric Topology. Warszawa : PWN. 1980. P.12-14.

Дранишников А.Н. О размерности произведения AN R-компактов.- ДАН СССР, 1988, 300, №5, С.1045-1049.

Харлап А.Э. Локальные гомологии и когомологии, гомологическая размерность и обощенные многообразия. - Мат. сб., 1975 96(138), №3, С.347-373.

Скляренко Е.Г. О гомологических умножениях. - Изв. РАН, Сер. мат., 1997, 61, №1, С.157-176.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Теорема Лефшеца о числе совпадений доказана для случая отображений вообще говоря некомпактных, неориентируемых многообразий одной и той же размерности, имеющих края. Предполагается, что одно из отображений компактно, другое собственно и ориентируемо, причем одно из отображений сохраняет края.

2. Для послойных отображений в себя расслоений с постоянным пучком Лере или с локально постоянным пучком Лере, при условии, что отображение базы тождественно, доказано равенство числа Лефшеца неподвижных точек отображения тотального пространства и произведения числа Лефшеца отображения базы и числа, которое можно интерпретировать как число Лефшеца отображений слоев. В случае локально постоянного пучка Лере и нетождественного отображения в базе приведена формула для числа Лефшеца отображения тотального пространства, обобщающая упоминавшуюся выше мультипликативную формулу.

3. Выделен с помощью локальных гомологических условий класс размерно полноценных пространств. Показана нетривиальность этих условий. Сравнивается класс обобщенных многообразий и обобщенных полиэдров.

Методы исследования.

В работе используются методы алгебраической топологии. При доказательстве теоремы Лефшеца важную роль играют методы, развитые Давидяном для случая некомпактных многообразий. В связи с неориентируемостью многообразий широко используются гомологии и когомологии с коэффициентами в ориентирующих пучках многообразий. При исследование числа Лефшеца отображения расслоений основным методом является использование спектральной последовательности Лере. При исследовании пространств на размерную полноценность используются локальные группы гомологий и когомологий.

Теоретическая и практическая научная ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаы многут быть использованы в гомологической теории неподвижных точек и точек совпадения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

1. На семинаре "Теория гомологий"под руководством проф. Е.Г. Скляренко на механико-математическом факультете МГУ неоднократно в 2004-2006 годах.

2. На кафедральном семинаре "Алгебраическая топология и ее приложения" под руководством чл.-корр. РАН В.М.Бухштабера, проф. А.В.Чернавского, проф. И.А.Дынникова, доц. Л.А.Алания, доц. В.М.Миллионщикова, доц. Т.Е.Панова на механико-математичском факультете МГУ в 3. На семинаре "Некоммутативная геометрия" под руководством проф.

А.С.Мищенко, проф. И.К.Бабенко, проф. Е.В.Троицкого, проф.

В.М.Мануйлова, доц. А.А.Ирматова на механико-математическом факультете МГУ в 2008 году.

4. На конференции "Александровские чтения" в июне 2006 года.

5. На конференции "Ломоносовские чтения" в апреле 2008 года.

6. На семинаре "K-theory and related topics" университета г. Билефельда (Германия) в 2007 году.

Публикации.

Результаты опубликованы 2-x работах автора, список которых приводится в конце автореферета [1-2].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, десяти глав, списка литературы. Список включает 44 наименования. Объем диссертации - 79 страницы.

Краткое содержание работы.

Во введении делается обзор различных вариантов теоремы Лефшеца о числе совпадений двух отображений, а также соотношений, обобщающих формулу для эйлеровой характеристики расслоений.

В главе 1 формулируются основные результаты работы, касающиеся теоремы Лефшеца о числе совпадений. Предполагается, что имеются два n-мерных многообразия M, N, возможно неориентируемые, некомпактные, имеющие края. Предполагается, что имеются два отображения f, g из M в N, f - компактно (т.е. замыкание образа компактно), g - собственно (т.е.

прообраз компактного множества компактен), ориентируемо (т.е. обратный образ оринетирующего пучка N - ориентирующий пучок M ). Предполагается, что либо f, либо g сохраняет края.

