На правах рукописи

Смирнова Екатерина Ивановна

Метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных

функций для двухкомпонентного уравнения типа Хартри

Специальность 01.01.03 – математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2010

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Московского государственного института электроники и математики (технического университета) Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Белов Владимир Владимирович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики и математической физики Томского политехнического университета Трифонов Андрей Юрьевич

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Московского государственного института электроники и математики Карасев Михаил Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Лобанов Андрей Евгеньевич доктор физико-математических наук, профессор Родионов Василий Николаевич

Ведущая организация:

Томский государственный университет

Защита состоится “ 07 ” декабря 2010 г. в 16 час. на заседании диссертационного совета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики (технического университета)

Автореферат разослан “ ” ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133. к.ф.-м.н., доцент П. В. Шнурков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современные математические модели, представляющие значительный интерес в физике, химии и биологии, как правило, основаны на нелинейных уравнениях или системах нелинейных уравнений различных типов.

Примером нелинейной системы является бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК) в парах щелочных металлов, взаимодействующих с лазерными полями, который впервые был получен в 1995 году. Характерной чертой БЭК является проявление квантовых эффектов уже на макроскопическом уровне. Математические модели, учитывающие неидеальность межатомного взаимодействия частиц бозеэйнштейновского конденсата смеси различных атомов, основаны на двухкомпонентном нелокальном уравнении Гросса-Питаевского. В математической литературе это уравнение принято называть уравнением типа Хартри. Уравнение типа Хартри возникает в нелинейной оптике для описания распространения импульсов, в биофизике при описании коллективных возбуждений в молекулярных цепочках, в ядерной физике при исследовании систем многих частиц в приближении Хартри.

Точное интегрирование нелинейных уравнений с переменными коэффициентами, а тем более, систем таких уравнений, удается осуществить сравнительно редко. В каждом таком случае требуется построение уникальных математических конструкций и развитие на их основе соответствующей математической теории. Исследование классов нелинейных уравнений, содержащих произвол в коэффициентах, в многомерном пространстве возможно лишь на основе адекватных приближнных методов. Среди таких методов, позволяющих получать приблие женные решения эволюционных уравнений в аналитической форме, особенно эффективным оказался метод квазиклассических асимптотик. Нетривиальные приближнные решения уравнений с малым параметром при производных строятся в е специально подобранном классе функций, сингулярно зависящих от асимптотического малого параметра. Определение данного класса функций является ключевым моментом в применении метода квазиклассических асимптотик для конкретного уравнения. Достоинством метода квазиклассических асимптотик является то, что на его основе в рамках общего подхода удается исследовать различные эволюционные уравнения, существенно различающиеся по своей математической структуре.

В связи с этим разработка квазиклассических методов интегрирования систем нелинейных уравнений типа Хартри представляется весьма актуальной.

Цель работы. Целью настоящей работы является развитие асимптотических методов интегрирования двухкомпонентного многомерного нелинейного уравнения типа Хартри и применение этих методов к решению задачи Коши, Флоке и спектральной задачи для двухкомпонентного уравнения типа Хартри.

Достижение поставленной цели обеспечивается решением следующих основных задач:

1. Разработать метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций (КТСФ) для построения асимптотических по малому параметру 0 решений двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри с нелокальной кубичной нелинейностью и эрмитовым матричным гамильтонианом уравнения.

2. Методом КТСФ построить асимптотические решения задачи Коши для двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри.

3. С помощью метода КТСФ построить квазиклассические спектральные серии нелокального матричного стационарного оператора типа Хартри.

4. Рассмотреть приложение разработанного метода для построения квазиэнергетических спектральных серий нелокального матричного периодического по времени оператора типа Хартри.

Методы исследования. Результаты диссертации получены с помощью методов квазиклассического приближения, теории дифференциальных операторов, теории динамических и гамильтоновых систем.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми.

