На правах рукописи

Зверева Татьяна Витальевна

СВЯЗНОСТИ НА ОСНАЩЕННЫХ

МНОГОМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.04 – геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань – 2011

Работа выполнена на кафедре геометрии ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Столяров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Малаховский Владислав Степанович кандидат физико-математических наук, профессор Султанов Адгам Яхиевич

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 29 сентября 2011 года в 14 часов 30 минут в ауд. НИИММ им. Н. Г. Чеботарева на заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу:

420008, г. Казань, ул. проф. Нужина, д. 1/37.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан «» июня 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Липачев Е. К.

канд. физ.-мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Постановка вопроса и актуальность темы. Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства зародилась внутри классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров.

В 1924 г. появляется работа Томсена [24], в которой для изучения конформнодифференциальной геометрии поверхностей применяются пентасферические координаты и тензорное исчисление. Э. Картан [20] вводит понятие n-мерного пространства конформной связности. В это же время теория многомерных пространств конформной связности разрабатывается в работах Т. И. Томаса, И. М. Томаса и ряда других геометров. С. Сасаки в 1939–40 гг. развивает теорию кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности. К. Яно в работах [26], [27] изучает конформную геометрию m -мерной поверхности в n -мерном римановом пространстве, строит инвариантные тензоры, связанные с ее окрестностью второго порядка.

А. Фиалков [22] в 1944 г. построил полную систему конформно-инвариантных тензоров m -мерной поверхности n -мерного риманова пространства. Однако в большинстве перечисленных работ конформно-дифференциальная геометрия многомерных поверхностей строится средствами евклидовой и римановой геометрий, что сильно осложняет геометрическое истолкование полученных результатов.

Новый этап в развитии конформно-дифференциальной геометрии связан с работами отечественных геометров, а именно, с работами с применением к конформной геометрии общей теории образов симметрии в однородных пространствах Б. А. Розенфельда [12], общей теории нормализованных поверхностей А. П. Нордена [9], [10], общей теории многообразий в однородных пространствах и в пространствах со связностями Г. Ф. Лаптева [5], [6].

Метод Г. Ф. Лаптева был применен М. А. Акивисом [1], [2] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, m-мерных поверхностей n-мерного конформного и псевдоконформного пространств. А. П. Норден [3], [9], [10] получил существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий. В работах А. В. Столярова [13], [14] изучается внутренняя геометрия ряда подмногообразий конформного пространства Cn и пространства конформной связности Cn,n, оснащенных в том или ином смысле. В. Д. Третьяков [15] в псевдоконформном пространстве l Cn рассматривает поверхность Vm, нормализованную гармонически; приводятся деривационные уравнения для этой поверхности, изучаются частные типы таких поверхностей. И. В. Парнасский [11] в полуконформном пространстве рассматривает m-мерную поверхность Vm; показано, что при соответствующем оснащении на поверхности Vm индуцируется полуконформная связность. Л. Ф. Филоненко [16] рассматривает распределение m-мерных линейных элементов в (n-1)-мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию. Исследования А. Н. Михайловой [8] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства. Т. Н. Глухова (Андреева) [14] исследует линейные связности (аффинные, конформные, нормальные), индуцируемые различными оснащениями гиперповерхности в конформном пространстве. А. М. Матвеевой в работе [7] разработаны основы теории линейных связностей на распределениях гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Cn.

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.

История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т. Леви-Чивита [23] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Г. Вейль [25] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана в 20-х годах ХХ века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В середине ХХ века В. В. Вагнер [4] и Ш. Эресман [21] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А. П. Норден разработал метод нормализации [9], [10], который позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Г. Ф. Лаптев [5], следуя идеям Э. Картана, линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия.

Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввел А. П. Норден [10] (внешняя связность). Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А. В. Чакмазян [18], [19].

Объектом исследования настоящей работы являются гиперповерхность Vn пространства конформной связности Cn, n и многомерная поверхность Vm, погруженная в конформное пространство C n (псевдоконформное или собственно конформное), а также линейные связности (аффинные, нормальные, конформные), индуцируемые различными оснащениями (нормальным, касательным, полным) указанных поверхностей.

