WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В.ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 511.235.1

Глибичук Алексей Анатольевич

СВОЙСТВА СУММ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ ПОДМНОЖЕСТВ

ПРОИЗВОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ПОЛЯ

01.01.06 - математическая логика, высшая алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления Механико-Математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Сергей Владимирович Конягин

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, профессор Сергей Александрович Степанов кандидат физико–математических наук, старший научный сотрудник Максим Александрович Королёв

Ведущая организация: Хабаровское отделение института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится 17 апреля 2009 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 30 марта 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А. О. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Задачи, рассматриваемые в диссертации, относятся к быстро развивающемуся в настоящее время разделу математики аддитивной комбинаторике. Большое количество результатов, полученных в этой области, обусловлено разнообразием методов, используемых при их изучении. Вопросы, исследуемые в работе, так или иначе связаны с обобщением проблемы Варинга для конечных полей и с задачами изучения роста суммы и произведения подмножеств в этих полях.

Гипотеза, называемая сейчас проблемой Варинга, была высказана им в 1770 г. Она формулируется так: доказать, что для любого натурального n существует число s(n) с тем свойством, что всякое натуральное число представимо в виде суммы n-х степеней натуральных чисел, причем количество слагаемых не превосходит s(n). Многие математики занимались этой проблемой и задачами, с нею связанными. Среди обширной литературы, посвященной проблеме Варинга и ее обобщениям, следует упомянуть работы Д.Гильберта1, Ю.В. Линника2, Л. Диксона3, С. Пиллаи4,Г. Харди и Д. Литтлвуда5, И.М. Виноградова6, А.А. Карацубы7, Р. Вона8 и Т. Вули9. Методы, предложенные в этих работах, зачастую использовались в других задачах и легли в основание новых математических теорий.

Определение 1. Рассмотрим произвольное полукольцо R. Множество A R является базисом R порядка k N, если каждый элемент x R представим в виде x1 + x2 +... + xk = x, где x1, x2,..., xk A, но существует такой элемент x0 R, что x1 + x2 +... + xk1 = x0 для любых x1, x2,..., xk1 A.

Таким образом, проблема Варинга может быть переформулирована следующим образом: для любого натурального n найдется такое число s(n), что множество n-х степеней целых неотрицательных чисел образует базис порядка, не превосходящего s(n), в полукольце целых неотрицательных чисел.

Д. Гильберт, Избранные труды в двух томах, 1998, Москва, Факториал, с. 312 328.

Ю.В. Линник, Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана, Матем. сб., т.

12(54), 1943, вып. 2, стр. L.E. Dickson, Researches on Waring’s problem, Carnegie Inst. of Washington Publications, vol. 464, 1936.

S. Pillai, On Waring’s problem, Journal of Indian Math. Soc., ser. 2, vol. 2, 1937, pp. 213 214.

G.H. Hardy, J.E. Littlewood, A new solution of Waring’s problem, Q.J. Math., vol. 48, 1919, pp. 293.

И.М. Виноградов, К вопросу о верхней границе для G(n), Изв. РАН СССР, сер. матем., т. 23, 1959, вып. 5, стр. 637 642.

А.А. Карацуба, О функции G(n) в проблеме Варинга, Изв. АН СССР. Сер. матем., т. 49, 1985, вып.

5, стр. 935 -947.

Р. Вон, Метод Харди-Литтлвуда, Москва, Мир, 1985.

T. D. Wooley, Large improvements in Waring’s problem, Ann. of Math., vol. 135, 1992, no. 1, pp. 131 164.

Если Fq поле порядка q, то множество n-х степеней ненулевых элеq ментов Fq образует подгруппу порядка (q1,n) мультипликативной группы F поля. Поэтому для оценки числа слагаемых в проблеме Варинга достаточно оценить порядок базисности подгруппы H F. Такие оценки хорошо изq вестны, если |H| существенно больше q. Используя метод С. А. Степанова можно получить нетривиальные оценки тригонометрических сумм11 по подгруппам F для простого p и вывести из них нетривиальные оценки порядка базисности этой подгруппы, если ее мощность существенно больше p 4. Известна также задача исследования базисных свойств подмножеств конечных полей, более общих, чем подгруппы, а именно, множеств последовательных степеней фиксированного элемента поля. Известно, что в поле Fp для фиксированных k N и > 0 случайно сгенерированное множество мощности > p k + является базисом порядка k с большой вероятностью (стремящейся к 1 при p ). А.А. Карацуба строит конструктивные примеры базисов мощности, близкой к оптимальной, в кольце вычетов по модулю степени простого числа.



