ОБЪЯВЛЕНИЕ О ЗАЩИТЕ КАНДИДАТСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ

Ф.И.О.: Асланов Сергей Жамболатович

Название диссертации: Расчет оптимальных режимов гашения коле­

баний механических систем

Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Отрасль наук

и: Технические науки

Шифр совета: Д 212.110.08

Тел. ученого секретаря дис­ 8-499-141-94-55 сертационного совета:

E-mail: [email protected] Дата защиты диссертации: 27 октября 2011 г. в 14:00 Место защиты диссертации: Москва, ул. Оршанская, д. 3, ауд. 612а Дата размещения 26 сентября 2011 г.

1

На правах рукописи

Асланов Сергей Жамболатович Расчет оптимальных режимов гашения колебаний механических систем 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва –

Работа выполнена в ГОУ ВПО «МАТИ» – Российском государственном технологическом университете имени К.Э. Циолковского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, Михайлов Игорь Ефимович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Гурченков Анатолий Андреевич, кандидат физико-математических наук, Махмудов Агабей Агасалим Оглы

Ведущая организация: Международный Университет природы, общества и человека «Дубна»

Защита состоится « » 2011 г. в ч. мин. на засе­ дании диссертационного совета Д 212.110.08 при «МАТИ» – Российском государственном технологическом университете имени К.Э. Циолков­ ского, расположенном по адресу: 121552, Москва, ул. Оршанская, д. 3, ауд. 612а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке «МАТИ» – Российского государственного технологического университета имени К.Э. Циолков­ ского.

Автореферат разослан « » 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.110. кандидат физико-математических наук Спыну М.В.

Общая характеристика работы

Колебания струн описываются гиперболическим уравнением 2 (1) = + (, ), 0 <, 0 < <, = const.

2 Начальные данные, в нашем случае начальные отклонение и скорость:

= 1 (), (0, ), (2) |=0 = 0 (), = будем рассматривать как начальные возмущения. На границах струн могут быть наложены различные граничные условия, в частности, условия закрепления (3) |=0 = |= = Энергия колеблющейся струны в момент времени задается интегра­ лом В работе рассматривается проблема демпфирования (гашения) коле­ баний, т.е. следующая задача демпфирования (задача D): найти управля­ ющую функцию (, ) (из некоторого класса), позволяющую полностью погасить начальные возмущения (2) за конечное время > 0:

Следуя Ж.-Л. Лионсу будем называть такую ситуацию строгой управ­ ляемостью.

Актуальность темы. Задачи гашения колебаний, и, в частности, ко­ лебаний тонких длинных и тонких круглых элементов, актуальны в силу многочисленных технических приложений. При создании новых космиче­ ских комплексов в мировой практике все более широкое применение на­ ходят космические платформы (КП), на которых размещаются различного вида полезные нагрузки. Сами КП имеют каркасную конструкцию, кроме того, в большинстве проектов КП имеются выносные конструкции, такие, например, как антенные устройства или панели солнечных батарей. На борту КП размещаются приборы и агрегаты технологических систем, кото­ рые могут быть источниками механических возмущений, способствующих возникновению вынужденных упругих колебаний составных частей КП.

Кроме того, эти колебания могут возникать после соударения стыковочных механизмов. Это вызывает влияние на пространственную устойчивость КП и отрицательно влияет на работу установленных на ней приборов. Поэтому гашение таких колебаний представляет собой важную прикладную задачу.

Другим примером может служить случай с двухкилометровы мостом в Волгограде, на котором 20 мая 2010 года по неизвестным причинам возникли колебания аплитудой до 1 метра, угрожавшие разрушением моста и остановившие движение транспорта на несколько дней.

Цель и задачи исследования. Основной целью данной работы являет­ ся разработка методов демпфирования колебаний тонкой струны и тонкой круглой мембраны с помощью точечного движущегося демпфера, а также неподвижного демпфера конечной ширины. Последний случай является более приближенным к практической реализации. В качестве граничных условий для струны рассматривается случай, когда оба конца струны за­ креплены, и случай, когда правый конец не закреплен. Для мембраны так­ же рассматриваются варианты с закрепленной и незакрепленной внешней границей. В центре круглой мембраны всегда действует условие симмет­ рии.

