На правах рукописи

Хакимуллин Александр Евгеньевич

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КРАЙНИХ ЧЛЕНОВ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

В СХЕМЕ РАЗМЕЩЕНИЯ ЧАСТИЦ КОМПЛЕКТАМИ

СЛУЧАЙНОЙ ДЛИНЫ

01.01.05 – «Теория вероятностей и математическая статистика»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Московском государственном институте электроники и математики (технический университет)

Научный руководитель:

- доктор физико-математических наук, профессор, академик Академии криптографии Ивченко Г.И.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор, академик Академии криптографии Медведев Ю.И.

- доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Михайлов В.Г.

Ведущая организация:

- Российский Государственный Гуманитарный Университет (РГГУ)

Защита состоится « 13 » июня 2006 г. в 17 час. на заседании Диссертационного Совета К 212.133.01 Московского государственного института электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Большой Трехсвятительский переулок, 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ.

Автореферат разослан « 11 » мая 2006 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета К 212.133.01 МГИЭМ кандидат физико-математических наук, доцент Е.Р.Хакимуллин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящей работе рассматривается равновероятная схема размещения частиц комплектами: n комплектов по 1, 2, K, n частиц (размеры комплектов являются независимыми копиями целочисленной случайной величины, принимающей значения от l до L) независимо друг от друга (L N ) размещаются в ячейках, частицы одного комплекта N C Ni размещаются в ячейках по одной, причем все возможных размещений частиц j-го комплекта равновероятны. Обозначим j - число частиц в ячейке с номером j, j=1,…,N после размещения n комплектов частиц.

Располагая в неубывающем порядке величины 1,K, N, построим их вариационный ряд (1) K ( N ).

Диссертация посвящена изучению предельного распределения крайних членов вариационного ряда ( N m +1) и (m) для любого фиксированного nE E целого m 1 при n, N, x, 0 x <, p, 0 p и выполнении для любого целого неотрицательного k дополнительного условия следующего вида на концентрацию распределения размера комплекта:

где (a) k = a(a 1)...(a k + 1).

Актуальность темы. За последние шестьдесят лет в исследованиях по теории вероятностей заметное место занимают вероятностные задачи комбинаторного характера. Одним из интенсивно развивающихся направлений таких исследований является изучение различных схем размещения частиц по ячейкам (см., например [5]).

При P{ = 1} = 1 изучаемая в диссертации схема представляет собой равновероятную схему размещения частиц по ячейкам, за которой утвердилось название классической [9].

И.И.Викторовой и Б.А.Севастьяновым [1] и [2], а подробное исследование всех членов вариационного ряда в этой же схеме в случае, когда n / ln N стремится к постоянной величине, проведено Г.И.Ивченко [3]. В этих работах исследование вариационного ряда сводится к изучению методом моментов асимптотического поведения случайных величин где µ k (n, N ) - число ячеек, содержащих ровно k частиц, k=0,1,…,r.

В.Ф.Колчиным [6] для изучения классической схемы размещения частиц, и в том числе для изучения членов вариационного ряда, предложен распределения заполнении ячеек 1 K N в виде условного распределения распределённых по закону Пуассона независимых случайных величин при условии, что их сумма равна n.

Поведение членов вариационного ряда в равновероятной схеме размещения частиц комплектами при n, N и фиксированном размере комплектов изучено Е.Р. Хакимуллиным [10], при фиксированном n оно изучено С.Ю. Теребулиным [8].

Схема со случайным размером комплектов рассматривалась ранее Г.И.

Ивченко [4], Т.М. Селке [13], Е.Р. Хакимуллиным и Н.Ю. Энатской [11]. В их работах изучались характеристики, связанные со временем ожидания до заполнения всех или почти всех ячеек.

Для изучения характеристик классической схемы размещения частиц применялись различные асимптотические методы теории вероятностей:

метод моментов, метод перевала, метод сведения к суммам независимых случайных величин, метод оценки нулей производящей функции и другие.

Многие из этих методов опираются на наличие простых выражений для производящих функций изучаемых характеристик. Для схемы размещения частиц комплектами отсутствие простых выражений для производящих функций ограничивает возможность применения перечисленных методов.

В схеме размещения частиц комплектами нашли применений лишь метод моментов и метод "сопровождающих схем", предложенный Б.А.Севастьяновым [7].

Цель работы. Целью работы является доказательство предельных теорем, описывающие поведение крайних членов вариационного ряда заполнений N ячеек комплектами частиц случайной длины при некотором дополнительном условии на распределение длины комплекта и различными соотношениями между параметрами схемы Метод исследования. В диссертации распределение крайних членов вариационного ряда изучается методом моментов, при этом для исследования факториальных моментов приходится оценивать вероятности больших уклонении для суммы независимых векторов, компоненты которых принимают значения 0 и 1.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации решены следущие новые задачи:

- Доказаны предельные теоремы, описывающие поведение крайних членов вариационного ряда заполнений N ячеек комплектами распределение длины комплекта и различными соотношениями между параметрами схемы.