В обоих случаях определяется число Лефшеца совпадений. Фиксируется поле коэффициентов R.

Пусть сперва g(M ) N. Определим отображение q пространства H (N ; R) в себя как следующую композицию: H q (N ; R) f H q (M ; R) =D Hnq (M, M ; Hn (M )) g Hnq (N, N ; Hn (N )) =D H q (N ; R). Здесь D двойственность Пуанкаре. Доказывается, что, так как f компактно, образ q конечномерен. Поэтому определен след Spq этого отображения. Определим число Лефшеца равенством f,g = q (1)q Spq.

Если же f (M ) N, то действуем так. Определим отображение q группы H q (N, N ; R) в себя как следующую композицию: H q (N, N ; R) f H q (M, M ; R) =D Hnq (M ; Hn (M )) g Hnq (N ; Hn (N )) =D H q (N, N ; R).

Опять доказывается, что, так как f компактно, образ данного отображения конечномерен. Положим f,g = q (1)q Spq.

Tеорема 1. Если g(M ) N и f,g = 0, то отображения f, g имеют точку совпадения.

Tеорема 2. Если f (M ) N и f,g = 0, то f, g имеют точку сопадения.

Пусть теперь одновременно f (M ) N, g(M ) N. Обозначим как f, g отображения M N, являющиеся ограничениями на M отображений f, g. Так как многообразия M, N не имеют края, то для них оба определения числа Лефшеца отображений f, g совпадают. Соответствующее число Лефшеца обозначим как f,g.

Tеорема 3. Если f (M ) N, g(M ) N, то f,g f,g = f,g.

Во второй главе делается редукция теоремы 1 к теореме 2, доказывается теорема 3.

В третьей главе определяется индекс совпадения. Делается это следующим образом.

Прежде всего строится класс H n (N intN, (N intN ) ((N intN ) \ ); RHn (N )). Через обозначена диагональ в N N.

Пусть int - образующий в группе H n (intN intN, (intN intN ) \ ; RHn (N )) = H n (intN intN, (intN intN ) \ ; Hn (N )R), отвечающий единице в R = Hn (intN ; Hn (N )).

Рассмотрим вложения пар: (intN intN, (intN intN ) \ ) (N intN, (N intN ) ((N intN ) \ )) (N N, (N N ) \ ). Композиция этих вложений индуцирует изоморфизм H n (intN intN, (intN intN ) \ Пусть - элемент группы H n (N intN, (N intN ) ((N intN ) \ ); RHn (M )), соответсвующий int при индуцированных включениями гомоморфизмах когомологий.

Проверяется, что без ограничения общности при доказательстве теоремы 2, мы можем предполагать, что g(M ) intM.

Пусть C = {x M : f (x) = g(x)} - множество точек совпадения. Оно компактно. Для компактного K M рассмотрим d : (M, (M \K)M ) (M M, (M M ) ((M M ) \ d(K))). Соответсвующее отображение гомологий будет обозначаться как d : H (M, (M \ K) M ; Hn (M )) то определено отображение (f g) : H (M M, (M M ) ((M M ) \ d(K)); RHn (M )) Hn (N intN, (N intN ) ((N intN ) \ ); RHn (N )). Пусть µ Hn (M, M ; Hn (M )) - фундаментальный класс, а µC Hn (M, (M \ C) M ; Hn (M )) - образ µ при ограничении в эту группу. Тогда имеется класс (f g) d µC Hn (N intN, (N intN ) ((N intN ) \ ); RHn (N )) Далее определяются умножения для сингулярных гомологий и когомологий с локально постоянными коэффициентами.

Для пар (X, A), (Y, B) с локально постоянными коэффициентами A, B на них, для которых пара {X B, AY } подпространств в X Y вырезаема для сингулярных гомологий с коэффициентами AB, определяются деc картовы произведения классов гомологий и когомлогий : Hp (X, A; A) Наконец в случае, если пара {A1, A2 } вырезаема для сингулярных гомологий с коэффициентами в B, то мы так же, как и в случае постоянных коэфффициентов, получаем отображение : H q (X, A1 ; A) Hn (X, A A2 ; B) Hnq (X, A2 ; A B).