Также целью данной работы является выбор наилучшего численного метода, позволяющего найти оптимальное управление, сводящее энергию колеблющейся струны и мембраны к нулю за конечное время. При этом необходимым является нахождение оптимальных параметров сходимости численного метода решения.

Одной из задач работы является создание комплекса программ, реали­ зующего численный метод и позволяющего находить оптимальное управ­ ление в интерактивном режиме для заданных параметров.

В целом все результаты, выносимые на защиту являются новыми и оригинальными.

Научная новизна. Ранее строгая управляемость колебаниями бы­ ла рассмотрена в работах Д. Лагнесса, Д. Рассела, А.Г. Бутковского, Л.А. Муравья, А.З. Ишмухаметова в классе функций {(, ) 2 ((0 < 2 (0, )} и {(, ) = ()( 0 ), () 2 (0, )} соответственно. В по­ следнем случае () – дельта-функция Дирака, 0 – некоторая фиксиро­ ванная точка интервала (0, ). Этот случай соответствует ситуации, когда управление осуществляется только в одной точке интервала.

В работе Лагнесса было показано, что колебания можно погасить с по­ мощью бесконечного числа управляющих функций 1 (), 2 (),..., (),..., если (, ) представима в виде бесконечного ряда () (). Отме­ тим, что данное ограничение сильно затрудняет использование результатов работы в практических приложениях.

В работе Рассела получены условия на функцию (), которые позво­ ляют решить задачу D с помощью одной управляющей функции (). Од­ нако эта функция () распределена на всем интервале (supp () = (0, )), поэтому для решения задачи D управление должно осуществляться вдоль всей длины струны, что не позволяет использовать результаты работы в практических приложениях при достаточно длинной струне.

В работах Бутковского рассматривался точечный стационарный демп­ фер, помещенный в точку 0. Им было показано, что существует всюду плотное на {0, } множество точек {0 } таких, что помещенный в них демпфер не позволяет решить задачу D, например, на множестве решений уравнения sin 0 = 0, = 1, 2,..., являющихся узлами стоячих волн ре­ шений (, ) = ( cos + sin ) sin, = 1, 2,... однородного уравнения (1); здесь = в случае колебаний струны. Поэтому при способе управления задача либо неразрешима, либо неустойчива.

В последнее время было опубликовано большое количество работ по данной тематике, в частности В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым.

Для приближенного нахождения оптимального решения такого рода задач используются различные методы оптимизации (см., например, ра­ боты Ф.П. Васильева, А.А. Махмудова, Л.А. Муравья). В частности, в работе А.А. Махмудова, Л.А. Муравья использовался метод наискорейше­ го спуска. В настоящей работе мы используем новый подход к нахождению численного решения задачи на основе численного метода характеристик и метода сопряженных градиентов.

Методы исследования. В ходе исследования применяются следующие математические методы. Для понижения порядка волнового уравнения, используется метод сведения уравнения второго порядка к системе двух уравнений первого порядка. Для численного решения системы уравнений первого порядка используется численный метод характеристик, в котором все производные аппроксимируются центральными разностями. В качестве метода оптимизации для нахождения оптимального управления использу­ ется метод сопряженных градиентов. Интегралы вычисляются численным методом трапеций.

Программный комплекс, реализующий разработанный численный ме­ тод, создан с использованием свободных технологий. В качестве языка программирования использовался Java. Построение графиков осуществля­ лось с помощью Gnuplot.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут по­ служить отправной точкой для дальнейших исследований по данной про­ блематике, расширив тем самым область применения описанных подходов.

Разработанные методы можно использовать для решения задач демпфиро­ вания колебаний при использовании других типов управлений и других граничных условий. Принципы и подходы данной работы могут быть ис­ пользованы для построения модели демпфирования колебаний в трехмер­ ном случае.

Разработанный программный комплекс может быть использован как будущая основа для програмного обеспечения систем управления демпфи­ рующими устройствами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

II Всероссийская научная конференция молодых ученых и студен­ тов «Современное состояние и приоритеты развития фундаменталь­ ных наук в регионах», Анапа, 1–5 октября 2005 г.

IV научно-практическая конференция молодых ученых и специали­ стов «Исследования и перспективные разработки в авиационной про­ мышленности», Москва, 24–26 октября 2007 г.