Впервые разработан метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций для приближенного интегрирования многомерного двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри с нелокальной нелинейностью. На его основе построено формальное асимптотическое решение задачи Коши для двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри в классе траекторнососредоточенных функций. Получена система Гамильтона–Эренфеста, описывающая с заданной точностью эволюцию центрированных моментов решения уравнения. Впервые в явном виде построены приближенные оператор Флоке и оператор эволюции двухкомпонентного нестационарного уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредоточенных функций, с их помощью найдены квазиэнергетические и энергетические спектральные серии оператора типа Хартри. Предъявлены выражения квазиклассических солитоноподобных решений уравнения типа Хартри гауссовского и автомодельного типов.

Основные результаты. В работе впервые получены следующие основные результаты:

1. На основе метода комплексного ростка Маслова и ковариантного подхода впервые разработан метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций (ТСФ) для построения асимптотических решений уравнения типа Хартри с нелокальной кубичной нелинейностью и эрмитовым матричным гамильтонианом уравнения. Методом квазиклассических ТСФ построено с любой степенью точности по малому параметру формальное асимптотическое решение задачи Коши для двухкомпонентного уравнения типа Хартри. В явном виде найден приближенный нелинейный оператор эволюции двухкомпонентного уравнения типа Хартри в классе ТСФ.

2. Получена динамическая система Гамильтона–Эренфеста, описывающая с заданной точностью эволюцию центрированных моментов решения уравнения, которая реализует принцип соответствия для квантовых систем, описываемых нелинейными математическими моделями.

3. С помощью развитого метода для двухкомпонентного нелокального уравнения типа Хартри построены (с точностью до O( 3/2 )) квазиклассические спектральные серии, отвечающие устойчивой в линейном приближении точке покоя системы Гамильтона–Эренфеста.

4. На основе предложенного метода получены явные выражения для квазиклассического солитоноподобного решения многомерного двухкомпонентного уравнения типа Хартри (mod 3/2 ) гауссовского и автомодельного типов во внешних полях.

5. Методом квазиклассических ТСФ получены квазиклассические квазиэнергетические спектральные серии и асимптотика оператора Флоке в классе ТСФ для уравнения типа Хартри с матричным периодическим по времени гамильтонианом. Для квадратичного по координатам и импульсам, периодического матричного оператора получены точные решения задачи Флоке для нелинейного уравнения.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты работы носят общетеоретический характер и представляют интерес с точки зрения развития квазиклассических методов интегрирования нелинейных моделей теоретической и математической физики на примере многомерного нелинейного двухкомпонентного эволюционного уравнения типа Хартри с малым асимптотическим параметром при частных производных.

Метод квазиклассически сосредоточенных функций позволяет достичь более глубокого понимания структуры квантовых систем, описываемых нелинейными математическими моделями. Полученная динамическая система Гамильтона–Эренфеста порядка M реализует принцип соответствия результатов квантовой и классической механик и дает приближенное описание поведения исследуемой квантовой системы, не прибегая к интегрированию нелинейного матричного уравнения типа Хартри. Последнее достигается введением новых классических динамических переменных, количество которых зависит от M. С помощью этих переменных удается приближенно линеаризовать исходное нелинейное уравнение и построить его асимптотические решения.

Построенные асимптотические решения применимы для описания стационарных состояний БЭК и в биофизике при описании коллективных возбуждений в молекулярных цепочках.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод построения асимптотических решений двухкомпонентного эволюционного уравнения типа Хартри с малым параметром при частных производных, нелокальной кубичной нелинейностью и эрмитовым матричным гамильтонианом уравнения в классе ТСФ. Методом квазиклассических ТСФ в явном виде получено формальное асимптотическое решение задачи Коши, удовлетворяющее с заданной точностью O( (M +1)/2 ), M 2 двухкомпонентному уравнению типа Хартри и заданным начальным условиям.

2. Динамическая система Гамильтона–Эренфеста, описывающая с заданной точностью эволюцию центрированных моментов решения уравнения. Полученная система дает приближенное описание поведения исследуемой квантовой системы, не прибегая к интегрированию нелинейного матричного уравнения типа Хартри.

