КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Насибуллин Рамиль Гайсаевич

НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ С ВЕСАМИ,

ИМЕЮЩИМИ СТЕПЕННЫЕ

И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ

Специальность 01.01.01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 2013

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Авхадиев Фарит Габидинович.

Официальные оппоненты: Лосев Александр Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор ФГАОУ ВПО Волгоградский государственный университет, Тимербаев Марат Равилевич, доктор физико-математических наук, профессор ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Росcийский университет дружбы народов.

Защита состоится 19 декабря 2013 г. в 16 00 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 35.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им.

Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет по адресу: 420008, Казань ул. Кремлевская, 35.

Автореферат разослан ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.081. кандидат физ.-мат. наук, доцент Е.К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена неравенствам типа Харди. Рассматриваемые неравенства связывают в одномерном случае функцию и ее производную, а в многомерном случае функцию и модуль ее градиента.

Актуальность темы диссертации. Помимо самостоятельного интереса, неравенства типа Харди находят важные применения в разных областях математики и математической физики. Например, С.Л. Соболев1 использовал неравенства типа Харди в теории вложений функциональных пространств, как с весом, так и без веса, и также применял их при оценке потенциала Рисcа. Ф.Г. Авхадиев нашел применение неравенствам типа Харди при оценке жесткости кручения. Соответствующие результаты А. Лаптева и Т. Вейдла, А. Балинского, А. Лаптева и А.В. Соболева могут применяться при изучении отрицательности спектра двумерного оператора Шредингера и связаны с проблемой существования резонансных состояний.

Не останавливаясь на подробностях, отметим, что неравенства типа Харди используются в теории интегральных и дифференциальных уравнений, в нелинейном анализе, при изучении краевых задач с особенностями. Точные значения констант в неравенствах Харди или их оценки используются при получении оценок нижней границы спектра эллиптических дифференциальных операторов с вырождающимися коэффициентами.

Основное неравенство Харди для абсолютно непрерывной функции f :

[0, ) R такой, что f (0) = 0, f L2 (0, ), f 0, можно записать следующим образом:

f f 2 dx.

dx < 4 (1) x 0 Константа 4 является точной, но не существует экстремальной функции, на которой достигается равенство.

Одномерные неравенства Харди вида (1) обобщались в различных направлениях такими авторами, как Дж. Таленти, Дж. Томаселли, Б. Макенхоупт, В.Г. Мазья, В.Д. Степанов, А. Куфнер и Л.Э. Перссон, В. Левин, Ф.Г. Авхадиев и К.-Й. Виртц, Д.В. Прохоров и ряд других математиков.

Например, Дж. Таленти и Дж. Томаселли получили условия на весовые Соболев, Л.С.Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных производных / Л.С.

Соболев. – М.: Наука, 1989. – 254 С.

функции в одномерных неравенствах типа Харди, которые необходимы и достаточны для выполнения соответствующего неравенства.

Широкое развитие получили неравенства типа Харди в многомерных областях следующего вида:

предполагающие, что область интегрирования собственное открытое подмножество Rn, f C0 (), f dist(x, ) функция расстояния до границы области.

Известно, что для любой выпуклой области Rn константа cn () в неравенстве (2) равна 4. В обосновании этого факта приняли участие ряд математиков: Е.Б. Дэвис, Т. Матскевич и П.Е. Соболевский, Х. Брезис и М. Маркус, М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптев и другие. Для области с локально липшицевой границей константа Харди существует и конечна. Однако, липшицевость границы не является необходимым условием конечности константы Харди. Доказаны неравенства типа Харди при более общих условиях на границу множества. В этом направлении работали А. Анкона, Х. Брезис и М. Маркус, Е.Б. Дэвис, П. Коскела и Х. Цонг, Й.Л. Льюис, В.Г. Мазья, В.М. Миклюков и М.К. Вуоринен, А. Ваннебо, Ф.Г. Авхадиев, А. Лаптев и А.В. Соболев, и другие математики.

При исследовании многомерных вариационных неравенств типа Харди константы являются специальными функционалами, зависящими от области и числовых параметров задачи. Основной трудностью является оценка этих констант.

