На правах рукописи

Коломыцева Елена Алексеевна

ARG -деформации поверхностей

положительной внешней кривизны с краем

в римановом пространстве при внешних связях

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань 2013

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Таганрогский государственный педагогический институт имени А.П. Чехова»

на кафедре алгебры и геометрии

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Фоменко Валентин Трофимович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бикчантаев Ильдар Ахмедович;

доктор физико-математических наук, профессор Кокарев Виктор Николаевич.

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет»

Защита состоится 21 февраля 2013 года в 14:30 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, Казанский (Приволжский) федеральный университет, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан января 2013 года.

Ученый секретарь Липачёв диссертационного совета, Евгений кандидат физикоКонстантинович математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важных разделов дифференциальной геометрии «в целом» является теория деформаций поверхностей в трехмерном евклидовом и римановом пространствах.

Бесконечно малые деформации занимают значительное место в теории деформаций двумерных поверхностей. Из геометрических и механических соображений целесообразно изучать бесконечно малые деформации поверхностей, для которых некоторые геометрические характеристики поверхности имеют наперед заданные значения вариаций. К настоящему времени достаточно полно изучены бесконечно малые изгибания поверхностей, характеризующиеся условием (ds 2 ) 0, где ds 2 - первая квадратичная форма поверхности; бесконечно малые деформации поверхности с сохранением поточечно сферического образа поверхности, характеризующиеся условием n 0, где n - единичный вектор нормали поверхности (эти деформации коротко называют бесконечно малыми G -деформациями); бесконечно малые деформации поверхности с сохранением элемента площади d поверхности, описываемые условием (d ) 0 (так называемые бесконечно малые A -деформации) и другие. Вопросы изгибаний поверхностей нашли отражение в работах А.Д. Александрова, А.В. Погорелова, Н.В. Ефимова, В.Т. Фоменко, С.Б. Климентова и других авторов. Вопросы G деформаций поверхностей в евклидовом пространстве E 3 изучались в работах В.Ф. Кагана, Ю.А. Аминова, В.Т. Фоменко и других. Бесконечно малые G деформации поверхностей в пространстве E 4 были изучены в работах В.Т. Фоменко и И.А. Бикчантаева. Задачи, связанные с бесконечно малыми A деформациями поверхностей, изучались в работах Л.Л. Бескоровайной.

В работах О.Н. Бабенко исследовались бесконечно малые деформации поверхностей F 2 в евклидовом пространстве E 3, сохраняющие элемент площади поверхности и поточечно сферический образ поверхности (так называемые бесконечно малые AG -деформации), при различных внешних связях.

Бесконечно малые деформации поверхностей в римановом пространстве изучены не достаточно полно. Бесконечно малые деформации поверхностей, определяемые только нормальным смещением точек поверхности, в римановом пространстве изучены B.Y. Chen и K. Yano и названы бесконечно малыми нормальными деформациями.

В.Т. Фоменко была сформулирована задача о бесконечно малых деформациях поверхностей в римановом пространстве, при которых поле единичных нормальных к поверхности векторов переносится параллельно в смысле ЛевиЧивита вдоль траектории точек поверхности при её деформации и остается при этом нормальным полем к деформированной поверхности. Такие деформации В.Т. Фоменко назвал бесконечно малыми G -деформациями поверхностей в римановом пространстве.

В работах В.Т. Фоменко изучались бесконечно малые G -деформации поверхностей с краем в римановом пространстве, подчиненных условию (d ) 2Hcd, где d - элемент площади поверхности, H - средняя кривизна поверхности, c - нормальное смещение точек поверхности при её деформации, - произвольно заданный числовой параметр, называемый коэффициентом рекуррентности. Такие бесконечно малые деформации В.Т. Фоменко называет бесконечно малыми ареально-рекуррентными G -деформациями поверхностей с коэффициентом рекуррентности (коротко бесконечно малыми ARG-деформациями).

В работах В.Т. Фоменко изучались бесконечно малые ARG-деформации гиперповерхностей, подчиненных вдоль края внешней связи a n z 0, где n - единичный вектор нормали поверхности вдоль края, z - поле деформации. Эту внешнюю связь В.Т. Фоменко назвал условием защемления края гиперповерхности при её бесконечно малой ARG-деформации в римановом пространстве.

