WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

На правах рукописи

КОЧАЕВ Алексей Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЧИСТЫХ МОД УПРУГИХ ВОЛН

В КРИСТАЛЛАХ И СУПРАКРИСТАЛЛАХ

05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск – 2012

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет» на кафедре «Физика»

Браже Рудольф Александрович –

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Леонтьев Виктор Леонтьевич – доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Математическое моделирование технических систем» Ульяновского государственного университета;

Шевяхов Николай Сергеевич – доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры общей физики Саровского физико-технического института Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ»

Ульяновский филиал Института радиотехники

Ведущая организация:

и электроники им В. А. Котельникова РАН

Защита диссертации состоится 4 апреля 2012 г. в 12.00 на заседании диссертационного совета Д212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета.

Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Крашенинников В. Р.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Упругие волны в кристаллах, благодаря малой по сравнению с электромагнитными волнами скорости распространения, находят широкое применение в акустоэлектронике и акустооптике. При этом практический интерес представляют, главным образом, чисто продольные и чисто поперечные упругие волны, в которых направления фазовой и групповой скоростей совпадают. Проблеме поиска чистых мод упругих волн в анизотропных средах уделялось внимание в работах Ф. Е. Боргниса [1], К. Браггера [2], З. Р. Чанга [3], В. Н. Любимова [4], К. Р. Пелэза [5], М. Дуарте [6] и др. исследователей. Однако, из-за математических сложностей, данная задача до сих пор была решена для каждого класса симметрии кристаллов в отдельности, причем для наименее симметричных кристаллов моноклинной и триклинной симметрии лишь для отдельных кристаллографических направлений. Вклад пьезоэлектрического эффекта в увеличение эффективной жесткости кристалла также не всегда учитывался.

Появление новых двумерных (2D) и трехмерных (3D) наноразмерных материалов и структур, в частности, супракристаллов [7], обнаружение у них интересных с точки зрения возможностей практического применения упругих свойств с новой остротой поставило актуальную задачу построения математических моделей процессов распространения чистых мод упругих волн в произвольной анизотропной среде в самой общей постановке.

Предметом исследования являются процессы распространения и характеристики чистых мод упругих волн в кристаллах и супракристаллах.

Цель работы – упрощение и унификация процедуры поиска чистых мод упругих волн в произвольной кристаллической (супракристаллической) среде, в общем случае обладающей пьезоэлектрическими свойствами.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Построение математических моделей распространения объемных упругих волн в кристаллах, позволяющих по известным значениям материальных констант находить направления распространения и поляризации чисто продольных и чисто поперечных упругих волн в кристаллах произвольного класса симметрии.

2. Разработка комплекса программ, позволяющего по заданным значениям плотности кристалла, его упругих, диэлектрических и пьезоэлектрических постоянных вычислять направления распространения и поляризации, скорости распространения и коэффициенты электромеханической связи (в случае пьезоэлектрика) чистых мод упругих волн и строить поверхности их фазовых скоростей для данного кристалла.

3. Исследование в рамках построенных моделей и разработанных программ особенностей распространения продольных, поперечных и изгибных волн в 2D-супракристаллах, в частности, в углеродных, графеноподобных планарных структурах.

4. Исследование в рамках построенных моделей и разработанных программ акустических свойств 3D-супракристаллов, в частности, углеродного супракристалла (С)СТО.

Методы исследований. В работе использованы известные методы математического, в том числе компьютерного, моделирования, основные положения теории сплошных сред, теории упругих волн в кристаллах и оболочках, теории сильной связи в приближении связывающих орбиталей.

Научная новизна положений, выносимых на защиту 1. Построены две математические модели распространения упругих волн в произвольном кристаллическом диэлектрике, обладающем, в общем случае, пьезоэффектом, позволяющие находить их чистые моды следующими двумя способами:



– на основе метода диагонализации коэффициентов волнового уравнения;

– на основе построения и анализа 3D-поверхностей фазовых скоростей.

Обе модели в совокупности позволяют унифицировать проблему поиска чисто продольных и чисто поперечных волн в кристаллах.

2. Разработан комплекс из двух компьютерных программ, основанных на построенных математических моделях, позволяющий отыскивать продольные и поперечные нормали не только в обычных кристаллах, но и в 2D- и 3D-супракристаллах, если известен их класс симметрии и материальные константы.

3. Для графеноподобных 2D-супракристаллов впервые численными методами вычислены компоненты тензоров упругих жесткостей, двумерный модуль Юнга, коэффициент Пуассона и скорости распространения продольных и поперечных упругих волн, а также впервые вычислены модуль изгиба и скорости распространения изгибных волн в зависимости от частоты и амплитуды.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным использованием известных математических методов и физически обусловленных приближений, а также подтверждается экспериментальными и теоретическими результатами других авторов.

Практическая значимость работы. Построенные математические модели и разработанные компьютерные программы значительно упрощают, унифицируют и, благодаря учету пьезоэффекта, в ряде случаев повышают точность отыскания направлений распространения, поляризации и величины скорости распространения чисто продольных и чисто поперечных волн в 2Dи 3D-кристаллах и супракристаллах.