3. Метод построения квазиклассических спектральных серий, отвечающих устойчивой в линейном приближении точке покоя системы Гамильтона–Эренфеста для двухкомпонентного нелокального уравнения типа Хартри. Получены явные выражения для главного члена квазиклассической асимптотики.

4. Квазиклассические солитоноподобные решения двухкомпонентного уравнения типа Хартри (mod 3/2 ) гауссовского и автомодельного типов во внешних полях.

5. Явные выражения для квазиклассических квазиэнергетических спектральных серий и асимптотики оператора Флоке в классе ТСФ для уравнения типа Хартри с матричным периодическим по времени гамильтонианом. Построены точные решения задачи Флоке для нелинейного уравнения с квадратичным по координатам и импульсам периодическим матричным гамильтонианом.

Апробация диссертации и публикации. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:

III Международной конференции студентов и молодых ученых "Перспективы развития фундаментальных наук", 16 мая-19 мая, 2006 г., Томск, International seminar "Days on Diffraction’2006". May 30 - June 02, 2006. St.

Petersburg, International conference "Days on Diffraction’2007". May 29 - June 01, 2007. St.

Petersburg, XIII Международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц, 23-29 августа, 2007, Москва, International seminar "Days on Diffraction’2009". May 26 - May 29, 2009. St.

Petersburg, а также на „Научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов“, МИЭМ, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010 гг.

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в десяти работах, список работ приводится в конце автореферата. Четыре работы [1], [3-5] опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, содержащего 163 библиографические ссылки. Общий объем диссертации составляет страниц.

Краткое содержание работы Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дана постановка задачи, проведен краткий обзор литературы и установлена связь результатов, представленных в диссертации, с результатами работ других авторов. Дано описание структуры диссертации и сформулированы основные задачи, решаемые в ней.

В первой главе диссертации на основе идей метода комплексного ростка Маслова 1 и ковариантного подхода2 подробно описан метод построения асимптотических решений нелинейного нестационарного однокомпонентного уравнения типа Хартри где оператор Хартри определяется формулой Здесь H(t) = H(, t), V [](t) = Rn + (y, t)V (, w, t)(y, t)dy, самосопряженные в L2 операторы H(, t), V (, w, t) являются функциями от некоммутирующих опеz z раторов z = (i /x, x), w = (i /y, y), x, y Rn и упорядочены по Вейлю, - комплексно сопряженная функция к, - вещественный параметр нелинейности, “малый параметр”, (0, 1).

Сформулированы условия, наложенные на символ оператора H [](t). Введен класс траекторно сосредоточенных функций (ТСФ) на заданной траектории, в котором строятся асимптотические решения. Приведены основные свойства класса ТСФ, необходимые для построения асимптотических решений уравнения типа Хартри (1).

Во второй главе диссертации метод КТСФ развит для построения асимптотических решений задачи Коши для двухкомпонентного эволюционного уравнения типа Хартри (1) с нелокальной кубичной нелинейностью и эрмитовым матричным оператором (2) вида где (x, t) = ( 1 (x, t), 2 (x, t)) ; + (x, t) = ( 1 (x, t), 2 (x, t)) – эрмитово сопряженная функция; l, l = 1, 3, – матрицы Паули;, - скалярное произведение в R3 ;

додифференциальные операторы от некоммутирующих операторов z и w;, µ – вещественные параметры. Символы H 0 (z, t),H(z, t), V 0 (z, w, t), V (z, w, t) операторов H 0 (t), H(t), V 0 (t), V (t) являются C -гладкими функциями и вместе со всеми своими производными по z и w растут при |z| и |w| не быстрее, чем полином, равномерно по t R.

1 Маслов В.П., Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях.// Наука.,Главная редакция физикоматематической литературы. М., 2 Bagrov V.G., Belov V.V., and Trifonov A.Yu. Semiclassical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics: I.

