«АЛГОРИТМЫ АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИГНАЛОВ ...»

На правах рукописи

Джиган Виктор Иванович

АЛГОРИТМЫ АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ

СИГНАЛОВ

05.12.04 – «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

Москва – 2006

Работа выполнена в Государственном унитарном предприятии г. Москвы Научно-производственном центре «Электронные вычислительноинформационные системы» (ГУП НПЦ «ЭЛВИС»)

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Витязев Владимир Викторович доктор технических наук, профессор Брюханов Юрий Александрович доктор технических наук, профессор Петров Александр Сергеевич

Ведущая организация: ОАО Радиотехнический институт имени академика А.Л. Минца, г. Москва

Защита диссертации состоится « 27 » октября 2006 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 850.012.01 при Государственном унитарном предприятии г. Москвы «Научно-производственный центр «СПУРТ» по адресу: 124460, г. Москва, Зеленоград, 1-й Западный проезд, 4, ГУП НПЦ «СПУРТ»

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГУП НПЦ «СПУРТ»

Автореферат разослан « 17 » июля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент Мартынов В.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертационной работе рассматриваются вопросы построения математических моделей алгоритмов адаптивной фильтрации нестационарных сигналов, применения вычислительных процедур таких алгоритмов в быстрых алгоритмах аффинных проекций и в нелинейных полиномиальных адаптивных фильтрах. Исследуется эффективность подавления сигналов источников пространственно разнесенных помех, подавления сигналов электрического и акустического эха, а также идентификации неоднородностей в проводных каналах связи с помощью полученных адаптивных алгоритмов. Рассматриваются вопросы инициализации, при которой обеспечивается математическая эквивалентность алгоритмов друг другу в пределах классов, характеризуемых способом оценки корреляционной матрицы сигналов адаптивного фильтра; вопросы моделирования алгоритмов и вопросы создания прикладных библиотек на основе алгоритмов, полученных в диссертационной работе.

Актуальность проблемы. Сегодня адаптивные фильтры – это неотъемлемая составляющая оборудования радиоэлектронных систем различного назначения. Адаптивный фильтр является основным элементом адаптивных антенных и акустических решеток; компенсаторов сигналов электрического эха, возникающего при переходе из четырехпроводной на двухпроводную линию в системах проводной связи; компенсаторов сигналов акустического эха в системах голосовой связи; выравнивателей (эквалайзеров) каналов связи в модемах; выравнивателей акустических каналов в системах высококачественного воспроизведения звука; компенсаторов шумов. Эффективность функционирования (длительность переходного процесса, уровень ошибок в установившемся режиме) перечисленных и других адаптивных устройств зависит от алгоритма, лежащего в основе используемого адаптивного фильтра.

На практике в качестве алгоритмов адаптивной фильтрации часто используются различные варианты простейшего с точки зрения вычислительной сложности градиентного алгоритма по критерию наименьшего среднеквадратичного отклонения (Least Mean Squares, LMS). Такие алгоритмы характеризуются наименьшим числом арифметических операций среди других адаптивных алгоритмов. Однако LMS-алгоритмам свойственны известные функциональные недостатки, среди которых длительность переходного процесса и уровень остаточных ошибок в установившемся режиме, зависящие от шага сходимости.

Промежуточными по эффективности являются быстрые алгоритмы аффинных проекций (Fast Affine Projections, FAP). FAP-алгоритмы характеризуются несколько большей скоростью сходимости, чем простые градиентные алгоритмы, в то время как вычислительная сложность FAP-алгоритмов близка к сложности LMS-алгоритмов в случае их использования в адаптивных фильтрах с большим количеством весовых коэффициентов (сотни, тысячи).

Самыми сложными с вычислительной точки зрения являются рекурсивные алгоритмы адаптивной фильтрации по критерию наименьших квадратов (Recursive Least Squares, RLS). Однако RLS-алгоритмы быстро сходятся и обеспечивают наименьшие значения остаточных ошибок в установившемся режиме по сравнению с другими адаптивными алгоритмами. RLS-алгоритмы представляют собой различные варианты процедур вычисления вектора весовых коэффициентов фильтров Винера.

Оценка вычислительной сложности LMS-алгоритмов – O( N ) = 2 N арифметических операций (сложений с умножениями), требуемых для выполнения одной итерации. Сложность FAP-алгоритмов – O( N ) + O( L). Сложность RLSалгоритмов – O( N 2 ), а сложность быстрых (вычислительно эффективных, т.е. с малым числом арифметических операций) RLS-алгоритмов – O( N ) 7 N. Здесь N – количество весовых коэффициентов адаптивного фильтра, L – размер проекции (длина скользящего окна). До недавнего времени использование RLSалгоритмов на практике было затруднено из-за ограниченной производительности цифровых устройств, применяемых для реализации адаптивных фильтров.

В настоящее время, благодаря успехам современной микроэлектроники в области создания высокопроизводительных цифровых сигнальных процессоров (ЦСП), такая возможность появилась.

Большинство известных RLS-алгоритмов ориентировано на адаптивную фильтрацию стационарных сигналов. Это выражается в том, что присутствующая в алгоритмах корреляционная матрица входных сигналов адаптивного фильтра или промежуточные переменные, зависящие от этой матрицы, оцениваются (вычисляются) на возрастающем окне отсчетов. При обработке нестационарных сигналов такие алгоритмы обладают низкой эффективностью, поскольку корреляционная матрица, оцениваемая на возрастающем окне, становится плохо обусловленной.

Приемами, позволяющими повысить эффективность адаптивных RLSалгоритмов, являются оценка корреляционной матрицы на скользящем окне отсчетов и динамическая регуляризация этой матрицы. Однако эти приемы практически не используются так как увеличивают вычислительную сложность RLS-алгоритмов примерно в два или четыре раза по сравнению с алгоритмами с возрастающим окном без регуляризации.

В то же время, производительность многих современных ЦСП, например, сверхбольших интегральных схем (СБИС) сигнальных контроллеров отечественной серии «Мультикор», разработанных в Государственном унитарном предприятии г. Москвы Научно-производственном центре «Электронные вычислительно-информационные системы» (ГУП НПЦ «ЭЛВИС»), уже позволяет реализовать сложные алгоритмы цифровой обработки сигналов (ЦОС). Наличие данной элементной базы послужило одним из аргументов целесообразности разработки алгоритмов адаптивной фильтрации нестационарных сигналов – математических процедур вычисления весовых коэффициентов адаптивного фильтра.

Алгоритмы, представленные в диссертационной работе, получены для случая адаптивной фильтрации комплексных сигналов. Это обусловлено тем, что в литературных источниках в основном рассматриваются алгоритмы для адаптивных фильтров с действительными весовыми коэффициентами, и переход от действительных алгоритмов к комплексным алгоритмам, в отличие от обратного перехода, часто не очевиден в силу необходимости комплексного сопряжения ряда переменных, участвующих в вычислениях.

Большинство алгоритмов, приведенных в диссертации, разработано для многоканальных адаптивных фильтров с неодинаковым количеством весовых коэффициентов в каналах. Такие фильтры могут быть использованы для построения нелинейных полиномиальных фильтров, компенсаторов множественных эхо-сигналов, эквалайзеров и ряда других устройств.

RLS-алгоритмы со скользящим окном, с возрастающим окном и регуляризацией, со скользящим окном и регуляризацией получены в виде как последовательных, так и параллельных вычислительных процедур, ориентированных на реализацию с помощью двух или четырех ЦСП независимо от числа каналов и количества весовых коэффициентов в каналах адаптивного фильтра. Сигнальные контроллеры, содержащие несколько ЦСП в одной СБИС, в настоящее время проектируются в ГУП НПЦ «ЭЛВИС», что также обусловило актуальность разработки параллельных алгоритмов адаптивной фильтрации.

Вычислительные процедуры RLS-алгоритмов со скользящим окном используются и как составная часть FAP-алгоритмов. Однако описания особенностей такого использования в литературных источниках не было обнаружено.

Таким образом, отсутствие в литературных источниках описания математических процедур алгоритмов адаптивной фильтрации нестационарных сигналов, а также наличие современных высокопроизводительных ЦСП, в частности СБИС сигнальных контролеров отечественной серии «Мультикор», позволяющих реализовывать сложные RLS-алгоритмы, обусловили актуальность разработки математических моделей таких алгоритмов. Решению этой проблемы, а также связанных с нею задач, посвящена настоящая диссертационная работа.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является решение научной проблемы создания алгоритмических основ адаптивной фильтрации нестационарных сигналов, а также исследование эффективности полученных RLS-алгоритмов при обработке сигналов в адаптивных антенных решетках, при построении вычислительных процедур FAP-алгоритмов, в нелинейной адаптивной фильтрации, в задачах подавления эхо-сигналов и при идентификации неоднородностей в проводных каналах связи.

Цель достигается путем решения следующих задач.

1. Для многоканальных адаптивных фильтров с неодинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах со скользящим окном, с возрастающим окном и регуляризацией, со скользящим окном и регуляризацией:

получение математических процедур последовательных RLS-алгоритмов на основе леммы об обращении матрицы, а также на основе прямого и обратного QR-разложения с операциями извлечения квадратного корня и без таких операций;

получение математических процедур последовательных быстрых RLSалгоритмов на основе леммы об обращении клеточных матриц, а также обратного QR-разложения с операциями извлечения квадратного корня и без таких операций;

получение математических процедур последовательных линейноограниченных RLS-алгоритмов.

2. Для одноканальных и многоканальных (с одинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах) адаптивных фильтров со скользящим окном, с возрастающим окном и регуляризацией, со скользящим окном и регуляризацией получение математических процедур последовательных быстрых лестничных RLS-алгоритмов.

3. Получение математических процедур параллельных версий перечисленных выше разновидностей RLS-алгоритмов, ориентированных на реализацию с помощью двух или четырех ЦСП.

4. Для многоканальных адаптивных фильтров с неодинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах получение математических процедур FAP-алгоритмов и линейно-ограниченных версий таких алгоритмов.

5. Получение условий инициализации, обеспечивающих математическую эквивалентность RLS-алгоритмов друг другу в пределах классов, характеризуемых способом оценки корреляционной матрицы сигналов адаптивного фильтра: на скользящем окне, на возрастающем окне с регуляризацией, на скользящем окне с регуляризацией.

6. Исследование эффективности применения скользящего окна, возрастающего окна и регуляризации, скользящего окна и регуляризации в RLSалгоритмах при решении задач идентификации с помощью многоканальных адаптивных фильтров, обрабатывающих нестационарные сигналы.

7. Исследование эффективности использования многоканальных адаптивных фильтров с неодинаковым количеством весовых коэффициентов в каналах для реализации полных и усеченных нелинейных полиномиальных фильтров, обрабатывающих нестационарные сигналы.

8. Получение математической процедуры адаптивного алгоритма идентификации неоднородностей в проводных каналах связи.

9. Создание тестовой среды для проверки работоспособности и исследования эффективности алгоритмов адаптивной фильтрации при решении прикладных задач.

10. Создание библиотеки алгоритмов и программ на основе полученных математических процедур алгоритмов адаптивной фильтрации.

