[ АКАДЕМИЯ НАУК МОЛДОВЫ
ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ИНЖЕНЕРИИ И
ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
На правах рукописи
УДК: 621.382: 621.3.011.7: 621.314.1: 514.8
ПЕНИН АЛЕКСАНДР АНАТОЛЬЕВИЧ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК СИЛОВЫХ ТРАНЗИСТОРОВ И
ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ В
ЛИНЕЙНО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ
05. 27. 01 – ЭЛЕКТРОНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА,МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, НАНОЭЛЕКТРОНИКА
Автореферат диссертации
на соискание ученой степени доктора технических наукКИШИНЕВ
Работа выполнена в лаборатории электроники размерно-ограниченных структур Института Электронной Инженерии и Промышленных Технологий АН Молдовы.
Научный руководитель: Сидоренко А. С., доктор хаб. физ. - мат. наук, профессор, Институт Электронной Инженерии и Промышленных Технологий АН Молдовы.
Официальные оппоненты:
Маевский Д. А., кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой теоретических основ и общей электротехники, Одесский национальный политехнический университет.
Шишияну Ф. С., доктор хаб. физ. - мат. наук, профессор, член-корреспондент АН РМ, технический университет РМ.
Члены специализированного научного Совета DH 24-05.27.01- 1. Тигиняну И.М. – председатель, доктор хаб. физ. - мат. наук, профессор, член-корреспондент АН РМ 2. Дону С.М. – секретарь совета, доктор физ. - мат. наук 3. Димитраки С. Н., доктор хаб. физ. - мат. наук, профессор, член-корреспондент АН РМ 4. Бадинтер Е. Я., доктор технических наук, старший научный сотрудник, 5. Райлян С.К., доктор технических наук, доцент.
Защита состоится «4» февраля 2011г. в 10.00 часов на заседании специализированного научного совета DH 24-05.27.01-02 при Институте Электронной Инженерии и Промышленных технологий АН Молдовы по адресу: ул. Академическая, 3\3, г. Кишинев, MD-2028, Республика Молдова.
С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в библиотеке Института Электронной Инженерии и Промышленных технологий АН Молдовы и на сайте Национального Совета по Аттестации и Аккредитации (www.cnaa.md).
Автореферат разослан «4» января 2011г.
© Пенин Александр,
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы В настоящее время интенсивно развиваются исследования и разработки в области солнечной электроэнергетики [1]. В задачах управления такой системы электропитания, параметры режима рассчитываются на основе простых математических моделей вольтамперных характеристик ВАХ солнечной батареи СБ, регуляторов напряжения и нагрузки. Для обеспечения эффективности СБ необходимо текущий режим приближать к режиму максимальной мощности. Наиболее распространены модульные СБ, но ввиду разброса, как параметров модулей, так и условий работы, режимы модулей будут отличаться, хотя в целом вся батарея работает в режиме максимальной мощности [2].
Таким образом, актуально исследование аппроксимаций ВАХ основных элементов, направленное на упрощение алгоритмов расчетов режимов и обоснование методик оценки эффективности режимов.
Для аппроксимации ВАХ СБ и биполярных транзисторов широко используется экспоненциальная модель [3]. Но главный недостаток этой модели - затраты времени на решение трансцендентных уравнений. Также применяется формальная аппроксимация переходной ВАХ полевых транзисторов [4]. Кроме того, многообразие электронных приборов и устройств определяет актуальность обобщения и унификации математических моделей в виду подобия их характеристик. Но недостатки всех этих моделей – не виден физический смысл входящих параметров, что не позволяет целенаправленно развивать используемые выражения и ограниченные возможности прямых аналитических вычислений.
Определение отклонения режима от режима максимальной мощности нагрузки позволяет установить эквивалентность и эффективность режимов модулей, входящих в СБ. Для оценки эффективности необходимо задание режима в нормированном или относительном виде. Но в случае нескольких характерных значений уже проявляется проблема выбора масштаба и составления самих относительных выражений для режима.
Основная цель работы:
Исследование и разработка удобных аппроксимаций паспортных ВАХ транзисторов, СБ и методов оценки эффективности их режимов, используемых при разработке устройств силовой электроники.
Основные задачи, направленные для достижения цели:
- обосновать определение отклонения и сопоставления эффективности режимов для активных двухполюсников с линейными ВАХ;
- обобщить подход для сопоставления эффективности режимов для активных двухполюсников с нелинейными ВАХ на примере предложенного квазирезонансного преобразователей напряжения;
развить подобие ВАХ полупроводниковых приборов и предложенного квазирезонансного преобразователя напряжения для единого описания и расчета системы электропитания;
- разработать базовый подход, дающий широкий класс удобных для инженерной практики зависимостей для описания ВАХ различных полупроводниковых приборов, -разработать модели аппроксимации ВАХ различных транзисторов;
-применить полученные результаты к оценке эффективности режимов СБ.
Методы и средства исследования Для решения поставленных задач использовались основы физики полупроводниковых приборов, основы силовой электроники, теория линейных и нелинейных электрических цепей, методы проективной геометрии. Для расчетов и моделирования использовались система проектирования ORCAD, математические системы Matlab, Maple.
Научная новизна состоит в:
-применение методов проективной геометрии к анализу режимов электрических цепей, обоснование определения режимов цепи в относительном виде, развитие подобия режимов цепей (подобие в смысле проективной геометрии);
- обоснование и исследование модели эквивалентного генератора квазирезонансного преобразователя напряжения как активного двухполюсника с самоограничением тока, получение выражения ВАХ;
- методе оценки эффективности режимов активных двухполюсников с линейными и нелинейными ВАХ на основе системы взаимно расположенных точек характерных режимов и выражений режимов в относительном виде;
- базовом подходе для получения широкого класса выражений для представления различных характеристик на основе ВАХ активного двухполюсника с самоограничением тока;
- применение и развитие подобия характеристик квазирезонансного преобразователя напряжения и таких полупроводниковых приборов, как транзисторы и СБ, использовании базового подхода для аппроксимации характеристик конкретных типов транзисторов и СБ;
- применение метода оценки эффективности для анализа режимов СБ;
Теоретическая значимость работы состоит в:
- применение нового математического аппарата в теории электрических цепей, развитие методов анализа электрических цепей с изменяемыми режимами;
- использование относительных выражений для сравнения режимов и их изменений развивает понятие подобия режимов цепей, устанавливает место предложенного подхода в других областях науки;
- развитие моделей активных двухполюсников, классификации типовых ВАХ и характерных режимов;
- возможности проведения анализа эффективности режима активного двухполюсника, как отклонения от режима максимальной мощности или КПД;
-едином преобразователей напряжения, транзисторов и СБ.