Недавний прогресс в исследовании базисных свойств относительно небольших специфических подмножеств конечных полей связан с появлением оценок сумм и произведений подмножеств таких полей. Вначале аналогичные оценки рассматривались для конечных подмножеств множества натуральных и действительных чисел.

Если A и B подмножества конечного поля, то можно рассмотреть две операции: сложение A + B := {a + b : a A, b B} и умножение A · B = A · B := {ab : a A, b B}. Определим для некоторого k N и множества A его кратную сумму kA = A + A... + A и k-ю степень этоk го подмножества A = A · A ·... · A. Гипотеза П. Эрдеша и Э. Семереди утверждает, что для любого конечного непустого подмножества A N и С. А. Степанов, О числе точек гиперэллиптической кривой над простым конечным полем, Известия РАН СССР.Серия математическая, т. 33, 1969, стр. 1171 1181.

С. В. Конягин, Оценки тригонометрических сумм по подгруппам и суммы Гаусса, IV международная конференция Современные проблемы теории чисел их приложения.Актуальные проблемы.Часть III, стр. 86 114.

И.Д. Шкредов, О некоторых аддитивных задачах, связанных с показательной функцией, Успехи мат. наук., т. 58., вып. 4, 2003, стр. 165 166.

Z. Rudnick, A. Zaharescu, The distribution of spaces between small powers of a primitive root, Israel Journal of Math., vol. 120, 2000, pp. 271 287.

M. Vjitu, A. Zaharescu, Dierences between powers of a primitive root, International Journal of Mathematical Sciences, vol. 29, 2002, pp. 325 331.

А.А. Карацуба, Правильные множества по заданному модулю, Acta Matem. Et. Informat., Univ.

Ostraviensis, 1998, v. 6, p. 129 -134.

P. Erds, E. Szemerdi, On sums and products of integers, Studies in Pure Mathematics, Birkhauser, Basel, 1983, pp. 213 218.

произвольного действительного числа > 0 верно неравенство:

В той же работе доказано, что max{|A · A|, |A + A|} некоторого > 0. Позже была получена версия последнего неравенства с точными константами, которые в ряде работ последовательно улучшались.

Наилучшая в настоящий момент оценка доказана И. Шолумоши15. Она имеA| 3, где > ет вид: max{|A · A|, |A + A|} произвольное действительное число, и верна также для конечных подмножеств множества комплексных чисел. Аналогичных теорем для конечных колец не было до работы Ж. Бургена, Н. Катца и Т. Тао16, которые показали, что, если A подмножество поля порядка p для некоторого простого p, удовлетворяющее условию p < |A| < p1, где > 0 произвольное действительное число, то max{|A · A|, |A + A|} > c|A|1+, причем константы c и зависят только от.

Затем Ж. Бурген и С. В. Конягин17 (вторая работа выполнена в соавторстве с диссертантом) получили аналогичную оценку, предполагая, что A удовлетворяет более слабому условию: |A| < p1 для некоторого действительного > 0. Из результата этих статей вытекает, что порядок базисности мультипликативной подгруппы H F, |H| > p, ограничена сверху величиной, зависящей только от. Аналогичные вопросы для подгрупп произвольных конечных полей оставались открытыми.

В ряде работ Ж. Бургена18 получены обобщения теоремы о суммах и произведениях подмножеств и найдены многочисленные приложения этих результатов к задачам оценивания модулей различных тригонометрических сумм, проблемам p - адической теории, алгебраической теории чисел, криптографии и другим разделам математики. Х. Хельфготт19 использует неравенства на суммы и произведения подмножеств для получения оценок на диаметр графа Кэли. Оценки на в неравенстве для сумм и произведений J. Solymosi, Bounding multiplicative energy by the sumset, arXiv:0806. 1040v3, math.CO.