Теория конформного пространства C n и вложенных в него поверхностей к настоящему времени разработана достаточно полно. Однако, изучение линейных связностей, индуцируемых различными оснащениями многомерных поверхностей, до настоящего времени оставались слабо изученными. Вопросы разработки теоретических и практических положений по изучению линейных связностей на оснащенной поверхности в конформном пространстве, а также гиперповерхности пространства конформной связности представляют большой научный интерес и являются актуальными в связи с возможными приложениями полученных результатов в математике, механике и физике.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение основ теории линейных связностей, индуцируемых различными оснащениями многомерной поверхности Vm, погруженной в n-мерное конформное пространство C n, а именно:

1) построение в разных дифференциальных окрестностях инвариантных внутренним образом определяемых нормальных, касательных, полных оснащений поверхности Vm в конформном пространстве C n, а также гиперповерхности Vn 1 пространства конформной связности Cn, n ;

2) разработка основ теории линейных связностей (аффинных, нормальных, конформных), определяемых различными оснащениями рассматриваемых поверхностей;

3) приложение аффинной связности, индуцируемой нормальным оснащением многомерной поверхности Vm в C n, к изучению геометрии сетей на подмногообразии Vm.

Методы исследования. Теория оснащенных многомерных поверхностей развивается инвариантными методами дифференциально-геометрических исследований, а именно, методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [5] и методом внешних дифференциальных форм Э. Картана [17]. Следует отметить, что результаты по теории линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [5], [6].

Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, что позволило получить их в инвариантной форме. Рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования – аналитическими.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач, являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что изучением геометрии линейных связностей, индуцируемых оснащением многомерной поверхности конформного пространства и гиперповерхности пространства конформной связности, геометры раннее почти не занимались.

Использование аналитического метода продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева и исследование дифференциально-геометрических структур, индуцируемых полями фундаментальных и оснащающих объектов рассматриваемых подмногообразий, позволило получить новые существенные результаты в теории оснащенных гиперповерхности пространства конформной связности Cn, n и многомерной поверхности конформного пространства C n.

В диссертационной работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении геометрии различных многообразий, погруженных в пространства более общей структуры (например, в пространство конформной связности).

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2007–2010 гг.), на научно-практических конференциях преподавателей, докторантов и аспирантов Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2007–2010 гг.), на XXIV Всероссийской конференции обучающихся «Национальное достояние России» (Московская обл., п. Непецино, 2009 г.) (работа удостоена диплома I степени), на XLVII и XLVIII Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2009г. и 2010 г.), на 10-ой Международной конференции «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2009 г.), в Восьмой молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения – 2009»

(г. Казань, 2009 г.), на III Всероссийской научно-практической конференции «Фундаментальные науки и образование» (г. Бийск, Алтайский край, 2010 г.), на I Международной научно-практической конференции «Наука и современность – 2010» (г. Новосибирск, 2010), на Международной конференции «Геометрия в Одессе–2010» (г. Одесса, 2010), на Международной конференции «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения» (г. Москва, 2010).

Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 18 печатных работах автора (см. [1]–[18]).

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертационная работа является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика диссертации, содержание диссертации), трех глав и списка литературы, включающего 115 наименований. Полный объем диссертации составляет 121 страницу машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе I изучаются линейные связности на оснащенной гиперповерхности Vn в пространстве конформной связности Cn, n.

В §§ 1, 2 главы I приводится материал, носящий реферативный характер и необходимый для дальнейшего изложения.

В § 3 записываются дифференциальные уравнения гиперповерхности Vn в Cn, n. В третьей дифференциальной окрестности построены 3 полных оснащения гиперповерхности, определенных внутренним образом.