Условие защемления поверхности вдоль края является частным случаем условия обобщенной втулочной связи, записываемой в виде где l - заданное вдоль края поверхности векторное поле, не обращающееся в ноль, h - заданная функция. В связи с этим В.Т. Фоменко поставил задачу изучения бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей с коэффициентом рекуррентности при условии обобщенной втулочной связи в римановом пространстве. Эту задачу в частном случае рассматривала В.В. Сидорякина. Именно, В.В. Сидорякиной изучались бесконечно малые ARG-деформации поверхностей с коэффициентом рекуррентности при следующих предположениях:

1) риманово пространство является пространством L3 типа Лобачевского;

это означает, что метрика пространства L3 в координатах ( x, y, z ) задается 2) поверхность с гладким краем в L3 задается уравнением z f ( x, y), ( x, y), имеет положительную внешнюю кривизну и является (m 1) связной;

3) поверхность подвергается бесконечно малой ARG-деформации с коэффициентом рекуррентности, где ( A, B), где ( A, B) - некоторый числовой интервал, определяемый поверхностью и пространством;

4) внешняя связь вдоль края поверхности является условием обобщенной втулочной связи (1), где векторное поле l вдоль края однозначно определяется некоторой функцией, h - заданная функция.

Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей при более слабых предположениях, чем в работах В.В. Сидорякиной, ранее не изучались.

В настоящей работе изучаются бесконечно малые ARG-деформации поверхностей с коэффициентом рекуррентности в римановом пространстве R при следующих предположениях:

1) пространство является произвольным римановым пространством R 3 с 2) поверхность F 2 с гладким краем задается в R 3 уравнениями y y ( x1, x 2 ), ( x1, x 2 ) D, имеет положительную внешнюю кривизну и является (m 1) -связной;

3) поверхность F 2 подвергается бесконечно малой ARG-деформации с коэффициентом рекуррентности, где (;) ;

4) внешняя связь вдоль края поверхности является обобщенной втулочной связью вида a z l h, где h - заданная функция, l - не обращающееся в ноль векторное поле, заданное вдоль края поверхности.

Важное место в теории деформаций занимают непрерывные деформации поверхностей. Непрерывные AG -деформации односвязных поверхностей в евклидовом пространстве E 3 при различных внешних связях изучались в работах О.Н. Бабенко.

В настоящей работе изучаются непрерывные ARG-деформации (m 1) связных поверхностей в евклидовом пространстве E 3 при условии обобщенной втулочной связи.

Цель работы. Целью данной работы является исследование и описание поведения (m 1) -связных поверхностей положительной внешней кривизны при бесконечно малых (в римановом пространстве) и непрерывных (в евклидовом пространстве) ARG-деформациях, подчиненных вдоль края условию обобщенной втулочной связи.

Научная новизна диссертации. Научная новизна работы определяется следующими результатами, полученными автором:

Изучено поведение поверхностей положительной внешней кривизны с гладким краем в отношении бесконечно малых ARG-деформаций со всевозможными коэффициентами рекуррентности при заданной обобщенной втулочной связи в римановом пространстве;

Найдены условия, при которых поверхности положительной внешней кривизны с гладким краем в римановом пространстве допускают или не допускают бесконечно малые ARG-деформации со всевозможными коэффициентами рекуррентности при заданной обобщенной втулочной связи;

Изучено поведение поверхностей положительной внешней кривизны с гладким краем в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с фиксированным коэффициентом рекуррентности при различных обобщенных втулочных связях в римановом пространстве;

Найдены условия, при которых различные обобщенные втулочные связи являются корректными относительно бесконечно малых ARGдеформаций поверхностей положительной внешней кривизны с заданным коэффициентом рекуррентности в римановом пространстве;

Выделены однопараметрические с параметром, R, семейства обобщенных втулочных связей, порождаемые векторными полями l( ), такие, что для каждого семейства существует счетное множество { k }1 значений таких, что при k обобщенная втулочная связь, порождаемая полем l(k ), является некорректной; при k поверхность допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию при заданном коэффициенте рекуррентности и заданной обобщенной втулочной связи;

Изучены непрерывные ARG-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны с гладким краем при условии обобщенной втулочной связи в евклидовом пространстве;

Найдены условия, при которых поверхности положительной гауссовой кривизны в евклидовом пространстве допускают непрерывные ARGдеформации при заданной обобщенной втулочной связи.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по геометрии «в целом», а также при построении раздела спецкурса по теории деформаций поверхностей.

