На правах рукописи

СЫСОЕВ Павел Николаевич

МОДЕЛИ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ С АБЕЛЕВОЙ И НЕАБЕЛЕВЫМИ

ГРУППАМИ СИММЕТРИИ.

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

Диссертация на соискание Ученой степени кандидата

Физико-математических наук

Москва-2012

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Иноземцева Н.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Тареева Е.Е.

доктор физико-математических наук, профессор Кротов С.С.

Ведущая организация

Защита состоится 14 июня 2012 г. в 15 часов 30 минут на заседании Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском Государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:

119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д.1, стр.2, физический факультет, аудитория СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан «_ » 2012 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 501.002. доктор физико-математических наук, профессор Ю.В.Грац

Общая характеристика работы

.

Диссертация посвящена изучению моделей калибровочных полей с абелевой и неабелевыми группами симметрии, изучению модели низкоэнергетического комптон-эффекта на составной мишени, состояние которой вырождено; рассмотрению конфигурации классических полей Янга – Миллса с симплектическими группами симметрии, обладающих топологическим зарядом K = 4.

Актуальность темы.

В последние 35 лет теория калибровочных полей получила значительное развитие в связи с построением Стандартной Модели, призванной объяснить основные закономерности электрослабого и сильного взаимодействий элементарных частиц.

Открытие и детальное экспериментальное исследование низкоэнергетического комптон эффекта (рассеяния фотонов-квантов простейшего электромагнитного калибровочного поля с абелевой группой симметрии) поставило перед теоретической физикой элементарных частиц задачу построения соответствующих моделей. Неабелевые калибровочные теории, открытые Янгом и Миллсом в 1954 году, получили сильнейший стимул к развитию с появлением в 1974 году квантовой хромодинамики (КХД). За доказательство перенормируемости квантовой теории калибровочных полей с нулевой массой были присуждены две Нобелевские премии.

В значительной степени прогресс в изучении калибровочных полей был достигнут при открытии инстантонов – топологически устойчивых конфигураций неабелевых полей в 4-х мерном евклидовом пространстве с целочисленным топологическим зарядом и конечным вкладом в функционал действия.

Изучение низкоэнергетического комптон-эффекта на электрически нейтральном атоме водорода, состоящим из двух заряженных частицэлектрона и протона – положило начало построению моделей, рассмотренных в диссертации.

Основное состояние атома водорода не вырождено, но вырождение имеет место, согласно квантовой механике, для всех возбужденных состояний.

В предлагаемой диссертационной работе впервые проведено детальное исследование эффектов, связанных с вырождением.

Мультиинстантонные конфигурации калибровочных полей с неабелевыми группами симметрии были описаны вскоре после пионерской BPST* – работы советско-английской группой выдающихся математиков Атиа, Дринерельдом, Хитчином и Маниным (АДХМ)**.

Причем оказалось, что общая формула АДХМ допускает аналитическое построение решений лишь для значений топологического заряда К в ситуации общего положения равным 2 и 3. В предлагаемой работе впервые проведена эффективизация формул АДХМ для К=4. Оказалось также, что подобная эффективизация не может быть проведена для К5.

Цель диссертационной работы.

низкоэнергетического Комптон- эффекта на электрически нейтральных составных частицах в состояниях с вырождением. В работе изучаются также способы эффективизации формулы АДХМ для ситуации общего положения в задаче о четырех инстантонах.

A.A. Belavin, A.M. Polyakov, A.S. Schwartz and Yu. S. Tyupkin Phys. Letters, 59B, (1975).

M.F. Atiyah, N.J. Hitchin, V.G. Drinfeld and Yu. I. Manin, Phys. Letters, 65A, 185 (1978) Научная новизна работы.

В модели низкоэнергетического комптоновского рассеяния на системе дополнительный полюсный член и вклады в него от промежуточных состояний с той же массой, но с разными спинами.

мультиинстантонных конфигураций с топологическим зарядом К=4.

Научная и практическая значимость.

Теоретические результаты, полученные в диссертации, могут быть полезны для качественного понимания и количественного описания низкоэнергетического комптон-эффекта в экспериментах по рассеянию электромагнитного излучения на струйной мишени, состоящей из разогретого до высоких температур 20000С водорода.

Результаты по эффективизации формул АДХМ имеют важное фундаментальное значение для вычисления вклада мультиинстантонов общего положения в функционал действия для калибровочных групп Sp(n) и их подгрупп, включая особо важную группу SU(2).

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинарах Лаборатории теоретической физики имени Н.Н. Боголюбова объединённого института ядерных исследований, на физическом факультете Государственного СанктПетербургского университета, в Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН имени В.А. Стеклова, на семинарах на факультете ядерной физики Технического университета Праги (Чешская Республика), на конференции QMath7, проходившей в 2011 году в Праге, организованной Карловым университетом. Работа также докладывалась на семинаре теоретического отдела Института Ядерной физики в Ржеже (Чешская Республика).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах в журналах из списка ВАК. Ссылка на эти работы приведены в конце автореферата.

Структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы.

Содержание диссертации.

Во введении обоснована актуальность исследуемых проблем и сформулированы цели приведённых исследований.

В Главе 1 рассмотрены основные закономерности задачи вычисления эффектов, возникающих при учете диаграмм Фейнмана с двумя свободными фотонными концами – модели низкоэнергетического комптон-эффекта при рассеянии – кванта на заряженных точечных частицах (бесструктурных частицах). Получены выражения для амплитуды рассеяния для частицы спина, в которые наряду с зарядом частицы e и массой m вошли только две дополнительные постоянные и – коэффициенты электрической и магнитной поляризуемости частиц. В этой же главе обрисованы методы вычислении амплитуды рассеяния – кванта на системе из двух связанных частиц, описываемых нерелятивистским уравнением Шредингера с точностью до членов, квадратичных по частоте.

