МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ДУДКО ВЛАДИМИР ВЛАДИМИРОВИЧ

СКОЛЬЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

ВДОЛЬ НЕПОДВИЖНЫХ И КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Специальность: 01.04.02 – теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Московского государственного областного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Юшканов Александр Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Кузнецова Ирина Александровна доктор физико-математических наук, профессор Щукин Евгений Романович

Ведущая организация: Московский государственный университет леса

Защита состоится “ 13 ” мая 2010 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д. 10-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета.

Текст автореферата размещен на официальном сайте www.mgou.ru

Автореферат разослан “ 12 ” апреля 2010 года.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физ.- мат. наук, доцент Барабанова Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы В последние годы появился ряд публикаций о поведении газового потока около плоской пластины, совершающей колебания в собственной плоскости (т.н. вторая задача Стокса). Подобные потоки имеют место в микроакселерометрах, инерционных и резонансных датчиках, других микроэлектромеханических устройствах. Общим существенным недостатком этих работ является отсутствие учёта характера взаимодействия газа с поверхностью пластины, т.е. рассматривается только случай полной аккомодации тангенциального импульса молекул.

Коэффициент аккомодации тангенциального импульса является величиной, зависящей от состояния поверхности. И если в «естественном»

состоянии значение этой величины, как правило, близко к единице, то при специальной обработке поверхности её значение можно уменьшить многократно, а значит и существенно изменить характер взаимодействия поверхности с прилегающим газом. В условиях стремительного развития вакуумных технологий и нанотехнологий, совершенствования авиационной и космической техники весьма актуальным и целесообразным является развитие направления исследований, связанного с определением влияния характера взаимодействия молекул с поверхностью на перенос импульса в системе «газ – твёрдое тело» при произвольном разрежении газа и установлением связи физических свойств межфазной границы с макроскопическими газодинамическими параметрами.

В данной диссертации предлагаются два решения второй задачи Стокса, учитывающие весь возможный диапазон коэффициента аккомодации тангенциального импульса. Кроме того, в работе решены задачи о нахождении коэффициентов изотермического и теплового скольжения с использованием недавно предложенного кинетического уравнения Больцмана – Алексеева.

Цель работы Работа посвящена решению различными методами граничных задач с учётом эффекта скольжения. Ставятся следующие цели:

поверхности с прилегающим идеальным газом с учётом явления изотермического скольжения описание средствами молекулярно-кинетической теории взаимодействия колеблющейся в собственной плоскости бесконечной поверхности с прилегающим идеальным газом с учётом явления изотермического скольжения решение задач об изотермическом и тепловом скольжении газа с использованием класса кинетических уравнений Больцмана оценка области применимости и точности использованных Научная новизна работы 1. Впервые получено гидродинамическое решение задачи о поведении газа вблизи поверхности, колеблющейся в собственной плоскости, в режиме со скольжением.

2. Впервые получено кинетическое решение задачи о поведении газа вблизи поверхности, колеблющейся в собственной плоскости, в режиме со скольжением.

3. Впервые рассмотрено влияние коэффициента аккомодации тангенциального импульса на поведение газа вблизи колеблющейся в своей плоскости поверхности.

4. Впервые получено решение задач об изотермическом и тепловом скольжении с использованием уравнения Больцмана – Алексеева.

Практическая значимость В работе рассматривается поведение газового потока около плоской пластины, совершающей колебания в собственной плоскости в режиме со скольжением. Подобное возникающему при таком движении взаимодействие поверхности с прилегающим газом имеет место в микроакселерометрах, инерционных и резонансных датчиках, других микроэлектромеханических устройствах.

Проводится исследование влияния на взаимодействие газа с поверхностью коэффициента изотермического скольжения. От этой величины зависит сопротивление при обтекании тел, износостойкость материалов, она влияет на технико-эксплуатационные характеристики изделий, приборов и аппаратов.

Особо значимое влияние явление скольжения оказывает в случае разреженных газов, что делает его расчёт особенно важным в таких областях как проектирование авиационной и ракетно-космической техники, вакуумные технологии и нанотехнологии.