J. Bourgain, N. Katz, T. Tao, A sum-product estimate in nite elds and their applications, Geom and Funct. Anal., vol. 14, 2004, pp. 27 57.

J. Bourgain, S.V. Konyagin, Estimates for the number of sums and products and for exponential sums over subgroups in elds of prime order, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, vol. 337, 2003, no. 2, pp. 75–80.

J. Bourgain, A. Glibichuk, S. Konyagin, Estimates for the number of sums and products and for exponential sums in elds of prime order, Journal of London Math. Society, vol. 73, N.2, 2006, pp. 380 398.

J. Bourgain, Multilinear exponential sums in prime elds under optimal entropy conditions on the sources, to appear in Geom and Funct. Anal.

J. Bourgain, Mordell’s exponential sum estimate revisited, J. Amer. Math. Soc., vol. 18, 2005, pp. 477 499.

J. Bourgain, More on the sum-product phenomenon in prime elds and its applications, International Journal of Number Theory, vol. 1, no. 1, 2005, pp. 1 32.

J. Bourgain, Estimates on exponential sums related to the Die-Hellman distributions, GAFA, vol. 15, 2005, pp. 1 34.

H.A. Helfgott, Growth and generation in SL2 (Z/pZ), Annals of Mathematics, ser. 2, vol. 167, no. 2, 2008, pp. 601 - 623.

были улучшены в работах Гараева20, Катца и Шена21.

Методы, разработанные в статье Ж. Бургена, Н. Катца и Т. Тао, выявляют взаимосвязь проблемы Эрдеша-Семереди для конечных полей с задачей о базисных свойствах множества произведений ограниченного количества элементов подмножества A конечного поля. Последняя задача является основным объектом исследования настоящей работы. Если Fp поле простого порядка p и A его подмножество, удовлетворяющее условию |A| > p 2 +, > 0, то из классических оценок тригонометрических сумм22 нетрудно получить, что множество попарных произведений элементов множества A образует базис, порядок которого не превосходит некоторого числа, зависящего только от. Если же множество A имеет меньшую мощность, то для исследования базисных свойств множеств A · A, A · A · A,... приходится использовать методы и результаты работ, связанных с суммами и произведениями подмножеств конечных полей. Данная работа продолжает упомянутые исследования.

Цель работы.

Цель настоящей работы исследовать базисные свойства множества произведений ограниченного количества элементов из подмножества конечного поля при минимальных ограничениях на его мощность и структуру, и в частности, множества последовательных степеней фиксированного элемента.

Научная новизна.

В диссертации решены следующие новые задачи:

1. Доказано, что любой элемент конечного поля представим в виде суммы не более 16 слагаемых из произведения двух больших подмножеств 2. Доказано, что в поле Fp, где p простое число, произведение произвольного количества множеств при минимальном ограничении на их мощность является базисом ограниченного порядка.

M. Z. Garaev, The sum-product estimate for large subsets of prime elds, Proc. Amer. Math. Soc., vol.

136, no. 8, 2008, pp. 2735–2739.

M. Z. Garaev, An explicit sum-product estimate in Fp for subsets of incomparable sizes, The Electronic Journal of Combinatorics, vol. 15, 2008, #R 58.

M. Z. Garaev, An explicit sum-product estimate in Fp, Int. Math. Res. Not. IMRN, no. 11, Art. ID rnm035, 2007, 11 pp.

N. H. Katz, Ch.-Y. Shen, A slight improvement to Garaev’s sum product estimate, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 136, no. 7, 2008, pp. 2499–2504.

N. H. Katz, Ch.-Y. Shen, Garaev’s inequality in nite elds not of prime order, Online J. Anal. Comb., No.

3, Art. 3, 2008, 6 pp.

Виноградов И. М., Основы теории чисел, Москва-Ижевск, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2005, стр. 103, упражнение 8.

3. Доказано, что произвольная степень подмножества конечного поля при минимальных ограничениях на его мощность и структуру является базисом, порядок которого может быть оценен числом, не зависящим от характеристики этого поля.

Основные методы исследования.