Апробация работы. Основные результаты данного исследования докладывались и обсуждались на научных семинарах Таганрогского государственного педагогического института имени А.П. Чехова, Казанского (Приволжского) федерального университета, Южного федерального университета и были представлены на X Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи – Дагомыс, 1-8 октября 2009г.), на XVII международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010»

(Москва, 12-15 апреля 2010г.), на международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований’2011» (Одесса, 15-28 марта 2011г.), на международной конференции «Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях», посвященной 50-летию образования механикоматематического факультета ХНУ им. В.Н. Каразина (Харьков, 17-22 апреля 2011г.), на международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований’2012» (Одесса 20- марта 2012 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в десяти работах, список которых приводится в конце автореферата. Работы [1]–[3] опубликованы в журналах, входивших в список ВАК России на момент публикации, работы [4]-[9] опубликованы в материалах международных конференций.

Связь работы с научными проектами и заданиями. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 1.423.2011, тема «Реализация метрик положительной кривизны в виде поверхностей с заданной опорой», научный руководитель – Фоменко В.Т.

Структура диссертации. Работа состоит из содержания, введения, четырех глав и списка литературы из 36 названий. Объем диссертации составляет страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава является вспомогательной. В ней изложены основные сведения для уравнений с частными производными и основные понятия римановой геометрии.

Во второй главе изучаются бесконечно малые ARG-деформации поверхностей со всевозможными коэффициентами рекуррентности, подчиненных фиксированной обобщенной втулочной связи.

Рассмотрим трёхмерное риманово пространство R 3 с координатами ( y ) и F2x1, x 2 ) D, где y - функции класса C 3, ( D ), 0 1, D - некоторая замкнутая область евклидовой плоскости E 2. Пусть, далее, граница D области D принадлежит классу C 2,, 0 1. Эти условия будем называть условиями регулярности поверхности F 2 в римановом пространстве R 3.

Пусть поверхность F 2 подвергнута бесконечно малой деформации F2 :

( 0, 0 ), 0 0, z - поле бесконечно малой деформации.

Бесконечно малую деформацию F2 поверхности F 2 называют бесконечно малой ареально-рекуррентной G -деформацией с коэффициентом рекуррентности (коротко бесконечно малой ARG-деформацией), если выполняются условия: 1) вариация (d ) элемента площади d поверхности F 2 удовлетворяет соотношению (d ) 2H (a z n )d, где H - средняя кривизна поверхности F 2, - заданное число, называемое коэффициентом рекуррентности, n - поле единичных векторов нормалей к поверхности F 2 ;

нормали n, параллельно перенесенный в R 3 в смысле Леви-Чивита в направлении вектора z в соответствующую точку поверхности F2, совпадает с вектором нормали n к F2 в этой точке.

Бесконечно малую деформацию поверхности F 2 с полем z 0 называют тождественной.

Будем говорить, что поверхность F 2 является -жёсткой в отношении бесконечно малых ARG-деформаций, если для заданного коэффициента рекуррентности поверхность допускает только тождественные бесконечно малые ARG-деформации, в противном случае поверхность будем называть нежёсткой.

Зададим на краю F 2 поверхности F 2 векторное поле l, a l l 0.

Пусть поверхность F 2 при бесконечно малой ARG-деформации подчинена вдоль края условию где h - заданная функция класса C 1, (D), 0 1.

Определение 1. Условие (2) назовём условием обобщенной втулочной связи.

Определение 2. Обобщенная втулочная связь (2) называется твёрдой обобщенной втулочной связью, если h 0. Указанная обобщенная втулочная связь имеет вид Определение 3. Обобщенная втулочная связь называется мягкой, если Далее будем изучать бесконечно малые ARG-деформации поверхности F касательная составляющая поля l, ln l 3 n - нормальная составляющая поля l, l 1, l 2, l 3 - заданные функции класса C 1, (D), 0 1.

Для формулировки полученных результатов введем в рассмотрение правый сопровождающий репер {t,, n } края F 2 поверхности F 2 в римановом пространстве R 3, где t - поле единичных векторов касательных к краю F 2, - поле единичных векторов тангенциальных нормалей к краю F 2, n - поле единичных векторов нормалей к краю F 2.