VIII Международный авиационно-космический салон «МАКС-2007», Жуковский, 21–26 августа 2007 г.

IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студен­ тов «Современное состояние и приоритеты развития фундаменталь­ ных наук в регионах», Анапа, 1–4 октября 2007 г.

В основу диссертационной работы положены результаты, полученные автором в ходе исследований, проводимых в рамках научно-исследователь­ ной работы по проектам российского фонда фундаментальных исследова­ ний:

07-01-00682 – математические модели управления нелинейными ко­ лебаниями;

07-01-00380 – математическое моделирование и оптимизация нели­ нейных процессов в механике и гидродинамике.

Публикация основных результатов. По теме диссертации опубли­ ковано 4 работы ([1–4]), в том числе 2 работы в изданиях, входящих в перечень ведущих журналов и изданий, рекомендованных ВАК для пуб­ ликации основных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Структура и объем диссертации. Представленная работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, пока­ зана практическая значимость полученных результатов, представлены вы­ носимые на защиту научные положения.

В первой главе рассматривается задача гашения колебаний струны.

В §1 ставится задача гашения колебаний струны (задача D). Основная идея работы состоит в использовании движущегося точечного демпфера для решения этой задачи где () и () – две управляющие функции. Мы будем предполагать, что () 2 (0, ), а () функция с ограниченной вариацией, или, други­ ми словами, для любого конечного разбиения 0 < 1 <... < = отрезка [0, ] удовлетворяет неравенству Мы также будем полагать Класс управляющих функций (), удовлетворяющих этому ограниче­ нию, мы будем обозначать.

В §2 приведено аналитическое решение задачи гашения колебаний струны для случая, когда демпфер двигается с постоянной скоростью. В параграфе рассматриваются различные оптимальные траектории движения демпфера. В дальнейшем эти траектории использовались для тестирования предлагаемого метода гашения колебаний струны.

В §3 разбирается численное решение задачи гашения колебаний стру­ ны с закрепленными концами и управляющей функцией, моделирующей поведение движущегося точечного демпфера:

Рассмотрим функционал энергии колеблющейся струны в котором функция (, ) является решением задачи (1)-(3). Хорошо из­ вестно, что если уравнение (1) имеет нулевую правую часть, то выпол­ няется закон сохранения энергии: функционал (, ) не зависит от, и |=0 = 0 2 () + 2 () > 0. С учетом функционала (8) задачу D можно переформулировать следующим образом: требуется определить вре­ мя Т и управление 0 () 2 (0, ) такие, что движущийся со скоростью 0 () демпфер с учетом ограничений (7) погасит колебания струны, то есть функционал при = достигнет минимума, равного нулю Если мы зададим оптимальную траекторию 0, то наша задача сво­ дится к определению функции 0 () 2 (0, ) такой, что функционал достигает минимума, равного нулю Введя новую искомую функцию (, ), уравнение (1) можно свести к системе двух уравнений первого порядка Находим (, ), сравнивая исходное уравнение (1) с (12):

где () – функция Хевисайда.

Начально-краевые условия (2), (3) перейдут в:

Условия затухания колебаний (5) перейдут в условия Используя метод характеристик получаем уравнения:

где производные берутся вдоль линий + = const.

где производные 2 берутся вдоль линий = const.

Уравнения (16) и (17) решаются с помощью численного метода характери­ и и разобьем рассматриваемую об­ ные прямоугольные ячейки параллель­ ными прямыми =, = 0,...,, = /. Отметим, что для так введен­ ной сетки характеристики будут прохо­ дить через узловые точки. Аппроксими­ руем функции () и () кусочно-посто­ янными функциями так, чтобы на каждом промежутке [, +1 ] () =, () =, где – целые числа. Зафиксируем точку 0 так, чтобы она совпала с одним из узлов сетки на прямой = 0, и зададим =.

Расписывая разностную схему для (16) и (17) согласно точкам на рис.

1, мы получаем формулы для вычисления значений и на ( + 1)-м слое для = 1,..., 1:

Для нахождения и на первом слое используются начальные Соотношения (18)-(21) позволяют найти значения,, = 0,...,, которые зависят от числа, постоянных 0,..., 1 и целых чисел 0,..., 1.