- Приведены примеры распределений длин комплектов, для которых выполняется (или не выполняется) условие на концентрацию размеров комплектов.

характер. Её результаты могут быть полезны специалистам, работающим в области предельных теорем теории вероятностей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором проблемы качества, математического моделирования, информационных, государственном институте электроники и математики (2002-2005 г.г.), на семинаре в МИАН им. В.А. Стеклова (2006 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём диссертаци. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, одного приложения и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объём диссертации 88 страниц. В утверждений и формул.

поддержку при работе над диссертацией.

Работа выполнена при поддержке программы Президента Российской Федерации поддержки ведущих научных школ, грант НШ 1758.2003.1.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность выбранной темы исследования, приведена постановка задачи и сформулированы основные результаты.

Глава 1 посвящена изучению предельных распределений максимальных членов вариационного ряда заполнений N ячеек комплектами частиц распределение длины комплекта и различными соотношениями между параметрами схемы.

Обозначим Следующие семь утверждений являются основными результатами главы 1.

Теорема 1.1. Если n, N, ln N, E N p, 0 p 1 / 2, выполнено условие (), то для любого фиксированного х где u(w,a) – положительная функция, задаваемая в интервале 0 < w < уравнением Теорема 1.2. Пусть n, N, / ln N x, E / N 0, выполнено условие () и последовательность r = r (, N ) выбрана так, что где, х - положительные постоянные. Тогда для любого фиксированного целого k = 0, ± 1, ± 2K, где корень уравнения + x(ln + 1) = 0 в интервале 0 < < 1.

Теорема 1.3. Пусть n, N, / ln N x, E / N p, выполнено условие () и последовательность r = r (, N ) выбрана так, что где, х, p - положительные постоянные 0 < p 1 / 2, x > p / ln p. Тогда для любого фиксированного целого k = 0, ± 1, ± 2K, где корень уравнения где, х, p - положительные постоянные 0 < p 1 / 2, x < p / ln p.. Тогда для любого фиксированного m 1 P ( N m+1) = n 1.

Теорема 1.6. Пусть n, N, / ln N 0, E / N 0, выполнено условие () и последовательность r = r (, N ) выбрана так, что где положительная постоянная. Тогда выполнено условие (). Тогда для любого фиксированного m Качественное описание теорем выглядит следующим образом:

- если / ln N, то при соответствующей нормировке и центрировке максимальные члены вариационного ряда имеют в пределе распределения, обладающие плотностью дважды экспоненциального типа (теорема 1.1.).

сосредоточено в счетном числе точек и разброс этого распределения растет с ростом x. При этом в случае E / N p, 0 < p 1 / 2 на параметр х накладывается дополнительное ограничение x > p / ln p. Этому случаю соответствуют теоремы 1.2 и 1.3.

- если распределение ( N m +1) сосредоточено асимптотически в одной или двух точках. Этим случаям соответствуют теоремы 1.4.-1.7.

Глава 2 посвящена изучению предельных распределений минимальных членов вариационного ряда заполнений N ячеек комплектами частиц распределение длины комплекта и различными соотношениями между параметрами схемы.

Следующие семь утверждений являются основными результатами главы 2.

Теорема 2.1. Если n, N, / ln N, E / N p, 0 p 1 / 2, выполнено условие (), то для любого фиксированного z где v(w,a) – отрицательная функция, задаваемая на отрезке 0 w уравнением Теорема 2.2 Пусть n, N, / ln N x, E / N 0, выполнено условие () и последовательность r = r (, N ) выбрана так, что где - положительные постоянные: x>1. Тогда для любого фиксированного целого k, где корень уравнения + x(ln + 1) = 0 в интервале 1 < <.

Теорема 2.3. Пусть n, N, / ln N x, E / N p, выполнено условие () и последовательность r = r (, N ) выбрана так, что где, p, х - положительные постоянные: 0 < p 1 / 2, x > p / ln(1 p ).

Тогда для любого фиксированного целого k, где корень уравнения в интервале1 < <.

Теорема 2.4. Пусть n, N, / ln N x, E / N p, выполнено условие () и последовательность r = r (, N ) выбрана так, что где Тогда Теорема 2.5. Пусть n, N, / ln N x, E / N p, выполнено условие () и последовательность r = r (, N ) выбрана так, что где, х, p - положительные постоянные 0 < p 1 / 2, x < p / ln(1 p) Тогда для любого фиксированного m 1 : P{ (m ) = 0} 1.