Кроме того, полученные результаты показывают перспективность 2D- и 3D-супракристаллов как новых сред для наноакустоэлектроники.

Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (проект №10-02_97002-р_повольжье_а), Премией Московского Физического общества, Премией Правительства Ульяновской области.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 44-, 45-, 46-й научно-технических конференциях УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск, 2010–2012), 13- и 14-й региональных научных школах-семинарах «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (Ульяновск, 2010, 2011), Всероссийской научно-практической конференции «Формирование учебных умений и навыков» (Ульяновск, 2011), V Всероссийской конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная оптика» (Саратов, 2010), Международной школе-семинаре «Физика в системе высшего и среднего образования» (Москва, 2011), Шестой всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2011).

Отдельные результаты работы были представлены на следующих выставках и конкурсах: Конференция-конкурс молодых физиков (Москва, ФИ им. П. Н. Лебедева РАН, 2011) – диплом лауреата (2-е место), Молодежный инновационный форум Приволжского федерального округа (Ульяновск, 2011) – диплом лауреата (1-е место), XI Всероссийская выставка научнотехнического творчества молодежи (Москва, ВВЦ, 2011) – диплом, IV Международный конкурс научных работ молодых ученых в области нанотехнологий (Москва, Rusnanotech, 2011) – диплом.

Личный вклад автора. Основные теоретические положения и требования к математическим моделям разработаны совместно с научным руководителем. Разработка алгоритмов численного расчета, программных продуктов и их модификация, а также сами расчеты выполнены лично автором. В публикациях с соавторами на долю автора приходятся разработка математических моделей и численные расчеты.

Публикации. Результаты диссертационной работы отражены в 20 публикациях: 9 в рецензируемых журналах из перечня изданий, рекомендованного ВАК, 1 в нерецензируемом журнале, 9 в материалах международных и российских конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, 2 приложений и списка литературы из 150 наименований. Работа изложена на 122 страницах машинописного текста, содержит 13 таблиц, 24 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, отмечена практическая значимость полученных результатов, приводятся структура, объем и содержание диссертации.

В первой главе дан обзор и проведен сравнительный анализ существующих методов поиска продольных и поперечных нормалей в кристаллах.

В силу сложной зависимости акустических свойств среды от заданного направления, до сих пор поиск чистых мод упругих волн выполнялся для кристаллов каждого класса симметрии в отдельности. Более того, в кристаллах наименее симметричных моноклинной и триклинной сингонии этот поиск выполнен лишь для отдельных направлений. Систематического учета пьезоэффекта также не было произведено, он был учтен лишь для некоторых кристаллов. Отмечена целесообразность разработки математических моделей, позволяющих решить задачу поиска направлений распространения и поляризации чистых мод упругих волн в кристаллической среде в самом общем виде, зная ее плотность, упругие и электрические свойства.

Во второй главе описаны две разработанные математические модели распространения упругих волн в произвольной кристаллической среде, позволяющие исследовать условия существования чисто продольных и чисто поперечных объемных волн.

Рассматриваются плоские упругие волны в неограниченной анизотропной непроводящей, в общем случае пьезоэлектрической, среде, в условиях адиабатического приближения. Предполагается, что магнитные эффекты отсутствуют, а электромеханические поля являются квазистатическими. Кристалл считается электрически разомкнутым.

Первая модель основана на методе диагонализации коэффициентов волнового уравнения, выведенного для случая плоских упругих волн, распространяющихся в произвольном направлении x1 рассматриваемой среды:

Здесь – плотность среды, u, u – компоненты вектора смещения частиц, t – время, c 1 1 – компоненты тензора модулей упругости (упругих жесткостей), e1 1, e1 1 – компоненты тензора пьезомодулей, 11 – компоненты тензора диэлектрических проницаемостей.

Стоящие в круглых скобках коэффициенты уравнения (1) образуют действительную симметричную матрицу эффективных модулей упругости [c 1 1 ], в общем случае «ужесточенных» за счет пьезоэффекта. Эта матрица может быть приведена к диагональному или неполному диагональному виду с помощью преобразования подобия с действительной ортогональной преобразующей матрицей [ai], элементами которой являются направляющие косинусы преобразования подвижной системы координат (x1, x2, x3) относительно кристаллофизической системы координат (x1, x2, x3), причем греческие индексы соответствуют подвижным осям, а латинские – кристаллофизическим.

Случай равенства нулю недиагональных элементов матрицы [c 1 1 ] дает условия продольных нормалей:

a11a12[a11 (c14 2c56 ) a12c24 a13 (3c34 2c14 4c56 )] a12a13[a11 (3c16 2c36 4c45 ) a12c26 a13 (c36 2c45 )] a12 (c25 2c46 )(a11 a13 ) a13 (3a11 a13 )c35 a11 (3a13 a11 )c15 0, a11a12 [a11c15 a12 (c25 2c46 ) a13 (3c35 2c25 4c46 )] a11a13[a11c16 a12 (3c26 4c45 2c36 ) a13 (c36 2c45 )] a12a13[a11 (c12 c13 2c55 2c66 ) a12 (c22 c23 2c44 ) a11 (c14 2c56 )(a12 a13 ) a12 (a12 3a13 )c24 a13 (3a12 a13 )c34 0, a11a13[a11 (c14 2c56 ) a12 (3c24 2c14 4c56 ) a13c34 ] a12 a13[a11 (3c15 4c46 2c25 ) a12 (c25 2c46 ) a13c35 ] a11 (a11 3a12 )c16 a12 (3a11 a12 )c26 a13 (a11 a12 )(c36 2c45 ) 0.

