На правах рукописи

УДК 517.983.54

Ястребова Ирина Юрьевна

МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ СВЯЗАННОГО ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ

(специальность 01.01.01 - математический анализ)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Екатеринбург-2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Р.А. Шафиев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор И.П. Рязанцева, кандидат физико-математических наук, доцент М.А. Рекант.

Ведущая организация: Институт математики и механики Уральского отделения РАН.

Защита состоится 24 декабря 2003 года в часов на заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете имени A.M. Горького по адресу: 620083, Екатеринбург, пр. Ленина, 51, УрГУ, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. А.М. Горького.

Автореферат разослан "_ _"ноября 2003 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, доцент В.Г. Пименов

Общая характеристика работы

Актуальность представляемой диссертации. Под задачей связанного псевдообращения понимается задача нахождения нормального квазирешения одного линейного операторного уравнения в гильбертовом пространстве (1) Ах = у на множестве псевдорешений другого Вх=z.

При отсутствии связей (2) (В = 0, z = 0) эта задача переходит в классическую задачу псевдообращения, то есть в задачу нахождения нормального псевдорешения уравнения (1). Известно, что классическая задача псевдообращения является абстрактной моделью многих некорректных задач, и ее исследование имеет давнюю и богатую историю.

Фундаментальные результаты этих исследований нашли отражение в монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина; М.М. Лаврентьева; В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы; Ф.П. Васильева и многих других.

Таким образом, задача связанного псевдообращения является обобщением известной задачи, и поэтому ее изучение актуально для развития самой математики. Однако, этим ее значение не ограничивается. Как оказалось, многие содержательные некорректные задачи из различных областей знаний укладываются в рамки этой абстрактно сформулированной задачи, что делает ее изучение необходимым.

Впервые задача связанного псевдообращения поставлена в работе года японских математиков N. Minamide и К. Nakamura. В ней авторы ввели понятие суженного псевдообратного оператора, с помощью которого выписали точное решение задачи, и применили общие результаты к решению одной задачи из области оптимального управления.

В том же 1970 году к задаче связанного псевдообращения пришли В.А. Морозов и Н.Н. Кирсанова и для ее решения предложили регуляризирующий алгоритм, основывающийся на функционале А.Н. Тихонова, в котором стабилизирующая часть ||х|| 2 заменена на ||Вх — z||2.

Исследованию этого метода посвящена книга1) В.А. Морозова 1974 года и переизданная в 1987 году. Однако, применение метода регуляризации В.А. Морозова ограничено требованием так называемой дополнительности операторов А и В, что для составного операторов Г= Г= означает существование на подпространстве R(Г) ограниченного обратного оператора Г-1. Это ограничение присутствует в работах других авторов: В.И. Мелешко, С Джумаева, Б. Алиева, J.H. Hartung, L. Elden, C.W. Groetsch и т.д.

В ряде работ Р.А. Шафиева, результаты которых вошли затем в его книгу2) 1989 года, построен и исследован двупараметрический метод регуляризации, применимый к задаче связанного псевдообращения без требования дополнительности операторов А и В. Р.А.Шафиевым, в основном, рассмотрен операторный вариант этого метода; вариационный вариант двупараметрического метода регуляризации рассмотрен его учеником М.Я. Кугелем.

Тем не менее, в этих работах не решены все проблемы, которые обычно рассматриваются при изучении любого регуляризирующего алгоритВ.А. Морозов. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. - М.: Наука, 1987. - 360 с.

* Р.А. Шафиев. Псевдообращение операторов и некоторые приложения. - Баку: Элм, 1989. с.

ма. Например, не решена проблема выбора параметров регуляризации.

Поэтому дальнейшее изучение этого метода, несомненно, представляет интерес.

Цель работы: исследовать вариационный двупараметрический метод регуляризации задачи связанного псевдообращения; решить проблему выбора параметров регуляризации; построить конечномерный регуляризирующий алгоритм.

Методика исследования широко использует аппарат теории псевдообращения, теории регуляризации, а также общие результаты функционального анализа и теории возмущений.