Теорема 2.6. Пусть n, N, / ln N 1, E / N 0, выполнено условие () и последовательность r = r (, N ) выбрана так, что где - положительная постоянная. Тогда условие (). Тогда для любого фиксированного m 1 P{ ( m ) = 0} 1.

Качественное описание теорем выглядит следующим образом:

- если / ln N, то при соответствующей центрировке и нормировке минимальные члены вариационного ряда имеют в пределе распределения, обладающие плотностью дважды экспоненциального типа.

если / ln N x, то при E / N 0 критическим для (m) является распределение (m) сосредоточено в счетном числе точек (теоремы 2.2, 2.3).

предельные распределения сосредоточены в одной или двух точках. Эти случаи описываются теоремами 2.4 – 2.7.

Заключение посвящено анализу полученных результатов, «близости»

комплектами случайной длины, комплектами фиксированной длины [12] и E = o( N / ln N ), / ln N c > 0 и выполнено условие (), не только параметры предельных распределений, указанных в теоремах 1.1 – 1.2 и 2.1 – 2.2, но нормирующие и центрирующие последовательности совпадают с соответствующими нормирующими и центрирующими последовательностями, в теоремах в классической схеме. То есть, при E = o( N / ln N ), / ln N c > 0 предельные распределения крайних членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами зависят от величины комплекта только через параметр = nE / N и совпадают с соответствующими предельными распределениями для соответствующих крайних членов в классической схеме, если число размещаемых частиц в этой схеме совпадает с целой частью E.

В приложении 1 приводятся примеры конкретных распределений случайных величин, для которых выполняется (или не выполняется) условие (), и следовательно, справедливы вышеуказанные результаты.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Хакимуллин А.Е. Распределение крайних членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами. Тез. Научнотехнической конференции студентов и аспирантов МГИЭМ, М., 2002, с. 41-42.

2. Хакимуллин А.Е. Распределение крайних членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами случайной длины.

Материалы Международной научно-технической конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий». М., Радио и связь, 2002, с. 59-68.

3. Хакимуллин А.Е. Распределение крайних членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами. Тез. Научнотехнической конференции студентов и аспирантов МГИЭМ. М., 2003, с. 15-17.

4. Хакимуллин А.Е. Распределение крайних членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами. Тез. Научнотехнической конференции студентов и аспирантов МГИЭМ. М., 2004, с. 64-65.

5. Хакимуллин А.Е. Распределение крайних членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами. Тез. Научнотехнической конференции студентов и аспирантов МГИЭМ. М., 2005, с. 62-63.

6. Хакимуллин А.Е. Распределение крайних членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами случайной длины.

Дискретная математика, 2005, том 17 выпуск 3, с. 28-44.

1. Викторова И.И., Севастьянов Б.А. 0 предельном поведении максимума в полиномиальной схеме, Математические заметки, I, № 3 (1967), 331-338.

2. Викторова И.И. Об асимптотическом поведении максимума в равновероятной полиномиальной схеме, Математические заметки, 5, № 3 (1969), 305-316.

3. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Асимптотическое поведение числа комплектов частиц в классической задаче о размещении, Теория вероятностей и ее применения, II, № 4, (1966), 701-708.

4. Ивченко Г.И. Сколько потребуется выборок, чтобы увидеть все шары в урне, Математические заметки, 64, №1, (1998), 58-63.

5. Колчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Случайные размещения, М., Наука, 1976.

6. Колчин В.Ф. О предельном поведении крайних членов вариационного ряда в полиномиальной схеме. Теория вероятностей и ее применения, 14, № 3 (1969), 476-487.

7. Севастьянов Б.А, Предельные теоремы в одной схеме размещения частиц по ячейкам. Теория вероятностей и ее применения, II, № 4 (1966), 696-700.

8. Теребулин С.Ю. Вариационный ряд в схеме размещения конечного числа растущих комплектов. Статистические методы, 1982. Межвузовский сборник научных трудов, Пермь.

9. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, М., Мир, 1967.

10. Хакимуллин Е.Р. О предельном поведении максимального заполнения в равновероятной схеме размещения частиц комплектами, Математические заметки, 30, №2 (1981), 277-289.

11. Хакимуллин Е.Р. Энатская Н.Ю. Асимптотический анализ одной схемы размещения комплектов случайной длины. (Метод вложенных схем.) Материалы Международной научно-технической конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий». Сочи, 2000.

12. Хакимуллин Е.Р. Распределение крайних членов вариационного ряда в схеме размещения частиц комплектами. Диссертация. 1981.

13. Sellke T.M. How many iid samples does it take to see all the balls in a box? – Aun.

Appl. Prob., v.5, №1, (1995), 294-309.