Научная новизна 1. Разработано семейство последовательных RLS-алгоритмов с линейной и квадратичной вычислительной сложностью, включая алгоритмы с линейными ограничениями, для многоканальных адаптивных фильтров с неодинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах.

2. Разработано семейство параллельных RLS-алгоритмов с линейной и квадратичной вычислительной сложностью, включая алгоритмы с линейными ограничениями, для многоканальных адаптивных фильтров с неодинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах.

3. Разработано семейство последовательных быстрых лестничных RLSалгоритмов для одноканальных и многоканальных адаптивных фильтров с одинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах.

4. Разработано семейство параллельных лестничных RLS-алгоритмов для одноканальных и многоканальных адаптивных фильтров с одинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах.

5. Разработано семейство FAP-алгоритмов, включая алгоритмы с линейными ограничениями, для многоканальных адаптивных фильтров с неодинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах.

6. Получены условия инициализации, обеспечивающие математическую эквивалентность RLS-алгоритмов друг другу в пределах классов, характеризуемых способом оценки корреляционной матрицы сигналов адаптивного фильтра.

7. Разработан адаптивный алгоритм идентификации неоднородностей в проводных каналах связи, использующий непрерывные сигналы.

Практическая значимость результатов работы заключается в – разработке математических процедур около 400 разновидностей RLS- и FAP-алгоритмов, которые позволяют решать широкий круг задач адаптивной фильтрации сигналов;

– разработке на языке программирования MATLAB библиотеки моделей алгоритмов адаптивной фильтрации, которые могут найти применение при исследовании поведения адаптивных фильтров в радиотехнических и телекоммуникационных системах различного назначения, могут быть использованы в учебных курсах и в качестве прототипов при реализации алгоритмов на различных вычислительных платформах;

– разработке библиотеки адаптивной фильтрации для СБИС сигнальных контроллеров отечественной серии «Мультикор», позволяющей снизить время проектирования радиоэлектронных изделий за счет использования готового программного обеспечения и демонстрирующей вычислительные возможности этих контроллеров;

– разработке адаптивного метода идентификации неоднородностей в проводных каналах связи, нашедшего применение в измерительной технике и позволяющего получать одинаковое разрешение по дальности при измерениях как в коротких, так и в длинных каналах.

Достоверность материалов диссертационной работы подтверждена результатами моделирования, демонстрирующими математическую эквивалентность полученных алгоритмов адаптивной фильтрации друг другу в пределах классов, характеризуемых способом оценки корреляционной матрицы сигналов адаптивного фильтра, а также реализацией таких алгоритмов в виде функций для СБИС сигнальных контроллеров серии «Мультикор». Достоверность разработанного адаптивного алгоритма идентификации неоднородностей в проводных каналах связи демонстрируется его использованием в серийно выпускаемых измерительных приборах.

Личный вклад автора. Все приведенные в диссертации результаты получены автором лично. Это подтверждается тем, что 87 работ из 91 работы из списка публикаций по теме диссертации выполнены без соавторов.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы в виде математических моделей алгоритмов и программного обеспечения внедрены в прикладной библиотеке алгоритмов адаптивной фильтрации для СБИС сигнальных контроллеров серии «Мультикор» ГУП НПЦ «ЭЛВИС» (г. Москва, Зеленоград); в виде библиотеки адаптивной фильтрации для СБИС сигнальных контроллеров серии «Мультикор» внедрены в Научно-конструкторском бюро вычислительных систем (г. Таганрог, Ростовская обл.); в виде библиотеки алгоритмов на языке программирования MATLAB внедрены в Научнопроизводственном предприятии Калужский приборостроительный завод «Тайфун» (г. Калуга) и в учебных курсах Самарской государственной академии путей сообщения (г. Самара); в виде адаптивного алгоритма идентификации неоднородностей проводных каналов связи внедрены в серийно выпускаемых с 2003 года анализаторах систем передачи и кабелей связи AnCom A-7 предприятия «Аналитик-ТС» (г. Москва), что подтверждено соответствующими актами.

Положения, выносимые на защиту 1. Последовательные и параллельные RLS-алгоритмы на основе леммы об обращении матрицы, а также на основе прямого и обратного QR-разложения с операциями извлечения квадратного корня и без таких операций для многоканальных адаптивных фильтров с неодинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах со скользящим окном, с возрастающим окном и регуляризацией, со скользящим окном и регуляризацией.

2. Последовательные и параллельные быстрые RLS-алгоритмы на основе леммы об обращении клеточных матриц, а также обратного QR-разложения с операциями извлечения квадратного корня и без таких операций для многоканальных адаптивных фильтров с неодинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах со скользящим окном, с возрастающим окном и регуляризацией, со скользящим окном и регуляризацией.

3. Последовательные и параллельные быстрые лестничные RLSалгоритмы для одноканальных и многоканальных (с одинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах) адаптивных фильтров со скользящим окном, с возрастающим окном и регуляризацией, со скользящим окном и регуляризацией.

4. Последовательные и параллельные линейно-ограниченные RLSалгоритмы для многоканальных адаптивных фильтров с неодинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах со скользящим окном, с возрастающим окном и регуляризацией, со скользящим окном и регуляризацией.

5. FAP-алгоритмы, включая алгоритмы с линейными ограничениями, для многоканальных адаптивных фильтров с неодинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах.

6. Метод инициализации, обеспечивающий математическую эквивалентность RLS-алгоритмов друг другу в пределах классов, характеризуемых способом оценки корреляционной матрицы сигналов адаптивного фильтра.

7. Адаптивный алгоритм идентификации неоднородностей в проводных каналах связи, использующий непрерывные сигналы.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и обсуждены на 31 конференции: 3-rd International Conference on Antennas, Radiocommunication Systems & Means (ICARSM-97) (г. Воронеж, 1997), 5-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения (DSPA-2003)» (г. Москва, 2003), 6-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения (DSPA-2004)» (г. Москва, 2004), 10-й Международной конференции «Радиолокация, навигация, связь (RLNC-2004)»

(г. Воронеж, 2004), 59-й научной сессии, посвященной Дню Радио (г. Москва, 2004), 2-й Всероссийской научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB» (г. Москва, 2004), 2-nd IEEE International Conference on Circuits and Systems for Communications (ICCSC-2004) (г. Москва, 2004), 4-th International Scientific and Practical Conference «InternetScience-Education-2004 (ISE-2004)» (г. Винница, Украина, 2004), 2-nd International Conference on Information Systems and Technology (IST-2004) (г. Минск, Беларусь, 2004), 13-й Международной научно-технической конференции «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций» (г. Рязань, 2004), 7-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения (DSPA-2005)» (г. Москва, 2005), 11-й Международной конференции «Радиолокация, навигация, связь (RLNC-2005)» (г. Воронеж, 2005), 6-th International Conference on Prospective Technologies in the Mass Media (г. Владимир, 2005), Всероссийской ежегодной научно-технической конференции «Наука, производство, технологии, экология» (г. Киров, 2005), 5-th World Scientific and Engineering Academy and Society (WSEAS) International Conference on Information Science, Communications and Applications (ISCA-2005) (г. Канкун, Мексика, 2005), 60-й научной сессии, посвященной Дню Радио (г. Москва, 2005), 8-th International Conference on Pattern Recognition and Information Processing (PRIP-2005) (г. Минск, Беларусь, 2005), 6-й Международной научнопрактической конференции «Современные информационные и электронные технологии» (г. Одесса, Украина, 2005), St. Petersburg IEEE Chapters International Conference «Radio – That Connects Time. 110 Years of Radio Invention»

(г. Санкт-Петербург, 2005), IEEE 7-th Emerging Technologies Workshop: «Circuits and Systems for 4G Mobile Wireless Communications» (г. Санкт-Петербург, 2005), 2-nd International Association of Science and Technology for Development (IASTED) International Multi-Conference on Automation, Control and Information Technology (г. Новосибирск, 2005), 2-й Всероссийской научно-технической конференции «Методы и средства обработки информации (МСО-2005)» (г. Москва, 2005), Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы разработки перспективных микроэлектронных систем (МЭС-2005)» (г. Москва, 2005), 13-й Международной конференции «Информационные средства и технологии» (г. Москва, 2006), 5-й Международной научно-технической конференции «Электроника и информатика - 2005» (г. Москва, 2005), 14-й Международной научно-технической конференции «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций» (г. Рязань, 2005), 1-й Международной научно-технической конференции «Современные проблемы оптимизации в инженерных приложениях (IWOPE-2005)» (г. Ярославль, 2005), 8-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения (DSPA-2006)» (г. Москва, 2006), 12-й Международной конференции «Радиолокация, навигация, связь (RLNC-2006)» (г. Воронеж, 2006), Всероссийской ежегодной научно-технической конференции «Наука, производство, технологии, экология» (г. Киров, 2006), 61-й научной сессии, посвященной Дню Радио (г. Москва, 2006).

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 91 работе. Из них 33 статьи в журналах перечня ВАК: «Радиотехника», «Радиотехника и электроника», «Вопросы радиоэлектроники. Общетехническая серия», «Электросвязь», «Телекоммуникации», «Информационные технологии», «Измерительная техника», «Цифровая обработка сигналов», «Электроника: Наука, Технологии, Бизнес», «Оборонный комплекс – научно-техническому прогрессу России», «Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника», «Известия высших учебных заведений. Электроника», «Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Серия «Приборостроение», «Вестник Московского государственного авиационного института (технического университета)», «Научный вестник Московского государственного технического университета гражданской авиации. Серия «Радиофизика и радиотехника», «Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии», «Труды учебных заведений связи»; 4 статьи в других рецензируемых журналах, не входящих в перечень ВАК: «Успехи современной радиоэлектроники», «Radioengineering: Proceedings of Czech and Slovak Technical Universities and URSI Committers», «Signal Processing» (европейского научного издательства Elsevier), 50 статей в трудах перечисленных выше российских и международных (зарубежных) конференций и 4 работы в отчетах о НИР. На английском языке опубликовано 15 из перечисленных статей: 3 в журналах и 12 в трудах конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 6 глав, заключения и приложения. Она содержит 342 страницы текста, включая 57 рисунков, 69 таблиц, 34 страницы списка используемой литературы из 324 наименований и 5 актов о внедрении ее результатов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены данные об актуальности работы. Для этого рассмотрены основные области применения адаптивных фильтров и дана классификация адаптивных алгоритмов, лежащих в основе функционирования таких фильтров. Из результатов литературного анализа следует, что при всем многообразии известных алгоритмов адаптивной фильтрации, большинство из них ориентировано на обработку стационарных сигналов. Это послужило обоснованием актуальности работ по решению научной проблемы создания алгоритмических основ адаптивной фильтрации нестационарных сигналов.

Решение данной проблемы базируется на трех приемах: оценке корреляционной матрицы адаптивного фильтра на скользящем окне, оценке на возрастающем окне с динамической регуляризацией и оценке на скользящем окне с динамической регуляризацией. С помощью этих приемов получены разнообразные алгоритмы адаптивной фильтрации, рассматриваемые в диссертационной работе, общая характеристика которой также приведена во введении.

Первая глава (МНОГОКАНАЛЬНЫЕ RLS-АЛГОРИТМЫ С КВАДРАТИЧНОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТЬЮ) посвящена вопросам получения вычислительных процедур RLS-алгоритмов для многоканальных адаптивных фильтров (рис. 1) с неодинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах.