Входящие в (2)–(4) «ужесточенные» модули упругости выражаются через «неужесточенные» модули упругости и добавочную жесткость:

Направления поляризации чисто поперечных волн, распространяющихся вдоль продольных нормалей, можно найти, используя соотношения ортогональности где – символ Кронекера. Скорости распространения чистых мод упругих волн, распространяющихся вдоль продольных нормалей, легко получить подстановкой найденных направляющих косинусов в диагональные элементы матрицы:

Для отыскания поперечных нормалей следует перебирать все найденные ранее направления поляризации чисто поперечных мод и подставлять их в систему С вычислительной точки зрения задача отыскания направляющих косинусов продольных и поперечных нормалей в кристалле затруднена решением системы нелинейных уравнений (2)–(4) с дополнительными условиями (5), (6), (8). Поэтому нами разработана компьютерная программа, использующая пакет Maple 9 Student Edition в операционной системе Windows 7, решающая весь круг перечисленных выше вопросов. Для получения исчерпывающих сведений об особенностях распространения упругих волн в конкретном пьезоэлектрическом кристалле пользователю нужно лишь ввести табличные значения плотности среды и компонентов тензоров модулей упругости, пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей.

В табл. 1–2 приведены примеры использования разработанной программы для отыскания чисто продольных мод в непьезоэлектрическом кристалле сапфира (-Al2O3) и в пьезоэлектрическом кристалле ниобата лития (LiNbO3) из класса симметрии 3m.

Упругие свойства продольных нормалей сапфира (-Al2O3) Упругие и электромеханические свойства продольных нормалей ниобата лития (LiNbo3) Вторая модель основана на использовании уравнения Грина – Кристоффеля (в тех же допущениях) и построении поверхностей фазовых скоростей в общем случае одной квазипродольной и двух квазипоперечных упругих волн. Уравнение Грина – Кристоффеля записывается в виде а соответствующее ему характеристическое уравнение Кубическое относительно v2 уравнение (10) успешно решается с использованием программного пакета Maple 9 Student Edition в операционной системе Windows 7. Его решением являются три явно установленные функциональные зависимости (f1, f2, f3) скорости волны v от модулей упругости, пьезоконстант, диэлектрических проницаемостей, плотности кристалла и трех направляющих косинусов направлений распространения. Величина скорости будет определяться длиной вектора, проведенного из начала сферической системы координат к соответствующей поверхности. Пробегая по всем направляющим косинусам, получим трехмерные изображения поверхностей фазовых скоростей упругих волн в кристаллах.

Если геометрический образ поверхности сложен для обозрения, удобно построить ее сечения различными плоскостями, в том числе и координатными.

Условие для чистых мод формулируется так: равенство нулю производной f по характеристическим углам сферической системы координат, через которые выражаются a11, a12, a13.

С вычислительной точки зрения задача построения поверхностей фазовых скоростей упругих волн в кристаллах и отыскание на ней направлений продольных и поперечных нормалей представляет собой задачу построения трехмерного геометрического образа. Такого рода построения реализуемы в пакете Maple 9 Student Edition (операционная система Windows 7). Нами разработана другая компьютерная программа, использующая данный пакет и решающая эту задачу. Для получения всех сведений об особенностях распространения упругих волн в конкретном кристалле пользователю нужно также ввести табличные значения плотности среды и компонентов тензоров модулей упругости, пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей.

В качестве примера рассмотрим непьезоэлектрический кристалл сапфира (-Al2O3), принадлежащего к классу симметрии 3m тригональной сингонии. На рис. 1 приведены примеры построения трехмерной поверхности фазовых скоростей квазипродольной упругой волны, а также сечения этой поверхности координатными плоскостями, где стрелками указаны направления распространения чистых мод упругих волн. Числа при осях указывают скорость распространения волны.

Рис. 1. Поверхность фазовых скоростей продольной волны в сапфире (а) и сечения этой поверхности плоскостями (100) (б), (010) (в) и (001) (г) Обе разработанные модели имеют свои достоинства и недостатки. Первая модель дает более точные в количественном отношении результаты, но не обладает наглядностью. Вторая модель, наоборот, более наглядная, но менее точная. В совокупности обе математические модели полностью описывают акустические свойства кристаллов, а разработанные компьютерные программы автоматизируют эту задачу.

В третьей главе разработанные математические модели используются в численных расчетах упругих характеристик и поиске чистых мод упругих волн в 2D-супракристаллах (рис. 2).

Рис. 2. 2D-супракристаллические структуры и вид соответствующей Достоинством описанных моделей является простота их применимости к различным кристаллическим средам, в том числе и супракристаллическим (надкристаллическим), возможность существования которых была обоснована ранее (Браже, Каренин [7]) посредством квантово-механических расчетов.