Практическая ценность работы состоит в - простых методиках расчета (прямой аналитический расчет) режимов преобразователей напряжения, транзисторов и СБ, входящих в состав различных систем электропитания;
-методиках оценки эффективности режимов в виде отклонения от режима максимальной мощности СБ, преобразователя напряжения;
-возможном цифрового управления системами электропитания.
Основные положения, выносимые на защиту 1. Детальный анализ методов аппроксимации ВАХ и оценки эффективности режимов солнечных батарей;
2. Метод анализа режимов активных двухполюсников как с линейными ВАХ, так и предложенного квазирезонансного преобразователя напряжения с нелинейной ВАХ на основе геометрического подхода;
3. Базовый подход, дающий широкий класс зависимостей для описания ВАХ различных полупроводниковых приборов на основе подобия ВАХ этих приборов и квазирезонансного преобразователя напряжения;
4. Расчет моделей аппроксимации ВАХ конкретных транзисторов, СБ и оценки эффективности их режимов.
5. Эмпирическая модель ВАХ полупроводниковых приборов с p-n переходом.
Апробация работы Материалы работы докладывались на следующих научно- технических конференциях:
1. 2-ая Всесоюзная конф. по теоретической электротехнике. Винница, 9-12 сент. 1991.
2. Конференция «Лобачевский и современная геометрия». Казань, КГУ, 18-22 авг. 1992.
3. Congresul al Academiei Romano- Americane de stiinte si arte “ Moldova: deschideri stiintifice si culturale spre Vest”. Chisinau. 13-16 iulie 1993.
4. 1-ая Международная конференция «Радиоэлектроника, Информатика и Современные технологии», Кишинев, 15 – 16 октября, 2008.
5. The 6th International Conference on Microelectronics and Computer Science, october1-3, 2009, Chishinau, Moldova.
6. Conferina fizicienilor din Moldova CFM- 2009, 26- 27 noiembrie,2009, Chiinu, Moldova.
Публикации На основе проведенных исследований было опубликовано 18 научных работ, включая статей в рецензируемых журналах АН Молдовы, Российской АН, АН Украины, международных журналах, из них 10 статей без соавторов, получены два патента на изобретения.
Структура и объем работы Докторская диссертация содержит введение, пять глав. Работа состоит из 160 страниц основного текста, содержит 85 рисунков, 5 таблиц и 101 ссылок на литературу.
Ключевые слова Солнечная батарея, транзистор, вольт - амперная характеристика, аппроксимация, расчет режима, проективная геометрия, режим максимальной мощности.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении обосновывается актуальность рассмотренных в диссертации проблем, сформулирована цель и конкретные задачи работы, дана характеристика научной новизны и практической значимости проведенных исследований, а также приведены основные положения, выносимые на защиту.Глава 1 является обзорной и содержит анализ литературы по проблеме аппроксимации вольт - амперных характеристик ВАХ силовых полупроводниковых приборов и особенностей расчетов режимов.
В параграфе 1.1 рассмотрено построение и особенности режимов систем электропитания на основе СБ. Характеристики СБ существенно нелинейные и обладают точкой максимальной мощности PM. Для управления параметрами системы используется блок управления БУ, который вычисляет регулирующее напряжение U ЗИ на основе информации о параметрах нагрузки и СБ. Наиболее распространены модульные СБ, но режимы модулей будут отличаться в больших пределах от своего режима максимальной мощности, хотя в целом вся батарея работает в таком режиме. В заключение параграфа делается вывод об актуальности как упрощение алгоритмов расчетов режимов, так и об обосновании методик оценки эффективности режимов.
В параграфе 1.2 рассмотрены принципы моделирования и аппроксимации. В частности, теоретические ВАХ, полученные только из анализа физических моделей, приводят к сложным аналитическим выражениям, поэтому целесообразно пользоваться аппроксимациями. В случае применения формальных зависимостей возникает вопрос о выборе аппроксимирующей функции с учетом компромисса между усложнением функции и точностью приближения.
В параграфе 1.3 рассмотрены недостатки экспоненциальной модели СБ. Если нагрузка представляет линейный резистор RH, то получается трансцендентное уравнение цепи, которое решается численными методами. Это приводит к дополнительным затратам времени вычисления и усложнению алгоритмов расчетов.
В параграфе 1.4 рассмотрены упрощенные модели ВАХ СБ, которые позволяют провести прямые аналитические расчеты режима. Отмечается дробно- квадратичная модель, для которой напряжение U M, соответствующее точке PM, удовлетворяет квадратному уравнению [5]. Но расчет режима СБ с резистивной нагрузкой приводит к кубическому уравнению. Отмечены недостатки: сложный расчет, модель просто постулируется, не виден физический смысл параметров - нет возможности целенаправленно развивать.
В параграфе 1.5 анализируются типовые модели ВАХ силовых транзисторов. Для биполярных транзисторов обычно используют экспоненциальные модели. Но упрощенная модель Молла – Эберса не отображает реальное поведение транзисторов.
Известны усложненные модели в программе схемотехнического проектирования PSpice [6].
Теоретическому анализу ВАХ полевых транзисторов посвящено много работ [7]. Но отмечается сложность подобного анализа и возрастание роли формальной аппроксимации.
Недостатки: или сложный расчет, или большая погрешность, отсутствие физического смысла параметров модели.
В параграфе 1.6 показана актуальность обобщения и унификации математических моделей характеристик электронных приборов в виду подобия их характеристик. Ряд характеристик характеризуется протяженным начальным линейным участком, плавно переходящим в область насыщения или ограничения. Известен ряд моделей (Cann, Rapp, Saleh), в которых регулируется форма перехода от линейного участка к участку насыщения [8 -10]. В одной из работ сформулирована концепция управляемого динамического насыщения и предложена функция, в которой два параметра обеспечивают гибкость её формы [11]. Недостатки всех этих моделей: не виден физический смысл параметров, что не позволяет целенаправленно развивать выражения.