§ 4 посвящен изучению аффинных связностей на нормально оснащенной гиперповерхности в пространстве конформной связности Cn, n. Показано, что при нормальном оснащении гиперповерхности в Cn, n полем квазитензора xi0 индуцируется пространство аффинной связности An1,n1. Доказано, что вейлево пространство An 1,n 1 Wn 1 является обобщенно римановым с полем метрического тензора g ij тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметричный тензор Tij0 (теорема I.4). Класс таких пространств не пуст; например, пространство аффинной связности An1,n1, индуцируемое нормальным оснащением гиперпоa верхности Vn1 Cn,n полем любого из квазитензоров ak, A k ( a =1,2) третьего порядка. Показано, что при нормальном оснащении гиперповерхности Vn 1, вложенной в эквиконформное пространство Cn,n, индуцируется риманово пространство An1,n1 с полем метрического тензора g ij тогда и только тогда, когда кососимметричный тензор x[ij ] обращается в нуль; в частности, при нормальном оснащении гиперповерхности Vn1 C n,n полем любого из квазитензоров ak, A k ( a =1,2) третьего порядка пространство An1,n1 является римановым.

пространства An1,n1 найдены две аффинные связности и, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности Vn 1 пространства конформной связности Cn, n ; приведены строения компонент тензоров кривизны и кручения соответствующих пространств аффинной связности. Доказано, что аффинные связноn сти и, и сопряжены относительно полей тензоров соответственно aij и Aij второго порядка (теоремы I.6 и I.7) В § 5 главы I изучаются конформные связности, индуцируемые касательным и полным оснащениями гиперповерхности Vn 1 пространства конформной связности Cn, n. Доказано, что инвариантное касательное оснащение гиперповерхности Vn1 Cn,n полем гиперсфер Pn индуцирует пространство конформной связности Cn 1, n 1 с полем метрического тензора g ij (теорема I.8). Все точки каждого слоя пространства конформной связности Cn 1, n 1, индуцируемого при касательном оснащении гиперповерхности Vn 1 Cn, n полем гиперсфер Pn, при перенесении Дарбу отображаются в точки квадрики Дарбу Qn 1 Pn +1, получающейся пересечением гиперквадрики Дарбу Qn Pn +1 с полярой точки Pn относительно этой гиперквадрики.

Показано, что если задано полное оснащение гиперповерхности Vn1 Cn,n полями квазитензоров xi0, xn, то индуцируется нормализованное пространство конформной связности Cn 1, n 1 (теорема I.10). В случае, когда полное оснащение подмногообразия Vn 1 является невырожденным (то есть основной тензор нормализации aik невырожден), то индуцируется второе пространство конформной связности Cn 1, n 1, метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором g ij пространства Cn 1, n 1 (теорема I.11); приведены строения компонент тензора кривизны-кручения пространства Cn 1, n 1.

§ 6 посвящен изучению нормальных связностей на гиперповерхности Vn пространства конформной связности Cn, n. На нормально оснащенной гиперповерхности в расслоении окружностей [P ] найдены две нормальные связности и ; приведены строения тензоров кривизны-кручения соответствующих пространств. Доказаны следующие предложения (теоремы I.12, I.13):

– на нормально оснащенной полем квазитензора xi0 гиперповерхности Vn 1, вложенной в пространство конформной связности Cn, n, в расслоении окружностей [P ] индуцируется нормальная связность, определяемая системой форм { 0, n } ; форма n определяет подсвязность связности. Для каждого соответствующего пространства нормальной связности найдены строения тензоров кривизны-кручения;

– нормальная подсвязность связности, индуцируемой нормальным оснащением гиперповерхности V C, – плоская (то есть связность – поn1 n,n луплоская) тогда и только тогда, когда вейлево пространство An 1, n 1 Wn 1 является обобщенно римановым с полем метрического тензора g ij.

При одном частном преобразовании слоевых форм нормальной связности (тензор H nk – нулевой) построена нормальная связность, найдено строение тензора кривизны-кручения соответствующего пространства нормальной связности. Построен охват тензора H nk, при котором связность определяется внутренним образом. Доказано (теорема I.15), что при этом охвате связности и, индуцируемые в расслоении окружностей [Pi ] при нормальном оснащении гиперповерхности Vn1 Cn,n полем квазитензора xi0, имеют одинаковые тензоры кривизны-кручения тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметричный тензор Tkl.

Путем общего преобразования слоевых форм нормальной связности (тенn зор H nk – ненулевой), которое возможно лишь при полном оснащении гиперповерхности Vn 1 в Cn, n, получена другая нормальная связность.