Определется индекс Кронекера: H p (X, A1 ; A) Hp (X, A1 ; A) H0 (X) = R (т.к. пара {A1, } вырезаема).

Индекс совпадения определяется так: If,g =<, (f g) d (µC ) >.

Теорема 2 вытекает из следующего утверждения:

Tеорема 4. Если f (M ) N, g(N ) intM, то f,g = If,g.

Действительно, если C =, то группа Hn (M, (M \C)M ; Hn (M )) нулевая, поэтому и элемент µC в этом случае нулевой. Следовательно, If,g = 0.

Кроме того замечается, что вместо C может быть использовано любое компактное подмножество K M, содержащее C.

В четвертой главе доказывается теорема 4. Схема доказательства заключается в следующем.

Подготовительный этап включает следующее. Если пара {X B, A Y } вырезаема с коэффициентами AB, то определяется произведение / :

H n ((X, A)(Y, B); AB)Hnq (Y, B; B) H q (X, A; A). Оно применяется в случае, когда (X, A) = (L, BL), A = R, (Y, B) = (N, N \ L1 ), B = Hn (N ).

Здесь L и BL - следующие множества.

Пусть V есть замкнутая окрестность N, гомеоморфная N [0, 1].

Пусть L - компактное подмножество N, такое что [f (M )] intL и V L имеет вид BL[0, 1] для некоторого компактного подмножества BL N.

Пусть L1 - также компактное подмножество N, такое что V L имеет вид BL1 [0, 1] для некоторого замкнутого подмножества BL1 N, и при этом L intL1.

Определяется класс L H n ((L, BL)(N, N \L1 ); RHn (N )) H n ((L, BL) (intN, intN \ L1 ); RHn (N )) как образ определенного выше класса при гомоморфизме, определяемом вложением (L, BL) (intN, intN \ L1 ) = (L intN, (BL intN ) (L (intN \ L1 )) (N intN, (N intN ) H q (L, BL; R), bnq H nq (N, N \L1 ; Hn (N )) (т.к. для произведения некомпактных пар формула Кюннета, вообще говоря, места не имеет, то этот факт нуждается в отдельном доказательстве).

Непосредственно доказательство происходит так. Доказывается, что число Лефшеца, определенное как q (1)q Spq, где q есть отображение в себя пространства H q (N, N ; R), совпадает с числом q (1)q Sp q,где q :

H q (L, BL; R) f H q (M, M ; R) =D Hnq (M ; Hn (M )) g Hnq (N ; Hn (N )) =D H q (N, N ; R) H q (L, BL; R). После этого доказывается, что отображение (1)nq q совпадает с композицией:

Hnq (N, N \ L1 ; Hn (N )) L / H q (L, BL; R).

Здесь K - следующее множество. Пусть U есть окрестность M, гомеоморфная M [0, 1]. Пусть K - компактное подмножество M, такое что U K имеет вид BK [0, 1] для некоторого компактного подмножества BK M, и при этом g 1 (L1 ) intK.

После этого специальным образом выбираются базисы в группах H (L, BL; R), H q (M, M ; R), Hnq (M, M \K; Hn (M )), Hnq (N, N \L1 ; Hn (N )).

Все отображения задаются матрицам в этих базисах. При этом для описания матрицы отображения L / используется полученное выше представление класса L. После этого (1)nq Spq выражается через элементы этих матриц, соответвенно мы получаем выражение для числа Лефшеца через элементы этих матриц.

После этого находится аналогичное выражение для индекса совпадений.

Отображение пар (f g)d : (M, (M \ K) M ) (N intN, (N intN ) (N intN \ )) представляется как композиция: (M, (M \ K) M ) d1 ((M, M ) (M, M \ K)) f g ((L, BL) (intN, intN \ L1 )) l (N intN, (N intN )(N intN \)), где d1 индуцировано диагональным вложением M M M. Тогда после элементарных выкладок получаем равенство If,g =<, (f g) d µK >=< d (f g) (L ), µK >. Выясняется, что такое представление If,g может быть выражено через элементы введенных ранее матриц и выражения для класса L. Таким образом, мы получим выражение для If,g через элементы тех же матриц, которые участвовали в выражении для f,g. Сравнив эти два выражения, мы видим, что они равны. Этим доказывается теорема.