Адаптивный фильтр (рис. 1) функционирует на основе алгоритмов, минимизирующих энергию ошибок между требуемым d (k ) и выходным y (k ) сигналами. Результатом такой минимизации является вектор весовых коэффициентов адаптивного фильтра (винеровское решение):

где R N, (k ) – корреляционная матрица сигналов многоканального адаптивного фильтра N (k ) ; rN, (k ) – вектор взаимной корреляции элементов вектора N (k ) и требуемого сигнала d (k ), k – индекс дискретного времени. Здесь коэффициентов M -канального адаптивного фильтра, состоящий из векторов весовых коэффициентов отдельных каналов h N m,x ( k ) = [h0,m,x, h1,m,x,K,hN m 2,m,x, xm (k 1),K, xm (k N m + 2), xm (k N m + 1). Суммарное количество весовых коэффициентов многоканального фильтра равно N = N m.

В случае скользящего окна (рис. 2) R N, (k ) и rN, (k ) определяются как где – параметр экспоненциального взвешивания сигналов, а = L.

Длина скользящего окна L, выраженная числом отсчетов, определяется интервалом стационарности обрабатываемых сигналов. Структура уравнений (2) и (3) обуславливает необходимость двукратного последовательного применения леммы об обращении матрицы для получения алгоритма вычисления вектора h N, (k ). Полученный таким образом RLS-алгоритм характеризуется квадратичной вычислительной сложностью, т.е. O N 2 арифметических операций на одну итерацию: 7 N 2 + 9 N операций умножения, 6 N 2 + 6 N операций сложения и 2 операции деления, что примерно в два раза больше аналогичного алгоритма с возрастающим окном.

Кроме того, решение задачи адаптивной фильтрации в случае скользящего окна получено приведением матрицы входных сигналов адаптивного фильтра к треугольному виду с помощью прямого QR-разложения. В таком алгоритме вычисляется лишь выходной сигнал ошибки N, (k ), а вектор h N, (k ) в явном виде не вычисляется. Этот алгоритм характеризуется наличием операций квадратного корня, как результата использования вращений Гивенса при приведении матрицы входных сигналов фильтра к треугольному виду. Вычислительная сложность полученного алгоритма равна 5 N 2 + 20 N операциям умножения, 2 N 2 + 6 N операциям сложения, 2 N + 1 операциям деления и 2 N операциям извлечения квадратного корня.

Эффективное вычисление весовых коэффициентов адаптивного фильтра (1) для случая скользящего окна также получено приведением матрицы входных сигналов адаптивного фильтра к треугольному виду с помощью обратного QR-разложения, использующего вращения Гивенса. В таком алгоритме вектор h N, (k ) вычисляется в явном виде. Алгоритм содержит 2 N операций извлечения квадратного корня, 5,5 N 2 + 16 N операций умножения, 3 N 2 + 6 N операций сложения и 2 N операций деления. Аналогичный алгоритм на основе обратного QR-разложения, использующего преобразования Хаусхолдера, характерен тем, что в случае скользящего окна в нем требуются всего две операции извлечения квадратного корня, 7 N 2 + 11N операций умножения и 6 N 2 + 6 N операций сложения. В алгоритмах на основе прямого и обратного QR-разложения, использующих вращения Гивенса, могут исключаться операции извлечения квадратного корня путем масштабирования ряда переменных, участвующих в вычислениях. Сложность полученного RLS-алгоритма на основе прямого QRразложения без операций квадратного корня равна 3,5 N 2 + 19 N операциям умножения, 2 N 2 + 6 N операциям сложения и 2 N операциям деления. Вычислительная сложность алгоритма на основе обратного QR-разложения – 4,5 N 2 + 15 N операций умножения и 3 N 2 + 6 N операций сложения.

Таким образом, для оценки корреляционной матрицы входных сигналов адаптивного фильтра на скользящем окне получено 6 разновидностей RLSалгоритмов с квадратичной вычислительной сложностью.

Корреляционная матрица сигналов адаптивного фильтра иногда может быть плохо обусловленной, например, при обработке нестационарных сигналов или за счет конечного числа отсчетов L при использовании скользящего окна.

Для возрастающего окна корреляционная матрица регуляризируется как В (4) – небольшое число (параметр динамической регуляризации). Для многоканального адаптивного фильтра вектор искусственных сигналов регуляризации формируется подобно вектору входных сигналов N (k ), т.е. как При использовании (4) – (6) также получено 6 разновидностей RLSалгоритмов, вычислительная сложность которых примерно совпадает со сложностью одноименных алгоритмов со скользящим окном.

В случае скользящего окна регуляризация корреляционной матрицы осуществляется как Сложность RLS-алгоритмов, полученных на основе выражения (7), примерно в 2 раза больше сложности алгоритмов со скользящим окном без регуляризации. Это обусловлено тем, что для обращения матрицы (7) четыре раза используется лемма об обращении матрицы или QR-разложение.

Полученные RLS-алгоритмы в пределах классов, определяемых уравнениями (2), (4) или (7), являются математически эквивалентными друг другу, что подтверждают результаты моделирования, приведенные для случая скользящего окна на рис. 3.

ERLE, дБ При моделировании рассматривалась задача идентификации трехканального линейного фильтра с комплексными весовыми коэффициентами при N1 = 8, N 2 = 16 и N 3 = 32. Сигналы xm (k ), m = 1, 2, 3 представляли собой белый шум, а требуемый сигнал d (k ) – свертку сигналов xm (k ) с соответствующими импульсными откликами идентифицируемого трехканального линейного фильтра. Аддитивный шум на входе d (k ) отсутствовал. Параметр Echo Return Loss Enhancement (ERLE):

представленный на рисунке, является одним из показателей качества алгоритмов адаптивной фильтрации в задачах идентификации. В примерах (рис. 3) число отсчетов L (длина скользящего окна, на котором оценивалась корреляционная матрица) и число отсчетов B (длина скользящего окна, на котором оценивалось значение ERLE) равнялись 256.

При одинаковых количествах весовых коэффициентов идентифицируемого импульсного отклика и весовых коэффициентов адаптивного фильтра на входе сигнала d (k ) отсутствует аддитивный шум, вызываемый различной длиной этих импульсных откликов. В этом случае при обработке стационарных сигналов значение параметра ERLE в установившемся режиме ограничено лишь ошибками округления алгоритма. Из рис. 3б (в увеличенном масштабе) следует, что в данном эксперименте различие между достижимым значением параметра ERLE для рассмотренных алгоритмов не превышает 8 дБ.

На практике, когда количество весовых коэффициентов адаптивного фильтра и количество весовых коэффициентов идентифицируемого импульсного отклика не равны (в силу неизвестности идентифицируемого импульсного отклика) и (или) при наличии аддитивного шума на входе сигнала d (k ), а также при обработке нестационарных сигналов, достижимые значения параметра ERLE существенно ниже значений, ограниченных ошибками округления. При этом линии на рис. 3 сливаются и повторяют на каждой итерации друг друга, что свидетельствует о математической эквивалентности сравниваемых алгоритмов, являющихся различными процедурами вычисления весовых коэффициентов адаптивного фильтра.

В главе 2 (МНОГОКАНАЛЬНЫЕ RLS-АЛГОРИТМЫ С ЛИНЕЙНОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТЬЮ) рассматриваются многоканальные быстрые RLS-алгоритмы, предназначенные для адаптивных фильтров (рис. 1): быстрый алгоритм Калмана (Fast Kalman, FK); Fast Transversal Filter (FTF); Fast a Posteriori Error Sequential Technique (FAEST); стабилизированный FAEST; а также быстрые алгоритмы на основе обратного QR-разложения с операциями извлечения квадратного корня и без таких операций с использованием вращений Гивенса, включая стабилизированный алгоритм. В таких алгоритмах корреляционная матрица оценивается как (2), (4) или (7).

В основе построения быстрых RLS-алгоритмов находится теория линейного предсказания сигналов, обладающих свойством инвариантности к сдвигу.

Это свойство для одноканального адаптивного фильтра с количеством весовых коэффициентов N и скользящим окном длиной в L отсчетов формулируется как С помощью (9) и (10), а также лемм об обращении клеточных матриц, обратные корреляционные матрицы R 1+1,xU (k ) и R 1+1,x D (k ) размера ( N + 1) ( N + 1) определяются как где E N,xU (k ), E N,xU (k ), E N,x D (k ), E N,x D (k ) – энергии ошибок линейного предсказания переменных x(k ), x(k N ), x(k L), x(k N L), соответственно, а a N +1,xU (k ), b N +1,xU (k ), a N +1,x D (k ), b N +1,x D (k ) – векторы весовых коэффициентов фильтров линейного предсказания.

В случае скользящего окна векторы апостериорных коэффициентов Калмана g N +1,xU (k ) и g N +1,x D (k ) определяются с помощью уравнений (11) – (14) как Векторы априорных коэффициентов Калмана t N +1,xU (k ) и t N +1,x D (k ) определяются как Уравнения (15) – (22) позволяют вычислять векторы g N,xU (k ), g N,x D (k ), t N,xU (k ) и t N,x D (k ), с помощью которых определяется вектор весовых коэффициентов адаптивного фильтра, минуя матричные вычисления. Как следствие, вычислительная сложность алгоритмов, представленных в главе 2, становится линейной функцией количества весовых коэффициентов O(N ).

В быстрых RLS-алгоритмах со скользящим окном также справедливы следующие соотношения между априорными ( ) и апостериорными ( e ) ошибками линейного предсказания:

Уравнения (23) – (26) позволяют вычислять лишь один из видов ошибок, требуемых в (15) – (22). Они также используются при вычислении энергии этих ошибок, что, в конечном счете, позволяет уменьшить число арифметических операций в быстрых RLS-алгоритмах.

Однако в многоканальных фильтрах вектор N (k ) не обладает свойством инвариантности к сдвигу (9), (10), так как состоит из последовательности векторов сигналов отдельных каналов, а, значит, линейное предсказание не может быть применено непосредственно к многоканальным адаптивным фильтрам. В то же время, при использовании перестановочных матриц, задача многоканальной адаптивной фильтрации сводится к ряду последовательных одноканальных задач. В части получения векторов коэффициентов Калмана она сводится к последовательности M задач для M фильтров с одинаковым количеством весоM вых коэффициентов в каналах, равным N = N m.

Векторы входных сигналов таких вспомогательных фильтров (Nm ) (k ) определяются на основе векторов сигналов многоканального адаптивного фильтра как Аналогичную структуру имеют векторы (Nm ) (k L).

Для перестановки элементов векторов g (Nm+)1,U (k ), g (Nm+)1, D (k ), t (Nm+)1,U (k ), t (Nm+)1, D (k ) при определении векторов g (Nm,U) (k ), g (Nm,1) (k ), t (Nm,U) (k ), t (Nm,x1) (k ), а также перестановки элементов векторов (Nm+)1 (k ) и (Nm+)1 (k L), используется 2M перестановочных матриц TNm1 и S (Nm+)1 с размером ( N + 1) ( N + 1). Здесь и S (Nm+)1 действуют как TNm1 (Nm+)1 (k ) = ( m ), TNm1T ( m ) = (Nm+)1 (k ), Умножение на перестановочные матрицы не требует дополнительных арифметических операций, поскольку для конкретных значений N m в каналах M -канального адаптивного фильтра можно заранее вычислить произведения S (Nm+)1TNm1T, которые фигурируют в многоканальных быстрых RLS-алгоритмах, и определить правила перестановки элементов в векторах с помощью набора из M адресных векторов. В диссертационной работе приведена структура таких перестановочных матриц.