В главе II рассматриваются две аффинные связности на нормально оснащенной многомерной поверхности Vm в конформном пространстве C n (m < n 1) и получено приложение одной из них к изучению внутренней геометрии сетей на подмногообразии Vm.

В § 1 найдены дифференциальные уравнения m -мерной поверхности конформного пространства. Доказано, что с m -мерной поверхностью Vm ( m < n 1 ) n -мерного конформного пространства C n инвариантным образом ассоциируется m -мерная гиперполоса кривизны H m, для которой исходная поверхность является базисной.

В п. 3 § 1 в третьей дифференциальной окрестности построены 5 полных оснащений многомерной поверхности, определенных внутренним образом. Доказано, что нормальное оснащение поверхности Vm Cn при отображении Дарбу в пространстве Pn +1 индуцирует взаимным и двойственным образом нормализованную регулярную m -мерную квадратичную гиперполосу H m Pn +1, для которой базисной поверхностью является образ Vm Qn подмногообразия Vm и полем характеристик семейства касательных к Qn гиперплоскостей в точках A 0 Vm служит поле (n m ) -мерных плоскостей n m (A 0 ) [A 0, A ] (теорема II.3).

§ 2 главы II посвящен аффинным связностям, индуцируемым нормальным оснащением поверхности Vm в конформном пространстве C n. Доказано, что пространство аффинной связности Am, m без кручения, индуцируемое нормальным оснащением поверхности Vm C n, является вейлевым Wm с полем метрического тензора g ij и дополнительной формой = 0 xk 0 ; это пространство является эквиаффинным, а, следовательно, римановым тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметричный тензор x[ij ] (теорема II.4). Для пространства Am, m без кручения найдено строение тензора кривизны. Пространство аффинной связности Am, m, индуцируемое нормальным оснащением поверхности Vm C n полем любого из квазитензоров M k, Ak ( a = 1, 4 ) третьего порядка, является римановым с полем метрического тензора g ij.

С помощью преобразования структурных форм 0j, ij пространства Am, m получена вторая аффинная связность, индуцируемая нормальным оснащением поверхности Vm в С n ; найдено строение компонент тензора кривизны-кручения соответствующего пространства Am, m. Доказано, что аффинные связности и сопряжены относительно поля симметричного тензора второго порядка Aij (теорема II.6). Если пространство аффинной связности Am, m – без кручения, то вейлево пространство Wm является римановым тогда и только тогда, когда пространство Am, m является эквиаффинным (теорема II.7).

§ 3 посвящен приложению аффинной связности пространства Am, m к изучению внутренней геометрии сетей, заданных на многомерной поверхности Vm в конформном пространстве С n.

В п. 1 § 3 приведены дифференциальные уравнения сети m на подмногообразии Vm, рассмотрены некоторые порождаемые ею инвариантные геометрические образы (псевдофокальные гиперсферы F ji ортогональной сети, гармонические гиперсферы Fi ). Доказано, что поле гармонических ( n m )-сфер [Fi ] сети m, заданной на поверхности Vm Cn, внутренним образом определяет нормальное оснащение поверхности Vm конформного пространства C n (теорема II.9). Найден геометрический смысл гармонических гиперсфер ортогональной сети: каждая из m гармонических гиперсфер Fi ортогональной сети есть среднее арифметическое псевдофокальных гиперсфер F ji касательной A0 Ai к линии i0 сети.

В п. 2 § 3 найдено необходимое и достаточное условие, при котором поверхность Vm Cn ( 2 < m < n 1 ), несущая ортогональную сопряженную сеть m, является m -сопряженной системой (теорема II.10).

В п. 3 § 3 изучается сеть линий кривизны на поверхности Vm в конформном пространстве C n ; приведена геометрическая характеристика главных направлений и линий кривизны на многомерной поверхности Vm в C n.