На рис. 2 показаны структуры двумерных супракристаллов и супракристаллических решеток. В их обозначении X – символ химического элемента, а индексы за скобками располагаются в следующем порядке: первый индекс определяет вид супраячейки, последующие индексы описывают вид ячеек вложения. Сначала указывается количество сторон узловой ячейки, затем то же самое у окружающих ячеек (если они существуют). Числа в скобках указывают вид многоугольника в центре ячейки.

Численный расчет упругих характеристик наноразмерных и макроразмерных структур и материалов традиционно рассматривается в терминах силовых констант. Он основывается на двух подходах: модели Китинга – Мартина (метод жестких связей) и квантово-механическом подходе (метод валентных связей). Здесь мы воспользовались вариантом квантовомеханического подхода – приближением сильной связи Харрисона. Этот подход был использован Давыдовым [8] для двумерных систем – графена и силицена.

Силовые константы центрального взаимодействия и нецентрального взаимодействия атомов выражаются как Здесь l – длина связи, – угол поворота каждой из входящих в -связь орбиталей, Eatom – энергия, приходящаяся на один атом, Ebond – энергия, приходящаяся на одну связь, получающаяся путем деления энергии Eatom на количество ближайших соседей. Выражения (11) применимы для структур различной размерности, как двумерных, так и трехмерных. В то же время они могут быть использованы для описания структур, состоящих из атомов одного или двух сортов в гибридизациях sp, sp2, sp3.

В результате применения (11) для графена Давыдовым были получены выражение для силовых констант центрального и нецентрального взаимодействия через энергии металлической V1 и ковалентной связей V2:

где – безразмерный коэффициент, который выражается через матричные элементы оператора ковалентной энергии между соответствующими атомными волновыми функциями s- и p-состояний.

Выражения (12) были использованы далее для расчета силовых констант углеродных 2D-супракристаллов. Используя рассчитанные константы и руководствуясь основанной на модели Китинга схемой, предложенной Давыдовым, можно определить упругие постоянные 2D-супракристаллов и оценить скорости распространения в них упругих волн.

Выведенные выражения для отличных от нуля компонентов тензора модулей упругости для 2D-супракристалла типа (X)44 имеют вид а для 2D-супракристаллов с гексагональной супраячейкой При переходе к двумерным кристаллам матрица направляющих косинусов подвижной системы координат (x1, x2, x3) относительно неподвижной (x1, x2, x3) принимает вид (рис. 3) Рис. 3. Расположение координатных осей для двумерных кристаллов Для класса 4mm система (2)–(4), определяющая направления продольных нормалей, при подстановке в нее (15) и компонентов двумерного тензора модулей упругости приводит к условию Для классов 6, 6mm система (2)–(4) допускает любые решения, т. е. кристаллы этих классов акустически изотропны.

Скорости распространения квазипродольной и квазипоперечной волны являются корнями соответствующего характеристического уравнения (10) и зависят от модулей упругости кристалла, его плотности и направляющих косинусов. Направления распространения чисто продольных и чисто поперечных упругих волн соответствуют экстремальным значениям фазовых скоростей и перпендикулярны касательным к линиям скоростей в точках экстремумов.

Для отыскания распространяющихся вдоль определяемых вышеуказанными условиями продольных нормалей скоростей чистых мод упругих волн следует воспользоваться формулой где s2 2 1 – удельная поверхность кристалла, обратная его двумерной плотности.

В табл. 3 представлены результаты вычислений скоростей распространения продольной и поперечной упругих волн в углеродных 2D-структурах.

Края диапазона значений скорости соответствуют чисто продольным и чисто поперечным волнам, распространяющихся под углами 1 = 0° и 2 = 45° к оси x1 (рис. 4).

Характеристики упругих волн в углеродных 2D-структурах Из анализа результатов, представленных в табл. 3, следует, что скорости распространения упругих волн в графене почти вдвое превышают их значения для объемных волн в алмазе. Близки к ним значения скоростей упругих волн и в 2D-супракристаллах (С)44, (С)664. Правда, за счет малой величины с по сравнению с с11 и с12 скорость чисто поперечной волны в структуре (С) существенно меньше, чем в графене и в структуре (С) 664. Несколько меньшими значениями характеризуются скорости распространения упругих волн в структуре (С)63(12). Что касается двумерных углеродных sp3-наноаллотропов, то в них скорости распространения упругих волн в несколько раз меньше, чем в sp2-наноаллотропах углерода, что связано с их гораздо худшими упругими характеристиками.

На рис. 4 показаны линии фазовых скоростей упругих волн в 2D-супракристалле (С)44 и в графене, построенные с использованием второй компьютерной программы. Из него видно, что в структуре (С) 44, принадлежащей к классу симметрии 4mm, существуют четыре направления (через каждые 45°), в которых могут распространяться чистые моды упругих волн.

Графен, как и остальные 2D-супракристаллы, принадлежащие к классу симметрии 6mm, является акустически изотропной двумерной средой.

Рис. 4. Линии фазовых скоростей продольных (1) и поперечных (2) упругих волн Отметим, что в двумерных кристаллах, в отличие от трехмерных, не встречаются случаи, когда поперечные нормали не совпадают с продольными нормалями.