Таким образом, векторы (Nm+)1 (k ) и (Nm+)1 (k L) определяют набор матриц, аналогичных (11) – (14), с помощью которых и перестановочных матриц выg (NM)U (k ) = g (N0,)U (k 1) = Многоканальный FK-алгоритм базируется на вычислении векторов g.

Сложность такого алгоритма со скользящим окном равна 16 MN + 4 N операциям умножения, 14 MN + 4 N операциям сложения и 4M операциям деления, т.е.

O( N ), что позволяет считать данный алгоритм вычислительно эффективным (по сравнению с RLS-алгоритмами, рассмотренными в главе 1) или быстрым.

FTF-алгоритм базируется на вычислении векторов t и отношений правдоподобия. Вычислительная сложность этого алгоритма со скользящим окном равна 10 MN + 2 N операциям умножения, 10 MN + 2 N операциям сложения и 6 M операциям деления, т.е. также O( N ). Многоканальный FAESTалгоритм аналогичен FTF-алгоритму, за исключением того, что в нем вычисляются обратные значения отношений правдоподобия 1. Вычислительная сложность FAEST-алгоритма равна 10 MN + 4 N операциям умножения, 10 MN + 4 N операциям сложения и 4M операциям деления.

В основе стабилизированного FAEST-алгоритма находится альтернативное вычисление ошибок линейного предсказания и обратного отношения правдоподобия с помощью различных математически эквивалентных соотношений, которые комбинируются перед использованием в других вычислениях алгоритма. Сложность такого алгоритма равна 14 MN + 4 N операциям умножения, 14 MN + 4 N операциям сложения и 6 M операциям деления. Она несколько выше, чем у FTF-алгоритма и FAEST-алгоритма, что является следствием дополнительных вычислительных затрат, обеспечивающих устойчивое функционирование адаптивного фильтра.

Быстрый RLS-алгоритм со скользящим окном на основе обратного QRразложения имеет вычислительную сложность, равную 18MN + 4 N операциям умножения, 12 MN + 4 N операциям сложения, 6M операциям деления и 4M операциям извлечения квадратного корня. Его аналог без операций извлечения квадратного корня требует 14 MN + 4 N операций умножения, 10 MN + 4 N операций сложения и 4 M операций деления, а стабилизированный вариант этого алгоритма – 16 MN + 4 N операций умножения, 14 MN + 4 N операций сложения и 10 M операций деления.

В главе 2 также приведены полученные быстрые RLS-алгоритмы для случаев возрастающего окна с регуляризацией и скользящего окна с регуляризацией. Оценка вычислительной сложности таких алгоритмов без учета структуры векторов сигналов регуляризации, см. (6), примерно совпадает со сложностью одноименных алгоритмов со скользящим окном, а сложность регуляризированных алгоритмов со скользящим окном и регуляризацией в два раза больше сложности таких алгоритмов без регуляризации.

Результаты моделирования многоканальных быстрых алгоритмов со скользящим окном схожи с результатами, приведенными на рис. 3, что свидетельствует о математической эквивалентности RLS-алгоритмов с линейной и квадратичной сложностью.

С точки зрения вычислительной сложности быстрые RLS-алгоритмы являются более эффективными, чем алгоритмы с квадратичной сложностью, а потому могут быть использованы в задачах, где требуются адаптивные фильтры с большим количеством весовых коэффициентов, или где с помощью таких алгоритмов можно обрабатывать сигналы с большей частотой дискретизации при заданных ресурсах устройства, реализующего адаптивный фильтр.

В главе 3 (БЫСТРЫЕ ЛЕСТНИЧНЫЕ RLS-АЛГОРИТМЫ) рассматривается 10 разновидностей одноканальных быстрых лестничных RLS-алгоритмов для адаптивных фильтров с комплексными весовыми коэффициентами со скользящим окном, с возрастающим окном и регуляризацией, со скользящим окном и регуляризацией, а также многоканальные версии этих алгоритмов с одинаковым количеством весовых коэффициентов в каналах.

Эти алгоритмы получили свое название из-за структуры процедур вычисления ошибок линейного предсказания и моделирования обрабатываемых сигналов, напоминающей по форме лестницу. Особенностью лестничных алгоритмов является то, что в них отсутствуют вычисления весовых коэффициентов адаптивного фильтра в явном виде, подобно RSL-алгоритмам на основе прямого QR-разложения, рассмотренным в главе 1, и, как следствие, отсутствует в явном виде вычисление выходного сигнала адаптивного фильтра. Все вычисления в лестничных алгоритмах являются скалярными и выполняются на каждой k -й итерации по времени в течение N шагов при изменении порядка адаптивного фильтра от 1 до N.

Вычислительная сложность лестничных алгоритмов несколько больше сложности быстрых RLS-алгоритмов, рассмотренных в главе 2. Однако лестничные алгоритмы известны своей устойчивостью, что способствует их использованию в приложениях. Кроме того, каскадная структура вычислений, характерная лестничным алгоритмам, способствует не только эффективной программной, но и аппаратной реализации таких алгоритмов в виде СБИС.

В основе лестничных алгоритмов лежат элементы теории линейного предсказания, которые при оценке корреляционной матрицы адаптивного фильтра на скользящем окне рассмотрены в главе 2. Центральную роль здесь играют выражения (11) – (14). Эти уравнения справедливы для любого значения n = 1,2,K N. В случае скользящего окна с их помощью устанавливаются следующие зависимости для вычисления векторов коэффициентов фильтров линейного предсказания и моделирования порядка n :

где xfU( n1) (k ), xbU( n1) (k ), xfD( n1) (k ), xbU( n1) (k ), xU ) (k ) и xD) (k ) – коэффициенты отражения.

С помощью уравнений (29) – (34) ошибки линейного предсказания и моделирования вычисляются как Из уравнений (35) – (38) следует, что ошибки nf+1,xU (k ) и enf+1,xU (k ) являются взвешенными функциями ошибок n,xU (k 1) и en,xU (k 1), а ошибки n+1,xU (k ) и en+1,xU (k ) – взвешенными функциями ошибок nf,xU (k ) и enf,xU (k ).

Аналогичные соотношения существуют между ошибками в уравнениях (39) – (42). Таким образом, с помощью коэффициентов отражения эти ошибки как бы отражаются друг на друга, что и обуславливает лестничную структуру процедуры вычисления этих ошибок (рис. 4).

Полная структура вычисления априорных ошибок (35), (36), (39) и (40) приведена на рис. 5. Прямоугольники соответствуют вычислениям, аналогичным рис. 4а. Такие же структуры имеют и вычисления апостериорных ошибок (37), (38), (41) и (42).

Уравнения (35) – (36) лежат в основе лестничного алгоритма со скользящим окном на основе априорных и апостериорных ошибок, в которых коэффициенты отражения вычисляются как где Оценка вычислительной сложности такого алгоритма – O( N ). Она равна 34 N операциям умножения, 20 N операциям сложения и 6 N операциям деления.

На основе соотношений, аналогичных (23) – (26), получены также алгоритмы, вычисляющие только априорные и только апостериорные ошибки.

Вычислительная сложность первого алгоритма равна 32 N операциям умножения, 16 N операциям сложения и 6 N операциям деления, а сложность второго алгоритма – 32 N операциям умножения, 16 N операциям сложения и 10 N + 1 операциям деления.

Другими разновидностями перечисленных алгоритмов являются одноименные алгоритмы с обратными связями, в которых коэффициенты отражения вычисляются рекуррентно за счет преобразования соотношений (47) – (52) с использованием уравнений (53) – (58) и уравнений рекуррентного вычисления энергии ошибок линейного предсказания.

Вычислительная сложность полученного таким образом алгоритма со скользящим окном на основе априорных и апостериорных ошибок с обратными связями составляет 41N операций умножения, 22 N операций сложения и 6 N операций деления. Сложность алгоритма на основе априорных ошибок с обратными связями – 45 N операций умножения, 18 N операций сложения и 6 M операций деления, а сложность алгоритма на основе апостериорных ошибок с обратными связями – 60 N операций умножения, 18 N операций сложения и 10 N + 1 операций деления.

Следующей разновидностью лестничных алгоритмов является нормализованный алгоритм. Данный алгоритм представляет собой модификацию алгоритма на основе апостериорных ошибок с обратными связями. Особенностью нормализованного лестничного алгоритма является то, что в нем вместо двух различных видов коэффициентов отражения в части операций линейного предсказания используются коэффициенты отражения одного вида. В таком алгоритме также требуется выполнять операции извлечения квадратного корня. В нормализованном алгоритме все переменные, участвующие в вычислениях, меньше единицы, что важно при реализации в арифметике с фиксированной точкой. Вычислительная сложность такого алгоритма со скользящим окном составляет 37 N операций умножения, 20 N операций сложения, 6 N + 5 операций деления и 5 N операций извлечения квадратного корня.

Другой разновидностью алгоритмов, использующих апостериорные ошибки, является лестничный алгоритм на основе QR-разложения с вращениями Гивенса. Вычислительная сложность такого алгоритма со скользящим окном составляет 58N операций умножения, 16 N операций сложения, 4 N + 1 операций деления и 4 N операций извлечения квадратного корня, а при представлении вычислений в пространстве состояний – 60 N операций умножения, 24 N операций сложения, 6 N + 1 операций деления и 6 N операций извлечения квадратного корня.

Подобно RLS-алгоритмам главы 1, в лестничных алгоритмах на основе QR-разложения можно избежать операций извлечения квадратного корня путем масштабирования переменных. Такой лестничный алгоритм для адаптивного фильтра со скользящим окном характеризуется вычислительной сложностью в 40 N операций умножения, 16 N операций сложения и 4 N операций деления.

Операции извлечения квадратного корня в алгоритме отсутствуют.

Как и быстрые RLS-алгоритмы главы 2, лестничные RLS-алгоритмы также могут быть многоканальными. В диссертационной работе рассмотрены такие алгоритмы для адаптивных фильтров с одинаковым количеством весовых коэффициентов в каналах. Эти алгоритмы построены с использованием выражений, сходных по структуре с выражениями для одноканальных алгоритмов.

В многоканальных алгоритмах часть переменных заменяется на матрицы и векторы. Из определения ошибки (k ) в многоканальном адаптивном фильтре следует, что ее энергия содержит не только энергии ошибок отдельных каналов, но и взаимные коэффициенты корреляций этих ошибок. Задав эти переменные в виде матрицы E M (k ) и следуя основным приемам вывода уравнений лестничных алгоритмов, получены матричные варианты таких алгоритмов для многоканальных адаптивных фильтров с одинаковым количеством весовых коэффициентов в каналах. В этих алгоритмах ошибки линейного предсказания представляются векторами с числом элементов M, а энергии этих ошибок – матрицами с числом элементов M M.