В п. 4 § 3 рассмотрено параллельное перенесение направления A0 Ai касательной к i-й линии ортогональной сети m на m -мерной поверхности Vm в конформном пространстве C n вдоль ее j-й линии в аффинной связности, индуцируемой нормальным оснащением поверхности Vm C n. Введены в рассмотрение геодезические и чебышевские сети в аффинной связности, получены аналитические условия, характеризующие эти сети. Доказаны следующие предложения:

– если нормально оснащенная полем квазитензора xi0 поверхность Vm C n несет ортогональную геодезическую сеть m в аффинной связности, то она является сетью с совпавшими псевдофокальными гиперсферами и данное оснащение будет нормальным оснащением полем ее гармонических ( n m ) сфер [Fi ] (теорема II.13);

– если ортогональная сеть m Vm Cn есть сеть с совпавшими псевдофокальными гиперсферами, то при нормальном оснащении поверхности Vm Cn полем ее гармонических ( n m ) сфер [Fi ] данная сеть является геодезической относительно аффинной связности (теорема II.14);

– если нормально оснащенная полем квазитензора xi0 поверхность Vm C n несет ортогональную чебышевскую сеть m в аффинной связности, то эта сеть является геодезической, причем данная нормализация будет нормализацией полем гармонических ( n m ) сфер [Fi ] сети.

– поверхность Vm C n ( 2 < m < n 1 ) является поверхностью, несущей ортогональную сопряженную чебышевскую сеть m тогда и только тогда, когда она является m -сопряженной системой, несущей геодезическую сеть.

В п. 5 § 3 исследуются ортогональные сопряженные чебышевские сети на поверхности Vm в конформном пространстве C n ( n > 4 ), а также приводится частный случай 2-мерной поверхности V2 Cn.

Доказаны теоремы существования рассмотренных классов сетей (теоремы II.8, II.11, II.17).

Глава III посвящена изучению нормальных и конформных связностей, индуцируемых оснащением многомерной поверхности Vm в конформном пространстве C n.

В § 1 главы III рассматриваются конформные связности, индуцируемые касательным и полным оснащениями m -мерной поверхности Vm в конформном пространстве C n.

В п. 1 § 1 доказано, что инвариантное касательное оснащение поверхности Vm конформного пространства C n полем m -сфер [ P ] индуцирует пространство конформной связности Cm, m с полем метрического тензора g ij, определяемое системой (m + 2) 2 форм Пфаффа; при этом пространство Cm, m является эквиконформным, и имеют место аналоги тождеств Риччи (теорема III.1). Найдено строение тензора кривизны – кручения пространства конформной связности Cm, m. При перенесении Дарбу пространства C n на проективное пространство Pn +1 все точки каждого слоя пространства конформной связности Cm, m отображаются в точки квадрики Qm, получающейся при пересечении гиперквадрики Дарбу Qn с полярой (n m 1) -мерной плоскости [P ] Pn +1 относительно этой гиперквадрики (теорема III.2).

В п.п. 2, 3 § 1 доказано, что инвариантное полное оснащение поверхности Vm в C n полями квазитензоров xi0, x задает нормализацию пространства конформной связности Cm, m, определяемую полем (n m ) -сфер [Pi ] (теорема III.3). Если полное оснащение поверхности Vm Cn является невырожденным (то есть основной тензор aij невырожден), то индуцируется второе пространство конформной связности Cm,m, метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором g ij пространства Cm, m (теорема III.4); приведены строения компонент тензора кривизны – кручения пространства Cm,m.

В начале § 2 главы III найдены слоевые формы {0, } нормальной связности, определяемой в расслоении поля (n m) -сфер [ Pi ] при нормальном оснащении поверхности Vm в C n полем квазитензора xi0. Преобразование этих слоевых форм позволяет найти другую нормальную связность, причем эти преобразования зависят от двух полей тензоров { H k } и { H k, H k }.

H k 0, H k = H k x связность обозначим. В каждом из этих случаев найдены строения компонент тензоров кривизны – кручения соответствующих пространств нормальной связности.