В работе используются методы арифметической комбинаторики, теории полей и линейной алгебры.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Изложенные в диссертации методы и доказанные результаты представляют интерес для специалистов по теории чисел, комбинаторики и алгебры, о чем свидетельствует уже появившиеся приложения идей работы.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно - исследовательских семинарах и конференциях:

1. Кафедральный семинар кафедры теории чисел под руководством д.ф.м.н., чл.-корр. РАН Ю.В. Нестеренко и д.ф.-м.н., профессора Н. Г. Мощевитина.

2. Семинар Аналитическая теория чисел под руководством д.ф.-м.н., проф. А.А. Карацубы.

3. Научно-исследовательский семинар по алгебре, проводимый кафедрой высшей алгебры МГУ им. Ломоносова.

4. Семинаре по теории функций под руководством к.ф.-м.н., доц. В.Б.

Демидовича, д.ф.-м.н., проф. С.В.Конягина и к.ф.-м.н., доц. А.С. Кочурова неоднократно, по мере получения результатов.

5. Международная конференция по аддитивной комбинаторике (Монреаль, Канада, 6 12 апреля 2006 г.).

6. Международная конференция Clay-Fields Conference on Additive Combinatorics, Number Theory, and Harmonic Analysis (Торонто, Канада, 13 апреля 2008г.).

7. Специальная программа по арифметической комбинаторике, проходившей в Институте Высших Исследований(Принстон, США, 23 сентября декабря 2007г.).

Публикации.

Основное содержание диссертации было опубликовано в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата [1] [4].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения и 5 глав и списка литературы. Полный объем диссертации 84 страницы, библиография включает 68 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются предварительные сведения и формулируются основные определения. Через |X| обозначается мощность множества X. Если q = pr является степенью простого числа p, то Fq обозначает поле из q элементов. Для множеств X, Y Fq и натурального k вводятся обозначения Множество A Fq названо особым, если оно покрывается каким-либо множеством вида {ds : s S}, где d Fq, S собственное подполе поля Fq, и неособым в противном случае. Мультипликативный порядок ordq x произвольного элемента x Fq \ {0} определяется как наименьшее натуральное l такое, что xl = 1.

Содержание главы 1.

В первой главе мы обсуждаем предварительные сведения и формулируем основные определения. В параграфе 1.1 определяется размерность произвольного подмножества конечного поля и доказывается нижняя оценка на размерность степени неособого подмножества. Также устанавливаются структура подмножеств X, Y Fq, удовлетворяющих условию |X+Y | = |X|, где символ |X| обозначает мощность подмножества X. В параграфе 1.2 доказываются основные оценки сумм-произведений, которые можно вывести, используя свойства множества отношений разностей. Здесь также доказано, что для данного неособого подмножества X Fq, q = pr, его степень X r является базисом порядка, не превышающего q 1. Легко понять, что любая степень особого подмножества не может быть базисом. В параграфе 1. формулируются классические оценки на сумму произвольных подмножеств:

неравенство Коши-Давенпорта, неравенство треугольника Ружи и неравенство Кнессера. Кроме того, доказывается две оценки на сумму подмножеств, использующиеся в доказательстве ряда результатов работы.

Содержание главы 2.

Назовем множество X симметричным, если оно вместе с каждым своим элементом x содержит элемент x, и антисимметричным, если из включения x X следует, что x X. Во параграфе 2.1 доказываются такие утверждения.

Теорема 1. Если X Fq и Y Fq таковы, что Y антисимметрично и |X||Y | > q, то 8(XY ) = Fq.

Теорема 2. Рассмотрим подмножества X Fq и Y Fq такие, что Y симметрично. Если выполнено неравенство |X||Y | > q, то 8(XY ) = Fq.

Из теорем 1 и 2 выводятся такие следствия.

Следствие 1. Если H - мультипликативная подгруппа Fq \ {0}, |H| > q, то 8H = Fq.

Следствие 2. Пусть A = g x : x N, 0 x 2[ q], где g Fq \ {0} некоторый элемент такой, что ordq g > q. Тогда 8A = Fq.

Кроме того, в этом параграфе устанавливается, что условие |X||Y | > q в теоремах 1 и 2 является неулучшаемым. В параграфе 2.2 из этих теорем выводятся такие результаты.

Теорема 3. Если X Fq \ {0} произвольное подмножество такое, что Теорема 4. Рассмотрим произвольные подмножества X, Y Fq такие, что |X||Y | > q. Тогда выполнено равенство 16(XY ) = Fq.