Изложение теории рассеяния – кванта на системе из двух связанных частиц позволяет лучше понять результаты релятивистского расчета амплитуды рассеяния. В этой же главе построена простейшая модель мишени, имеющей внутреннюю структуру (электромагнитный потенциал – вторично квантованное поле- введен в уравнение Шрёдингера минимальным образом). С точностью до e2 амплитуда Т комптоновского рассеяния имеет форму:

где и – четырехмерные импульсы начального и конечного фотонов, 1,2,3, в матричных элементах подразумевается интегрирование по относительной координате; – сумма (интеграл) по всем состояниям спектра, i – волновая функция начального и конечного состояния мишени.

Здесь – вектор поляризации начального и конечного фононов, функции Y,M,N определяются следующим образом.

Пусть Тогда где здесь q1 и q2 – заряды компонент мишени, En и Ei – энергии основного и промежуточного состояний, 0, 0.

Глава 2 посвящена изучению модели низкоэнергетического комптонэффекта на составной мишени с вырожденными состояниями.

В ней доказана теорема об асимптотике низкоэнергетического комптоновского рассеяния в вырожденном случае на мишени.

комптоновского рассеяния равна:

где T2 b f cos.

– угол рассеяния, a, b, c, f – структурные константы. Константы с и f, обусловливающие принципиальное отличие случая мишени с вырождением от невырожденной мишени, обязаны суммированию в (1) по состояниям n с энергией En Ei, причем c отлична от нуля и в нерелятивистском случае для потенциалов типа кулоновского, где энергетический уровень Ei не имеет определенной четности. А для потенциалов типа осцилляторного, где уровень Ei всегда имеет определённую чётность, при нерелятивистском рассмотрении (2) не отличается от (1).

Рассмотрен также вопрос о дифференцируемости инвариантных амплитуд рассеяния. В кулоновской калибровке и лабораторной системе координат амплитуда Т может быть выражена через инвариантные амплитуды А и В:

Амплитуда В имеет вид:

Выражение для амплитуды t имеет аналогичную структуру.

получается простое выражение обстоятельство важно при рассмотрении рассеяния – квантов на атомах водорода и моделей физики элементарных частиц, в которых мезоны и мезонные резонансы являются радиально возбужденными и, возможно, вырожденными состояниями.

В Главе 3 рассматриваются вопросы эффективизации формул АДХМ для инстантонных конфигураций для ситуации общего положения и топологического заряда К=4. Показано, что они сводятся к исследованию чисто алгебраической нелинейной проблемы. Все решения уравнений дуальности для произвольных комплектных калибровочных групп, не имеющие (с точностью до калибровочных преобразований) сингулярных особенностей в 4-х мерном евклидовом пространстве R 4, допускают представление в виде где I – единичная матрица, N – матрица, размеры которой определяются калибровочной группой и топологическим зарядом.

Для симплектических групп Sp(n) (частности, для SU(2)=Sp(1) структура этой матрицы наиболее проста: N – матрица кватернионов размером n n, где – топологический заряд, являющийся решением линейного уравнения где М – матрица кватернионов n k n, линейно зависящая от кватерниона x x0 i x, где - матрицы Паули, Для любых значений х матрица М должна удовлетворять нелинейному соотношению где r(х) – матрица вещественных чисел размером, обладающая обратной всюду в R 4, за исключением конечного числа точек x.

каноничекой форме Cij 0, i n;

где - символ Кронекера.

мультиинстантонной конфигурации, может быть построено по матрице В посредством стандартных операций линейной алгебры.

Для приложений в квантовой теории (вычисления пропагаторов скалярных и фермионных полей в присутствии инстантонов, детерминантов алгебраических уравнений, позволяющие определить явную зависимость N(х), A ( x) от параметров конфигураций инстантонов.

Показано, что посредством обращения матриц кватернионов можно построить решения матричного уравнения (5), зависящее от (4+3) параметров, из которых являются параметрами групповой ориентации инстантонов.

Доказано, что оценка квантовых эффектов точных – инстантонных конфигураций не может быть найдена посредством решения нелинейных алгебраических уравнений 3 и 4 порядка и требует привлечения численных методов.

Заключение Сформулируем основные положения диссертации, выносимые на защиту:

структурой в случае вырождения ее состояний.

Найдено, что инвариантные амплитуды низкоэнергетического рассеяния фотонов на составных частицах не являются дифференцируемыми функциями переменной Мандельстама t.

Впервые доказано, что эффективизация формул АДХМ для мультиинстантонных конфигураций с топологическим зарядом К=4 может быть проведена посредством нахождения решений алгебраических уравнений 3 и 4 порядка.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Иноземцева Н.Г. Сысоев П.Н. Иноземцев В.И. О комптоновском рассеивании на мишени, находящейся в вырожденном состоянии.

Астрономия. 2011. №3 стр.115-117.

2. Иноземцева Н.Г., Сысоев П.Н. Теорема об асимптотике низкоэнергетического комптоновского рассеяния в вырожденном случае. Математические заметки, 89:1 (2011) стр. 131-133.

3. Иноземцева Н.Г., Сысоев П.Н. О конфигурациях классических полей Янга-Миллса, обладающих топологическим зарядом K=4.

Астрономия, 2012, №1, стр. 65-69.