Теорема 1. Пусть F 2 - (m 1) -связная поверхность положительной внешней кривизны K k0 0, k0 const, в римановом пространстве R 3, удовлетворяющая условиям регулярности и ориентированная так, что её средняя кривизна H 0. Пусть, далее, поверхность F 2 подвергнута бесконечно малой ARGдеформации с произвольно заданным коэффициентом рекуррентности. Подчиним поверхность F 2 при указанной деформации условию твердой обобщенной втулочной связи (3), где поле l таково, что a l 0. Тогда существует не более чем счетное множество i ( i 1,2,...) значений таких, что 1) при i поверхность F 2 является i -нежесткой в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности i при заданной твердой обобщенной втулочной связи; для каждого значения i поверхность F 2 допускает конечное число линейно независимых векторных полей смещений z класса C 1, ( D ), 0 1, определяющих бесконечно малые ARG-деформации с коэффициентом рекуррентности i ;

2) при i поверхность F 2 является -жесткой в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности при заданной твердой обобщенной втулочной связи.

Представляет интерес нахождение условий, при которых существует точно счетное множество значений таких, что поверхность является -нежесткой в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности при заданной твердой обобщенной втулочной связи.

Имеет место следующая Теорема 2. Пусть F 2 - (m 1) -связная поверхность положительной внешней кривизны K k0 0, k0 const, в римановом пространстве R 3, удовлетворяющая условиям регулярности и ориентированная так, что её средняя кривизна H 0. Пусть, далее, поверхность F 2 подвергнута бесконечно малой ARGдеформации с коэффициентом рекуррентности, где 1. Подчиним поверхность F 2 при указанной деформации условию твердой обобщенной втулочной связи (3), где поле l таково, что a l 0, a l n 0 и касательная составляющая l сопряжена с направлением края t поверхности. Тогда существует точно счетное множество {i }i значений, 1 1 2... i..., 1) при i поверхность F 2 является i -нежесткой в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности i при заданной твердой обобщенной втулочной связи; для каждого значения i поверхность F 2 допускает конечное число линейно независимых векторных полей смещений z класса C 1, ( D ), 0 1, определяющих бесконечно малые ARG-деформации с коэффициентом рекуррентности i ;

2) при i, 1, поверхность F 2 является -жесткой в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности при заданной твердой обобщенной втулочной связи.

В третьей главе изучается поведение поверхностей, подвергнутых бесконечно малой ARG-деформации с заданным коэффициентом рекуррентности.

Поверхность при деформации подчиняется различным обобщенным втулочным связям. Из этих связей выделяются корректные и некорректные обобщенные втулочные связи.

Для формулировки дальнейших результатов введем определения корректной и некорректной обобщенной втулочной связи.

Определение 4. Обобщенная втулочная связь называется корректной, если для любой функции h существует единственное поле деформации z, удовлетворяющее условию (2), при этом малому изменению (в смысле некоторой нормы) функции h соответствует малое изменение поля z. При h 0 поле деформации сводится к нулевому полю: z 0.

Определение 5. Обобщенная втулочная связь называется некорректной, если при h 0 поверхность допускает бесконечно малые деформации лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию h, а при h 0 поверхность допускает конечное число линейно независимых полей смещений z, отличных от нулевых.

Доказана следующая Теорема 3. Пусть F 2 - (m 1) -связная поверхность положительной внешней кривизны K k0 0, k0 const, в римановом пространстве R 3, удовлетворяющая условиям регулярности и ориентированная так, что её средняя кривизна H 0. Пусть, далее, поверхность F 2 подвергнута бесконечно малой ARGдеформации с заданным коэффициентом рекуррентности, где 1. Подчиним поверхность F 2 при указанной деформации условию обобщенной втулочной связи (2), где поле l таково, что a l 0 и a l n 0. Тогда рассматриваемая обобщенная втулочная связь является корректной в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности. Причем поле смещения z принадлежит классу C 1, ( D ), 0 1, а его нормальная составляющая cn принадлежит классу C 2, ( D ), 0 1.

Исследуем корректность обобщенной втулочной связи a z l h, освободившись от требования a l n 0, налагаемого на поле l в теореме 3. Для изучения этого вопроса исследуем поведение поверхности при обобщенных втулках, которые выбираются из некоторого семейства обобщенных втулок. С этой целью рассмотрим заданное вдоль края поверхности F 2 семейство векторных полей l( ) l l0 n, a l( ) l( ) 0, где l03 - заданная функция класса C 1, (D), 0 1, - числовой параметр. Каждое поле этого семейства порождает обобщенную втулочную связь Если параметр и функция l03 выбраны так, что l0 0, то имеют место результаты теоремы 3. Изучим случай, когда l0 0. Поведение поверхности, подчиненной таким обобщенным втулочным связям, дается следующей теоремой.