В параграфе 1.7 рассматривается проблема сопоставления энергетической эффективности СБ и транзисторов. Параметры режима в подобных случаях должны задаваться в относительном или нормированном виде [12]. Для составления относительных выражений используют характерное значение (как масштаб) параметра режима, но если проявляется нескольких характерных значений, то возникает проблема выбора масштаба и самих выражений. В данном случае, такие две характерные величины по напряжению, как U M и напряжение холостого хода, отличаются для разных СБ.
В конце обзора сформулированы основные выводы, определены направления исследований, цели и задачи данной работы.
В главе 2 рассматривается задача обоснованного определения отклонения и сопоставления эффективности режимов для линейных электрических цепей или активных двухполюсников с линейными ВАХ. В свою очередь, подобные цепи обладают нелинейными энергетическими характеристиками, такими, как зависимость мощности и КПД от напряжения нагрузки.
В параграфе 2.1 определяется режим активного двухполюсника в относительном виде. Активный двухполюсник представлен на рисунке 1.
Уравнение цепи U H ( RH ) имеет характерный дробно- линейный вид:
Поэтому отображение точек прямой RH на прямую U H соответствует положениям проективной геометрии [13]. Проективное преобразование задается центром проекции S или тремя парами соответственных точек: точки режима КЗ, ХХ, максимальной мощности нагрузки. Инвариантом проективных преобразований служит сложное отношение m1 четырех точек, где четвертой точкой является точка текущего режима R H :
Рис.1. Схема – а) и отображение прямой RH на прямую U H - б) активного двухполюсника Точка Ri является масштабной или единичной. Таким образом, относительный режим или координата точки текущего режима задается числом m H, которое одинаковым образом определяется через различные параметры режима типа RH, U H, I H [14-20].
Отсюда обосновывается изменение режима m H = m H m1.
Частные случаи. Связь между током и напряжением нагрузки в нормированном виде определяется линейным выражением ВАХ:
Подобное выражение определяет аффинное преобразование, а прямые U H, I H являются параллельными. Инвариантом преобразования является простое отношение трех точек и соответствует обычному понятию пропорции.
получается евклидовое преобразование. В этом случае Ri = 0, а ток пропорционален проводимости нагрузки YH. Поэтому нельзя составить относительное выражение ввиду отсутствия масштаба. Таким образом, геометрический подход позволяет обоснованно подойти к определению режимов в относительном виде.
В параграфе 2.2 рассмотрен выбор базовых и масштабной точки для мощности нагрузки [21, 22]. Мощность нагрузки PH, нормированная на максимальную мощность эквивалентного генератора (режим КЗ) PG MAX, представляет уравнение параболы через коэффициент передачи по напряжению K G :
В проективной системе координат парабола представляет овальную линию, которая качестве начального положения принимается точка максимальной мощности PM. Точка R1 на кривой задается гиперболическим поворотом радиус – вектора RF F. Видно, что из полюса F задается отображение точек + P P. Точка PM переходит в точку PM, а точка + R1 R1. Поэтому точки КЗ и ХХ (точки 0, 1) на поляре 01 являются неподвижными. Симметрия точек R1, R2 относительно точки максимальной мощности неподвижными. Точки T, Q являются гармонически сопряженными относительно 0,1.
Поэтому выбираем точки 0,1 как общие базовые. Тогда все такие точки нагрузки, как образом, геометрический подход позволяет все точки характерных режимов свести в одну систему и обосновать выбор базовых и масштабной точек.
В параграфе 2.3 рассмотрен выбор базовых и масштабной точек для КПД и получено выражение для отклонения от режима максимального КПД. Зависимость КПД (рисунок 2,б) представляет дробно- линейное выражение или гиперболу:
Для гиперболы в проективной системе координат характерными точками могут быть:
B1,0, K P,1, A1, K P.
T =, 0, K G,1, A, K G. Полюс F и поляра TQ определяют отображение области K P > выше поляры в область K P < 0 ниже поляры.
Тогда базовыми и масштабной точками будут точки 0,1, K G. Точка текущего режима выражается через сложное отношение:
остальные характерные точки выражались проективными координатами и не зависели от параметра A сравниваемых ЧП.
Рис.2. Зависимости мощности - а) и коэффициента передачи Для точек T, A выполняются соотношения:
которые принимаются за масштаб:
S (T ) = S ( A) = Ln[m ( A)].
Тогда отклонение от режима согласования выражается как нормированная длина дуги гиперболы r = S ( K G ) / S ( A).
В параграфе 2.4 рассматривается преобразователь (трансформатор) напряжения с изменяемым коэффициентом регулировании n с источником питания ограниченной мощности [23, 24]. Такое устройство характеризуется линейной ВАХ, но нелинейной регулировочной характеристикой U 1 = n1 /(1 + n12 ), что является частным случаем Salehмодели. Сложное отношение для исходных значений переменных U 1 и n1 приводит к обоснованным выражениям для изменений коэффициента трансформации и напряжения.
Таким образом, конкретный вид цепи накладывает свои требования на определение уже системных параметров, поэтому исключаются произвольные относительные выражения.
В главе 3 рассматривается квазирезонансный преобразователя напряжения, подобие его нагрузочных характеристик с ВАХ таких приборов, как транзисторы и СБ.
Полученные выражения характеристик преобразователя напряжения определяют базовый подход для аппроксимации ВАХ соответствующих приборов [25 - 28].
В параграфе 3.1 представлено семейство характеристик для различных периодов коммутации TK квазирезонансного преобразователей напряжения ПН (рисунок 3).
Рис.3. Семейство выходных характеристик квазирезонансного преобразователя ПН - а), его эквивалентный генератор - б) и зависимости внутреннего сопротивления характерных источников энергии (1-ПН, 2-источник напряжения, 3- источник тока) - в) На кривой ВАХ имеются следующие характерные участки. Участок 1 - источник напряжения, точка 2 - точка максимальной мощности, участки 3, 4,5,6 - источник тока.
Если период коммутации TK T0 (период собственных колебаний), то кривая приближается к линейной ВАХ.
В параграфе 3.2 обосновывается эквивалентный генератор такого активного двухполюсника. Эквивалентный генератор содержит нелинейное внутреннее сопротивление Ri1, зависимость которого соответствует прямой 1 на рисунке 3,б для условия Tk 2T0.