Полученные в данной работе результаты показывают диапазон применимости и результативность использования различных методов решения граничных задач. Они могут быть использованы при решении граничных задач газовой динамики, задач математического моделирования. Кроме того, в работе предложен новый подход к экспериментальному измерению коэффициента аккомодации тангенциального импульса.

Достоверность полученных результатов обеспечена использованием в работе апробированных ранее методик исследования и подтверждается совпадением результатов, полученных в диссертации при использовании различных подходов в решении одной задачи, соответствием результатов результатам других авторов; а также их согласованностью на качественном уровне с результатами близкого по содержанию эксперимента.

На защиту выносятся:

гидродинамическое описание поведения газа над колеблющейся поверхностью в режиме со скольжением;

кинематическое описание поведения газа над колеблющейся поверхностью;

расчёт теплового и изотермического скольжение газа на основе модели Больцмана – Алексеева.

Апробация работы По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведён в конце автореферата.

Материалы диссертации докладывались на XX международной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2002 г), XXI международной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2004 г.), XXII международной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2006 г.). Основные результаты диссертации теоретической физики Московского государственного областного университета.

Структура и объём диссертации Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трёх глав, заключения, списка литературы и приложений. Диссертация содержит рисунков и 5 таблиц. Общий объём диссертации 107 страниц.

Краткое содержание работы Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор литературы и описана структура диссертации.

В первой главе решается задача гидродинамического описания поведения газа, находящегося над бесконечной пластиной, колеблющейся в собственной плоскости.

Рассматривается задача: газ заполняет полупространство x>0 над неограниченной плоской поверхностью. Поверхность совершает гармонические колебания вдоль оси Y (т. е. в своей плоскости) с частотой. Процесс изотермический. Требуется описать поведение газа и силу, действующую на поверхность. Скорость движения поверхности описывается выражением u= u0 exp(-it).

Рис.1 Поведение газа над колеблющейся поверхностью.

Для случая малых частот возможно рассмотрение задачи в гидродинамическом приближении. При этом удается получить аналитическое решение.

Используем граничное условие для скорости газа у поверхности ( x 0 ):

где cm – коэффициент изотермического скольжения, – средняя длина свободного пробега молекул, определяемая равенством. Здесь – динамическая вязкость газа, – плотность газа, m – масса молекул газа, T – температура, k – постоянная Больцмана.

Движение газа будет описываться уравнением Навье – Стокса:

где р – давление газа, =/ – кинематическая вязкость.

Очевидно, что скорость газа v направлена вдоль оси Y и не зависит от y, потому (v)v 0, а так как её проекция на ось X v x=0, то p x 0, а значит p=const. Процесс изотермический, т.е. T=const.

Обозначим проекцию cкорости газа на ось Y v y=u. Тогда уравнение Навье – Стокса примет вид Решение этого уравнения будем искать в виде:

Подставляя (3) в (2) получим:

Подставляем решение (3) в граничное условие (1): u0 cm ku0 U приходим к следующему результату: u Введём обозначения: (глубина проникновения возмущений, вызванных колебанием пластины, вглубь газа), L cm /. Амплитуду u Из этого выражения можно найти разность фаз колебаний поверхности Скорость движения газа определяется выражением:

Сила трения, действующая со стороны газа на единицу площади вносит вклад в сдвиг фазы между скоростью поверхности и силой, действующей на неё со стороны газа. Этот эффект позволяет при коэффициента изотермического скольжения для различных газов и поверхностей.

Коэффициент cm зависит от характера рассеяния молекул газа на поверхности твёрдого тела, т.е. от кинетических граничных условий.

Наиболее часто используются аккомодационные и зеркально-диффузные кинетические граничные условия. Для аккомодационных граничных условий имеется аналитическое решение задачи об изотермическом скольжении для БГК-модели интеграла столкновений здесь q – коэффициент аккомодации тангенциального импульса.

выражение (5), полученное для случая аккомодационных граничных условий.

В случае когда L 1, выражение для силы трения преобразуется к Поскольку данное решение получено на основе уравнения Навье – Стокса, оно будет справедливо лишь в гидродинамическом приближении, т.е. при.