Выше были рассчитаны упругие характеристики углеродных 2D-супракристаллов в сравнении с их частным случаем – графеном и исследованы особенности распространения в них продольных и поперечных (сдвиговых) упругих волн. Однако в графеноподобных планарных наноразмерных структурах наряду с деформациями растяжения/сжатия и деформациями сдвига возможны также упругие деформации изгиба, обусловливающие существование изгибных волн. Такие деформации необходимо учитывать при разработке устройств гибкой наноэлектроники, а сами изгибные волны могут найти применение в устройствах наноакустоэлектроники.

Волновое уравнение, описывающее изгибные волны в оболочке одноатомной толщины, можно записать в виде где 2 – двумерная плотность кристалла, D2 – двумерный модуль изгиба, – оператор Лапласа по координатам x1 и x2 (в плоскости оболочки), u – смещение частиц.

Подставляя уравнение монохроматической волны в (18) получаем дисперсионное уравнение Из (19) легко найти фазовую vf и групповую Uf скорости распространения изгибных (flexural – англ.) волн:

Видно, что изгибные волны в планарных супракристаллических структурах, в отличие от продольных и поперечных упругих волн, обладают дисперсией:

их скорость распространения зависит от частоты (волнового числа). Значения 2 fA приведены в табл. 4.

Характеристики изгибных волн в графене и углеродных 2D-супракристаллах Примечание: для структуры (С)44 левое значение соответствуют направлению, а правое – направлению.

Как следует из табл. 4, скорости распространения изгибных волн в несколько раз меньше соответствующих значений для продольных и поперечных упругих волн. На рис. 5 представлены результаты расчета по формуле (20) фазовой скорости изгибной волны в графене как функции частоты и амплитуды.

Рис. 5. Зависимость фазовой скорости изгибной волны В целом, фазовая скорость изгибных волн в 2D-супракристаллах в несколько раз меньше фазовой скорости продольных и поперечных упругих волн в этих же структурах.

В четвертой главе исследованы упругие и акустические характеристики 3D-супракристаллов на примере супракристалла (С)СТО. В модельном представлении под 3D-супракристаллами понимают бесконечные трехмерные кристаллические структуры, в которых отдельные атомы, ионы или молекулы, составляющие узловой элемент кристаллической решетки, замещены симметричными атомными ассоциатами. Атомные ассоциаты должны иметь форму правильных (Платоновых) или полуправильных (Архимедовых) геометрических тел (рис. 6).

Структура 3D-супракристалла (С)СТО изображена на рис. 7 более детально.

Рис. 7. Пространственная структура супракристалла (С) СТО Выражения для силовых констант центрального и нецентрального взаимодействий атомов углерода в (С)СТО имеют вид Выражения для компонентов тензора упругих жесткостей в случае кристаллов кубической сингонии имеют следующий вид:

где 4a – постоянная решетки. В табл. 4 приведены результаты расчета по формулам (22), (23). Значения величин во втором столбце слева рассчитаны по нашей методике для алмаза, во втором столбце справа – их экспериментальные значения.

Результаты расчета упругих характеристик (С)СТО в сравнении с алмазом Чисто продольные и чисто поперечные моды отвечают направлениям, проходящим через точки экстремумов изображенных поверхностей. Это кристаллофизические направления (-мода), (-мода) и (мода). Соответствующие результаты приведены в табл. 5.

Скорости распространения чистых мод упругих волн в супракристалле (С) СТО В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Построена математическая модель распространения упругих волн в кристаллах, позволяющая исследовать условия существования чистых мод таких волн на основе метода диагонализации коэффициентов волнового уравнения. Модель позволяет находить направления, поляризацию, а также скорости распространения и коэффициенты электромеханической связи (в случае пьезоэлектрика) чисто продольных и чисто поперечных упругих волн в 3D- и 2D-кристаллах и супракристаллах.

2. Построена математическая модель распространения упругих волн в кристаллах, позволяющая исследовать условия существования чистых мод таких волн на основе метода построения и анализа поверхностей (линий) фазовых скоростей. Наряду с моделью, указанной в п. 1, данная модель позволяет упростить и унифицировать проблему поиска чистых мод упругих волн в кристаллах и супракристаллах.

3. Разработан комплекс программ, основанных на построенных математических моделях, позволяющий по заданным значениям плотности кристалла, его упругих, диэлектрических и пьезоэлектрических постоянных полностью описать особенности распространения упругих волн в 3D- и 2D-кристаллах и супракристаллах, если известен их класс симметрии.

4. Впервые на основе численных методов и разработанных программ вычислены компоненты тензоров упругих жесткостей, двумерные модули Юнга, коэффициенты Пуассона и скорости распространения продольных и поперечных упругих волн в графеноподобных 2D-супракристаллах.

5. Впервые рассчитаны модули изгиба, дисперсия и скорости распространения изгибных волн в планарных графеноподобных 2D-супракристаллах.

6. Впервые на основе численных методов и разработанных программ вычислены компоненты тензора упругих жесткостей и скорости распространения продольных и поперечных упругих волн в углеродном супракристалле (С)СТО.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Borgnis, F. E. Specific directions of longitudinal wave propagation in anisotropic media / F. E. Borgnis // Phys. Rev. – 1955. – V. 98. – P. 1000–1005.