В многоканальных фильтрах с одинаковым количеством весовых коэффициентов в каналах коэффициенты отражения становятся матрицами M( n ) (k ), b ( n ) (k ) и вектором (M ) (k ). Перестановочные матрицы в таких алгоритмах не требуются. С помощью данного способа получено 6 разновидностей многоканальных лестничных алгоритмов: на основе априорных и апостериорных ошибок, на основе априорных ошибок, на основе апостериорных ошибок, на основе априорных и апостериорных ошибок с обратными связями, на основе априорных ошибок с обратными связями, и на основе QR-разложения без операций извлечения квадратного корня.

Другие разновидности многоканальных лестничных алгоритмов (одноименных одноканальным алгоритмам) таким способом получить нельзя, так как некоторые переменные в таких алгоритмах становятся некоммутируемыми матрицами, произведения которых невозможно заменить другими переменными как в одноканальных алгоритмах. Структуры вычислений ошибок многоканальных алгоритмов аналогичны структурам (рис. 4 и рис. 5), в которых скалярные вычисления заменяются на векторно-матричные и векторно-скалярные.

Многоканальные лестничные алгоритмы эквивалентны многоканальным алгоритмам главы 1 и главы 2 при одинаковом количестве весовых коэффициентов в каналах. Арифметическая сложность представленных многоканальных алгоритмов (без учета операций обращения матриц энергии ошибок) примерно в M раз больше сложности одноканальных алгоритмов. При N >> M и небольших значениях M арифметическая сложность выполнения операций ритмах, практически не сказывается на общей арифметической сложности многоканальных алгоритмов.

Лестничные RLS-алгоритмы с возрастающим и скользящим окнами также получены с учетом регуляризации корреляционной матрицы, подобно алгоритмам главы 1 и главы 2. При получении вычислительных процедур таких алгоритмов с возрастающим окном вместо сигнала x(k L) использовался сигнал p (k ) в одноканальных фильтрах, а в многоканальных фильтрах вместо вектора [x1 (k L),K, xM (k L)]T Аналогичным образом получены разновидности регуляризированных алгоритмов со скользящим окном.

Вычислительная сложность регуляризированных алгоритмов с возрастающим окном примерно совпадает со сложностью алгоритмов со скользящим окном, а сложность регуляризированных алгоритмов со скользящим окном в два раза больше сложности таких нерегуляризированных алгоритмов.

В главе 3 также представлены результаты моделирования одноканальных и многоканальных лестничных фильтров, аналогичные рис. 3, демонстрирующие математическую эквивалентность адаптивных алгоритмов друг другу. Рассмотренные в главе 3 алгоритмы предназначены для адаптивной фильтрации нестационарных сигналов в приложениях, где не требуется вычислять вектор весовых коэффициентов в явном виде, а выходным сигналом является лишь сигнал ошибки, например, в задачах подавления сигналов электрического или акустического эха.

В главе 4 (МНОГОКАНАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНО-ОГРАНИЧЕННЫЕ RLSАЛГОРИТМЫ) рассматриваются линейно-ограниченные многоканальные RLSалгоритмы для адаптивных фильтров с неодинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах, со скользящим окном, с возрастающим окном и регуляризацией, со скользящим окном и регуляризацией.

Линейно-ограниченные алгоритмы находят применение в адаптивных антенных и микрофонных решетках, а также в задачах идентификации при наложении ограничений на значения амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) адаптивного фильтра на заданных частотах.

Линейно-ограниченные RLS-алгоритмы получены как результат минимизации энергии ошибок между требуемым сигналом d (k ) и выходным сигналом адаптивного фильтра y (k ) при условии C H h N, (k ) = f J, где C NJ – матрица лиNJ нейных ограничений, f J – вектор J значений ограничиваемого параметра. Вид линейных ограничений определяется применением адаптивного фильтра: пространственно-временная или временная обработка сигналов. В главе 2 показано, что при пространственно-временной обработке сигналов в основной полосе частот C NJ – это матрица векторов фазирования антенной решетки в интересуемых пространственных направлениях, а f J – вектор требуемых значений уровней диаграммы направленности (ДН) в этих же направлениях.

При обработке сигналов во временной области матрица C NJ ограничений M -канального адаптивного фильтра состоит из векторов:

частоты, на которой задается j -е ограничение, f s – частота дискретизации обрабатываемых сигналов. В этом случае f J – это вектор J значений АЧХ адаптивного фильтра на частотах, на которых задаются ограничения.

Вектор весовых коэффициентов линейно-ограниченного адаптивного фильтра определяется как а RLS-алгоритмы на основе этого выражения являются результатом применения леммы об обращении матриц для получения рекурсивных процедур вычисления переменных уравнения (59):

J NJ N NJ

Результатом таких преобразований являются три разновидности линейноограниченных RLS-алгоритмов. С учетом скользящего окна, возрастающего окна и регуляризации, скользящего окна и регуляризации получено 9 разновидностей алгоритмов. Многообразие линейно-ограниченных RLS-алгоритмов образуется за счет применения в них процедур вычисления векторов коэффициентов Калмана из алгоритмов, рассмотренных в главах 1 и 2 и соответствующих трем способам оценки корреляционной матрицы.

В случае скользящего окна вычислительная сложность линейноограниченного алгоритма равна 6 NJ 2 + 10 NJ + 2 J 2 + 4 J + 5 N операциям умножения, 6 NJ 2 + 12 NJ + 4 J 2 + 4 J + 6 N операциям сложения и двум операциям деления без учета сложности процедур вычисления векторов коэффициентов Калмана. Аналогичной сложностью характеризуется и алгоритм с возрастающим окном и регуляризацией. Сложность алгоритма со скользящим окном и регуляризацией примерно в два раза больше.

В главе 4 также рассматриваются результаты сравнительного моделирования пространственного подавления сигналов двух источников помех, ориентированных в направлениях максимумов первых двух боковых лепестков ДН 8элементной эквидистантной антенной решетки. Сравнивались линейноограниченный нормализованный LMS-алгоритм (NLMS) и RLS-алгоритм со скользящим окном. Принимаемый сигнал был модулирован нестационарным сигналом – речью. По сравнению с линейно-ограниченным RLS-алгоритмом, линейно-ограниченный NLMS-алгоритм, подобно алгоритму без ограничений, демонстрировал более длительный переходной процесс и зависимость уровня ДН от шага сходимости. В условиях, когда уровень ошибок на выходе антенной решетки был максимальный, при использовании NLMS-алгоритма уровни ДН в направлении помех достигали -30 … -40 дБ, в то время как при использовании RLS-алгоритма они достигали -90 дБ, что, в конечном счете, сказывалось на качестве принимаемого сигнала. Эти результаты показывают преимущество линейно-ограниченных RLS-алгоритмов перед простыми адаптивными алгоритмами с точки зрения таких показателей качества, как длительность переходного процесса, достижимый уровень ДН в направлениях на источники помех, уровень ошибок (остаточный уровень помех) на выходе антенной решетки.

В главе 5 (ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ RLS- И БЫСТРЫЕ RLS-АЛГОРИТМЫ) рассматриваются параллельные версии алгоритмов, приведенных в главах 1 – 4.

Особенностью параллельных алгоритмов является возможность их реализации с помощью двух или четырех процессоров независимо от числа каналов адаптивного фильтра и количества весовых коэффициентов в каналах, с соответствующим повышением скорости обработки (частоты дискретизации) сигналов.

Такой параллелизм достигается за счет обработки независимых потоков данных адаптивного фильтра N (k ), N (k L), N (k ) и N (k L), которые одновременно существуют в случае адаптивной фильтрации нестационарных сигналов из-за применения скользящего окна при оценке корреляционной матрицы, ее динамической регуляризации или применения обоих приемов одновременно.

В рассмотренных параллельных алгоритмах отсутствуют дополнительные вычислительные затраты для разделения данных на параллельные потоки. В RLS-алгоритмах со скользящим окном и в регуляризированных RLSалгоритмах с возрастающим окном имеется два ( F = 2 ), а в регуляризированных RLS-алгоритмах со скользящим окном – четыре ( F = 4 ) независимых потока входных данных, обусловленных модификацией корреляционной матрицы адаптивного фильтра. В последовательных RLS-алгоритмах в результате последовательного применения леммы об обращении матрицы эти потоки обрабатываются последовательно. Полученные в диссертационной работе параллельные RLS-алгоритмы базируются на возможности независимой (параллельной) обработки потоков данных.

В основе параллельных алгоритмов находится обобщенная лемма об обращении матрицы:

где A = DB C + S, а C и D – матрицы. Для использования этого уравнения при получении алгоритмов адаптивной фильтрации формируются матрицы:

Число столбцов F матрицы X NF и их вид определяют возможные разновидности RLS-алгоритмов. При использовании всех столбцов в (64) и (66) получаются параллельные версии регуляризированных RLS-алгоритмов со скользящим окном, при использовании первых двух столбцов – алгоритмов со скользящим окном без регуляризации, при использовании второго и четвертого столбцов – регуляризированных алгоритмов с возрастающим окном. При F = 1 и использовании второго столбца параллельные алгоритмы совпадают с нерегуляризированными алгоритмами с возрастающим окном.

Различие между последовательными алгоритмами, рассмотренными в главах 1 – 4, и математически эквивалентными им параллельными алгоритмами демонстрируется на рис. 6а и рис. 6б, соответственно.

С помощью (64) – (66) любую из матриц (2), (4) или (7) можно представить как Используя (63), а также приемы, рассмотренные в главах 1 – 4, были получены параллельные версии большинства алгоритмов, представленных в этих главах.

Во многом параллельные алгоритмы схожи с одноименными алгоритмами с возрастающим окном. Однако в параллельных алгоритмах переменные X NF (k ) и коэффициенты Калмана G NF (k ) = R 1 (k ) X NF (k ), TNF (k ) = = R 1 (k 1) X NF (k ) – это матрицы, а не векторы;

d (k ),0,0 и F (k ), e F (k ) являются векторами, а не скалярными величинами.

Отношения правдоподобия становятся квадратными матрицами с числом элементов F F. Эти матрицы обеспечивают математическую эквивалентность соответствующих последовательных RLS-алгоритмов и параллельных алгоритмов, определяемых значением F и структурой матрицы X NF (k ).

Вычислительная сложность параллельных алгоритмов оценивается как O( N F ) или O(NF ) арифметических операций, необходимых для выполнения одной итерации алгоритма, т.е. примерно совпадает с вычислительной сложностью одноименных последовательных алгоритмов глав 1 – 4. Кроме того, параллельные алгоритмы демонстрируют результаты моделирования, аналогичные приведенным на рис. 3, свидетельствующие об эквивалентности параллельных и последовательных алгоритмов.

В параллельных версиях отсутствуют RLS-алгоритмы, содержащие операции извлечения квадратного корня. В таких алгоритмах некоторые переменные становятся некоммутируемыми матрицами. Поэтому произведения таких матриц не могут быть заменены другими переменными, подобно скалярным переменным в последовательных алгоритмах.

Глава 6 (ПРИМЕНЕНИЕ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ) посвящена вопросам применения RLS-алгоритмов адаптивной фильтрации.