High order corrections to multidimensional time-dependent equations of Schrdinger type.// Ann. of Phys. (NY) 246:2. 1996.

231-280 c.

Асимптотические по малому параметру решения уравнения (1) строятся в классе траекторно-сосредоточенных при 0 на фазовой траектории Z(t, 0) двухкомпонентных функций (ТСФ), определенном соотношением где u(k) (t) – двухкомпонентная вектор-функция, гладким образом зависящая от переменной t, а (k) (x, t, ) = x, t exp i (S(t, ) + P (t, ), x ). Комплекснозначная функция (, t) принадлежит пространству Шварца S по переменной R3, гладким образом зависит от t, вещественная функция S(t, ) и 6-мерная вектор-функция Z(t, ) = (P (t, ), X(t, )) регулярно зависят от в окрестности = 0 и подлежат определению при t > 0; S(0, ) = 0 и Z(0, ) = z0 = (p0, x0 ) – произвольная точка фазового пространства R6, x = x X(t, ).

Процедура построения решения задачи Коши с любой точностью по малому параметру заключается в следующем. Для уравнения (1) в классе ТСФ (3) выводится система Гамильтона–Эренфеста (ГЭ) порядка M, M = 0,, где M – порядок наибольшего учитываемого момента. Затем с помощью решений системы ГЭ нелинейному уравнению (1) сопоставляется семейство линейных ассоциированных уравнений Паули. Указывается процедура, позволяющая по заданному начальному условию для уравнения (1) при помощи решений семейства ассоциированных уравнений Паули построить решения задачи Коши для нелинейного уравнения (1). Показано, что конструкция квазиклассических решений может быть перенесена на изучение геометрических и топологических свойств уравнений движения соответствующей системы Гамильтона–Эренфеста. В результате удалось построить приближенный нелинейный оператор эволюции двухкомпонентного нелокального уравнения, сформулировать нелинейный принцип суперпозиции в классе ТСФ и с любой точностью по O( (N +1)/2 ), (N 2) получить формальное решение задачи Коши.

Главный член квазиклассической асимптотики уравнения типа Хартри с точностью O( 3/2 ) определяется решениями системы Гамильтона–Эренфеста второго порядка где J- стандартная симплектическая матрица размерности 6 6; = ||||2 ;

крестом () обозначено векторное произведение в R ;

Решение последнего уравнения системы (4) удобно представить в форме = v + (t)v(t), где двухкомпонентные комплексные функции v(t) определяются системой обыкновенных дифференциальных уравнений Через v (t) будем обозначать решения уравнения (6), удовлетворяющие условию, v (0) = v (0) где = ±1; – произвольный единичный вектор.

Система (4) является замкнутой и, в отличие от однокомпонентного случая, содержит дополнительные динамические переменные. Показано, что построение асимптотических решений для нелинейного уравнения типа Хартри решает проблему соответствия квантовых и классических нелинейных систем в смысле подхода Эренфеста.

В третьей главе диссертации метод КТСФ использован для построения квазиклассических спектральных серий матричного стационарного оператора типа Хартри (асимптотических решений стационарного уравнения типа Хартри) отвечающих устойчивой в линейном приближении точке покоя системы Гамильтона– Эренфеста.

Известно, что в линейном уравнении Паули наличие дополнительной степени свободы приводит к расщеплению уровней энергии. Поскольку рассматриваемое уравнение, в определенном смысле, близко к линейному, то подобный эффект наблюдается и в траекторно-сосредоточенных функциях, отвечающих точке покоя системы Гамильтона–Эренфеста. Асимптотические выражения для собственных отвечающая им последовательность собственных функций оператора типа Хартри где x = xX (), B = B(Z (), ()), C = C(Z (), ()),Z () = Эренфеста (4), отвечающая задаче (7), нормировочная постоянная имеет вид N = N0 ( !2 )1, где N0 = ( )3/4 (det ImB(Z (), ()))1/4, r – собственный вектор матрицы, n, n = H(Z )/ H(Z ), H(Z ).