В пятой главе рассматриваются другие способы определения числа Лефшеца.

Если g(M ) N, рассмотрим отображения ( при этом p = n q):

1. p - отображение H p (M, M, Hn (N )) в себя, равное DM f DN g 2. q - композиция Hq (M ; R) f Hq (N ; R) =DN Hc (N, N ; Hn (N )) gc Hc (M, M ; Hn (M )) =DM Hq (M ; R). То есть q - отображение Hq (M ; R) в себя, равное DM gc DN f 3. p - отображение Hc (N, N ; Hn (N )) в себя, равное DN f DM gc Доказывается, что следых этих отображений существуют и равны следу Spq. Из этого следует, что с помощью этих отображений также может быть определено число Лефшеца, совпадающее с изначальным с точностью до знака.

Если f (M ) N, то новые гомоморфизмы определяются так:

1. p - отображение Hp (M, Hn (M )) в себя, равное DM f DN g 2. q - композиция Hq (M, M ; R) f Hq (N, N ; R) =DN Hc (N ; Hn (N )) gc Hc (M ; Hn (M )) =DM Hq (M, M ; R). То есть q - отображение Hq (M, M ; R) в себя, равное DM gc DN f 3. p - отображение Hc (N ; Hn (N )) в себя, равное DN f DM gc В шестой главе рассматривается следующая задача.

Пусть f : E X - отображение компактных конечномерных связных clc-пространств, для которого пучок Лере локально постоянен. Пусть имеются также отображения g : E E и g1 : X X, для которых коммутативна диаграмма Возьмем произвольную точку x X. Как известно, в рассматриваемых условиях слой H (f )x изоморфен H (f 1 (x)). Под действием g слой f 1 (x) отображается в слой f 1 (g1 (x)), значит, имеется отображение когомологий:

g1 : H (f 1 (g1 (x))) H (f 1 (x)). В силу постоянства пучка H (f ) имеется канонический изоморфизм когомологий H (f 1 (x)) H (f 1 (g1 (x))), поэтому определено отображение H (f 1 (x)) H (f 1 (x)). Число Лефшеца этого отображения обозначим как x. Данное число естественно интерпретировать как число Лефшеца для отображений слоев. Доказывается, что данное число не зависит от x и для чисел Лефшеца отображений g и g имеет место равенство (g) = · (g1 ), где - число x, не зависящее от x.

В случае, когда пучок Лере локально постоянен, а база X - конечный клеточный комплекс, также доказывается, что число Лефшеца отображений слоев (на этот раз оно существует в непосредственном смысле) не зависит от слоя и верна формула (g) = · (X). Здесь - число Лефшеца отображений слоев.

В седьмой главе рассматривается случай, когда пучок Лере локально постоянен. Приводится пример, когда в случае непостоянного пучка Лере числа Лефшеца отображений в себя слоев над неподвижными точками могут быть неравными.

Предположим, что g1 : X X - клеточное отображение конечного CW комплекса X. Пусть, кроме того, клетки X настолько малы, что ограничения пучков H (f ) |g1 (), H (f ) | постоянны для всех клеток клеточного комплекса X.

При этих условиях для (g) выводится некоторое соотношение, имеющее своим следствием (в случае постоянного H (f )) формулу из теоремы 1.

Занумеруем индексом i все клетки X, вне зависимости от их размерности. Клетки будем обозначать как p, где верхний индекс означает разi мерность. Множество индексов, отвечающих p-мерным клеткам, обозначим как Ip.

Сначала определим число i. Имеется индуцированное g отображение клеточных коцепей g : C p (X) C p (X). Имеется коцепь (p, 1), принимаi ющая значение 1 на клетке p и ноль на остальных клетках. Всевозможные коцепи вида (i, 1), где i Ip, образуют базис C p (X). Пусть g1 (p, 1) = i = 0.