Теорема 4. Пусть F 2 - (m 1) -связная поверхность положительной внешней кривизны K k0 0, k0 const, в римановом пространстве R 3, удовлетворяющая условиям регулярности и ориентированная так, что средняя кривизна H 0. Пусть, далее, поверхность F 2 подвергнута бесконечно малой ARGдеформации с заданным коэффициентом рекуррентности, где 1. Подчиним поверхность F 2 при указанной деформации условию обобщенной втулочной связи (4), где поле l( ) удовлетворяет следующим условиям: a l( ) 0, касательная составляющая l сопряжена с направлением края t поверхности и l0 0. Тогда существует точно счетное множество { k }1 значений, а) k, рассматриваемая обобщенная втулочная связь является некорректной в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности, где 1;

б) k, 0, поверхность F 2 допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию с заданным коэффициентом рекуррентности, где 1, при рассматриваемой обобщенной втулочной связи.

В четвертой главе диссертации ставится задача доказательства существования непрерывных ARG-деформаций поверхности положительной гауссовой кривизны, совместимых с обобщенной втулочной связью, в евклидовом пространстве. Изучение поставленной задачи сводится к исследованию разрешимости системы из одного квазилинейного и двух линейных уравнений относительно трех искомых функций в области D с линейным краевым условием на границе D.

Пусть F 2 - поверхность в евклидовом пространстве E 3, заданная уравнением r r ( x1, x 2 ), ( x1, x 2 ) D, D - некоторая замкнутая область евклидовой плоскости E 2, r C 3, ( D ), 0 1. Пусть, далее, граница D области D принадлежит классу C 2,, 0 1. Эти условия будем называть условиями регулярности поверхности F 2 в евклидовом пространстве E 3.

Рассмотрим деформацию Ft 2 поверхности F 2, порождаемую параметром zt ( x1, x 2 ) - векторное поле смещения точек поверхности F 2 при её деформации, ( x1, x 2 ) D.

Будем говорить, что поверхность F 2 допускает непрерывную деформацию класса C 1, ( D ), 0 1, порождаемую параметром t, если:

1) существует семейство полей смещений zt, t (t0, t0 ), t0 0, непрерывно зависящих от параметра t ;

2) при t 0 поля смещений z t тождественно равны нулю;

3) для всех значений параметра t из промежутка (t0, t0 ), t0 0, векторные поля z t принадлежат классу C 1, ( D ), 0 1.

Деформацию Ft 2 поверхности F 2 называют ареально-рекуррентной G деформацией с коэффициентом рекуррентности (коротко ARGдеформацией), если выполняются условия: 1) приращение (d ) элемента (d ) 2H ( zt, n)d, где H - средняя кривизна поверхности F 2, - заданное число, называемое коэффициентом рекуррентности, n - поле единичных векторов нормалей к поверхности F 2 ; 2) деформация поверхности F 2 является G деформацией, т.е. приращение единичного вектора нормали n в каждой точке поверхности F 2 равно нулю: n 0.

Введем понятие обобщенной втулочной связи в евклидовом пространстве E 3. Зададим на краю F 2 поверхности F 2 векторное поле l, l 0, класса C 1, (D), 0 1. Пусть поверхность F 2 при непрерывной ARG-деформации подчинена вдоль края условию где ht - заданная функция класса C 1, (D), 0 1, непрерывно зависящая от параметра t, t (t0, t0 ), t0 0, h0 0.

Определение 6. Условие (5) назовём условием обобщенной втулочной связи.

Для формулировки полученного результата введем в рассмотрение правый сопровождающий репер t,, n края F 2 поверхности F 2 в евклидовом пространстве E 3, где t - поле единичных векторов касательных к краю F 2, поле единичных векторов тангенциальных нормалей к краю F 2, n - поле единичных векторов нормалей к краю F 2.

Имеет место следующая Теорема 5. Пусть F 2 - (m 1) -связная поверхность положительной гауссовой кривизны K k0 0, k0 const, в евклидовом пространстве E 3, удовлетворяющая условиям регулярности и ориентированная так, что её средняя кривизна H 0. Пусть, далее, поверхность F 2 подвергнута непрерывной ARGдеформации с заданным коэффициентом рекуррентности, где 1. Подчиним поверхность F 2 при указанной деформации условию обобщенной втулочной связи (5), где поле l таково, что (l, n ) 0 и (l, ) 0. Тогда существует таповерхкое число 0, зависящее от поверхности F 2, что при ht C1, ( D ) ность F 2 допускает непрерывную ARG-деформацию класса C 1, ( D ), 0 1, с коэффициентом рекуррентности, где 1, совместимую с заданной обобщенной втулочной связью.