Будем искать эти числа, минимизируя с помощью метода сопряженных градиентов функцию которая является разностным аналогом условий (15). При минимизации (22) учитываются ограничения (7). Расчет заканчивается, когда выполня­ ется условие <, где – заданная точность.

В конце параграфа приводятся три примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода.

В §4 разбирается численное решение задачи гашения колебаний стру­ ны, когда левый конец закреплен, а правый свободен, то есть действуют условия:

Начальные условия принимаются такими же, как в случае с условием закрепления. Граничное условие для (, ) для свободной границы при = будет следующим:

Как и в случае с закрепленным концом, задача решается численным методом характеристик. Разностная схема не меняется и вычисления и на (+1)-м слое производится по формулам (18) для = 1,..., 1, и по формулам (19) на левой границе при = 0.

На правой границе при = и вычисляются по формулам:

В конце параграфа приводятся три примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода.

В §5 разбирается численное решение задачи струны, когда в каче­ стве управляющей функции выбрана функция, моделирующая поведение неподвижного демпфера конечной ширины:

где () – управляющая функция, а 1 и 2 – точки на струне, ограничива­ ющие воздействие демпфера на струну, причем 2 > 1 и 2 1.

Функция (, ) будет выглядеть следующим образом:

Для решения используется разностная схема из §2. Дня начальных условий (2) и граничных условий закрепления (3) используются уравнения (18)-(21).

Для решения в случае свободной правой границы (23) используются уравнения (18), (19), (21) и (25).

В конце параграфа приводятся три примера, демонстрирующие реше­ ние с использованием такой управляющей функции как в случае с закреп­ ленными концами, так и в случае со свободным правым концом.

Пример. В качестве примера рассмотрена задача для движущегося точечного демпфера в случае, когда правая граница не закреплена и дей­ ствуют граничные условия (23). В расчете принималось = 1, = 40, = 1, начальное положение демпфера 0 = 0.9. Начальные возмущения представлены на рис. 2.

На рис. 4 показан вид функции (, ) в случае отсутствия на нее управляющего воздействия, т.е. когда (, ) = 0. Видно, что струна совер­ шает бесконечные колебания. Оптимальное управление (), позволяющее погасить начальные колебания за время = 2 показано на рис. 3, при этом () не изменялась и равнялась 0. На рис 5 изображен вид функции (, ) для найденного оптимального управления. За время = 2 просходит практически полное гашение колебаний.

Во второй главе рассматривается задача гашения тонкой круглой мембраны с помощью кольцевого движущегося демпфера.

В §1 ставится задача гашения колебаний мембраны и предлагается использование движущегося точечного демпфера. Колебания тонких круг­ лых упругих мембран с замкнутой границей описываются уравнением Здесь const, > 0, 0 < <, (, ) – управляющая функция.

Начальные данные: отклонение и скорость считаются известными На границе мембраны выполняется условие закрепления или условие свободной границы Энергия колеблющейся мембраны в момент времени задается инте­ гралом Рассмотрим следующую задачу гашения колебаний тонкой круглой мембраны радиуса : найти управляющую функцию (, ), позволяющую погасить начальные возмущения (28) за конечное время > 0:

Возьмем управляющую функцию вида где () и () – две управляющие функции, () – дельта-функция Ди­ рака, а 0 – радиус окружности, в точках которой помещается кольцевой демпфер в начальный момент времени.

Начальные условия перепишем в виде В качестве краевых условий для закрепленной границы (29), а также учитывая условия симметрии в центре мембраны, берутся условия Задача гашения колебаний рассматриваемой мембраны сводится к на­ хождению таких функций (), () и времени, при которых В §2 разбирается численное решение задачи гашения колебаний мем­ браны с закрепленной внешней границей и управляющей функцией, моде­ лирующей поведение движущегося точечного демпфера:

Введем новую искомую функцию (, ). Уравнение (27) можно пред­ ставить в виде системы двух уравнений первого порядка где () – функция Хевисайда.

Найдем начально-краевые условия для (, ):

Условие затухания колебаний (32) будет иметь вид Далее задача решается аналогично задаче гашения колебаний стру­ ны в §3 1-й главы, с использованием метода характеристик и разбиением области на прямоугольные ячейки.