Прежде всего, рассматривается применение вычислительных процедур быстрых RLS-алгоритмов со скользящим окном главы 2 в качестве составной части FAP-алгоритмов. В диссертационной работе FAP-алгоритмы получены для общего случая многоканальных адаптивных фильтров с неодинаковым количеством N m комплексных весовых коэффициентов в каналах. В многоканальном FAP-алгоритме существует ряд особенностей, обусловленных наличием M каналов с неодинаковым количеством весовых коэффициентов в каналах, что отличает такой алгоритм от одноканального.

Установлено, что вектор rL1 (k ), вычисляемый в FAP-алгоритмах для многоканальных адаптивных фильтров, состоит из суммы векторов, определяемых сигналами отдельных каналов как обозначает матрицу, состоящую из первых L 1 столбцов матрицы X NL (k ), т.е.

столбов с номерами 0,K, L 2, где X NL (k ) = [ N (k ), N (k 1),K, N (k L + 1)], N (k ) = x T 1 (k ), x T 2 (k ),K, x T m (k ),K, x T M (k ), L – длина скользящего окна.

Уравнение (68) является одним из отличий многоканального FAPалгоритма от одноканального FAP-алгоритма. Из этого уравнения следует, что в случае M -канального адаптивного фильтра вектор rL1 (k ) состоит из суммы M составляющих, каждая из которых вычисляется на своем скользящем окне длиной в N m отсчетов.

Другая особенность многоканального FAP-алгоритма связана с вычислением корреляционной матрицы R L (k ), которая в многоканальном адаптивном фильтре определяется как K, xm (k L + 1)]. Таким образом, матрица R L (k ) также состоит из суммы корT реляционных матриц для сигналов отдельных каналов адаптивного фильтра.

Каждая из матриц вычисляется на своем скользящем окне длиной в N m отсчетов.

Поскольку матрица R L (k ) состоит из суммы матриц R L,m (k ), то для ее обращения необходимо M раз последовательно использовать процедуру одноканального линейного предсказания со скользящим окном. Кроме того, так как каждая из матриц R L,m (k ) определяется на своем скользящем окне длиной в N m отсчетов входных сигналов адаптивного фильтра xm (k ), то и линейное предсказание осуществляется на аналогичных скользящих окнах. Такие вычисления выполняются с помощью соответствующих процедур быстрых одноканальных RLS-алгоритмов со скользящим окном, рассмотренных в главе 2.

Оценка вычислительной сложности многоканального FAP-алгоритма равна 2 N + O( ML) + 8 L, где составляющая O(ML) определяется сложностью используемой процедуры линейного предсказания.

Результаты моделирования показали, что основные свойства многоканального FAP-алгоритма совпадают со свойствами одноканального FAPалгоритма. В многоканальном FAP-алгоритме длительность переходного процесса уменьшается с увеличением L, а при L > 30 эта длительность уменьшается незначительно.

В главе 6 также представлен полученный многоканальный линейноограниченный алгоритм аффинных проекций с вычислительной сложностью, равной N 2 + 2 N ( L + J ) + O( L3 ) умножениям со сложениями, ( L 1) умножениям и N + L2 + J сложениям, что примерно на N 2 + ( N + 1) L2 операций умножений со сложениями меньше, чем у такого же, известного из литературных источников, алгоритма.

Рассмотренные в диссертационной работе адаптивные фильтры относятся к линейным фильтрам. В то же время, применение таких фильтров может оказаться неэффективным, если решаемые задачи являются нелинейными. Наряду с линейными, нелинейные эффекты проявляются в задачах подавления сигналов электрического и акустического эха, подавления сигналов акустических шумов, выравнивания каналов связи, коррекции нелинейных искажений в аналого-цифровых преобразователях и в ряде других случаев.

При решении этих задач часто используются нелинейные полиномиальные адаптивные фильтры. Полиномиальные фильтры строятся либо на основе простейших многоканальных градиентных LMS-алгоритмов, либо на основе многоканальных RLS-алгоритмов. Однако простые алгоритмы обладают известными недостатками, а сложные требуют значительных вычислительных ресурсов для реализации. Компромиссным решением является использование быстрых RLS-алгоритмов с линейной вычислительной сложностью.

При построении полиномиальных адаптивных фильтров требуется использовать многоканальные фильтры с изменяемым на единицу количеством весовых коэффициентов между соседними каналами. Фильтры с таким свойством можно рассматривать как частный случай многоканальных адаптивных фильтров (рис. 1). Это позволяет для реализации полиномиальных адаптивных фильтров использовать алгоритмы, рассмотренные в главе 2. В этом случае общее количество весовых коэффициентов при использовании только квадратичного ядра с учетом его симметрии равно N T = 0,5 N 2 + 1,5 N, где N – количество весовых коэффициентов линейной части адаптивного фильтра. Поэтому уже при небольших значениях N реализация таких фильтров становится проблематичной с точки зрения требуемых вычислительных ресурсов.

ERLR, дБ Рис. 7. Моделирование полиномиальных адаптивных фильтров В работе показано (см. рис. 7), что усеченные адаптивные фильтры, состоящие из линейного ядра и квадратичного ядра, аппроксимированного только диагональными элементами, при наличии шума на входе d (k ) обеспечивают качество (в терминах параметра ERLE), примерно на 5 дБ лучшее по сравнению с качеством полного адаптивного фильтра. Это обусловлено тем, что на практике нелинейные ядра имеют малые амплитуды весовых коэффициентов и при наличии шума на входе d (k ) большинство из этих коэффициентов (за исключением диагональных с максимальными амплитудами) определяется с ошибками, сопоставимыми со значениями самих коэффициентов. На рис. 7 линия 1 соответствует идентификации сигнала d (k ) с помощью только линейного ядра адаптивного фильтра, линия 2 – с помощью двухканального диагонального полиномиального фильтра с одинаковым количеством весовых коэффициентов линейного и нелинейного ядер, а линия 3 – с помощью полного квадратичного адаптивного фильтра. Линии 1 – 3 соответствуют RLS-алгоритму.

Графики для NLMS-алгоритма, аналогичные линиям 1 – 3, отмечены линиями 4 – 6, соответственно. Видно, что полные и усеченные NLMS-алгоритмы демонстрируют на 10…15 дБ меньшее значение параметра ERLE, что свидетельствует в пользу применения усеченных полиномиальных адаптивных фильтров на базе быстрых многоканальных RLS-алгоритмов не только с точки зрения вычислительной сложности, но и с точки зрения качества работы таких фильтров в реальных условиях.

Разработать и проверить большое число алгоритмов адаптивной фильтрации, представленных в диссертационной работе, было бы невозможно без наличия определенного критерия правильности их функционирования. Одним из очевидных критериев может служить сравнение поведения адаптивных фильтров с одинаковым количеством весовых коэффициентов, использующих разные алгоритмы, при решении одинаковых задач и обработке одинаковых сигналов.

Поскольку RLS-алгоритмы (в пределах своих классов) представляют собой тождественные преобразования некоторых математических соотношений, то эти алгоритмы должны быть математически эквивалентными друг другу.

Однако было установлено, что в литературных источниках инициализация (задание начальных условий) различных адаптивных алгоритмов часто определяется по-разному. С одной стороны, это не противоречит работоспособности алгоритмов, но, с другой стороны, не позволяет корректно их сравнивать даже в одинаковых условиях, т.к. из-за различной инициализации алгоритмы не обеспечивают одинаковых показателей качества, а, значит, не являются полностью математически эквивалентными. Это затрудняет проверку алгоритмов в процессе их разработки и при решении прикладных задач.

В работе показано, что если в основе получения RLS-алгоритмов использовать следующий функционал:

где (k ) = diag (, k 1,K, k ( N 1) ) – диагональная матрица, p = 1 – в случае возрастающего окна и p = k L + 1 – в случае скользящего окна, то вектор весовых коэффициентов адаптивного фильтра определяется как Такая модификация позволила получить эквивалентные условия инициализации как RLS-алгоритмов с квадратичной вычислительной сложностью, так и быстрых алгоритмов с линейной вычислительной сложностью, включая лестничные алгоритмы. Эта инициализация применима к алгоритмам одноканальных и многоканальных адаптивных фильтров.

Эквивалентность алгоритмов демонстрируется наблюдением на каждой итерации одинаковых сигналов на выходе адаптивного фильтра и других показателей качества его работы, если сравниваемые фильтры имеют одинаковые порядки и обрабатывают одинаковые входные сигналы. Данный способ инициализации позволил разработать и протестировать большую прикладную библиотеку алгоритмов адаптивной фильтрации, базирующуюся на алгоритмах настоящей диссертации. Кроме того, он также позволяет корректно сравнивать RLS-алгоритмы при решении различных прикладных задач.

В главах 1 – 4 были рассмотрены алгоритмы адаптивной фильтрации, разделенные на классы в соответствии со способом оценки корреляционной матрицы адаптивного фильтра. Алгоритмы в пределах каждого из классов являются математически эквивалентными друг другу. Результаты моделирования различных алгоритмов, демонстрирующие эффективность применения той или иной модификации корреляционной матрицы адаптивного фильтра при обработке нестационарных сигналов, представлены на рис. 8. Рассматривается задача идентификации трехканального линейного импульсного отклика с количеством весовых коэффициентов в каналах N m, равным 8, 16 и 32, при обработке различных нестационарных сигналов (сигналов речи) в каждом из каналов.

| H( f ) |, дБ | H( f ) |, дБ На рис. 8а и рис. 8б сравниваются многоканальные алгоритмы с возрастающим (линия 1) и скользящим (линия 2) окнами без регуляризации. Можно видеть, что ограничение 0 дБ АЧХ H ( f ) адаптивного фильтра, задаваемое на выбранных частотах 1 кГц и 2 кГц, обеспечивается обоими алгоритмами. На этом рисунке вертикальные стрелки указывают на частоты ограничений, а горизонтальная пунктирная линия обозначает уровень ограничения АЧХ.

Однако в алгоритме со скользящим окном (благодаря следящим свойствам) такой параметр как ERLE достигает более высокого значения, чем в алгоритме с возрастающим окном. На рис. 8б видно, что в рассмотренных примерах значения параметра ERLE в случае RLS-алгоритма с возрастающим окном примерно на 20 дБ ниже, чем в случае RLS-алгоритма со скользящим окном. Это объясняется тем, что при обработке нестационарных сигналов во втором случае корреляционная матрица вычисляется более точно.

Улучшение разработанных алгоритмов достигается путем использования динамической регуляризации при обращении корреляционной матрицы, оцениваемой на скользящем окне, см. рис. 8в и рис. 8г. На рис. 8в видно, что ограничения АЧХ также выполняются и в случае регуляризированного алгоритма, а из рис. 8г следует, что при использовании скользящего окна и регуляризации (линия 1) достигаемое значение ERLE в среднем не меньше, чем при использовании только скользящего окна (линия 2, аналогичная линии 2 на рис. 8б).

Разработанная тестовая среда для моделирования рассмотренных в диссертации алгоритмов ориентирована на применение в задачах передачи информации по проводным каналам связи. Она базируется на теории линейных четырехполюсников. Эта среда была использована и при моделировании алгоритма идентификации неоднородностей в таких каналах.