Автор выражает глубокую благодарность профессору В.Т. Фоменко за постановку задачи, внимательное руководство и помощь при выполнении работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

Найдены условия, при которых поверхности положительной внешней кривизны в римановом пространстве являются жесткими или нежесткими в отношении бесконечно малых ARG-деформаций со всевозможными коэффициентами рекуррентности при заданной обобщенной втулочной связи;

Найдены условия, при которых различные обобщенные втулочные связи являются корректными относительно бесконечно малых ARGдеформаций поверхностей положительной внешней кривизны с заданным коэффициентом рекуррентности в римановом пространстве;

Выделены однопараметрические с параметром, R, семейства обобщенных втулочных связей, порождаемые векторными полями l( ), такие, что для каждого семейства существует счетное множество { k }1 значений таких, что при k обобщенная втулочная связь, порождаемая полем l(k ), является некорректной; при k поверхность допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию при заданном коэффициенте рекуррентности и заданной обобщенной втулочной связи;

Найдены условия, при которых поверхности положительной гауссовой кривизны в евклидовом пространстве допускают непрерывные ARGдеформации при заданной обобщенной втулочной связи.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК РФ Коломыцева Е.А. ARG-деформации поверхностей в римановом пространстве / Е.А. Коломыцева // Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2009. –Т. 16. – Вып. 6. – с. 1077-1078. (0,08 п.л.) Коломыцева Е.А. Существование нетривиальных ARG-деформаций поверхностей с краем при обобщенных втулочных связях в римановом пространстве / Е.А. Коломыцева, В.Т. Фоменко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2010. - №3 (15). – С. 3-14. (диссертанта – 0,8 п.л.) Коломыцева Е.А. Существование обобщенных втулочных связей, совместимых с ARG-деформациями поверхностей в римановом пространстве / Е.А. Коломыцева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.

Физико-математические науки. – 2010. - №4 (16). – С. 14-25. (0,9 п.л.) Коломыцева Е.А. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей с краем при обобщенных втулочных связях в римановом пространстве / Е.А.

Коломыцева // Сборник научных трудов SWorld. Материалы международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований’2012» (Одесса, 20-31 марта 2012 г.). – Выпуск 1.

Том 11. – Одесса: КУПРИЕНКО, 2012. - С. 21-23. (0,12 п.л.) Коломыцева Е.А. Корректные обобщенные втулочные связи при бесконечно малых ARG-деформациях поверхностей с коэффициентом рекуррентности 1 в римановом пространстве / Е.А. Коломыцева // Сборник материалов II Международной научно-практической конференции «Наука и современность - 2010» (Новосибирск, 16 апреля 2010г.). - Часть 3. – Новосибирск: Издательство «СИБПРИНТ», 2010. – с. 59-64. (0,3 п.л.) Коломыцева Е.А. Непрерывные ARG-деформации поверхности при условии обобщенного скольжения / Е.А. Коломыцева // Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях. Тезисы докладов международной конференции (Харьков, 17-22 апреля 2011г.). - Харьков:"Апостроф". – 2011. – C.144-145. (0,12 п.л.) Коломыцева Е.А. Непрерывные ARG-деформации поверхности с краем при условии обобщенной втулочной связи / Е.А. Коломыцева // Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований’2011». Том 8. Физика и математика (Одесса, 15-28 марта 2011г.). – Одесса:

Черноморье, 2011. - с. 52-54. (0,12 п.л.) Коломыцева Е.А. О жесткости поверхностей в отношении бесконечно малых ARG-деформаций в римановом пространстве / Е.А. Коломыцева // Сборник материалов I Международной студенческой научно-практической конференции «Интеллектуальный потенциал XXI века: ступени познания» (Новосибирск, 21апреля 2010г.). – Новосибирск: Издательство «СИБПРИНТ», 2010. - с. 230-233. (0,23 п.л.) Коломыцева Е.А. О корректности втулочных связей при бесконечно малых ARG-деформациях поверхностей в римановом пространстве / Е.А. Коломыцева // Материалы Международного молодежного научного форума «Ломоносов-2010» (Москва, 12-15 апреля 2010г.)[Электронный ресурс] – М.:

МАКС Пресс, 2010. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). (0,2 п.л.) Коломыцева Е.А. О корректных втулочных связях при бесконечно малых ARG-деформациях поверхностей в римановом пространстве R 3 / Е.А.

Коломыцева // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. Физико-математические и естественные науки. – Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2010. – №1. – с. 11-16. (0,63 п.л.)