соответствующий вид:
Выражение ВАХ соответствует уравнению гиперболы - гиперболическая ВАХ. Параметр На рисунке 4,а показана ВАХ для I 1 = 1 - гипербола с центром S и асимптотами X, Y.
Рис.4. Линейно – гиперболическая ВАХ: а)- линейная и гиперболическая составляющие, б)- координата точки режима как поворот радиус – вектора RF F.
В параграфе 3.3 рассматривается отклонение от режима максимальной мощности.
Условие максимальной мощности соответствует разным значениям напряжения нагрузки составляющей токов. Для определения отклонения используются результаты по положения принимается точка PM. Расстояние R1, R ( PM ) определяется гиперболической длиной дуги гиперболы.
Точка F является полюсом, а прямая, проходящая через точки КЗ и ХХ, является полярой. Относительно этой поляры получается отображение или симметрия точек + P P. Характерные точки на поляре TQ: T, i = 1 + I 2, Q, u = 1.
Отображение точек R1, R2 относительно точки максимальной мощности приводит к дополнительной системе полюса и поляры. Тогда точка T будет полюсом, а прямая FPM полярой. Характерные точки на поляре FQ: Q, PM, F, PM. Для двух систем характерных точек принимаются общие точки: точки 0,1 – базовые, единичная точка U M. Текущий режим тогда выражается соответствующим выражением: m(u ) = (0 u U M 1 ).
Тогда гиперболическое расстояние Поэтому нормированное расстояние r = S (u ) / S (Q ). Обратное выражение m(u ) = m(Q ) r.
По заданному отклонению r с учетом значения m(Q ) находится фактическое значение u.
В параграфе 3.4. получено единое выражение ВАХ для всей области изменения напряжения нагрузки. Для этого линейные зависимости Ri1 (u ) виде двух прямых 1 для областей u E, u E заменяются уравнением гиперболы, что показано на рисунке 5,а.
В случае гиперболической зависимости Ri1 (u i ) уравнение ВАХ примет вид:
График этой кривой имеет характерный вид на рисунке 5,б.
Рис.5. Зависимость внутреннего сопротивления как гипербола - а) и симметричная ВАХ во всей области изменения напряжения - б) Если ввести систему координат I С 0 СИ U ЗИ, то получаемая кривая по форме близка к типовой передаточной характеристике I C (U ЗИ ) полевого транзистора и является частным случаем Rapp – модели Сначала рассматривается несимметричная ВАХ в первом и третьем квадрантах. В этом случае гипербола Ri1 (u i ) будет несимметрична относительно напряжения u i - рисунок 6,а.
Рис.6. Несимметричное расположение гиперболы внутреннего сопротивления – а) Асимптоты 0 y, 0 x образуют прямоугольную систему координат, повернутую на угол относительно системы координат Ri 0 u i. Тогда получается квадратное уравнение ВАХ:
Пусть эта несимметричная кривая на рисунке 6,б используется для аппроксимации передаточной характеристике I C (U ЗИ ) полевого транзистора. Тогда в исходной системе координат I C 0 СИ U ЗИ с фактической кривой восстанавливается система координат i 0 u i.
Частный случае соответствует = 45 0, а наиболее общий случай- 90 0.
Ещё один вариант кривой ВАХ получается за счет расположения гиперболы Ri1 (u i ) только в первом квадранте на рисунке 7. Выражение ВАХ и внутренней проводимости Yi1 = 1 / Ri1 примут относительный вид:
преобразователей или регуляторов напряжения, также совпадают с Saleh– моделями.
Таким образом, получается класс кривых и удобных выражений для аппроксимации ВАХ различных полупроводниковых приборов.
Рис.7. Расположение гиперболы внутреннего сопротивления – а), несимметричная ВАХ в первом квадранте – б), зависимость внутренней проводимости – в) Глава 4 посвящена применению предложенных кривых для аппроксимации ВАХ ряда транзисторов и СБ [29 - 32]. Для СБ применяются результаты определения отклонения от режима максимальной мощности для квазирезонансных преобразователей [33].
В параграфе 4.1. рассмотрены модели ряда транзисторов. Выходная ВАХ i (u КЭ ) транзистора представляет параллельное соединение сопротивлений Получается выражение ВАХ из (1) с учетом связи тока I 2 и напряжение Эрли U ER :
Для нахождения коэффициентов аппроксимации I 1, A достаточно использовать две точки.
В качестве первой точки удобно принять точку i1, u КЭ1 = E, а вторую точку i2, u КЭ 2 выбрать на изгибе характеристики. Из выражения ВАХ получается квадратное уравнение для тока I 1. После нахождения I 1 определяется A с учетом координаты первой точки. Рассматриваются выходные характеристики транзистора BU 508 D [30].
Расчеты показывают, что параметр A принимает примерно одинаковые значения для разных значений токов базы.
Рис.8. Схема включения - а) и выходная ВАХ - б) биполярного транзистора Далее рассматривается передаточная характеристика I C (u ЗИ ) транзистора КП913 [4].
Используется выражение (2) и система координат I C 0 СИ u ЗИ, тогда:
Сравнение с фактическими данными и с аппроксимацией через гиперболический тангенс показывает, что в области загибов характеристики увеличиваются погрешности, причем для гиперболического тангенса в большей степени.
биполярному транзистору на рисунке 8,а. Выходная ВАХ i (u CИ ) представлена на рисунке 9,а. ВАХ i (u ) эквивалентного генератора активного двухполюсника представлена на рисунке 9,б, где u = E u CИ. Обратная зависимости u (i ) имеет вид:
Это выражение соответствует дуальной схеме эквивалентного генератора в виде насыщения RH получается E 2 = RH I. Находится только один параметр A. Выражение Рис.9. Характеристики МДП-транзистора: а)- выходная ВАХ, Прямая линия, соответствующая сопротивлению транзистора RСИ должна лежать в соответствующих токов I 1, I 2, можем установить зависимость A(I ). Для примера рассматривается выходная характеристика транзистора КП913. Оказалось, что отношение i / I является постоянной величиной для всех кривых. Это приводит к упрощению расчетного выражения A(I ).