Научная новизна исследования заключается в следующих основных результатах диссертации:

- установлена сходимость метода регуляризации и его устойчивость в подклассе относительно ограниченных возмущений, в котором устойчиво вычисление псевдообратного оператора Г + ;

- исследован вспомогательный регуляризирующий алгоритм, зависящий от одного параметра r, который является обобщением метода регуляризации В.А. Морозова из цитируемой выше его книги, при условии обобщенной дополнительности операторов A и В. В терминах составного оператора Г это условие означает существование ограниченного псевдообратного оператора Г +. Сформулированы и обоснованы принципы выбора параметра r из вспомогательного регуляризирующего алгоритма, которые в частном случае дополнительности операторов А и В переходят в соответствующие результаты из книги В. А. Морозова. Получены также результаты, которые и в частном случае дополнительности операторов А и B являются новыми и не содержатся в книге В.А. Морозова. Это исследование в бесконечномерном случае дифференциальных свойств функцииневязки и ее степеней и установление возможности применения метода Ньютона для приближенного решения скалярного уравнения, возникающего в процессе выбора параметра r по принципу невязки;

- предложен алгоритм последовательного выбора параметров регуляризации в двупараметрическом методе регуляризации. Сформулированы и обоснованы критерии последовательного выбора параметров регуляризации;

- предложена проекционная схема численного нахождения регуляризованных решений задачи связанного псевдообращения. Сформулированы и доказаны теоремы аппроксимации регуляризованных решений семейством конечномерных регуляризованных решений в случае точных и возмущенных данных;

- рассмотрено применение построенной теории к решению задачи оптимального управления с минимальными затратами энергии. Приведен пример решения задачи оптимального управления.

Научная и практическая ценность. Основные результаты предложенной работы являются новыми и вносят вклад в теорию методов решения некорректных задач. Работа носит как теоретический, так и прикладной характер. Полученные результаты могут быть использованы при решении экстремальных задач и многочисленных уравнений в частных производных, к которым сводится достаточно широкий круг прикладных задач.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались;

- на научных семинарах кафедры математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета (1998, 1999, 2002, 2003 гг.);

- на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета (1998-2003 г.г.);

- на IV, V, VII Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (г. Саров, Нижегородская область, 1999, 2000, 2002 г.г.);

- на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (г. Екатеринбург, 2001 г.);

- на научном семинаре "Методы оптимизации" кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - проф. Ф.П. Васильев, доктор физ.-мат. наук А.С. Антипин, доц. М.М. Потапов) (2003 г.);

- на научном семинаре "Математическая теория оптимального управления" Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (руководители - проф. В.И. Сумин, проф. М.И. Сумин) (2003 г.);

- на научном семинаре кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета (руководитель проф. И.П. Рязанцева) (2003 г.).

Основные результаты отражены в 13 публикациях, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах [2,6,9], выполненных в соавторстве с Р.А. Шафиевым. личным вкладом диссертанта являются формулировки и доказательства теорем. Р.А. Шафиеву принадлежат постановки задач, идеи доказательств основных теорем и общее руководство.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 60 наименований. Материал диссертации изложен на 134 страницах.

тые линейные операторы с непустой общей частью областей определения D, всюду плотной в X, удовлетворяющие условию обобщенной дополнительности:

всех х D, то операторы А и В называются дополнительными. Рассматривается задача связанного псевдообращения (основная задача): по уравнениям (1) и (2) требуется найти элемент х*, удовлетворяющий условиям:

Для нахождения х* - нормального связанного псевдорешения уравнения (1) (решения основной задачи) рассматривается метод регуляризации, состоящий в построении семейства { }, r, а > 0, решений вариационной задачи: Ф (х ) = inf Фrа(х), Функционал (5) характеризуется более сложной связью с исходной задачей, чем функционал А.Н. Тихонова. В отличие от функционала А.Н. Тихонова, функционал (5) ни при каких значениях а и r не включает в себя задачу связанного псевдообращения. Положив в (5) а = 0, получим по существу регуляризирующий алгоритм В.А. Морозова, которым можно воспользоваться, если операторы А и В дополнительные. Однако и здесь возможны ситуации, когда метод В.А. Морозова не применим. Это касается случая плохой обусловленности оператора Г. В этом случае следует использовать двупараметрический метод регуляризации подобно тому, как метод регуляризации А.Н. Тихонова используется в корректных, но плохо обусловленных задачах.