В п. 1 § 2 доказаны следующие предложения:

– если нормальная подсвязность связности, индуцируемая нормальным оснащением поверхности Vm Cn, – плоская (то есть – полуплоская), то вейлево пространство Wm – риманово; при m = n 2 утверждение имеет и обратную силу (теорема III.6);

– если нормальная подсвязность ( ) связности, индуцируемая нормальным оснащением многомерной поверхности Vm Cn, – плоская (полуплоская), то вейлево пространство Wm – риманово; при m = n 2 утверждение имеет и обратную силу;

– при m = n 2 нормальная подсвязность – плоская (то есть связность – полуплоская), если поверхность Vn 2 в конформном пространстве C n оснаa щена полем любого из квазитензоров M k, Ak ( a = 1,4 ) третьего порядка;

– при m = n 2 нормальная подсвязность – плоская (то есть связность – полуплоская), если поверхность Vn 2 Cn нормально оснащена полем любоa го из квазитензоров M k, Ak ( a = 1,4 ) 3-го порядка.

определяется внутренним образом.

В п. 3 § 2 доказано, что нормальная связность, индуцируемая полным оснащением многомерной поверхности Vm Cn ( m < n 1 ) с заданным на ней полем ненулевого тензора H k с нулевыми компонентами H vk и H nk, допускающим обdef ращение в нуль тензора X k = xk x xk xi0 ik, является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема III.9). Построен охват тензора H k, при котором нормальная связность определяется внутренним образом.

В § 3 главы III нормальные связности,, рассмотрены на регулярной квадратичной гиперполосе H m в проективном пространстве Pn +1, ассоциированной с многомерной поверхностью Vm в конформном пространстве C n.

Pn +1 найдена инвариантная прямая h [A 0, N n +1 ], внутренним образом определяемая во второй дифференциальной окрестности.

В п. 2 § 3 найдено условие параллельности поля направлений [A 0, M ], принадлежащего полю нормалей первого рода квадратичной гиперполосы H m в Pn +1, в нормальной связности при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей поверхности Vm в Pn +1. Доказаны следующие предложения:

– при любом нормальном оснащении поверхности Vn 2 C n поле 2-мерных характеристик [A 0, A n1, A n ] гиперполосы H n 2 Pn +1 параллельно переносится в нормальной связности (теорема III.10); это утверждение сформулировано на языке конформного пространства (теорема III.10*): при любом нормальном оснащении поверхности Vn 2 Cn поле 2-параметрической связки касательных гиперсфер Q = A + 0 A0 подмногообразия Vn 2 параллельно переносится в нормальной связности ;

– поле инвариантных прямых h [A 0, N n +1 ] на гиперполосе H m Pn +1, определяемое полем квазитензора xi0, является параллельным в нормальной связности тогда и только тогда, когда тензор An +1k обращается в нуль (теорема III.11); это утверждение сформулировано на языке конформного пространства (теорема III.11*): поле инвариантных связок касающихся между собой в точках A0 Vm гиперсфер P = n +1 N n +1 + 0 A0, определяемое полем квазитензора xi0, является параллельным в нормальной связности тогда и только тогда, когда тензор An +1k обращается в нуль.

Условие параллельности поля направлений [A 0, M ], принадлежащего полю нормалей первого рода квадратичной гиперполосы H m в Pn +1, записано также относительно нормальных связностей, ; для этих связностей справедливы аналоги теорем III.10, III.11.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ,

ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. В разных дифференциальных окрестностях построены инвариантные внутренним образом определяемые оснащения гиперповерхности Vn1 в пространстве конформной связности Cn,n и многомерной поверхности Vm (m < n 1) в конформном пространстве C n.

2. Построены основы теории линейных связностей (аффинных, нормальных и конформных), индуцируемых различными оснащениями гиперповерхности Vn1 в Cn,n и m -мерной поверхности Vm в C n ; в частности:

– доказано, что аффинная связность, индуцируемая нормальным оснащением поверхности Vm в C n, является вейлевой, найдено условие, при котором она является римановой; получена вторая аффинная связность, индуцируемая тем же нормальным оснащением поверхности Vm Cn ;

– касательное оснащение многомерной поверхности Vm в C n индуцирует пространство конформной связности Cm,m с полем метрического тензора g ij ; оно является эквиконформным и выполняются аналоги тождеств Риччи;

– невырожденное полное оснащение m -мерной поверхности Vm в C n индуцирует второе пространство конформной связности C m,m, метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором g ij пространства Сm,m ;

– при m = n 2 найдены условия, при которых нормальные связности, на вполне оснащенной поверхности Vm в C n являются полуплоскими;

– получены условия параллельности гладкого поля направлений в нормальных связностях,,.