необходимо найти ток i (R ) уже рассмотренной выходной цепи транзистора на рисунке 8,а с изменяемым сопротивлением R нагрузки для заданного напряжения u ЗИ. С учетом выражения (4) и уравнения нагрузки u = i R получается соотношение:
Отсюда находится ток i (R ) как решение квадратного уравнения. Если использовать традиционную экспоненциальную аппроксимацию, то получается трансцендентное уравнение. Потом рассматривается усилительный каскад с общим истоком с заданным регулирующего элемента в составе системы электропитания на основе генератора тока (солнечной батареи). Представленные простые алгоритмы расчетов сводятся также к решению квадратных уравнений.
В параграфе 4.2. предлагается удобная модель вольт – амперной характеристики СБ.
Из рассмотрения характерных участков ВАХ СБ следует подобие с характеристиками квазирезонансного преобразователя и МДП - транзистора. Поэтому уравнение ВАХ имеет вид (4). Для заданной кривой семейства необходимо найти значения параметров I, A, E1, E 2, используя точку КЗ, ХХ и две точки, расположенные по обе стороны вблизи от точки максимальной мощности. Если СБ подключена к сопротивлению нагрузки R, то возможно прямое вычисление тока i текущего режима аналогично уравнения (5).
Расчеты показывают, что параметр A практически не зависит от значения тока I.
Учитывая подобие ВАХ квазирезонансного преобразователя и СБ, предложен мощный имитатор СБ [34].
В параграфе 4.3 рассматривается отклонение от режима максимальной мощности СБ, используя результаты для ВАХ квазирезонансного преобразователя напряжения.
Сначала применяется аппроксимация к семейству ВАХ на примере промышленной СБ типа MSX120 [35]. Расчеты показали, что параметр A изменяется в пределах от 1,0035 до 1,0047 при изменении освещенности от 1 до 0,2. Для определения отклонения от точки PM для конкретной кривой в общем случае можно использовать построения на рисунке и соответствующие соотношения параграфа 3.3. Но расчеты показали, что выполняется частный случай на рисунке 9,в. Для этого рассматривается пересечение прямой FS и кривой модели ВАХ. Координаты точки PE 2 близки к координатам точки максимальной мощности PM, а ток I E 2 = A A( A 1). Принимается точка I E 2 за начальную точку. Для масштабной точки Q : m(Q) = (0 I Q I E 2 1 ). Выражение для расчета тока по заданному отклонению имеет вид:
Для такой упрощенной модели легко находятся параметры A, E1 через параметры точки максимальной мощности фактической кривой. Таким образом, для СБ обосновано определение режима, его изменение и отклонение от режима максимальной мощности.
Глава 5 посвящена обоснованию линейно-гиперболической аппроксимации на основе рассмотрения ВАХ диода с p–n переходом.
В параграфе 5.1 анализируется модель диода с учетом сопротивления базы rБ и параметра m = 1.5 2 для описания прямой характеристики реального диода [36]:
Указывается, что при больших токах и высоких уровнях инжекции уже не действительна экспоненциальная зависимость тока от напряжения, как следствие распределения Максвелла- Больцмана. Далее рассмотрены аппроксимации прямых характеристик ряда промышленных силовых диодов согласно выражению (6). Отмечается, что значения параметров m, I 0 отличаются от теоретических значений. Поэтому для практических расчетов выражение (6) в большей степени носит эмпирический характер, когда необходимо определить параметры аппроксимации по фактической кривой.
экспоненциальной модели диода прямой ток резко растет при приближении прямого напряжения на переходе к величине контактного потенциала, а ток насыщения, в свою очередь, не зависит от обратного напряжения. Такое поведение токов позволяет применить гиперболическую функцию, представленную на рисунке 10,а, где a = K / T Естественно, что при u K прямой ток ограничивается масштабный коэффициент.
пассивного слоя базы rБ 2. Поэтому выражение ВАХ имеет вид:
где rБ = rБ1 + rБ 2. Отсюда следует эквивалентная схема диода на рисунке 10,б.
Прямое выражение ВАХ представляет квадратное уравнение для тока:
Аппроксимации того же ряда диодов таким выражением показывают хорошую точность.
Рис.10. Составляющие аппроксимации ВАХ диода (1- линейная, 2-гиперболическая, 3- линейно-гиперболическая)- а), эквивалентная схема диода - б) и солнечной батареи - в).
аппроксимации ВАХ солнечной батареи. Традиционное выражение её ВАХ:
Характеристика для I Ф = 0 представляет собой просто характеристику диода. Поэтому аппроксимации рабочего участка ВАХ СБ. Эквивалентная схема СБ представлена на рисунке 10,в. Тогда выражение ВАХ СБ имеет вид:
Если сопоставить это выражение с предложенным формальным выражением (4), то Отсюда следует, что для достаточно больших значений I Ф параметр A мало зависит от этого тока и уменьшается при его увеличении. Также следует, что при расчете параметров формальной аппроксимации должно выполняться соотношение E1 A const.
описывается следующим выражением:
Соответствующее семейство характеристик представлено на рисунке 11,а. Выходная ВАХ транзистора в координатах i2 u БК представляет характеристику диода. Рассмотренный режим насыщения расположен во втором квадранте как и ВАХ СБ. Поэтому фототок I Ф будет соответствовать току эмиттера iЭ. С учетом выражение ВАХ СБ (8), опуская сопротивления rБ1, rБ 2, получается гиперболическую ВАХ (рисунок 11,а):
Далее рассматривается схема ОЭ. Известно выражение выходной характеристики [36]:
биполярного транзистора: а)- с общей базой, б)- с общим эмиттером Семейство этих характеристик приведено на рисунке 11,б. ВАХ в координатах i2 u БК представляет характеристику диода. Начало координат u КЭ (0) = T Ln (i Б / I Э 0 (1 N ) ).
Используется гиперболическая аппроксимация характеристики диода в координатах i2 u БК. Асимптоты для напряжения u БК = K и тока I K M = B i Б + B (1 I ) I K 0. Поэтому слагаемое B (1 I ) I K 0 = I является обратным током насыщения для гиперболической аппроксимации. Прямое выражение (опуская rБ ) характеристики диода (7) в переменных Тогда I K 0 K / T, как асимптота, соответствует B (1 I ) I K 0 = I.