открытое собственное подмножество Rn. Запишем функционал следующего вида:

где C0 () множество непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем в.

Известно, что при p [1, ) и s R полупространство в Rn (см. К. Бэндл, М. Флечер, В.Г. Мазья, где H В. Опик, А. Куфнер). В работах Е.Б. Дэвиса, В.Г. Мазьи, М. Маркуса, В. Мичела, Й. Пинховира рассмотрен случай, когда является выпуклой областью. Оказывается, что при p > 1 для любой выпуклой области Rn, = Rn, верно равенство Получены также оценки cp (s, ) для невыпуклых областей. А именно, если односвязная плоская область, то (А. Анкона) В случае, когда (см. Е.Б. Дэвис, М. Маркус, В. Мичел, Й. Пинховир).

Й.Л. Льюис доказал, что если p > n, то постоянная cp (p, ) конечна для любой области Rn, = Rn, то есть никаких ограничений на границу области не требуется. А. Ваннебо обобщил утверждение Й.Л. Льюиса, показав, что существует число > 0, зависящее разве лишь от показателя p и от размерности пространства n и такое, что условия гарантируют существование конечной постоянной cp (s, ) для любой области Rn, = Rn. Ф.Г. Авхадиев2 получил более общий результат, а именно, если s > n, то для любой открытой области Rn, = Rn, верна оценка Причем, в общем случае константу p/(s n) нельзя улучшить.

Обсудим случай, когда s = n. Оказывается, что при s = n существуют области, для которых соответствующая постоянная Харди равна бесконечности, например, при любом p То есть при s = n нужно накладывать некоторые дополнительные ограничения на границу множества. Из работ, относящихся к этой тематике, отметим Avkhadiev, F.G. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants / F.G. Avkhadiev // Lobachevskii J. Math. – 2006. – V. 21. – P. 3–31.

статьи Ф.Г. Авхадиева, А. Анконы, Х. Поммеренке, Е.Б. Дэвиса, А. Лаптева и А.В. Соболева, П. Коскела и Х. Цонг, В.М. Миклюкова и М.Р. Вуоринена, В.Г. Мазьи. Например, Ф.Г. Авхадиев, используя веса с логарифмическими особенностями, для произвольной области с конечным внутренним радиусом, при p 1, s = n и для любой функции f C0 () получил соответствующее неравенство типа Харди. То есть логарифмический вес помогает обойти особенности, возникающие при s = n. Можно сказать, что логарифмический вес компенсирует "плохое" поведение границы области.

Как было отмечено выше, константа pp (s n)p является точной, то есть в общем случае константу pp (sn)p нельзя улучшить. Но обнаружено интересное явление: возможно уточнение соответствующего неравенства Харди путем добавления дополнительного слагаемого в областях с конечным внутренним радиусом. Неравенствам типа Харди с дополнительными слагаемыми посвящено множество работ. Отметим работы Х. Брезиса и М. Маркуса, М. ХоффманОстенхоф, Т. Хоффман-Остенхофа и А. Лаптева, Ж. Тидблома, Ф.Г. Авхадиева и К.-Й. Виртца, Г. Барбатиса, С. Филиппаса и А. Тертикаса, В.Г. Мазьи и А. Тертикаса.

Цель работы. Целью работы является доказательство новых неравенств типа Харди. Исследование ведется в трех направлениях. Первое направление связано с неравенствами типа Харди в произвольных областях в терминах функции расстояния до границы области. Здесь рассматриваются два вопроса.

Первый вопрос существуют ли другие веса для которых будет выполнено соответствующее неравенство типа Харди при s = n при наличии некоторых дополнительных геометрических ограничений на область? Второй естественный существует ли аналог неравенства в случае, когда параметр s вопрос (, n)?

Второе направление наших исследований относится к неравенствам с дополнительными слагаемыми в областях, регулярных в смысле Е.Б. Дэвиса.

Доказываются неравенства с весами, имеющими степенные и логарифмические особенности. Наши результаты обобщают соответствующие утверждения Ж. Тидблома3 и результат М. Хоффман-Остенхоф, Т. Хоффман-Остенхофа, А. Лаптева4.