2. Brugger, K. Pure modes for elastic waves in crystals / K. Brugger // J. Appl. Phys. – 1965. – V. 36. – № 3. – Part 1. – P. 759–768.

3. Chang, Z. P. Pure transverse modes for elastic waves in crystals / Z. P. Chang // J. Appl.

Phys. – 1968. – V. 39. – № 12. – P. 5669–5681.

4. Любимов, В. Н. Учет пьезоэффекта в теории упругих волн для кристаллов различной симметрии / Докл. АН СССР. – 1969. – Т. 186. – № 5. – С. 1055-1058.

5. Pelez, K. P. Calculation of phase and group angels, slowness surface and ray tracing in transversely isotropic media / K. P. Pelez // Ciencia, Tecnologia y Futuro. – 2006. – V. 3. – P. 41–56.

6. Duarte, M. Slowness surface calculation for different media using the symbolic mathematics language Maple / M. Duarte // Earth Sciences Research Journal. – 2004. – V. 8(1), P. 63–67.

7. Браже, Р. А. Компьютерное моделирование физических свойств супракристаллов / Р. А. Браже, А. А. Каренин // Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2011. – Т. 18. – № 2. – С. 105–112.

8. Давыдов, С. Ю. Об упругих характеристиках графена и силицена / С. Ю. Давыдов // ФТТ. – 2010. –Т. 52. – №1. – С. 172–174.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Kochaev, A. I. Pure modes for elastic waves in crystals: mathematical modeling and search / A. I. Kochaev, R. A. Brazhe // Acta Mechanica. – 2011. – V. 220. – № 1–4. – 2. Kochaev, A. I. Mathematical modeling of elastic wave propagation in crystals: 3D-wave surfaces / A. I. Kochaev, R. A. Brazhe // Acta Mechanica. – 2011. – V. 222. – № 1–2. – P. 193–198.

3. Kochaev, A. I. 2D supracrystals as a promising materials for planar nanoacoustoelectronics / A. I. Kochaev [et al] // J. Phys. : Conf. Ser. – 2012. – V. 345. – P. 012007.

4. Браже, Р. А. Упругие характеристики углеродных 2D-супракристаллов в сравнении с графеном / Р. А. Браже, А. А. Каренин, А. И. Кочаев, Р. М. Мефтахутдинов // ФТТ. – 2011. – Т. 53. – Вып. 7 – С. 1406–1408.

5. Браже, Р. А. Упругие волны в углеродных 2D-супракристаллах / Р. А. Браже, А. И. Кочаев Р. М. Мефтахутдинов // ФТТ. – 2011. – Т. 53. – Вып. 8 – С. 1614–1618.

6. Браже, Р. А. Общий метод поиска чистых мод упругих волн в кристаллах / Р. А. Браже, А. И. Кочаев // Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2010. – Т. 15. – № 3. – С. 115–125.

7. Браже, Р. А. Метод поиска чистых мод упругих волн в кристаллах из 3Dповерхностей фазовых скоростей / Р. А. Браже, А. И. Кочаев // Известия ВУЗов.

Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – Т. 17. – № 1. – С. 116–125.

8. Кочаев, А. И. Супракристаллы – новый класс наноразмерных материалов и структур для наноэлектроники и водородной энергетики / А. И. Кочаев, П. А. Арефьева, А. А. Каренин, И. С. Оленин, Р. А. Браже // Физическое образование в вузах. Приложение. – 2011. – Т. 17. – № 1. – С. 115.

9. Кочаев, А. И. Упругие волны в 2D- и 3D-супракристаллах / А. И. Кочаев // Физическое образование в вузах. Приложение. – 2012. – Т. 18. – № 1. – С. П18.

10. Браже, Р. А. Чистые моды упругих волн в двумерных кристаллах / Р. А. Браже, А. И. Кочаев // Радиоэлектронная техника: межвузовский сб. науч. тр. – Ульяновск, 2010. – С. 40–45.

11. Браже, Р. А. О преодолении стереотипов в преподавании физики в связи с появлением нано- и метаматериалов / Р. А. Браже, А. А. Гришина, А. А. Каренин, П. А. Арефьева, А. И. Кочаев // Мат. Межд. шк.-сем. «Физика в системе высшего и среднего образования». – Москва: МИФИ, 2011. – С. 69–71.

12. Арефьева, П. А. Математическое моделирование супракристаллических наноразмерных структур / П. А. Арефьева, Р. А. Браже, А. А. Каренин, А. И. Кочаев, Р. М. Мефтахутдинов // Мат. Шестой Всеросс. конф. «Необратимые процессы в природе и технике», Ч. II. – Москва: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. – С. 30–38.

13. Кочаев, А. И. Разработка теоретических основ физики супракристаллических наноразмерных материалов / А. И. Кочаев, А. А. Каренин, П. А. Арефьева // Молодежный инновационный форум Приволжского федерального округа. Конкурс научнотехнического творчества молодежи (НТТМ). – Ульяновск, 2011. – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://ify.ulstu.ru.