3. Найдено приложение аффинной связности к изучению внутренней геометрии сетей на подмногообразии Vm.

Список литературы [1] Акивис М. А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства / М. А. Акивис // Матем. сб. – М., 1952. – Т. 31. – № 1. – С. 43–75.

[2] Акивис М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей / М. А. Акивис // Матем. сб. – М., 1961. – Т. 53. – № 1. – С. 53–72.

[3] Бушманова Г. В. Элементы конформной геометрии / Г. В. Бушманова, А. П. Норден. – Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1972. – 178 с.

[4] Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. – М. : МГУ, 1950. – Вып. 8. – С. 11–72.

[5] Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва : сб. ст. – 1953. – Т. 2. – С. 275–382.

[6] Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциальногеометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. – М., 1958. – Т. 3. – С. 409–418.

[7] Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // Известия вузов. Матем. – Казань, 2008. – № 7. – С. 79–84.

[8] Михайлова А. Н. Линейные связности на частично оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. – М., 2001. – № 719. – В2001. – 19 с.

[9] Норден А. П. О нормализованных поверхностях конформного пространства / А. П. Норден // Изв. АН СССР. Сер. Матем. – 1950. – Т. 14. – № 2. – С. 105–122.

[10] Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. – М.: Наука, 1976. – 432 с.

[11] Парнасский И. В. Связность на m-поверхностях полуконформного пространства / И. В. Парнасский // В сб. «Геометрия». –Л., 1976. – Вып. 5.– С. 95100.

[12] Розенфельд Б. А. Дифференциальная геометрия образов симметрии / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. – 1948. – Т. 59. – № 6. – С. 1057–1060.

[13] Столяров А. В. Теоретико-групповой метод дифференциальногеометрических исследований и его приложения / А. В. Столяров. – Чебоксары:

Чуваш. гос. пед. ун-т, 2002. – 204 с.

[14] Столяров А. В. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий / А. В. Столяров, Т. Н. Глухова. – Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 2007. – 180 с.

[15] Третьяков В. Д. К вопросу о гармонических нормализациях поверхностей в конформно-евклидовых пространствах / В. Д. Третьяков // Волжск. матем. сб. – 1968. – Вып. 6. – С. 247253.

[16] Филоненко Л. Ф. Распределение m-мерных линейных элементов в конформном пространстве и присоединенные к нему связности / Л. Ф. Филоненко // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. – Калининград, 1995. – Вып. 26. – С. 89–102.

[17] Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. – М.-Л. : ГИТТЛ, 1948. – 432 с.

[18] Чакмазян А. В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения / А. В. Чакмазян / Казанское мат.

об-во. 150 лет неевклидовой геометрии // Материалы Всес. геометр. конференции.

– Казань, 1976. – С. 209.

[19] Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография / А. В. Чакмазян. – Ереван : Армянск. пед. ин-т, 1990. – 116 с.

[20] Cartan E. Les spaces connexion conforme / E. Cartan // Ann. Soc. Polon.

math. – 1923. – 2. – P. 171–211.

[21] Ehresmann C. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie. – Bruxelles, 1950. – P. 29–55.

[22] Fialkov A. Conformal differential geometry of a subspace / A. Fialkov // Trans, Amer. Math. Soc. – 1944. – 56. – 309–433.

[23] Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ.

Matem. – Palermo, 1917. – P. 173–205.

[24] Thomsen G. ber konforme Geometrie I. Grundlagen der konformen Flachentheorie / G. Thomsen //Abhandl math. Semin. Univ. – Humburg, 1924. – 3. – P. 31–56.

[25] Weyl H. Raum. Zeit, Materie. – Berlin : Springer, 1923.

[26] Yano K. Sur les equation de Gass dans la gometrie conforme des espaces de Riemann / K. Yano // Proc. Imp. Akad. Japan. – 1939. – 15. – 247–252.

[27] Yano K. Sur les equation de Codazzi dans la gometrie conforme des espaces de Riemann / K. Yano // Proc. Imp. Akad. Japan. – 1939. – 15. – 340–344.