Рассмотренный в главе 6 алгоритм идентификации неоднородностей проводных каналов связи также представляет собой адаптивный фильтр. В качестве зондирующего сигнала используются M-последовательности. При этом, в силу ограниченной полосы проводного канала связи в отраженных сигналах появляется межсимвольная интерференция, влияющая на ошибки измерения.

Исключение этого влияния позволило получить алгоритм вычисления коэффициентов отражения:

N N N N N N N

меряемого сигнала на входе проводного канала связи, N – период Мпоследовательности, m – число периодов этой последовательности, участвующих в измерениях. Доказано, что матрица A N имеет вид: A N = = [2 {X ( N + 1)}]A N, где X – амплитуда зондирующего сигнала, а строки A N представляют собой циклически сдвинутые полные периоды Мпоследовательности, т.е. 0 и 1. Уравнение матрицы A N получено на основе использования того факта, что матрица сигналов X N является циркулянтной.

Результаты моделирования данного алгоритма приведены на рис. 9. Тонкие серые линии на рис. 9а представляют собой результаты измерения характеристики отражения с помощью уравнения (72) в течение разного числа блочных итераций m адаптивного алгоритма при отношении сигнал-шум (ОСШ), равном 0 дБ. На рисунке расчетная рефлектограмма обозначена сплошной жирной линией, а измеренная – серой линией при ОСШ=0 дБ и m = 100 (линия 1), m = 1000 (линия 2), m = 10000 (линия 3). Видно, что с ростом m измеренная характеристика отражения приближается к заданной (известной, в случае моделирования).

Рис. 9. Моделирование измерения неоднородностей Точность измерения характеристики отражения при заданном m определяется ОСШ. На рис. 9б сплошной линией показаны значения дисперсии ошибок h, определяемые как h = 10 lg z2 z2, где z2 – дисперсия шума на входе линии, а штриховой – полученные путем моделирования рассмотренного алгоритма при ОСШ=0 дБ (линия 1), при ОСШ=10 дБ (линия 2) и при ОСШ=20 дБ (линия 3). Видно, что измеренные значения дисперсии ошибок близки к теоретическим и уменьшаются с увеличением ОСШ. Рассмотренный способ построения рефлектометров был реализован в анализаторах систем передачи и кабелей связи AnCom A-7 предприятия «Аналитик-ТС» (г. Москва) (рис. 10).

Рис. 10. Анализатор систем передачи и кабелей связи AnCom A- Практической целью решения научной проблемы настоящей диссертационной работы является создание прикладной библиотеки алгоритмов и программ адаптивной фильтрации. Такая библиотека создана и в настоящее время насчитывает около 400 алгоритмов. Данное количество обусловлено многообразием рассмотренных в диссертационной работе типов алгоритмов.

Все перечисленные алгоритмы имеют программные прототипы (модели) на языке программирования MATLAB. Эти прототипы получены в виде отдельных функций, а также интегрированы в графический интерфейс пользователя (ГИП), см. рис. 11.

Рис. 11. Графический интерфейс пользователя ГИП – это инструмент, с помощью которого можно исследовать свойства интересуемого алгоритма адаптивной фильтрации под воздействием внутренних тестовых сигналов, или исследовать работу адаптивного фильтра в составе устройства при использовании записей реальных сигналов.

В настоящее время, часть вычислительных процедур рассмотренных адаптивных алгоритмов уже вошла в состав прикладной библиотеки программ для СБИС сигнальных контроллеров отечественной серии «Мультикор»

1892BM3Т (MC-12) и 1892BM2Я (MC-24) (рис. 12).

В главе 6 также приведены оценки ресурсов, требуемых для реализации некоторых RLS-алгоритмов (рис. 13) на базе СБИС серии «Мультикор».

По графикам и значениям тактовой частоты процессоров можно определить достижимую частоту дискретизации сигналов, обрабатываемых с помощью реализованных адаптивных фильтров, или определить запас ресурсов СБИС серии «Мультикор» для решения других задач ЦОС.

Рис. 12. Библиотеки адаптивной фильтрации для СБИС серии «Мультикор»

Длительность, такты На рис. 13а линии 1, 2 – комплексный RLS-алгоритм со скользящим окном (одноканальный и многоканальный), СБИС MC-12; линии 3, 4 – действительный RLS-алгоритм со скользящим окном (одноканальный и многоканальный), СБИС MC-12; линии 5, 6 – комплексный RLS-алгоритм со скользящим окном (одноканальный и многоканальный), СБИС MC-24; линии 7, 8 – действительный RLS-алгоритм со скользящим окном (одноканальный и многоканальный), СБИС MC-24; линии 9, 10 – комплексный RLS- алгоритм с возрастающим окном (одноканальный и многоканальный), СБИС MC-12; линии 11, 12 – действительный RLS-алгоритм с возрастающим окном (одноканальный и многоканальный), СБИС MC-12; линии 13, 14 – комплексный RLS-алгоритм с возрастающим окном (одноканальный и многоканальный), СБИС MC-24; линии 15, 16 – действительный RLS-алгоритм со скользящим окном (одноканальный и многоканальный), СБИС MC-24.

Из данного рисунка следует, что вычислительная сложность алгоритмов со скользящим окном примерно в 2 раза больше сложности алгоритмов с возрастающим окном.

На рис. 13б приведены оценки вычислительной сложности по результатам реализации некоторых одноканальных лестничных алгоритмов на основе СБИС МС-12. Линия 1 – алгоритм на основе априорных и апостериорных ошибок (комплексный, без обратных связей), линия 2 – алгоритм на основе априорных и апостериорных ошибок (действительный, без обратных связей), линия – алгоритм на основе априорных и апостериорных ошибок (комплексный, с обратными связями), линия 4 – алгоритм на основе априорных и апостериорных ошибок (действительный, с обратными связями), линия 5 – алгоритм на основе априорных ошибок (комплексный, без обратных связей), линия 6 – алгоритм на основе априорных ошибок (действительный, без обратных связей), линия 7 – алгоритм на основе априорных ошибок (комплексный, с обратными связями), линия 8 – алгоритм на основе априорных ошибок (действительный, с обратными связями).

Видно, что вычислительная сложность лестничных алгоритмов зависит линейно от количества весовых коэффициентов адаптивного фильтра.

Таким образом, практическим результатом настоящей диссертационной работы является большая библиотека моделей алгоритмов адаптивной фильтрации, ориентированных на реализацию в современных высокопроизводительных СБИС ЦСП. Библиотека алгоритмов может служить полезным инструментом для инженеров и исследователей, которые используют адаптивную фильтрацию в своих разработках.

В заключении подведены итоги работы, сформулированы основные выводы, а также приведены сведения о практической апробации результатов диссертационной работы в виде их внедрения в промышленные разработки и учебный процесс.

В приложении приведены акты внедрения результатов диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Таким образом, в настоящей диссертационной работе рассмотрен ряд вопросов, касающихся решения научной проблемы – разработки алгоритмических основ адаптивной фильтрации нестационарных сигналов. В результате изучения литературных источников было установлено, что большинство RLSалгоритмов существует в форме, ориентированной на обработку стационарных сигналов. Это обусловлено тем, что присутствующая в таких алгоритмах в явном или в неявном виде корреляционная матрица обрабатываемых сигналов оценивается на возрастающем окне отсчетов.

Для обеспечения возможности обработки нестационарных сигналов в рамках диссертационной работы было получено семейство алгоритмов адаптивной фильтрации, отличающихся от известных по следующим признакам:

корреляционная матрица сигналов оценивается на скользящем окне, длина которого в конкретных случаях определяется интервалом стационарности обрабатываемых сигналов; корреляционная матрица, оцениваемая на возрастающем окне, динамически регуляризируется; корреляционная матрица, оцениваемая на скользящем окне, динамически регуляризируется. Отмеченные модификации ведут к так называемым последовательным RLS-алгоритмам, вычислительная сложность которых примерно в два или четыре раза больше сложности одноименных RLS-алгоритмов адаптивной фильтрации стационарных сигналов (с возрастающим окном без регуляризации).

Кроме того, в связи с тем, что в настоящее время разрабатываются цифровые сигнальные контроллеры, содержащие несколько вычислительных ядер в одной СБИС, с целью уменьшения вычислительной нагрузки на ядро и повышения скорости обработки (частоты дискретизации) сигналов при реализации алгоритмов адаптивной фильтрации нестационарных сигналов разработаны математические аналоги последовательных алгоритмов – параллельные RLSалгоритмы. Параллельные RLS-алгоритмы ориентированы на реализацию с помощью двух или четырех процессоров, независимо от числа каналов адаптивного фильтра и количества весовых коэффициентов в каналах. Параллелизм достигается не за счет уменьшения размерности задачи, определяемой полным количеством весовых коэффициентов адаптивного фильтра, путем деления этой задачи между процессорами, а за счет параллельной обработки существующих независимых потоков данных, которых может быть два или четыре в случае отмеченных способов модификации корреляционной матрицы.

Большинство алгоритмов, представленных в диссертации, получено в форме, предназначенной для использования в многоканальных адаптивных фильтрах с неодинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах. Алгоритмы для фильтров с одинаковым количеством весовых коэффициентов в каналах, одноканальных или с действительными весовыми коэффициентами являются частными случаями указанного общего решения. Такие алгоритмы получаются в результате очевидного упрощения алгоритмов общего вида, в то время как переход от простых алгоритмов к сложным не является очевидным.

В рамках диссертационной работы также были решены и некоторые другие задачи, относящиеся к адаптивной фильтрации. Вместе с основными результатами диссертационной работы эти задачи перечисляются ниже.

1. Для случаев, когда корреляционная матрица обрабатываемых сигналов оценивается на скользящем окне, на возрастающем окне с динамической регуляризацией, а также на скользящем окне с динамической регуляризацией, получено:

семейство последовательных RLS-алгоритмов адаптивной фильтрации с квадратичной вычислительной сложностью. Это семейство включает алгоритмы на основе леммы об обращении матрицы, прямого и обратного QR-разложения с операциями извлечения квадратного корня и без таких операций;

семейство последовательных быстрых RLS-алгоритмов адаптивной фильтрации с линейной вычислительной сложностью. Это семейство включает FK-, FTF-, FAEST- и стабилизированный FAEST-алгоритмы на основе лемм об обращении клеточных матриц, быстрые RLS-алгоритмы на основе обратного QR-разложения с операциями извлечения квадратного корня и без таких операций, а также стабилизированный алгоритм на основе обратного QR-разложения без операций извлечения квадратного семейство последовательных быстрых лестничных RLS-алгоритмов адаптивной фильтрации с линейной вычислительной сложностью. Это семейство включает алгоритмы на основе априорных и апостериорных ошибок линейного предсказания и моделирования без обратных связей, аналогичные алгоритмы с обратными связями, алгоритмы на основе только априорных и только апостериорных ошибок линейного предсказания и моделирования без обратных связей, аналогичные алгоритмы с обратными связями, нормализованные алгоритмы на основе апостериорных ошибок, алгоритмы на основе апостериорных ошибок с использованием QRразложения с операциями извлечения квадратного корня и алгоритмы на основе априорных ошибок с использованием QR-разложения без операций извлечения квадратного корня;

семейство последовательных линейно-ограниченных RLS-алгоритмов.