Tidblom, J. A geometrical version of Hardy’s inequality for W0 () / J. Tidblom // Proc. Amer. Math. Soc. – 2004. – No 132. – P. 2265–2271.

Homann-Ostenhof, M. A geometrical version of Hardy’s inequality / M. Homann-Ostenhof, T. HomannOstenhof, A. Laptev // J. Funct. Anal. – 2002. – V. 189. – No. 2. – P. 539–548.

Третье направление связанно с неравенствами типа Харди в форме Ю.А. Дубинского5. Рассматриваются новые неравенства типа Харди с весами, содержащими модули логарифма.

Научная новизна. В диссертационной работе доказаны новые неравенства типа Харди. Особенностью полученных неравенств является наличие в весах степенных и логарифмических особенностей. Сначала мы получаем новые одномерные неравенства и распространяем их каким-нибудь известным методом на случай многомерных областей. Рассматриваем соответствующие неравенства в произвольных и выпуклых областях, в областях регулярных по Е.Б. Дэвису, во всем евклидовом пространстве Rn.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут послужить некоторым инструментом для дальнейших теоретических исследований в теории вложения функциональных пространств и в теории эллиптических дифференциальных операторов с вырождающимися коэффициентами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях Казанского университета (2010 2013 гг.), на молодежной научной школе–конференции “Лобачевские чтения 2010” (Казань), на международных Казанских летних научных школах–конференциях “Теория функций, ее приложения и смежные вопросы” (Казань, 2011, 2013 гг.), на всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки (Москва, 2011 г.), на Открытом конкурсе научных работ студентов и аспирантов им. Н.И. Лобачевского (Казань, 2012 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 7 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 96 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования с некоторыми примерами, обзор литературы по теме диссертации и краткое изложение основных результатов.

Дубинский, Ю.А. Об одном неравенстве типа Харди и его приложениях / Ю.А. Дубинский // Тр. МИАН.

– 2010. – Т. 269 – С. 112–132.

В первой главе получены неравенства типа Харди в произвольных пространственных областях из Rn, но при наличии дополнительного условия:

Доказываются новые неравенства с весами, содержащими степени и логарифмы функции расстояния до границы области. Полученные неравенства являются аналогами неравенства из статьи Ф.Г. Авхадиева2 в случае, когда параметр s < n и s = n. При s = n имеем неравенства с логарифмическими весами, а при s < n неравенства со степенной особенностью.

В пункте 1.1.1 доказаны новые одномерные "L1 -неравенства" с логарифмическими весами, частные случаи которых, будут использованы для получения основных результатов. Lp -версии неравенств получаем с помощью Lp -леммы:

Лемма 1.1.5. Предположим, что является открытым множеством функционал. Если для любой функции f C0 () то для любого p (1, ), для любого l [1, p] и для любой функции f C0 () Пункт 1.1.2 посвящен пространственным случаям неравенств.

Для целых k 0 положим Отметим, что корректная определенность области определения функции lnk при соответствующем k достигается за счет ek.

непрерывно-дифференцируемых функций с компактным носителем в и = (x) = dist(x, ) функция расстояния до границы области.

Основные результаты параграфа §1.1 приведены в следующих четырех теоремах.

Теорема 1.1.5. Пусть причем = Rn, 0 () <, и пусть k N и p [1, ). Если l [1, p], то для любой функции f C0 () верно следующее неравенство типа Харди где причем точная, т.е наименьшая из возможных постоянных Ap,l () в этом неравенстве допускает оценку Теорема 1.1.6. Пусть k N и p [1, ). Если l [1, p] и (1, ), то для произвольного открытого множества из Rn ( = Rn, 0 () < ) и для любой функции f C0 () верно неравенство где причем наименьшая из возможных констант в этом неравенстве Dp,l (, ) допускает оценку Теорема 1.1.7. Пусть k N и p [1, ). Если l [1, p] и (0, 1), то для произвольного открытого множества из Rn ( = Rn, 0 () < ) и для любой функции f C0 () верна оценка где причем для точной константы Hp,l (, ) верно следующее неравенство Теорема 1.1.8. Пусть p [1, ) и l [1, p]. Если r (1, ) и q (0, 1), то для произвольного открытого множества из Rn ( = Rn, 0 () < ) и для любой функции f C0 () имеет место следующее неравенство где Цель параграфа §1.2 показать, что константы в теоремах 1.1.5, 1.1.6 при l = 1 и 1.1.7 в общем случае нельзя заменить меньшими постоянными, то есть существуют экстремальные области 0, 1 и 2 для которых соответственно выполнены равенства А именно, доказывается, что для любого 0 > 0 существуют область 0 и функция из пространства C0 (0 ) такие, что соответствующее неравенство (3) не будет выполнено при замене pl на pl 0. Аналогичное утверждение покажем для константы Dp,1 (, ) и константы Hp,l (, ). Отметим, что неравенство теоремы 1.1.6 при l = 1 является точным для шара с проколотым центром.