Выражение ВАХ:
формальное выражение (3) и полученное:
напряжения u КЭ (0). При достаточно больших токах базы напряжение u КЭ (0) изменяется незначительно (линия границы режима насыщения). Поэтому A const.
Таким образом, эмпирическая линейно-гиперболическая аппроксимация характеристик СБ и транзисторов позволила получить выражения, описывающие семейство характеристик и дополняет формальную при обработке фактических кривых и расчете её параметров.
ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
1. Показано, что для анализа эффективности работы солнечной батареи СБ необходима обоснованная оценка отклонения режимов работы от режима максимальной мощности. Для решения этой задачи были разработаны удобные аппроксимации ВАХ СБ, силовых транзисторов и предложены выражения для представления параметров режима работы в нормированном или относительном виде.2. Проведенный анализ многообразия известных аппроксимирующих функций ВАХ СБ и транзисторов показывает что:
- их формальный характер и отсутствие физического смысла входящих параметров не позволяет целенаправленно их модифицировать, - достаточно сложные выражения затрудняют проведение анализа, приводят к решению трансцендентных уравнений, ограничивают возможности современных методов аналитических вычислений, в том числе прогнозирующих расчетов прямого цифрового управления в системах электропитания.
Разработанный геометрический подход позволяет обоснованно подойти к определению, как режимов работы, так и изменений режимов в относительном виде.
4. Предложена модель эквивалентного генератора и аналитическое описание ВАХ квазирезонансного преобразователя, определены режимы его работы в относительном виде, что позволяет сравнивать и задавать режимы разных преобразователей напряжения.
Исходя из подобия ВАХ квазирезонансного преобразователя, выходных характеристик таких нелинейных полупроводниковых приборов, как транзисторы, СБ и передаточных характеристик усилителей, предложен базовый подход и целый класс удобных расчетных выражений для аппроксимации ВАХ этих полупроводниковых приборов.
6. Представленные примеры аппроксимации характеристик транзисторов и СБ с использованием полученных выражений показывают применимость и развитие базового подхода, возможность прямых аналитических расчетов режимов работы, обоснование схем замещения приборов.
7. Для СБ обосновано определение режима работы, его изменение и отклонение от режима максимальной мощности в относительном виде.
Предложенная эмпирическая линейно-гиперболическая аппроксимация характеристик СБ и транзисторов дополняет формальную аппроксимацию при обработке фактических кривых и уточняет расчет её параметров.
Перспективными направлениями исследований могут быть разработка конкретных систем электропитания (в том числе с прямым цифровым управлением на основе дешевых программируемых микроконтроллеров) с использованием разработанных в данной работе методов описания ВАХ.
Полученные результаты могут быть полезны при анализе приборов и устройств различных областей электронной техники за счет единого описания характеристик этих приборов и устройств.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Bostan I.. a. Sisteme de conversie a energiilor regenerabile. Chiinu: Tehnica-Info, 2. Linares L.. a. Improved energy capture in series string photovoltaic via smart distributed power electronics. n: Applied Power Electronics Conference and Exposition APEC 2009. Twenty-Fourth Annual IEEE, 15-19 Feb. Conference report. Washington, 3. Зи С. Физика полупроводниковых приборов. Книга 1, 2. Москва: Мир, 1984. 456 с.4. Дьяконов В. П. и др. Энциклопедия устройств на полевых транзисторах. Москва:
5. Akbaba M., Alattawi M. A. A. A new model for I-V characteristic of solar cell generators and its applications. n: Solar Energy Materials and Solar Cells 1995, 6. Недолужко И., Лебедев А., Модели мощных биполярных транзисторов и определение их параметров. n: Силовая электроника, 2005, №1, с.12-17.
7. Степаненко И. П. Основы теории транзисторов и транзисторных схем. Москва:
8. Cann A. J. Nonlinearity model with variable knee sharpness. n: IEEE Transaction Aerospace Electronic Systems, 1980, vol. AES-16, nr 6, November, р. 874–877.
9. Rapp C. Effects of HPA-Nonlinearity on a 4- DPSK/OFDM- Signal for a digital sound broadcasting system. n: Proc. of the second European Conference on Satellite Communication, October, 1991.
10. Saleh A. Frequency-Independent and Frequency-Dependent Nonlinear Models of TWT Amplifiers. n: IEEE Transactions on Communications, 1981,vol. 29, nr 11, p. 1715– 11. Гулин С. П. Анализ спектра отклика нелинейности, представленной аналитической трансцендентной функцией, на многочастотное воздействие большой нормы. n: Радiоелектронiка. Iнформатика. Управлiння, 2004, №1, с.21Артым А.Д. и др. Повышение эффективности мощных радиопередающих устройств. Москва: Радио и связь, 1987. 176 с.
13. Глаголев Н.А. Проективная геометрия. Москва: Наука, 1963. 344 с.
14. Пении А. А. Проективно-аффинные свойства резистивных четырехполюсников с изменяемой нагрузкой. n: Техническая электродинамика, 1991, № 2, с.38- 42.
15. Пенин А. А. Проективно-геометрические аспекты теории электрических цепей с изменяемыми элементами. Тезисы докл. 2-й Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике. Винница, 1991, 9-12 сентября. n: Известия вузов.
Электромеханика, 1991, №9. с.72-73.
16. Пенин А. А. Применение неевклидовых геометрий к теории электрических цепей с изменяемыми режимами. n: Лобачевский и современная геометрия. Тезисы докл. Конференции. Казань, 1992, 18-22 августа, Часть 1. Казань: КГУ, 1992, с.74.
17. Penin A. A. The projective- geometric approach to the theory of linear electrical networks with the variable regimes. Application to power supply systems. n: Moldova:
deschideri stiintifice si culturale spre Vest. Congresul al Academiei RomanoAmericane de stiinte si arte. Chisinau: 1993, 13-16 iulie, vol.2, p.231.
18. Пенин А. А. Проективная эквивалентность режимов четырехполюсников с изменяемыми нагрузками. n: Электричество, 1993, № 8, с.47-54.
19. Пенин А. А. Инвариантно-групповой (проективный) подход к определению относительных режимов линейных электрических цепей постоянного тока с изменяемыми элементами. n: Известия Академии наук республики Молдова.
Физика и техника, 1995, № 1, с.39-48.