Теорема 4 была улучшена М. Рудневым23. Он показал, что при тех же ограничениях на множества X и Y выполнено равенство 10(XY ) = Fq. Следует отметить, что Д. Коверт24, Д. Харт25, А. Иосевич26, Д. Кох, М. Руднев27, И. Шолумоши, М. Гараев, В. Гарсиа и С.В. Конягин28 в своих работах находят различные приложения теоремы 4 к ряду вопросов, в частности к задаче M. Rudnev, An improved estimate on sums of product sets, arXiv:0805. 2696v1, math.CO.

D. Covert, D. Hart, A. Iosevich, D. Koh, M. Rudnev, Generalized incidence theorems, homogeneous forms, and sum-product estimates in nite elds, arXiv: 0801.0728v2, math.CO.

D. Hart, A. Iosevich, J. Solymosi, Sum-product estimates in nite elds via Kloosterman sums, IMRN, vol.

2007, 2007, article ID: rmn007.

D. Hart, A. Iosevich, D. Koh, M. Rudnev, Averages over hyperplanes, sum-product theory in vector spaces over nite elds and the Erds-Falconer distance conjecture, arXiv: 0707.3473v2, math.CA.

D. Hart, A. Iosevich, Sums and products in nite elds: an integral geometric viewpoint, arXiv: 0705.4256v4, math.NT.

M. Rudnev, An improved estimate on sums of product sets, arXiv:0805. 2696v1, math.CO.

М. Гараев, В. Гарсиа, С.В. Конягин, Проблема Варинга с –функцией Рамануджана, Известия РАН.

Серия математическая, т. 72, 2008, №1, стр. 39–50.

Эрдеша о расстояниях, задаче Эрдеша-Фалконера и проблеме Варинга с – функцией Рамануджана.

В параграфе 2.3 получается приложение теорем 1-4 к задаче ЭрдешаГрэхэма29, который формулируется так: существует ли для любого > такое k() N, что для любого достаточно большого простого p и для любого целого c существует k k() попарно различных целых чисел xi таких, что где запись x1 обозначает наименьшее положительное целое такое, что x1 xi 1(mod p)? Доказан такой результат.

Теорема 5. Для любого > 0, для любого достаточно большого простого p и для любого класса вычетов a(mod p) существует положительные попарp, где N = 8 1 + 1 + 1, такие, что Содержание главы 3.

В параграфе 3.1 доказываются оценки сумм-произведений, необходимые для доказательства основного результата главы 3. В параграфе 3.2 выводится основной результат, который формулируется следующим образом.

что |Ai | 2, 1 i n, и для некоторого > 0, мы имеем где Теорема 6 обобщает теорему 4 для поля Fp.

P. Erds, R.L. Graham, Old and new problems and results in combinational number theory, Monograph.

Enseign. Math., vol. 28, 1980.

Содержание главы 4.

В параграфе 4.1 выводится такой результат о базисных свойствах произвольной степени достаточно большого неособого подмножества конечного поля.

Теорема 7. Для любого целого числа n 2, для любых чисел (0; 1), любого простого p и любого неособого множества A такого, что A Fp2, |A| > p n, мы имеем N (An ) = Fp2, где В параграфе 4.2 доказывается нижняя оценка на мощность множества 3(X 2 ) 3(X 2 ) для любого неособого подмножества X Fq. В параграфе 4.3 получается нижняя граница на мощность множества Nk X k Nk X k, где X Fq, q = pr и Nk = 24 4k 1, k 3. Основные результаты параграфов 4.2 и 4.3 используются в доказательствах всех последующих теорем. В параграфе 4.4 устанавливается такая теорема.

Теорема 8. Рассмотрим произвольное неособое подмножество A Fp3, такое, что |A| p n для некоторого натурального n 2 и действительного (0, 1). Тогда имеет место соотношение:

где Из теорем 7 и 8 выводятся следствия, аналогичные следствиям 1 и 2.

Содержание главы 5.

В параграфе 5.1 доказывается, что произвольное неособое подмножество конечного поля в некоторой степени, зависящей только от его мощности, является базисом ограниченного порядка. А именно, установлен такой результат.