Во второй главе та же задача решена кинетически, что позволяет снять ограничение на частоту колебаний пластины.

столкновений ( – среднее время между столкновениями молекул); f eq – газа, m – молекулярная масса, T – температура. В линейном приближении Максвелла.

Дальнейшей нашей задачей будет нахождение. Линеаризованное В это уравнение подставляем определение массовой скорости частиц.

Учтём, что весь поток частиц направлен вдоль оси Y:

C учётом этого уравнение БГК принимает вид:

Введём следующие безразмерные переменные:

Тогда линеаризованное обезразмеренное уравнение БГК будет иметь вид:

где cx, c y, cz – проекции скорости c молекулы на оси X, Y, Z;

В дальнейшем штрихи у и x будем опускать:

Это уравнение решается моментным методом. Представим функцию распределения в виде суммы моментов:

Подставим это представление функции распределения в БГК. Получим:

Решение этого уравнения ищется в виде:

a1 ( x) a1 exp(bx), a2 ( x) a2 exp(bx), a3 ( x) a3 exp(bx), a4 ( x) a4 exp(bx).

Уравнение (7) преобразуется в систему:

Будем искать a(x), ограниченные при x, т.е. будем предполагать, что Из (8) получаем уравнение четвёртой степени относительно b.

Re(b)>0.

Графики зависимости действительной части решений этого уравнения b1 и b от частоты колебаний приведёны на рис.2.

Рис.2 Значения величин b для различных частот колебания стенки Решение БГК уравнения будет иметь вид Ф=Ф1+Ф2, где Ф1 и Ф2 – решения, соответствующие ветвям этого графика.

Из системы (8) выразим а1–а3 через а4:

Эти величины, соответствующие одному значению b (b1), назовём a11, a21, a31; соответствующие b2 – a12, a22, a32. Обозначим также a11/a41 = u11, a12/a42 = u12, a21/a41 = u21, a22/a42 = u22, a31/a41 = u31, a32/a42 = u32.

Подставляя эти уравнения в нашу функцию распределения, получим:

Решением БГК будет являться линейная комбинация двух таких выражений (Ф1 и Ф2, соответствующих b1 и b2). Т.е., с учётом оговоренных обозначений:

Зеркально-диффузные граничные условия имеют вид:

поверхности, q– коэффициент аккомодации тангенциального импульса (q= соответствует диффузному отражению), U – безразмерная амплитуда Подставляя представление функции распределения в плоскости x=0 в граничные условия, находим:

Таким образом, найдена функция распределения при заданных параметрах задачи – частоте и амплитуде колебаний поверхности, а также коэффициенте аккомодации.

Вычисление скорости газа. Очевидно, что слои газа над поверхностью совершают колебания вдоль оси Y. Безразмерная скорость газа на расстоянии подстановки представления функции распределения и интегрирования по где a1 ( x) a11 exp(b1 x) a12 exp(b2 x), a4 ( x) a41 exp(b1 x) a42 exp(b2 x).

Значения этой функции (отнесённые к амплитуде скорости колебаний стенки) для безразмерной частоты =1 представлены на рис. 3.

Рис.3. Зависимость амплитуды скорости колеблющегося газа от расстояния до поверхности при частоте =1 и различных значениях коэффициента аккомодации.

Из рисунка 3 видно как происходит затухание амплитуды колебаний скорости газа с увеличением расстояния от поверхности.

Из полученных результатов в пределе, когда частота колебаний стремится к нулю, можно получить следующий результат для скорости изотермического скольжения для случая чисто диффузного граничного условия: cm=1.1518. Для уравнения Больцмана для молекул – твердых сфер коэффициент изотермического скольжения равен cm=1.1141. Аналитическое решение модели БГК дает при этом cm=1.1466. Отсюда можно сделать вывод, что погрешность моментного метода не превышает одного процента, а погрешность БГК – модели для данного класса задач менее трех процентов.