20. Пенин А. А. Дробно- линейные соотношения в задачах анализа резистивных цепей с переменными параметрами. n: Электричество, 1999, №11, с.32- 44.
21. Пенин А. А. Определение отклонения от согласованного режима четырехполюсника. n: Электричество, 1994, № 8, с.32- 40.
22. Пенин А. А. К проблеме определения относительных показателей преобразования энергии. n: Электричество, 1997, № 4, с.57-60.
23. Пенин А. А. Геометрические свойства регулируемых преобразователей напряжения при ограниченной мощности источника питания. n: Техническая электродинамика, 1991, № 3, с.61- 64.
24. Пенин А. А. Анализ режимов импульсных регуляторов напряжения с использованием инвариантных свойств регулировочных характеристик. n:
Проблемы региональной энергетики. Электронный журнал, 2009, №1(9).
http://ieasm.webart.md/contents_ru/?volume_id=21. (vizitat 10.03.2010).
25. Евразийский патент 008526, H02M 3/337, H02M3/24. Регулируемый резонансный преобразователь напряжения и способ регулируемого резонансного преобразования постоянного напряжения в постоянное. А. А. Пенин, А. Г.
Семенов; Заявитель и патентообладатель: Совместное Молдо- Российское предприятие «Элкон». Опубл. 29.06. 2007.
26. Пенин А. Мощный квазирезонансный преобразователь напряжения технологического применения. n: Радиоэлектроника, Информатика и Современные технологии. Сборник статей 1-ой Международной конференции.
Кишинев: 15 – 16 октября, 2008, с.212 – 217.
27. Пенин А. А. Квазирезонансный преобразователь напряжения с улучшенными параметрами. n: Электричество, 2009, №2, с.58-64.
28. Пенин А. А. Вольт- амперные характеристики активного двухполюсника с самоограничением тока. n: Электричество, 2008, №7, с.54 – 60.
http://search.datasheetcatalog.net/key/bu508d. (vizitat 10.03.2010).
30. Penin A. A., Sidorenko A. S. A convenient model for I-V characteristic of a solar cell generator as an active two-pole with self-limitation of current. n: International Journal of Electrical and Information Engineering, 2009,vol.3, nr4, p.214-218.
http://www.waset.org/journals/ijeie/v3/v3-4-37.pdf. (vizitat 10.10.2010).
31. Penin A., Sidorenko A. Generalized hyperbolic model for I-V characteristic of semiconductor devices. n: The 6th International Conference on Microelectronics and Computer Science. Chishinau, october1-3, 2009, vol.1, pp. 69-72.
32. Penin A., Sidorenko A. Оптимизированная аппроксимация вольт-амперных характеристик и режимы солнечных батарей. n: Conferina fizicienilor din Moldova CFM- 2009. Chiinu, 2009, p.94.
33. Penin A. A., Sidorenko A. S. Determination of deviation from the maximum power regime of a photovoltaic module. n: Moldavian Journal of the Physical Sciences, 2010, nr.2, p.191-198.
34. Brivet de inventie. 136 Y, MD, Cl. Int. G05F1/46, H02M 3/37, H 01 L31/042, H 02 J 7/34. Imitator al bateriei solare /Alexandru Penin (MD). Cererea depusa s din 06.02.2009, BOPI nr. 1/2010.
http://www.bp.com/liveassets/bp_internet/solar/bp_solar_usa/STAGING/local_assets/do wnloads_pdfs/pq/product_data_sheet_bp_msx_120_02_4003_v2_en.pdf. (vizitat 10.03.2010).
36. Дулин В. Н. и др. Электронные приборы. Москва: Энергоатомиздат, 1989. 496с.
АННОТАЦИЯ
Фамилия, имя автора: Пенин Александр.Название диссертации: Моделирование электронных характеристик силовых транзисторов и фотоэлектрических преобразователей в линейно- гиперболической аппроксимации.
Соискание ученой степени доктора технических наук.
Место защиты: г. Кишинев, Молдова.
Год преставления диссертации: 2011.
Структура диссертации: введение, пять глав, общие выводы и рекомендации, библиография - 101 источников, 160 страниц основного текста, 5 таблиц и 85 рисунков.
Количество публикаций по теме: полученные результаты опубликованы в научных работах и 2 патентах.
Ключевые слова: Солнечная батарея, транзистор, вольт- амперная характеристика, аппроксимация, расчет режима, проективная геометрия, режим максимальной мощности.
Область исследования: силовая электроника.
Цель данной научной работы: исследование и разработка удобной аппроксимации паспортных вольт – амперных характеристик ВАХ транзисторов, солнечных батарей СБ и метода оценки эффективности их режимов, используемых при разработке устройств силовой электроники.
Задачи исследования: обосновать определение отклонения и сопоставления эффективности режимов для активных двухполюсников с линейными ВАХ; для активных двухполюсников с нелинейными ВАХ на примере предложенного квазирезонансного преобразователей напряжения; развить подобие ВАХ полупроводниковых приборов и предложенного квазирезонансного преобразователя напряжения для единого описания и расчета системы электропитания; разработать базовый подход, дающий широкий класс удобных для инженерной практики зависимостей для описания ВАХ различных полупроводниковых приборов, разработать модели аппроксимации ВАХ различных транзисторов; применить полученные результаты к оценке эффективности режимов СБ.
Научная новизна и оригинальность настоящего исследования состоит в:
применение методов проективной геометрии к анализу режимов электрических цепей;
обоснование модели эквивалентного генератора квазирезонансного преобразователя напряжения как активного двухполюсника с самоограничением тока; базовом подходе для получения широкого класса выражений для представления различных характеристик на основе ВАХ активного двухполюсника с самоограничением тока; применение и развитие подобия характеристик квазирезонансного преобразователя напряжения и таких полупроводниковых приборов, как транзисторы и СБ.
Теоретическая и практическая значимость работы состоит в: применение нового математического аппарата в теории электрических цепей, развитие моделей активных двухполюсников, классификации типовых ВАХ и характерных режимов; едином и обоснованном описание характеристик и эффективности режимов преобразователей напряжения, транзисторов и СБ; простых методиках расчета (прямой аналитический расчет) режимов преобразователей напряжения, транзисторов и СБ; методиках оценки эффективности режимов в виде отклонения от режима максимальной мощности СБ, преобразователя напряжения; возможном применение простых микроконтроллеров для организации прямого цифрового управления системами электропитания.