Для заданного разбиения вычисляется по формуле Получаем формулы для вычисления значений и на ( + 1)-м слое для = 1,..., 1:

На левой границе при = 0:

На первом слое и задаются из начальных условий (38):

Соотношения (40)-(43) позволяют найти значения,, = 0,...,, которые зависят от числа, постоянных 0,..., 1 и целых чисел 0,..., 1.

Будем искать эти числа, минимизируя с помощью метода сопряженных градиентов функцию которая является разностным аналогом условий (39). Расчет заканчивает­ ся, когда выполняется условие <, где – заданная точность.

В конце параграфа приводятся три примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода.

В §3 разбирается численное решение задачи гашения колебаний мем­ браны в случае, когда внешняя граница не закреплена и действуют усло­ вия:

На свободной внешней границе граничное условие для (, ) будет выглядеть следующим образом:

Как и в случае с закрепленным концом, задача решается численным методом характеристик. Разностная схема не меняется и вычисления и на (+1)-м слое производится по формулам (40) для = 1,..., 1, и по формулам (41) на левой границе при = 0.

Вычислим и на правой границе при =. Согласно (46) В конце параграфа приводятся два примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода.

В §4 разбирается численное решение задачи гашения колебаний мем­ браны, когда в качестве управляющей функции используется функция, мо­ делирующая поведение неподвижного демпфера конечной ширины:

где () – управляющая функция, а 1 и 2 – радиусы двух окружностей, ограничивающих воздействие демпфера на мембрану, причем 2 > 1 и Для решения используется разностная схема из §2. Дня начальных условий (28) и граничных условий закрепления (29) используются уравне­ ния (40)–(43).

В конце параграфа приводятся три примера с различными начальными условиями, демонстрирующие работу метода с закрепленной и свободной внешней границей.

Пример. В качестве примера рассмотрена задача для движущегося точечного демпфера в случае, когда правая граница не закреплена, т.е.

действуют граничные условия (45). В расчете принималось = 1, = 40, = 1, начальное положение демпфера 0 = 0.9. Начальные возмущения представлены на рис. 6.

h0(x) h1(x) На рис. 8 показан вид функции (, ) в случае отсутствия на нее управляющего воздействия, т.е. когда (, ) = 0. Видно, что мембрана совершает бесконечные колебания. Оптимальное управление (), позво­ ляющее погасить начальные колебания за время = 2 показано на рис.

7, при этом () не изменялась и равнялась 0. На рис 9 изображен вид функции (, ) для найденного оптимального управления. За время = просходит практически полное гашение колебаний.

В заключении приводятся основные результаты данной работы.

Основные результаты работы В диссертационной работе была рассмотрена задача гашения колеба­ ний струны и мембраны с использованием точечного движущегося демп­ фера и неподвижного демпфера конечной ширины. Основные результаты работы следущие:

1. Предложен метод гашения колебаний тонкой струны и тонкой круг­ лой мембраны с использованием точечного движущегося демпфера и неподвижного демпфера конечной ширины. В качестве начальных условий рассмотрены условия закрепления и условия свободной гра­ 2. Разработан численный алгоритм решения задачи гашения колебаний струны и мембраны с использованием численного метода характери­ стик и метода сопряженных градиентов для нахождения оптимально­ го управления. Подобраны оптимальные параметры сходимости чис­ ленного метода решения.

3. Разработан комплекс программ, реализующий численный метод и де­ монстрирующий все основные результаты данной работы в интерак­ тивном режиме для заданных параметров. Данный комплекс может служить основой для программного обеспечения систем управления демпфирующими устройствами.

В целом все результаты, выносимые на защиту являются новыми и оригинальными.

Список публикаций 1. Муравей Л. А., Асланов С. Ж. Аналитические и численные аспекты решения задачи гашения колебаний // Труды II всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. 2005. С. 123–126.

2. Асланов С. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. Аналитические и чис­ ленные методы в задаче гашения колебаний струны точечным демпфе­ ром // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. № 7. С. 28–35.

3. Асланов С. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. О гашении колебаний круглой мембраны с помощью кольцевого демпфера // Труды ИСА РАН.

2007. Т. 29(1), № 11. С. 54–59.

4. Асланов С. Ж. О гашении колебаний тонкой круглой пластины с помо­ щью кольцевого демпфера // Труды IV всероссийской научной конфе­ ренции молодых ученых и студентов. 2007. С. 103–104.