В параграфе §1.3 рассматриваются новые весовые неравенства в произвольных открытых множествах, содержащие степенные особенности, и приводятся аналоги этих неравенств для выпуклых областей. Отметим, что степенные "L1 -неравенства" в выпуклых областях являются точными.

Для произвольной открытой области имеет место Теорема 1.3.2. Пусть Rn произвольное открытое множество с конечным внутренним радиусом 0 (), причем n 1, := dist(x, ). Если В случае выпуклых областей справедлива Теорема 1.3.3. Пусть Rn открытое множество, компоненты которого являются выпуклыми множествами, с конечным внутренним радиусом 0 (), и пусть := dist(x, ). Если 1 p < и < s < 1, Во второй главе получены новые весовые неравенства типа Харди в областях регулярных по Е.Б. Дэвису. Сначала доказываются неравенства в произвольных областях, далее показывается, что неравенства принимают существенно простой вид в выпуклых областях и в областях с регулярной границей.

Доказанные в этой главе неравенства со степенными весами являются аналогами соответствующих результатов М. Хоффман-Остенхоф, Т. ХоффманОстенхофа и А. Лаптева, Ж. Тидблома.

В параграфе §2.1 рассматриваются неравенства для функций, заданных на отрезке числовой прямой, приводятся вспомогательные утверждения и необходимые определения. Одномерные неравенства используются нами для доказательства многомерных аналогов неравенств.

Верна следующая теорема.

Теорема 2.1.1. Пусть u C0 (a, b). Тогда при p s > 1 имеем где В параграфе §2.2 получен аналог неравенства теоремы 2.1.1 в многомерном случае. В доказанных неравенствах используются весовые функции, зависящие от расстояния по направлению.

Пусть открытая область в Rn. Следуя Е.Б. Дэвису, обозначим через (x) расстояние между точкой x и ближайшей точкой, принадлежащей границе по направлению вектора Sn1 :

Определим также расстояние до границы множества и диаметр множества D вдоль направления следующим образом:

Пусть При вышеприведенных обозначениях верна следующая теорема.

Теорема 2.2.1. Для произвольной открытой области Rn и произвольной функции u C0 () при p s > 1 верно следующее неравенство типа Харди:

В §2.3 показывается, что в случае выпуклой области Rn неравенство теоремы 2.2.1 может быть существенно упрощено. В параграфе §2.4 представлен специальный класс невыпуклых областей, для которых существуют аналоги неравенства теоремы 2.2.1.

Следуя Е.Б. Дэвису определим псевдодистанцию m(x) от точки x до границы области :

Введем понятие регулярной области в пространстве Rn. Будем говорить, что область Rn регулярная область, если существует конечная константа c > 0 такая, что Константу c назовем константой регулярности области.

Теорема 2.4.1. Пусть Rn произвольная регулярная область с константой регулярности c, u C0 () произвольная функция. Тогда при p s > 1 справедливо неравенство (x) гамма функция Эйлера.

Параграф §2.5 посвящен неравенствам в регулярных областях с весами, имеющими логарифмические множители. Сначала доказываются вспомогательные утверждения и вводятся необходимые обозначения.

Для целых i 0 положим Определим функции i при целых k 0 следующим образом Отметим, что корректная определенность областей определения функций lni и i при соответствующих i и k достигается за счет ek.