Вычисление силы трения. При рассматриваемом колебательном движении стенки на стенку со стороны газа действует сила сопротивления, которую в безразмерном виде можно представить как F= 3 c x c y exp( c ) d c Эта сила направлена вдоль оси Y. Подстановка функции распределения и интегрирование по пространству скоростей дают: F Рис.4 Зависимость модуля силы трения Рис.5 Зависимость аргумента силы трения от частоты колебания стенки. от частоты колебания стенки.

На рис. 4 и 5 представлены зависимости модуля (отнесённого к амплитуде скорости колебаний стенки) и аргумента вычисленной таким образом силы от частоты для различных коэффициентов аккомодации. Из этих графиков видно, что при больших частотах сила выходит на константу, что совпадает с экспериментальными данными.

Рис.6 Зависимость модуля силы трения, Рис.7 Зависимость аргумента силы трения, действующей на поверхность, от действующей на поверхность, от коэффициента аккомодации для коэффициента аккомодации для различных различных частот колебаний, частот колебаний, вычисленная двумя вычисленная двумя методами. методами.

коэффициента аккомодации тангенциального импульса для трёх значений частоты колебания поверхности (обозначения см. табл.).

Как видно из графиков, оба способа решения для низкочастотных колебаний дают одинаковый результат. С увеличением частоты колебаний погрешность аналитического решения на основе уравнений гидродинамики нарастает. Зависимость силы сопротивления от коэффициента аккомодации тангенциального импульса с ростом частоты становится ярче выражена.

В третьей главе классические задачи об изотермическом и тепловом скольжении решены с использованием класса кинетических уравнений типа Больцмана – Алексеева.

Больцмана, где в известное уравнение вносится поправочное слагаемое. При этом из анализа обобщенного уравнения следует, что поправка к уравнению Больцмана существенна, когда времена изменения функции распределения сравнимы со временем свободного пробега молекул, или, что аналогично, пространственный масштаб изменения функции распределения сравним с длиной свободного пробега молекул.

Автор обобщенного уравнения Больцмана ограничивается в своих работах объемными эффектами. Однако наиболее ярко отличие нового кинетического уравнения, как следует из выше сказанного, должно проявляться в граничных задачах. В диссертации рассмотрены решения классических задач об изотермическом и тепловом скольжениях с использованием уравнения типа Больцмана – Алексеева и проведен анализ зависимости результата от коэффициента П при поправочном слагаемом уравнения.

Уравнение Больцмана-Алексеева имеет вид:

где - параметр уравнения, описывающий отклонение уравнения Больцмана – Алексеева от уравнения Больцмана; Jst – больцмановский интеграл столкновений;

В работах Б.В. Алексеева предполагается, что величина имеет вид:

- динамическая вязкость, р - давление.

В работе рассматриваются уравнения типа Б-А уравнения (9), когда параметр П (и ) может принимать произвольные значения, не обязательно совпадающие с (10).

1. Рассматриваемый газ заполняет пространство x 0, ограниченное стенкой, расположенной в плоскости x 0. Газ неоднороден из-за градиента массовой скорости v y вдоль оси x, причем градиент стремится к константе B при x, т.е. вдали от стенки профиль скорости имеет вид:

Здесь u sl – скорость скольжения. Ее можно представить в виде – длина свободного пробега молекул газа, c m – коэффициент изотермического скольжения, его нахождение является целью задачи.

Рассматривается стационарная задача в отсутствие поля сил. Для интеграла столкновений использована БГК-модель. Уравнение Б-А решено моментным методом, аналогичным рассмотренному в п. 2. Функция распределения представлена в виде (6). Использованы максвелловские граничные условия на функцию распределения и аналогичные им условия на производную функции распределения.

Найденная зависимость коэффициента изотермического скольжения от параметра приведена на рис. 8.

Рис. 8. Зависимость коэффициента изотермического скольжения от параметра П.

изотермического скольжения, соответствующий уравнению Больцмана c m (0) 1.0208, что практически совпадает с точным аналитическим решением cm 1.0162.

Из рис.2 видно, что с увеличением значения параметра П функция cm(П) монотонно убывает.

скольжения лежат в области cm>0.9, это соответствует ограничению на