Иначе говоря, i есть алгебраическая кратность, с которой p себя наp крывает при отображении g1.

Определим теперь числа i. Пусть i таково, что p g1 (p ). Пусть x i. Так как i g1 (i ) и так как ограничение пучка H (f ) на g1 (p ) постоянно, то мы можем канонически отождествить когомологии слоев f 1 (x) и f 1 (g1 (x)). Поэтому определено число Лефшеца i,x отображения слоя f 1 (x) в слой f 1 (g1 (x)). Устанавливается, что оно не зависит от x. Обозначим это число как i. Считаем, что i = 0, если p не содерi жится в g1 (p ). i Доказывается, что в рассматриваемых условиях верна формула: (g) = p (1) iIp i. При этом i есть алгебраическая кратность, с которой клетка p накрывает себя посредством g1, а i есть число Лефшеца отображения в себя слоя над клеткой p. i В случае постоянного пучка Лере все числа i равны между собой, и из полученной формулы следует соотношение из теоремы 5.

В случае же, когда g1 = id и i = для всех i (см. предложение 18), полученная формула дает соотношение из теоремы 6.

В восьмой главе показывается, что пространства с конечнопорожденными гомологиями над R = Z тогда и только тогда размерно полноценны, когда их локальные гомологии в старшей размерности не имеют кручения (теорема 7). Естественно называть такие пространства гомологическими или обощенными полиэдрами. В девятой главе устанавливается наличие компактов с конечнопорожденными локальными гомологиями (тем самым одновременно гомологически и периферическими гомологически локально связных над Z), для размерности произведений которых логарифмический закон не имеет места. Строящийся пример является модификацией конструкции, использовавшейся Дранишниковым для построения контпримера к гипотезам Дайера и Борсука. В десятой главе обсуждается сложность по сравнению с обобщенными многогобразиями локального устройства обощ нных полиэдров. Именно, в предложении 4 приводится пример гомологического полиэдра, такого что на всюду плотном множестве локальные гомологии в наибольшей размерности обращаются в ноль.

Благодарности.

В заключении хочу выразить благодарность своему научному руководителю, профессору Е.Г. Скляренко, за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии за доброжелательную и творческую атмосферу.

Список работ по теме диссертации.

1. Д.В. Артамонов. Локальные гомологии и размерная полноценность. Мат. заметки. - 2007, т. 81 вып. 5, С. 643-659.

2. Д.В. Артамонов. Числа Лефшеца для отображений расслоенных пространств. - Мат. заметки. - 2008, т. 84 вып 5, С. 643-657.





Похожие работы:

«МЕРЕНКОВА ОЛЬГА НИКОЛАЕВНА БАНГЛАДЕШЦЫ В ВЕЛИКОБРИТАНИИ: СОЦИОКУЛЬТУРНАЯ АДАПТАЦИЯ И ПОИСК ИДЕНТИЧНОСТИ Специальность – 07.00.07 – этнография, этнология, антропология Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата исторических наук Санкт-Петербург 2014 Работа выполнена в Отделе этнографии Южной и Юго-Западной Азии Музея антропологии и этнографии имени Петра Великого (Кунсткамера) Российской Академии Наук Научный руководитель : доктор исторических наук старший...»

«Каракулова Ольга Викторовна ЛИЧНОСТНАЯ ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ СКЛОННОСТИ К МАНИПУЛИРОВАНИЮ ОКРУЖАЮЩИМИ ЛЮДЬМИ В ЮНОШЕСКОМ ВОЗРАСТЕ 19.00.13 – психология развития, акмеология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата психологических наук Томск 2008 2 Работа выполнена на кафедре генетической и клинической психологии Томского государственного университета Научный руководитель : Богомаз Сергей Александрович, доктор психологических наук, профессор Официальные...»