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.5.1. Для произвольной открытой области Rn и произвольной функции u C0 () при целом k 0 верно следующее неравенство типа Харди:

где Теорема 2.5.2. Пусть Rn регулярная область с константой регулярности c и 0 < 2. Тогда для произвольной функции u C0 () при целом k 0 верно неравенство где Третья глава посвящена аналогам неравенств, полученных Ю.А. Дубинским.

Особенностью результатов является наличие модуля логарифма в весовых функциях.

В параграфе §3.1 первой главы приводятся вспомогательные результаты и доказываются одномерные неравенства. Отметим, что мы используем подход Ю.А. Дубинского при доказательстве соответствующих утверждений.

Пусть R произвольное положительное число и положим, что Тогда верна следующая Теорема 3.1.1. Пусть p [1, ), l [1, p], 1 < s < p + 1 и f : (0, +) R локально интегрируемая функция такая, что интеграл сходится. Тогда для любого R > 0 верно следующее неравенство Оказывается неравенство теоремы 3.1.1 будет верным не только в интервале (0, ), но и также в интервале (r0, R0 ) (0, ). Этот результат приведен в теореме 3.1.2.

В теореме 3.2.1 получен аналог неравенства теоремы 3.1.1 с другим ядром интеграла и при определении подинтегральной функции F использован весовой множитель.

В параграфе §3.2 доказываются неравенства, веса которых содержат вложенные логарифмы и экспоненты.

Параграф §3.3 посвящен неравенствам в многомерном случае. В последнем параграфе §3.4 третьей главы устанавливается точность констант в неравенствах теорем 3.1.1 и 3.2.1.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов исследования [1] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди со степенными и логарифмическими весами в областях евклидова пространства / Ф.Г. Авхадиев, Р.Г. Насибуллин, И.К. Шафигуллин // Известия вузов. Матем. – 2011. – № 9. – С. 90–94.

[2] Насибуллин, Р.Г. Неравенства типа Харди с логарифмическими и степенными весами для специального семейства невыпуклых областей / Р.Г. Насибуллин, А.М. Тухватуллина // Уфимский математический журнал. – 2013. – Т. 5. – №2. – С. 43–55.

Статьи в сборниках научных трудов и тезисов докладов на научно - практических конференциях [3] Насибуллин, Р.Г. Неравенства типа Харди, включающие повторные логарифмы / Р.Г. Насибуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. – Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва. – 2011. – Т. 43. – С. 262–263.

[4] Насибуллин, Р.Г. Неравенства типа Харди с логарифмическими особенностями в ядре / Р.Г. Насибуллин // Сборник научных трудов победителей всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки. – М.: Изд-во РГСУ. – 2011. – С. 199–209.

[5] Авхадиев, Ф.Г. Неравенства типа Харди в областях с ограниченным внутренним радиусом / Ф.Г. Авхадиев, Р.Г. Насибуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. – Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва. – 2012. – Т. 45. – С. 3–4.

[6] Насибуллин, Р.Г. О точности двух констант в неравенствах типа Харди / Р.Г. Насибуллин // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. – Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва. – 2013. – Т. 46. – С. 331–333.

[7] Насибуллин, Р.Г. Логарифмические особенности в неравенствах типа Харди / Р.Г. Насибуллин // Сборник материалов Открытого конкурса научных работ студентов и аспирантов им. Н.И. Лобачевского – Казань: Изд-во: Научный Издательский Дом. – 2012. – C. 78–79.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В диссертационной работе получены новые неравенства типа Харди с весами, имеющими степенные и логарифмические особенности. Доказаны неравенства в одномерном случае и получены их многомерные аналоги. Рассмотрены соответствующие неравенства в произвольных и выпуклых областях, в областях регулярных по Е.Б. Дэвису, во всем евклидовом пространстве Rn.

Показана точность некоторых констант. Соответствующие результаты обобщают утверждения Ф.Г. Авхадиева, М. Хоффман-Остенхоф, Т. Хоффман-Остенхофа и А. Лаптева, Дж. Тидблома и Ю.А. Дубинского. Полученные неравенства могут послужить некоторым инструментом для дальнейших теоретических исследований в теории краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Авхадиеву Фариту Габидиновичу за всяческую поддержку, за ценные советы, критические замечания и постоянное внимание к работе.