Многообразие таких алгоритмов определяется тремя математически эквивалентными разновидностями, а также различными способами вычисления векторов коэффициентов Калмана с помощью процедур RLSалгоритмов с квадратичной и линейной вычислительной сложностью;

семейство параллельных алгоритмов, математически эквивалентных последовательным RLS-алгоритмам с квадратичной вычислительной сложностью, математически эквивалентных последовательным быстрым RLSалгоритмам с линейной вычислительной сложностью, математически эквивалентных последовательным быстрым лестничным RLS-алгоритмам с линейной вычислительной сложностью и математически эквивалентных последовательным линейно-ограниченным RLS-алгоритмам.

2. Получено семейство FAP-алгоритмов для многоканальных адаптивных фильтров с неодинаковым количеством комплексных весовых коэффициентов в каналах. Многообразие таких алгоритмов определяется различными способами вычисления векторов коэффициентов фильтров линейного предсказания и энергии ошибок линейного предсказания с помощью соответствующих процедур последовательных и параллельных RLS-алгоритмов с линейной вычислительной сложностью.

3. Получены условия инициализации, обеспечивающие математическую эквивалентность RLS-алгоритмов друг другу в пределах классов, характеризуемых способом оценки корреляционной матрицы адаптивного фильтра: на скользящем окне, на возрастающем окне с регуляризацией, на скользящем окне с регуляризацией.

4. Показано, что с помощью многоканальных RLS-алгоритмов могут быть эффективно реализованы полные и усеченные полиномиальные адаптивные фильтры.

5. Получен вычислительно эффективный RLS-алгоритм идентификации неоднородностей в металлических кабелях проводных каналов связи, базирующийся на использовании непрерывных сигналов (М-последовательностей).

6. Разработана тестовая среда, предназначенная для моделирования алгоритмов адаптивной фильтрации с целью проверки их работоспособности и исследования поведения в задачах передачи данных по проводным каналам связи.

7. На основе рассмотренных алгоритмов адаптивной фильтрации нестационарных сигналов и известных алгоритмов адаптивной фильтрации стационарных сигналов разработана прикладная библиотека на языке программирования MATLAB, насчитывающая около 400 алгоритмов.

8. Часть алгоритмов адаптивной фильтрации реализована в виде функций на языке Assembler для СБИС сигнальных контроллеров отечественной серии «Мультикор».

Полученные в настоящей работе результаты применимы к решению широкого класса задач, встречающихся при разработке устройств и систем связи, радио- и гидролокации, медицины, бытовой электроники. Разработанные математические модели большого количества алгоритмов адаптивной фильтрации, их прототипы на языке программирования MATLAB, а также функции для СБИС сигнальных контроллеров отечественной серии «Мультикор» предоставляют разработчикам радиоэлектронной аппаратуры готовые решения в пределах широкого выбора алгоритмов адаптивной фильтрации. Это позволяет не только ускорить процесс разработки приложений, но и придать им новое качество, которое часто не достижимо при использовании простых алгоритмов адаптивной фильтрации.

Правильность такого подхода подтверждена использованием разработанной библиотеки алгоритмов в составе прикладной библиотеки алгоритмов и программ для СБИС сигнальных контроллеров отечественной серии «Мультикор» на предприятии ГУП НПЦ «ЭЛВИС» (г. Москва, Зеленоград), использованием элементов этой библиотеки в разработках Научно-конструкторского бюро вычислительных систем (г. Таганрог), использованием библиотеки алгоритмов на языке MATLAB в Научно-производственном предприятии Калужский приборостроительный завод «Тайфун» (г. Калуга) и в учебных курсах Самарской государственной академии путей сообщения (г. Самара). Адаптивный RLS-алгоритм идентификации неоднородностей был реализован в анализаторах систем передачи и кабелей связи AnCom A-7 предприятия «Аналитик-ТС»

(г. Москва), серийно выпускаемых с 2003 года, и широко используемых при эксплуатации телефонных сетей операторами связи России и СНГ.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Djigan V.I. Improved fast affine projection algorithm with gradient adaptive step–size // Proceedings of the 3-rd International Conference on Antennas, Radiocommunication Systems & Means (ICARSM-97) (Voronezh Construction Bureau of Antenna Design, 26 – 29 May 1997). – Voronezh, 1997. – Vol. 3. – P. 23–32.

2. Djigan V.I. Unified approach to the fast time recursive least square adaptive filtering algorithms development // Proceedings of the 3-rd International Conference on Antennas, Radiocommunication Systems & Means (ICARSM-97) (Voronezh Construction Bureau of Antenna Design, 26 – 29 May 1997). – Voronezh, 1997. – Vol. 3. – P. 33–42.

3. Джиган В.И. Алгоритмические основы рефлектометрии // Отчет о НИР. – Предприятие «Аналитик-ТС». – Москва, 1999. – 44 с.

4. Джиган В.И. Быстрый многоканальный алгоритм аффинных проекций с комплексными коэффициентами для адаптивной фильтрации // Доклады 5й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения (DSPA-2003)» (Российская академия наук: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова, 12 – 14 марта 2003 г.). – Москва, 2003.

5. Джиган В.И. Вычислительно эффективный алгоритм обучения эхоподавителя в SHDSL модемах // Доклады 5-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения (DSPA-2003)» (Российская академия наук: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова, 12 – 14 марта 2003 г.). – Москва, 2003. – Том 1. – С. 44–49.

6. Джиган В.И. Расчет параметров четырехполюсника дифференциальной системы и линейного усилителя с синтетически согласованной нагрузкой // Известия высших учебных заведений. Электроника. – 2003. – №6. – С.

7. Джиган В.И. Алгоритмы адаптивной фильтрации как составная часть прикладной библиотеки платформы «МУЛЬТИКОР» // Отчет о НИР. – ГУП НПЦ «ЭЛВИС». – Москва, 2003. – 151 с.

8. Джиган В.И. Графический интерфейс пользователя для алгоритмов адаптивной фильтрации прикладной библиотеки платформы «МУЛЬТИКОР» // Отчет о НИР. – ГУП НПЦ «ЭЛВИС». – Москва, 2003. – 486 с.

9. Джиган В.И. Быстрый многоканальный RLS-алгоритм с регуляризацией и стабилизацией // Известия высших учебных заведений. Электроника. – 2004. – №1. – С. 83–90.

10. Джиган В.И. Многоканальные RLS-алгоритмы с линейными ограничениями // Известия высших учебных заведений. Электроника. – 2004. – №3. – С. 46–53.

11. Джиган В.И. Многоканальный РНК-алгоритм адаптивной фильтрации на основе обратной факторизации с использованием преобразований Хаусхолдера, со скользящим окном и линейными ограничениями // Известия высших учебных заведений. Электроника. – 2004. – №4. – С. 44–51.

12. Джиган В.И. Алгоритм линейно-ограниченной адаптивной фильтрации нестационарных сигналов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. – 2004. – №8. – С. 29–38.

13. Джиган В.И. Семейство RLS и быстрых RLS алгоритмов со скользящим окном для многоканальной адаптивной фильтрации с линейными ограничениями // Доклады 6-й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения (DSPA-2004)» (Российская академия наук:

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова, 31 марта – 2 апреля 2004 г.). – Москва, 2004. – Том 1. – С. 83–88.

14. Джиган В.И. Библиотека алгоритмов адаптивной фильтрации // Доклады 6й Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применения (DSPA-2004)» (Российская академия наук: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова, 31 марта – 2 апреля 2004 г.). – Москва, 2004. – Том 1. – С. 89–94.

15. Джиган В.И. Параллельный регуляризированный быстрый RLS алгоритм многоканальной адаптивной фильтрации со скользящим окном и линейными ограничениями // Труды 10-й Международной конференции «Радиолокация, навигация, связь (RLNC-2004)» (Воронежский государственный университет, 13 – 15 апреля 2004 г.). – Воронеж, 2004. – Том 1. – С. 132– 16. Джиган В.И. Линейно-ограниченные QRD RLS алгоритмы для адаптивной фильтрации нестационарных сигналов // Труды 10-й Международной конференции «Радиолокация, навигация, связь (RLNC-2004)» (Воронежский государственный университет, 13 – 15 апреля 2004 г.). – Воронеж, 2004. – Том 1. – С. 143–151.

17. Джиган В.И. Вычислительно эффективный SW RLS алгоритм адаптивной фильтрации с использованием преобразований Хаусхолдера // Труды 59-й научной сессии, посвященной Дню Радио (Московский технический университет связи и информатики, 19 – 20 мая 2004 г.). – Москва, 2004. – Том 18. Джиган В.И. SW RLS алгоритм адаптивной фильтрации на основе обратного QR разложения без операций извлечения квадратного корня // Труды 59-й научной сессии, посвященной Дню Радио (Московский технический университет связи и информатики, 19 – 20 мая 2004 г.). – Москва, 2004. – Том 1. – С. 61–64.

19. Джиган В.И. Разработка алгоритмов адаптивной фильтрации с применением среды «MATLAB» // Труды 2-й Всероссийской научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

(Российская академия наук: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова, 25 – 26 мая 2004 г.). – Москва, 2004. – С. 1689–1696 (CD).

20. Джиган В.И. Моделирование канала связи и обработки сигналов SDSL модема в среде «MATLAB» // Труды 2-й Всероссийской научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB». Российская академия наук: Институт проблем управления им.

В.А. Трапезникова, 25 – 26 мая 2004 г.). – Москва, 2004. – С. 1697– 21. Djigan V.I. Sliding window linearly constrained RLS algorithm based on Givens rotations inverse QRD without square roots // Proceedings of the 2-nd IEEE International Conference on Circuits and Systems for Communications (ICCSCMoscow Technical University of Communications and Informatics, June 30 – July 2, 2004). – Moscow, 2004. – P. 1–4 (CD).

22. Djigan V.I. Multichannel RLS adaptive filtering algorithm for parallel implementation by means of four processors // Proceedings of the 4-th International Scientific and Practical Conference «Internet-Science-Education-2004 (ISEVinnytsia National Technical University, September 29 – October 12, 2004). – Vinnytsia, 2004. – Vol. 2. – P. 687–691.

23. Djigan V.I. Linearly constrained sliding window square root IQRD based multichannel fast RLS adaptive filtering algorithm // Proceedings of the 4-th International Scientific and Practical Conference «Internet-Science-Education- (ISE-2004)» (Vinnytsia National Technical University, September 29 – October 12, 2004 г.). – Vinnytsia, Ukraine, 2004. – Vol. 2. – P. 692–696.

24. Джиган В.И. Параллельные регуляризированные RLS-алгоритмы многоканальной адаптивной фильтрации // Цифровая обработка сигналов. – 2004.

25. Джиган В.И. RLS-алгоритм адаптивной фильтрации для параллельной реализации с помощью четырех процессоров // Цифровая обработка сигналов.

– 2004. – №3. – C. 2–7.

26. Джиган В.И. Многоканальные RLS- и быстрые RLS-алгоритмы адаптивной фильтрации // Успехи современной радиоэлектроники. – 2004. – №11.

27. Djigan V.I. Parallelizable multichannel SW fast RLS algorithm for implementation by means of four processors // Proceedings of the 2-nd International Conference on Information Systems and Technology (IST-2004) (Belarusian State University, November 8 – 12, 2004). – Minsk, Belarus, 2004. – Vol. 2. – P.