ADNOTARE
Numele de familie, prenumele autorului: Penin Alexandru.Titlul tezei: Modelarea caracteristicilor electronice ale tranzistorilor de putere i convertorilor fotoelectrici n aproximaia liniar-hiperbolic.
Gradul tiinific solicitat: doctor in tehnic.
Localitatea: or.Chiinu, Republica Moldova.
Anul perfectrii tezei: 2011.
Structura tezei: introducere, cinci capitole, concluzii generale i recomandri, bibliografie din 101 titluri, 160 pagini de text de baz, 5 tabele, 85 figuri.
Numrul de publicaii la tem: rezultatele obinute sunt publicate n 18 lucrri tiinifice i n 2 brevete.
Cuvinte-cheie: celule solar, tranzistor, caracteristica volt -amperic, aproximaie, calcul regimului, geometria proiectiv, putere maxim de ieire.
Domeniul de cercetare: electronic de putere.
Scopul lucrrii tiinifice: Cercetarea i dezvoltarea adecvat de aproximaie a datelor fiei CVA a tranzistorilor, BS i metod de evaluare a eficacitii regimurilor lor utilizate n elaborarea de dispozitive electronice de putere.
Obiectivele studiului: de justificat definirea abaterilor i compararea eficienei regimurilor pentru dipolii activi cu CVA liniare; pentru dipolii activi (pe exemplul propus de convertoare de tensiune cvasi-rezonant) cu neliniaritatea CVA; de a dezvolta asemnarea CVA a dispozitivelor semiconductoare i convertorului propus cvasi-rezonant de tensiune pentru o descriere unificat i calculul sistemei de alimentare cu energie; de elaborat o abordare de baz, care ar da o ntreag clas convenabil pentru practica de inginerie a dependenei pentru a descrie CVA a diferitor dispozitive semiconductoare; de dat exemple de aproximaie a CVA a diferitor tranzistore; de aplicat rezultatele obinute pentru a evalua eficacitatea regimurilor BS.
Noutatea i originalitatea tiinific: aplicarea metodelor de geometrie proiectiv la analiza regimurilor de circuite electrice; argumentarea modelului de generator echivalent convertorului de tensiune cvasi-rezonant ca un dipol activ cu auto-limitare a curentului;
abordare de baz pentru o ntreag clas de expresii care s reprezinte diferite caracteristici pe baza CVA a dipolului activ, cu o auto-limitare a curentului; aplicarea i dezvoltarea a similitudinii caracteristicilor de convertor de tensiune cvasi-rezonant i a aa dispozitive semiconductoare, cum ar fi tranzistorii i BS.
Semnificaia teoretic i valoarea aplicativ a tezei: aplicarea de noi instrumente matematice n teoria circuitelor electrice; dezvoltarea de modele de dipoli activi, clasificare CVA tipice i regimurilor caracteristice; descrierii unificate i argumentate a caracteristicilor i eficacitii regimurilor convertorilor de tensiune, tranzistorilor i BS; metode simple de calcul (calcul analitic direct) a regimurilor convertorilor de tensiune, tranzistorilor i BS; metodelor de evaluare a eficacitii regimurilor ca o abatere de la regimul de putere maxim a BS, convertorului de tensiune; eventuala aplicare de microcontrolere simple la organizarea sistemelor directe de control digital, putere.
SUMMARY
Name, Surname: Penin Alexandr.Thesis title: Modeling of electronic characteristics of power transistors and photoelectric converters in linearly-hyperbolic approximation.
Academic degree: doctor of the technical sciences.
Place: Chisinau, Moldova.
Year of presentation: 2011.
Dissertation contents: introduction, five chapters, general conclusions and recommendations, bibliography - 101 references, 160 pages of the main part, 5 tables and figures.
Number of publications: the obtained results are published in 18 scientific papers and patents.
Key words: solar cell, transistor, I-V characteristic, approximation, regime calculation, projective geometry, maximum power regime.
Field of research: power electronics.
The aim of the work: research and elaboration of convenient approximation of I-V characteristics of transistors, solar cells and of a method of an estimation of efficiency of their regimes used for elaboration of power electronics devices.
The research objectives: to validate the definition of a deviation and comparison of efficiency of modes for active two-poles with linear I-V characteristics ; for active two-poles with nonlinear I-V characteristics on an example offered quasi resonant voltage converters; to develop similarity the I-V characteristics of semi-conductor devices and the offered quasi resonant voltage converter for the uniform description and calculation of power supply systems; to develop the base approach giving a wide class of dependences convenient for engineering practice for the description of the I-V characteristics of various semi-conductor devices, to develop the approximation models of the I-V characteristics of various transistors; to apply the received results to an estimation of efficiency of SC regimes.
The scientific originality of the research consists in: application of methods of projective geometry to the analysis of electric circuits regimes; a substantiation of model of the equivalent generator of the quasi resonant voltage converter as active two-pole with current selfrestriction; the base approach for obtaining a wide class of expressions for representation of various characteristics on a basis I-V characteristics an active two-pole with current selfrestriction; application and development of similarity of characteristics of the quasi resonant voltage converter and such semi-conductor devices, as transistors and SC.
The theoretic and practical value of the research consists in:: application of new mathematical apparatus in the theory of electric circuits, development of models of active twopoles, classification of typical I-V characteristics and characteristic regimes; uniform and validated description of characteristics and efficiency of regimes of voltage converters, transistors and SC; simple calculation procedures (direct analytical calculation) of voltage converters regimes, transistors and SC; techniques of an estimation of efficiency of regimes in the form of a deviation from a mode of maximum power of SC, the voltage converter; possible application of simple microcontrollers for the organization of a direct digital control of the power supply systems.
ПЕНИН АЛЕКСАНДР АНАТОЛЬЕВИЧ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК СИЛОВЫХ ТРАНЗИСТОРОВ И
ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ В
ЛИНЕЙНО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ
МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, НАНОЭЛЕКТРОНИКА
Автореферат диссертации на соискание ученой экз.Отпечатано в Институте Электронной Инженерии и Промышленных Технологий АН Молдовы, ул. Академическая, 3\3, г. Кишинев, MD- 2028, Республика Молдова
«