В случае приближенных данных в диссертации предпоAt,Bh, лагаются выполненными следующие условия аппроксимации:

Известно, что при t < 1 и h < 1 операторы At и Вh - замкнутые с областями определения D(At) = D(A), D(Bh) = D(B). Поэтому, если ввести возмущенный оператор,то он оказывается определенным на D, а условия аппроксимации операторов примут вид:

Наряду с условием (7), предполагается выполненным условие "близости"сопряженных операторов:

Известно, что "малость"возмущений (7) обеспечивает выполнение условия (8), если N(T) = {0}, и не обеспечивает, если N(Г) {0}. Таким образом, при выполнении условия дополнительности В.А. Морозова требование (8) излишне, оно выполняется всегда. При выполнении более общего условия (3) (8) вытекает из (7) при дополнительных ограничениях.

Класс таких "малых"возмущений описан в главе I, § 1, п.З, и совпадает он с классом возмущений, обеспечивающим устойчивое вычисление, псевдообратного оператора Г+ (см. замечания 6.1 и 6.2).

Перейдем к содержанию диссертации. Во введении обоснована актуальность темы, обозначаются направления исследования, дается краткая аннотация работы.

В главе I собраны сведения о псевдообратных операторах к замкнутым операторам, об их устойчивом вычислении в классе относительно ограниченных возмущений, и о связи с нормальными псевдорешениями уравнений. Следующие результаты главы I являются новыми.

Пусть U: X G- замкнутый линейный оператор, действующий между гильбертовыми пространствами X и G, и пусть область определения оператора U всюду плотна в X.

Теорема 1.2. Пусть Т: X X - линейный оператор такой, что оператор UT = ТРN(U) + U*U, где РN(U) - ортопроектор на N(U), имеет обратный. Тогда справедливо следующее представление псевдообратного оператора Замечание 1.11. Если оператор U нормально разрешим, то представление псевдообратного оператора (10) определено для D(U*) и может быть продолжено по непрерывности на все пространство G.

Вторая глава начинается с постановки задачи n-связанного псевдообращения. Установлены достаточные условия, а также необходимые и достаточные условия разрешимости этой задачи, найдены вид решений и вариационные равенства, характеризующие эти решения. Приводится п + 1-параметрический регуляризирующий функционал. Эти результаты обобщают соответствующие результаты из цитируемой выше книги Р.А. Шафиева на случай замкнутых операторов.

При п — 1, то есть для задачи связанного псевдообращения (4), получены следствия:

Следствие 3.16. Решение основной задачи х* 2. х* и удовлетворяет соотношениям Теорема 4.1. При любых > 0 и любых r > 0 экстремали функционала (5) хrа существуют и определяются однозначно.

Замечание 4.2. Искомые элементы хrа лежат в D.

В условиях (3), (6) и (9) доказана сходимость и устойчивость регуляризованных решений в норме графика оператора Г:

Теорема 5.1. Имеет место соотношение;

согласования rh + В диссертации впервые рассматривается проблема алгоритмического выбора параметров в двупараметрическом методе регуляризации. Предложен алгоритм последовательного выбора параметров регуляризации:

параметр r выбирается из вспомогательного регуляризирующего алгоритма, зависящего только от параметра r; параметр а - из исходного алгоритма, в котором параметр r фиксируется выбранным значением.

основе функционала как метод, состоящий в аппроксимации х* семейством {хr} решений вариационной задачи Fr{xr) = inf Fr(x). Исследование этого метода представляет и самостоятельный интерес, так как он рассмотрен ранее В.А. Морозовым в цитируемой выше его книге при более сильном, чем (3), ограничении дополнительности операторов А и В.

Вспомогательному регуляризирующему алгоритму (11) посвящена глава III диссертации.

Fr(xr). Потребовалось доказательство следующего предложения.