Матрицы B, C составлены из координатных Zj = Zj () и импульсных компонент Wj = Wj () собственных векторов fj = (Zj, Wj ), (j = 1, 2, 3), отвечающих собственным значениям ij (), j = 1, 2, 3 матрицы JM (Z (), ()) (5), нормированных условием косоортогональности fk, J fj = 2ikj. Звездочка () над векторами означает комплексное сопряжение.

Оператор рождения + (0) определяется формулой + (0) = 3 + (0), Предложенный метод проиллюстрирован рядом примеров, в частности, рассмотрен пример3, где линейный гамильтониан определяется формулой H R3, µ, m– параметры системы. В качестве модели нелокального взаимодействия выбран матричный потенциал самодействия 3 Маслов В.П., Чуркин А.В. Об одном решении уравнения Гросса–Питаевского для конденсатной волновой функции // Мат. заметки. 2005. Т. 78, № 4. С. 604-607.

где W (x y) = U1 exp[ (xy) ] + U2 exp[ (xy) ] – комбинация двух гауссовых функций с амплитудами U1, U2 и дисперсиями 21, 22 ; V R3, V 0 –вещественные параметры.

В отличие от однокомпонентного случая, векторный характер (1), приводит к расщеплению уровней энергии– для каждого фиксированного, = ±1 квазиклассические собственные значения (mod 3/2 ) оператора H [] имеют вид:

с собственной частотой 2 () = () В четвертой главе диссертации сформулированы условия при которых формальные асимптотические решения при 0 двухкомпонентного уравнения типа Хартри (1) можно трактовать как квазиклассические солитонные решения (нерасплывающиеся волновые пакеты гауссова профиля).

Предъявлены выражения нерасплывающихся в квазиклассическом приближении волновых пакетов (mod 3/2 ), отвечающих нестационарному матричному уравнению (1) с гамильтонианом линейной части вида (9) и трансляционно-инвариантным нерезонансным выпуклым потенциалом вида (10) в нелинейной части:

где () пределена в (12), j, (j = 1, 2, 3) ()W (0).

Показано, что эффект фокусировки за счет интегральной нелинейности при = 0 приводит для выпуклых потенциалов к существованию локализованных асимптотик уравнения (1), для которых дисперсии в координатном и импульсном представлении ограничены по времени.

В одномерном однокомпонентном случае, в отсутствии внешнего поля с трансляционно-инвариантным потенциалом взаимодействия в (1), проведен анализ динамики распространения и ширины локализации волнового пакета при различных параметрах начальных данных и нелокального потенциала.

В случае трансляционно-инвариантного невыпуклого потенциала самодействия, выбранного в виде (10) в нелинейной части, и с гамильтонианом линейной части, отвечающей суперпозиции поля осциллятора, переменного электрического поля, постоянного магнитного поля и поляризационного слагаемого:

получены явные выражения квазиклассических автомодельных солитонов, мотивированные работой 4.

Здесь m, c, e, µ вещественные параметры, A(x) = B x, B- постоянный вектор (B R3 ), k = diag(k1, k2, k3 )- вещественная 3 3 матрица, x, y R3, E(t), x -потенциал электрического поля, гладко зависящий от t.

Квазиклассический автомодельный солитон (mod 3/2 ) двухкомпонентного уравнения самосогласованного поля (1) определяется следующей формулой скалярного оператора Хартри (mod 3/2 ) () определяется (12), динамика центра тяжести солитоноподобного решения описывается уравнением mX(t) = E(t) k X(t) + e X(t) B.

Также в данной главе метод КТСФ применен для построения асимптотических квазипериодических решений в классе ТСФ, т. е. решений трехмерной двухкомпонентной задачи Флоке для уравнения (1), когда матричные операторы H(t), V [](t)- являются периодическими функциями времени: H(t + T ) = H(t), V [](t + T ) = V [](t). Эти асимптотические по малому параметру решения представляют собой нерасплывающиеся волновые пакеты. Величина E, входящая в (15), называется квазиэнергией и определена по модулю, = 2, т. е. E = E + m, m Z.