Теорема 9. Дано произвольное неособое подмножество A Fq такое, что |A| > q n для некоторого (0, 1). Тогда выполнено равенство где Отметим, что показатель степени 2n 2, вообще говоря, неулучшаем.

Из теоремы 9 выводятся такие следствия для множеств специального вида.

Следствие 3. Для любой подгруппы по умножению H Fq, не лежащей ни в каком нетривиальном подполе Fq и удовлетворяющей условию |H| > q n для некоторого натурального n 2 и действительного > 0, имеет место равенство N H = Fq, где N число, определенное в формулировке теоремы 9.

Следствие 4. Рассмотрим произвольное натуральное число n 2 и любое действительное > 0. Тогда для любого натурального k q n + 1, произвольного элемента g, не лежащего ни в каком нетривиальном подполе Fq, такого, что ordq g k, и множества A = {g x : 0 x k(2n 2)} выполнено равенство N A = Fq, где N число, определенное в формулировке теоремы 9.

Из следствия 3 вытекает, что если H Fq подгруппа, не лежащая ни в каком нетривиальном подполе Fq и удовлетворяющая условию |H| > q, то N H = Fq, N = N (r, ). Аналогичное утверждение при более сильных ограничениях на подгруппу H вытекает из результата Ж. Бургена и М. Ч.

Чанг. В параграфе 5.2 доказываются необходимые следствия из оценок параграфов 4.2 и 4.3, которые используются в параграфе 5.3 для доказательства теоремы 10.

Теорема 10. Для произвольного неособого подмножества A Fq, r 3, такого, что |A| > q n для некоторого натурального n r и действительного (0, 1), имеет место соотношение:

где Из теорем 4 и 10 вытекает, что равенство (1), где N = N (n, ) справедливо для любого неособого подмножества A Fp4 такого, что |A| > p n, в случаях n = 2 и n 4. Однако, аналогичное утверждение верно и в случае n = 3, что доказано в параграфе 5.3. Таким образом, равенство (1), где N = N (n, r, ), справедливо при r 4 и, вообще говоря, несправедливо при r > 4.

J. Bourgain, M.C. Chang, A Gauss sum estimate in arbitrary nite eld, C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1, vol.

342, 2006, pp. 643 646.

В параграфе 5.4 доказывается, что степень n у множества An в теоремах 7, 8 и 10 неулучшаема, а именно, устанавливается справедливость такой теоремы.

Теорема 11. Для любых натуральных чисел n 2, r 1, действительного числа 0 < < 1 и любого натурального N существуют простое число p и подмножество A Fq, q = pr, такое, что |A| > q n и N (An1 ) = Fq.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико–математических наук, профессору С.В. Конягину за постановки задач и постоянное внимание. Автор также благодарен профессору Ж. Бургену (Университет Высших Исследований, Принстон, США) и профессору М. Рудневу (Университет Бристоля, Бристоль, Великобритания) за плодотворные обсуждения поставленных задач и постоянную поддержку. Автор выражает благодарность коллективу кафедры общих проблем управления механико–математического факультета МГУ, и в особенности доктору физико–математических наук, профессору В. Ю. Протасову, а также члену– корреспонденту РАН Ю. В. Нестеренко и доктору физико–математических наук, профессору Н. Г. Мощевитину за поддержку и внимание.

Список публикаций по теме диссертации.

[1] А.А. Глибичук, Комбинаторные свойства множеств вычетов по простому модулю и задача Эрдеша-Грэхэма, Мат. заметки, т. 79, 2006, стр.

[2] А.А. Глибичук, Свойства сумм и произведений подмножеств конечного поля простого порядка, Чебышевский сборник, том 8, вып. 2, 2007, [3] А.А. Глибичук, Аддитивные свойства произведений подмножеств поля Fp2, Вестник Московского Государственного Университета.Серия 1.Математика.Механика, №1, 2009, стр. 3 8.

[4] А.А. Глибичук, Cвойства степеней больших подмножеств в поле из p3 элементов, Депонировано в ВИНИТИ РАН, 30.09.2008г., №769-В2008, 32 с.