14. Кочаев, А. И. О применении принципа Гюйгенса–Френеля к поиску чистых мод упругих волн в кристаллах / А. И. Кочаев // Мат. Межд. науч.-практ. конференции «Формирование учебных умений в процессе реализации стандартов образования».

– Ульяновск: УлГПУ им. И. Н. Ульянова, 2011. – С. 86–89.

15. Кочаев, А. И. Математические модели и компьютерные программы поиска чистых мод упругих волн в кристаллах / А. И. Кочаев // Тез. докл. V Всеросс. конф. молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». – Саратов:

СФИРЭ РАН, 2010. – С. 142–143.

16. Кочаев, А. И. Акустика супракристаллов / А. И. Кочаев // Мат. 13-й регион. науч.

шк.-сем. «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники». – Ульяновск: УФИРЭ им. В. А. Котельникова РАН, 2010. – С. 34.

17. Кочаев, А. И. Особенности распространения упругих волн в 3D-супракристаллах / А. И. Кочаев // Мат. 14-й регион. науч. шк.-сем. «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники». – Ульяновск: УФИРЭ им. В. А. Котельникова РАН, 2011. – С. 20–21.

18. Кочаев, А. И. Чистые моды упругих волн в пьезоэлектрических кристаллах: математическая модель и компьютерная программа / А. И. Кочаев // Тез. докл. 44-й науч.-техн. конференции УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях». – Ульяновск: УлГТУ, 2010. – С. 142.

19. Браже, Р. А. Акустика супракристаллов / Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов, А. И. Кочаев // Тез. докл. 45-й науч.-техн. конференции УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях». – Ульяновск: УлГТУ, 2010. – С. 208.

20. Кочаев, А. И. Программа поиска направлений и скоростей распространения чистых мод упругих волн в кристаллах, в общем случае, обладающих пьезоэффектом.

Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ №2011614305 от 31 мая 2011 г.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЧИСТЫХ МОД УПРУГИХ ВОЛН

В КРИСТАЛЛАХ И СУПРАКРИСТАЛЛАХ

Подписано в печать 21.02.2012. Формат 60х84/16.

Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.





Похожие работы:

«Володин Александр Геннадьевич Лидеры меньшевиков в отечественной и зарубежной историографии Специальность 07.00.09. – Историография, источниковедение и методы исторического исследования Автореферат Диссертации на соискание ученой степени кандидата исторических наук Казань 2008 3 Диссертация выполнена на кафедре историографии, источниковедения и методов исторического исследования Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова – Ленина Научный руководитель – доктор...»

«Борисова Анна Александровна ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ В РЕГИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКЕ: АНАЛИЗ ДИНАМИКИ И ТИПОЛОГИЗАЦИЯ 08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Волгоград – 2014 1 Работа выполнена на кафедре экономики и финансов ФГБОУ ВПО Ивановский государственный химико–технологический университет доктор экономических наук, профессор Научный руководитель...»

«Ктиторов Лев Владимирович Динамика безударного сжатия газа в цилиндрических слоистых мишенях для ИТС Специальность 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2010 Работа выполнена в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова Научные руководители: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Забродин Алексей Валериевич доктор...»

«ТХЕИН ЛИН У ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МОБИЛЬНЫХ СОЛНЕЧНЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВОК В УСЛОВИЯХ ДЛИТЕЛЬНОГО ЗАТЕНЕНИЯ Специальность: 05.13.06. Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (в приборостроении) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук Москва – 2010 г. Работа выполнена на кафедре Системы автоматического управления и контроля в Московском Государственном Институте...»

«Кудрявцев Сергей Владимирович НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ БАЛОК С ГОФРИРОВАННОЙ СТЕНКОЙ, ОСЛАБЛЕННОЙ КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ Специальность 05.23.01 – Строительные конструкции, здания и сооружения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Екатеринбург – 2011 Работа выполнена в ФГАОУ ВПО Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина. Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Рогалевич Виктор...»

«ПАГИН Максим Петрович ПОВЫШЕНИЕ СТОЙКОСТИ РЕЖУЩИХ ИНСТРУМЕНТОВ ИЗМЕНЕНИЕМ ТРИБОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЮВЕНИЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАПРАВЛЕННЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ АКТИВИРОВАННЫХ ГАЗОВЫХ СРЕД Специальности: 05.02.07 – Технологии и оборудование механической и физико-технической обработки Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2010 Работа выполнена в Ивановском государственном университете Научный руководитель : доктор технических наук,...»

«АФАНАСЬЕВА ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА МАРКЕТИНГОВЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ СТРАТЕГИЧЕСКИМ РАЗВИТИЕМ ХОЗЯЙСТВУЮЩИХ СУБЪЕКТОВ СФЕРЫ ЗДРАВООХРАНЕНИЯ Специальность: 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (маркетинг) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Санкт-Петербург – 2011 Диссертационная работа выполнена в ФГОУ ВПО Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Научный руководитель : кандидат...»

«ЛУШНИКОВ Олег Вадимович ПРЕДПОСЫЛКИ, ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ ЕВРАЗИЙСКОЙ ИДЕИ: ИСТОРИЯ И СОВРЕМЕННОСТЬ Специальность 07.00.02 – отечественная история, 07.00.09 – историография, источниковедение и методы исторического исследования АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата исторических наук Ижевск – 2009 Работа выполнена в Государственном...»