«ЗИМИНА ЕЛЕНА ЮРЬЕВНА ТИПОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВНУТРИФИРМЕННОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ: УПРАВЛЕНЧЕСКИЙ АСПЕКТ 22.00.08. Социология управления Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата социологических наук Новосибирск, 2009 Работа выполнена в ГОУ ВПО Новосибирский государственный университет экономики и управления – НИНХ. доктор экономических наук, профессор Научный руководитель заслуженный деятель науки РФ Удальцова Мария Васильевна доктор философских...»

«ЧЕРВА ЮРИЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ ПРОБЛЕМЫ КОНТРКУЛЬТУРЫ В ЗАПАДНОЙ ЦИВИЛИЗАЦИИ Специальность 24.00.01 — теория и история культуры АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата культурологии Санкт-Петербург 2002 Работа выполнена на кафедре художественной культуры Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена Научный руководитель : доктор философских наук, профессор М.С. Каган Официальные оппоненты : доктор философских наук, профессор В. М....»

«Грицевич Андрей Валерьевич Некоторые новые эффекты структурной и пространственной неоднородности в полимерных системах Специальность 02.00.06 – Высокомолекулярные соединения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2008 www.sp-department.ru Работа выполнена на кафедре физики полимеров и кристаллов физического факультета Московского...»

«Дунаева Мария Андреевна ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА УСИЛИТЕЛЕЙ СЧИТЫВАНИЯ С ПОВЫШЕННОЙ УСТОЙЧИВОСТЬЮ К ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ РАЗБРОСУ ПАРАМЕТРОВ ТРАНЗИСТОРОВ 05.13.05 Элементы и устройства вычислительной техники и систем управления АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2010 Работа выполнена в филиале фирмы Самсунг Электроникс Ко.Лтд. Научный руководитель : кандидат технических наук, старший научный сотрудник...»

«Гультяев Вадим Иванович ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Тверь 2012 1 Работа выполнена в ГОБУ ВПО Тверской государственный технический университет. Научный консультант Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Зубчанинов Владимир Георгиевич Официальные...»

«Козлова Лидия Владимировна КЛИНИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ ГЛИКОЗАМИНОГЛИКАНОВ У БОЛЬНЫХ С ГЕМОДИНАМИЧЕСКИ ЗНАЧИМЫМ АТЕРОСКЛЕРОЗОМ НА ФОНЕ ДИАБЕТИЧЕСКОЙ НЕФРОПАТИИ 14.01.04 – внутренние болезни АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Воронеж – 2012 Работа выполнена в Государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Воронежская государственная медицинская академия имени Н.Н. Бурденко...»

«Оплетин Анатолий Александрович Педагогическая технология социально-нравственное саморазвитие личности учащихся колледжа (на материале физического воспитания) 13.00.01 - общая педагогика, история педагогики и образования Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Пермь 2005 Работа выполнена на кафедре педагогики Пермского государственного педагогического университета Научный руководитель : доктор педагогических наук, профессор Новосёлова...»

«СЫЧЕВ АРТЕМ МИХАЙЛОВИЧ ОБОСНОВАНИЕ ТРЕБОВАНИЙ К МЕЖСЕТЕВЫМ ЭКРАНАМ И СИСТЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТЬЮ В РАСПРЕДЕЛЕНННЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ Специальность 05.13.19 – Методы и системы защиты информации, информационная безопасность Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Санкт - Петербург, 2002 г. 2 Работа выполнена на кафедре Информационная безопасность компьютерных систем Санкт – Петербургского Государственного Технического...»

«ВЕРЕТЕХИНА Светлана Валерьевна МЕТОДИКА РАЗРАБОТКИ ИНТЕРАКТИВНОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ЭКСПЛУАТАЦИОННОЙ ДОКУМЕНТАЦИИ ДЛЯ НАУКОЁМКИХ ИЗДЕЛИЙ ОТРАСЛИ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ по специальностям: 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям и сферам деятельности в т.ч. связь и информатизация). 08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики; АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва – 2008 1 Работа выполнена в...»