Похожие работы:

«АБАКШИН АНТОН ЮРЬЕВИЧ ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА ВО ВНУТРЕННЕМ КОНТУРЕ ДВИГАТЕЛЯ СТИРЛИНГА СХЕМЫ АЛЬФА Специальность 05.04.02 – Тепловые двигатели АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Санкт-Петербург – 2014 2 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный политехнический университет на кафедре Двигатели,...»

«Протас Дмитрий Владимирович Математическое и алгоритмическое обеспечение сервисно-ориентированной среды поддержки управления качеством программных систем Специальность 05.13.11 — Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2006 Работа выполнена на кафедре автоматизации систем вычислительных комплексов Московского государственного...»

«Рахматуллин Джангир Ялкинович ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ВЫПУКЛЫМ ОБЛАСТЯМ РЕШЕТЧАТЫМИ КУБАТУРНЫМИ ФОРМУЛАМИ НА МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ 01.01.07 вычислительная математика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Красноярск 2006 Работа выполнена в Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН. Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Рамазанов Марат...»

«СИДОРОВ Олег Алексеевич СУДЕБНЫЙ ФЕДЕРАЛИЗМ США: ИСТОРИЯ И СОВРЕМЕННОСТЬ (КЛАУЗУЛА О ТОРГОВЛЕ) Специальность 12.00.01 – Теория и история права и государства; история правовых учений АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата юридических наук Казань – 2007 2 Работа выполнена на кафедре теории и истории государства и права ГОУВПО Марийский государственный университет Научный руководитель : доктор юридических наук, профессор Железнов Борис Леонидович...»

«КОНОВАЛЮК МАКСИМ АЛЕКСАНДРОВИЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ МНОГОТОЧЕЧНЫХ ОБЪЕКТОВ Специальность 05.12.04 – Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2011 Работа выполнена на кафедре теоретической радиотехники Московского авиационного института (государственного технического университета) МАИ. Научный руководитель : доктор технических наук,...»

«Тезекбаева Гульжан Амангельдиновна ПРАГМАТИКА НЕДОМОЛВОК В РУССКОМ И АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКАХ 10.02.01 – Русский язык 10.02.20 – Сравнительно-историческое, типологическое и сопоставительное языкознание Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата филологических наук Тобольск - 2011 Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Тобольская государственная социально-педагогическая академия им. Д.И. Менделеева...»

«АНАНЬЕВСКИЙ Алексей Сергеевич АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ -ТЕОРИЯ НЕКОТОРЫХ МНОГООБРАЗИЙ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чисел АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Санкт-Петербург – 2013 Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель :...»

«ХАЧАТУРЯН БОРИС ГРИГОРЬЕВИЧ ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ ИНСТИТУТА МЕСТНОГО САМОУПРАВЛЕНИЯ НА ДАЛЬНЕМ ВОСТОКЕ РОССИИ: ОБЩЕЕ И ОСОБЕННОЕ (последняя четверть XIX – начало XXI вв.) Специальность 07.00.02 – Отечественная история АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора исторических наук Иркутск 2013 г. Работа выполнена на кафедре политологии и истории федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Иркутский...»

«Змеев Сергей Иванович СТАНОВЛЕНИЕ АНДРАГОГИКИ: развитие теории и технологии обучения взрослых 13.00.01 - Общая педагогика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук Москва 2000 Работа выполнена на кафедре психологии и педагогической антропологии Московского государственного лингвистического университета. Официальные оппоненты : доктор педагогических наук, профессор ДЖУРИНСКИЙ А.Н. доктор педагогических наук, профессор ИЛЬИН Г.Л. доктор...»

«Рындина Светлана Валентиновна ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА РЕЛАКСАЦИОННЫХ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИНТЕГРАЛАМИ ТИПА КОШИ Специальность 01.01.03- математическая физика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2003 Диссертация выполнена на кафедре математического анализа Московского государственного областного университета Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Латышев Анатолий Васильевич...»

«Галямова Эльмира Фаритовна УПРАВЛЕНИЕ РАЗВИТИЕМ ПРОМЫШЛЕННОГО ПРЕДПРЯТИЯ В СИСТЕМЕ КООРДИНАЦИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ С ПОТРЕБИТЕЛЯМИ Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами – промышленность) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Ижевск - 2012 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего...»