«Майкова Евгения Владимировна БИОХИМИЧЕСКИЕ И ГЕНЕТИЧЕСКИЕ МАРКЕРЫ ИЗМЕНЕНИЯ АКТИВНОСТИ АНТИОКСИДАНТНОЙ СИСТЕМЫ КРОВИ ПРИ ИШЕМИЧЕСКОЙ БОЛЕЗНИ СЕРДЦА 03.01.04 – биохимия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата биологических наук Казань – 2012 Работа выполнена на кафедре биохимии Федерального...»

«Шамшутдинова Варвара Владимировна ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ДВУХУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДАРБУ Специальность 01.04.02 – теоретическая физика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Томск – 2008 Работа выполнена на кафедре квантовой теории поля ГОУ ВПО Томский государственный университет Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Самсонов Борис Федорович Официальные оппоненты : доктор...»

«ЗУБОВ Александр Евгеньевич СЦЕНОГРАФИЯ ТЕАТРОВ БАРНАУЛА И НОВОСИБИРСКА 1945 – 1990 ГОДОВ Специальность 17.00.04 – изобразительное искусство, декоративно-прикладное искусство и архитектура АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата искусствоведения Барнаул 2009 Работа выполнена на кафедре истории отечественного и зарубежного искусства Алтайского государственного университета Научный руководитель : кандидат искусствоведения, профессор Шангина Елена Федоровна...»

«Сысоева Ольга Алексеевна Пародия как жанрообразующий фактор романной прозы Саши Соколова Специальность: 10.01.01 – русская литература АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата филологических наук Москва - 2008 Работа выполнена на кафедре русской филологии Технического института (филиала) Якутского государственного университета им. М.К.Аммосова Научный руководитель : доктор филологических наук, профессор Кихней Любовь Геннадьевна. Официальные оппоненты :...»

«Викторов Илья Николаевич Борьба вокруг фондов наёмных работников в условиях кризиса шведской модели. (1970-е - середина 1980-х гг.) Специальность 07.00.03 – Всеобщая история (Новая и новейшая история) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата исторических наук Екатеринбург 2005 Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Уральский государственный университет им. А.М. Горького на кафедре новой и...»

«Тишанин Даниил Евгеньевич Конституционная ответственность высшего должностного лица субъекта Российской Федерации: проблемы теории и практики Специальность: 12.00.02 – конституционное право; муниципальное право АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата юридических наук Челябинск - 2012 Работа выполнена на кафедре конституционного права и муниципального права ФГБОУ ВПО Челябинский государственный университет доктор юридических наук, профессор, Научный...»

«Максименко Андрей Владимирович УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ ОБСЛУЖИВАНИЯ В СЕТЯХ СПУТНИКОВОЙ СВЯЗИ ПРИ ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ МНОГОПРИОРИТЕТНОЙ НАГРУЗКЕ Специальность 05.13.11 математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва - 2013 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Вычислительном центре им. А.А.Дородницына Российской...»

«ГУБАНОВА МАРИНА ИВАНОВНА АНТИПРИГАРНЫЕ ПОКРЫТИЯ ДЛЯ ПИЩЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ НА ОСНОВЕ ФТОРОПЛАСТОВЫХ КОМПОЗИЦИЙ Специальность 05.17.06 - Технология и переработка полимеров и композитов АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва 2007 2 Работа выполнена в Московском государственном университете прикладной биотехнологии на кафедре Технологии упаковки и переработки ВМС. Научный руководитель : кандидат технических наук, доцент Ананьев Владимир...»

«УДК 517.095 МАРТЕМЬЯНОВА Нина Викторовна НЕЛОКАЛЬНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань 2012 Работа выполнена на кафедре математики и методики обучения ФГБОУ ВПО Поволжская государственная социально-гуманитарная академия и в отделе физико-математических и...»

«ЭНБОМ Екатерина Александровна НЕКОТОРЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В ТРЕХМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ 01.01.02 -дифференциальные уравнения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань - 2003 Работа выполнена на кафедре математического анализа Самарского государственного педагогического университета. Научный руководитель : заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук,...»

«Стукаленко Дмитрий Олегович ПРОГНОЗИРОВАНИЕ, ПРОФИЛАКТИКА И ЛЕЧЕНИЕ ОСТРЫХ ЭРОЗИЙ И ЯЗВ ЖЕЛУДОЧНО-КИШЕЧНОГО ТРАКТА У РАНЕНЫХ И ПОСТРАДАВШИХ 14.00.27 - хирургия 14.00.47 - гастроэнтерология. АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Санкт-Петербург 2006 2 Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Военно-медицинская академия им. С.М. Кирова Министерства обороны РФ на 2 кафедре...»

«Алексенцева Ольга Николаевна РАЗРАБОТКА МОДЕЛЕЙ И ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ОЦЕНКИ РИСКОВ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ НА ОСНОВЕ ТЕХНОЛОГИЙ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Волгоград – 2007 Работа выполнена в ГОУ ВПО Саратовский государственный социально-экономический университет Научный руководитель доктор экономических наук, кандидат...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.