РАБОТЫ АВТОРА, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Зверева Т. В. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. – 14 с. – № 144 – В2009Деп.

[2] Зверева Т. В. Конформные связности, индуцируемые касательным оснащением гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. – 12 с. – № 231 – В2009Деп.

[3] Зверева Т. В. Нормальные связности на гиперповерхности в пространстве конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. – 10 с. – № 331 – В2009Деп.

[4] Зверева Т. В. Аффинные связности на нормально оснащенной гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // Сборник тезисов докладов участников XXIV Всероссийской конференции обучающихся «Национальное достояние России». – Минобрнауки РФ, Рособразование, РОСКОСМОС, РАО, НС «ИНТЕГРАЦИЯ», 2009. – С. 725.

[5] Зверева Т. В. Аффинные связности на гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // Материалы XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. – Новосибирск, 2009. – С. 96–97.

[6] Зверева Т. В. Гиперполоса, ассоциированная с т-мерной поверхностью конформного пространства / Т. В. Зверева // Актуальные проблемы современной науки: труды 10-й международной конференции молодых ученых и студентов. Естественные науки. Части 1-3: Математика. Математическое моделирование. Механика. – Самара: Изд-во СамГТУ, 2010. – С. 102–106.

[7] Зверева Т. В. Нормальные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности Vn1 C n,n / Т. В. Зверева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. – Чебоксары: ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. – 2009. – №1(13). – С. 8–15.

[8] Зверева Т. В. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Труды Матем-го центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Восьмой молодежной школыконференции «Лобачевские чтения – 2009»; Казань 1 – 6 ноября 2009 г. – Казань:

Казан. мат. об-во. – 2009. – Т. 39. – С. 228 – 230.

[9] Зверева Т. В. Сети на поверхностях в конформном пространстве / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. – 24 с. – № 722 – В2009Деп.

[10] Зверева Т. В. Конформные связности на касательно оснащенной поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Фундаментальные науки и образование: материалы III Всероссийской научно-практической конференции (Бийск, 31 января – 3 февраля 2010 г.) / Бийский пед. гос. ун-т им. В. М. Шукшина. – Бийск: БПГУ им. В. М. Шукшина. – 2010. – С. 57 – 64.

[11] Зверева Т. В. Внутренняя геометрия сетей на многомерной поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Известия вузов. Матем. – Казань, 2010. – № 5. – С. 83–87.

[12] Зверева Т. В. О нормальной связности на оснащенной поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Материалы XLVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. – Новосибирск, 2010. – С. –.

[13] Зверева Т. В. Связности, индуцируемые касательным оснащением поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Сборник материалов I Международной научно-практической конференции «Наука и современность – 2010». В 3-х частях. Часть 2. – Новосибирск: Изд-во «СИБПРИНТ», 2010. – С. 150 – 154.

[14] Зверева Т. В. Нормальные связности, индуцируемые оснащением поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. – М., 2010. – 22 с. – № 236 – В2010Деп.

[15] Зверева Т. В. Аффинная связность и ее приложение к изучению внутренней геометрии сетей на поверхности в конформном пространстве / Т. В. Зверева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева. – Чебоксары. – 2011. – № 2 (70). – Ч. 1. – С. 33 – 37.

[16] Зверева Т. В. О направлениях, параллельно переносимых в нормальных связностях на поверхности в конформном пространстве / Т. В. Зверева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева. – Чебоксары. – 2011. – № 2 (70). – Ч. 1. – С. 38 – 41.

[17] Zvereva T. Translated directions in the normal connection on the surface of the conformal space / T. Zvereva // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Одессе – 2010». – Одесса. – 2010. – С. 95.

[18] ZverevaT. Translated directions on the surface of the conformal space / T. Zvereva // Geometry, topology, algebra and number theory, applications. The international conference dedicated to the 120th anniversary of B. N. Delone. Abstracts, august 16-20, 2010. – Moscow. – 2010. – p. 81.

Подписано к печати. Формат 6084 / 16.

Бумага ксероксная. Печать трафаретная.

Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ.

Отдел оперативной полиграфии Чувашского государственного педагогического университета 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.