«Прокопенко Наталья Михайловна ЖАНР ПАСТОРАЛИ И ЕГО АКТУАЛИЗАЦИЯ В РАССКАЗАХ И ПОВЕСТЯХ В.П. АСТАФЬЕВА 60-80-х ГОДОВ Специальность 10.01.01. – русская литература АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата филологических наук Ишим 2010 2 Работа выполнена в ГОУ ВПО Ишимский государственный педагогический институт им. П.П. Ершова. Научный руководитель : доктор филологических наук, профессор Хрящева Нина Петровна Официальные оппоненты : доктор филологических...»

«Василенко Оксана Витальевна СОЦИАЛИЗАЦИЯ СТУДЕНЧЕСКОЙ МОЛОДЕЖИ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ПРОЦЕССЕ: (социально-философский аспект исследования) 09.00.11 - социальная философия Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук Чебоксары 2003 Работа выполнена на кафедре философии и методологии науки Чувашского государственного университета им....»

«Колмакова Екатерина Микаеловна РАЗВИТИЕ ПОТЕНЦИАЛА СОЦИАЛЬНО-ТРУДОВОЙ СФЕРЫ РЕГИОНА: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ, МЕТОДИЧЕСКИЕ И ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ Специальность 08.00.05 –Экономика и управление народным хозяйством (Экономика труда) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата экономических наук Челябинск – 2013 Диссертационная работа выполнена на кафедре экономической теории и регионального развития ФГБОУ ВПО Челябинский государственный университет Научный руководитель :...»

«Пономарев Иван Викторович СТРУКТУРЫ ДЛЯ ДЕТЕКТОРОВ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЭПИТАКСИАЛЬНОГО АРСЕНИДА ГАЛЛИЯ специальность 01.04.10 – физика полупроводников АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Томск – 2011 Работа выполнена на кафедре полупроводниковой электроники ГОУ ВПО Национальный исследовательский Томский государственный университет и в лаборатории физики полупроводников ОСП Сибирский физикотехнический институт...»

«КЛИМЕНОВА Юлия Игоревна ОНТОЛОГИЯ МЕТАФОРЫ В АНГЛОЯЗЫЧНОМ ЭКОНОМИЧЕСКОМ МЕДИАДИСКУРСЕ Специальность 10.02.04 – Германские языки АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата филологических наук Москва 2010 Работа выполнена на кафедре английского языкознания филологического факультета ФГОУ ВПО Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова. доктор филологических наук, Научный руководитель : профессор Александрова Ольга Викторовна доктор...»

«Кошкин Дмитрий Александрович ДИНАМИКА ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ КЛИМАТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НА ТЕРРИТОРИИ ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ 25.00.30 – метеорология, климатология, агрометеорология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата географических наук Иркутск 2012 Работа выполнена в Институте географии им. В.Б. Сочавы Сибирского отделения Российской академии наук кандидат географических наук, доцент Научный руководитель : Кочугова Елена Александровна доктор географических наук,...»

«УДК 008.001. Дегтярёва Ольга Александровна ЗЕРКАЛО КАК ОБЩЕКУЛЬТУРНЫЙ ФЕНОМЕН Специальность: 24.00.01 - теория и история культуры АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата культурологии Санкт- Петербург 2002г. 2 Работа выполнена на кафедре философии и культурологии Республиканского Гуманитарного института при СанктПетербургском государственном университете Научный руководитель : кандидат философских наук, доцент Т.В.Холостова Официальные оппоненты :...»

«Маали Амири Реза Введение гена десатураз в картофель Solanum tuberosum с целью повышения его холодоустойчивости и изучение физиологических свойств полученных растенийрегенерантов 03.00.12 – физиология и биохимия растений Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата биологических наук Москва - 2007 Работа выполнена на кафедре физиологии растений биологического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ: доктор биологических наук, профессор А.М....»

«УСИКОВА Ирина Васильевна МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ВЫСШИМ УЧЕБНЫМ ЗАВЕДЕНИЕМ НА ОСНОВЕ СТРАТЕГИЧЕСКОГО ПОДХОДА Специальность 05.13.01- Системный анализ, управление и обработка информации АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Санкт- Петербург 2007 Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Санкт-Петербургский Государственный университет аэрокосмического приборостроения Научный...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.