4 Карасев М.В., Маслов В.П. Алгебры с общими перестановочными соотношениями и их приложения // Совр. пробл.

С точностью O( 3/2 ) получен главный член квазиклассической асимптотики, отвечающий в пределе при 0 при каждом фиксированном, = ±1 движению по периодической траектории в фазовом пространстве 1 = {z = (P (t, 0, ), X(t, 0, ))} ; построены квазиэнергетические фоковские состояния уравнения типа Хартри (1),(2), (15) и приведены явные выражения для оператора монодромии.

Для квазиэнергий с точностью O( 3/2 ) получено Здесь (t,, ), (2) (t,, ) – периодические решения системы Гамильтона–Эренфеста (4), –показатель Флоке линейной гамильтоновой системы (6), удовлетворяющей условию Флоке: v (t + T ) = exp[i T ]v (t), Im = 0. Комплексный росток r3 (1 ) образован векторами ak (t, ), (k = 1, 2, 3): комплексно независимыми решениями задачи Флоке для системы в вариациях, отвечающей матрице M (P (t,, ), X(t,, ), t, (t,, )) (5):

В качестве иллюстрации метода построены точные квазиэнергетические состояния двухкомпонентного нелокального уравнения Хартри с квадратичным трансляционно-инвариантным взаимодействием и внешним полем, представляющим собой суперпозицию периодически изменяющегося во времени электрического поля, поля осциллятора и поляризационного слагаемого.

Полученные выражения в предельном случае 0 совпадают с известными результатами для уравнения Паули.

В приложении А приведены свойства системы в вариациях, необходимые для полноты изложения.

В приложении B приведены необходимые сведения о многомерных полиномах Эрмита.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

Работы, опубликованные по теме диссертации:

1. В. В. Белов, Е. И. Смирнова, Локализованные асимптотические решения уравнения самосогласованного поля. Математические заметки, 2006, т. 80, №2, с.

309-312.

2. Е. И. Смирнова, Квазиклассическая асимптотика автомодельных решений уравнения Хартри. Труды III Всероссийской конференции "Перспективы развития фундаментальных наук". Томск: ТПУ, 2006, с. 187-189.

3. В. В. Белов, М. Ф.Кондратьева, Е. И. Смирнова, Квазиклассические солитоноподобные решения уравнения Хартри. Доклады Академии Наук, 2007, т. 416, №2, с. 177-181.

4. Е.И. Смирнова, А.Ю. Трифонов, А.В. Шаповалов, Формализм квазиклассических асимптотик для двухкомпонентного уравнения типа Хартри. Известия ВУЗов, Физика, 2009, т. 52, №10, с. 59-67.

5. В.В. Белов, Е.И. Смирнова, А.Ю. Трифонов, Квазиклассические спектральные серии двухкомпонентного уравнения типа Хартри. Известия ВУЗов, Физика.(принята к печати).

6. Е. И. Смирнова, Солитоны уравнения самосогласованного поля. Внутревузовский сборник. Научнотехническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.-МИЭМ, 2006, с.

7. Е. И. Смирнова, Асимптотика автомодельных солитоноподобных решений уравнения самосогласованного поля. Внутревузовский сборник. Научнотехническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.-МИЭМ, 2007, с. 8. Е. И. Смирнова, Квазиклассические солитоноподобные решения нелокального уравнения Гросса Питаевского. Внутревузовский сборник. Научнотехническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.-МИЭМ,2008, с.52- 9. Е. И. Смирнова, Квазиклассические решения двухкомпонентного нелокального уравнения Шредингера. Внутревузовский сборник. Научнотехническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.-МИЭМ, 2009, с. 10. Е. И. Смирнова, Квазиклассические спектральные серии двухкомпонентного оператора типа Хартри. Внутревузовский сборник. Научнотехническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докла- дов. М.-МИЭМ, 2010, с.