«Дроздов Руслан Николаевич МЕЖДУНАРОДНО-ПРАВОВЫЕ ФОРМЫ СОТРУДНИЧЕСТВА СОВЕТА ЕВРОПЫ И ЕВРОПЕЙСКОГО СОЮЗА Специальность 12.00.10 — Международное право. Европейское право АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата юридических наук Москва — 2010 Диссертация выполнена на кафедре международного права Российского университета дружбы народов Научный руководитель : – доктор юридических наук, профессор, Абашидзе Аслан Хусейнович Официальные оппоненты : – доктор...»

«ПУЗАЧЕНКО МИХАИЛ ЮРЬЕВИЧ МУЛЬТИФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ЛАНДШАФТНЫЙ АНАЛИЗ ЮГО-ЗАПАДА ВАЛДАЙСКОЙ ВОЗВЫШЕННОСТИ Специальность 25.00.23 - физическая география и биогеография, география почв и геохимия ландшафтов АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата географических наук МОСКВА - 2009 Работа выполнена в отделе физической географии и проблем природопользования Института географии РАН Научный руководитель : член-корреспондент РАН, доктор географических наук, профессор...»

«ИГНАТОВ Антон Игоревич ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ И МЕЗОСКОПИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУРАХ 01.04.13 – электрофизика, электрофизические установки Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2011 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте теоретической и прикладной электродинамики РАН. Научный руководитель : кандидат физико-математических наук, старший научный...»

«УДК 378.016:811.111 Шишковская Юлия Владимировна ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ НА ОСНОВЕ ИНТЕРНЕТ 2.0 В УСЛОВИЯХ ИНФОРМАЦИОННО-ОБУЧАЮЩЕЙ СРЕДЫ (иностранный язык, технический вуз) 13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (иностранные языки; уровень высшего профессионального образования) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук Пятигорск – 2013 Работа выполнена на кафедре иностранных языков Энергетического...»

«СЕМЫКИНА ОЛЬГА ФИЛИППОВНА ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ КАК СОВОКУПНОСТЬ РЕСУРСОВ ФУНКЦИОНИРУЮЩЕГО ПРЕДПРИЯТИЯ Специальность 08.00.01. - Экономическая теория АВТОРЕФЕРАТ Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук Томск – 2007 Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Томский государственный университет на кафедре политической экономии Научный руководитель : доктор экономических наук, профессор...»

«МЕРКУЛОВ СЕРГЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ ЛЕКАРСТВЕННО-ИНДУЦИРОВАННЫЕ ПОРАЖЕНИЯ ПЕЧЕНИ У БОЛЬНЫХ ТУБЕРКУЛЕЗОМ ЛЕГКИХ: ОПТИМИЗАЦИЯ ЛЕЧЕНИЯ И ПРОФИЛАКТИКИ 14.03.06 – фармакология, клиническая фармакология Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Волгоград – 2014 2 Работа выполнена в Государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Волгоградский государственный медицинский университет Министерства здравоохранения...»

«БОЛЬШАКОВА АЛЕКСАНДРА НИКОЛАЕВНА ПОЛУЧЕНИЕ И ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ ПОЛИМЕРНЫХ МЕМБРАН, СОДЕРЖАЩИХ НАНОЧАСТИЦЫ ПЛАТИНЫ, ПАЛЛАДИЯ, ЖЕЛЕЗА И СЕРЕБРА специальность 02.00.04 – физическая химия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Москва – 2011 Работа выполнена на кафедре физической химии им. Я.К. Сыркина Московского государственного университета тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова (МИТХТ)....»

«УДК 517.982.256 515.124.4 Беднов Борислав Борисович КРАТЧАЙШИЕ СЕТИ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Специальность 01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2014 Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского...»

«ДЕХАНОВ Сергей Александрович АДВОКАТУРА В ЗАПАДНОЙ ЕВРОПЕ: ОПЫТ И СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ Специальность 12.00.11 – Судебная власть; прокурорский надзор; организация правоохранительной деятельности АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора юридических наук Москва - 2010 Работа выполнена на кафедре конституционного и муниципального права ГОУ ВПО Российский университет дружбы народов. Официальные оппоненты : доктор юридических наук, профессор Шамба Тарас...»








 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.