На правах рукописи

Кашаргин Павел Евгеньевич

Модели вращающихся кротовых нор

в общей теории относительности

Специальность 01.04.02 – теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань – 2011

Работа выполнена на кафедре теории относительности и гравитации федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования Казанский (Приволжский) федеральный университет.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Сушков Сергей Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Червон Сергей Викторович доктор физико-математических наук, профессор Рубин Сергей Гергиевич

Ведущая организация:

Сибирский федеральный университет, г. Красноярск

Защита состоится 26 мая 2011 года в 14 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.15 при ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 16а, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им.

Н. И. Лобачевского Казанского федерального университета.

Автореферат разослан 23 апреля 2011 года.

Учёный секретарь диссертационного совета, М. В. Ерёмин профессор

Общая характеристика работы

Актуальность работы Кротовыми норами в физической литературе называют туннели, связывающие удаленные области Вселенной, или мосты, соединяющие различные вселенные. Кротовые норы относятся к объектам с нетривиальной топологической структурой, изучение которых всегда представляло значительный интерес в теории относительности [1, 2]. Исследование кротовых нор приобрело особую актуальность в последние десятилетия. Это связано с современным интересом к экзотическим формам материи. Как известно, для существования кротовых нор необходимо присутствие материи, нарушающей ряд энергетических условий [1, 2, 3]. На сегодняшний день существуют аргументы в пользу того, что материя такого рода может существовать во Вселенной. В первую очередь это связано с открытием ускоренного расширения Вселенной, для объяснения которого потребовалось введение новой экзотической субстанции, так называемой темной энергии. Гипотеза тёмной энергии подкреплена изучением крупномасштабной структуры Вселенной, анизотропии реликтового излучения, оценками возраста и кривизны Вселенной. По современным оценкам наша Вселенная на 70% состоит из тёмной энергии.

В настоящий момент кротовым норам посвящена обширная литература.

Наиболее исследованными являются статические, сферически симметричные кротовые норы в силу их более высокой симметрии. Значительный интерес представляет изучение вращающихся кротовых нор, некоторые аспекты вращающихся кротовых нор рассмотрены в литературе [4, 5, 6, 7, 8]. Однако до недавнего времени в литературе не было точных решений, описывающих вращающиеся кротовые норы. Все это делает исследование вращающихся кротовых нор актуальной задачей.

Цель и задачи работы Целью диссертационной работы является построение и исследование решений, описывающих вращающиеся кротовые норы в общей теории относительности.

В диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Построение модели вращающейся кротовой норы методом сшивки двух пространств-времен Керра, исследование физических свойств полученной модели.

2. Получение решения, описывающего вращающуюся кротовую нору в теории гравитации со скалярным полем в приближении медленного вращения.

3. Анализ решения, описывающего вращающуюся кротовую нору: исследование движения частиц и распространения света в пространстве кротовой норы, влияния медленного вращения на массу кротовой норы и на нарушение энергетических условий.

Научная новизна В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Построена новая модель вращающейся кротовой норы методом сшивки двух пространств Керра с источником гравитации, сосредоточенным на поверхности сшивки (модель тонкой оболочки). В предположении, что источником геометрии кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением, было получено два класса решений, описывающих кротовые норы с большим и малым радиусами горловины.

2. Построено новое решение, описывающее вращающуюся кротовую нору в общей теории относительности с фантомным скалярным полем в приближении медленного вращения. Исследовано движение пробных частиц и распространение света, а также изучено влияние вращения на характеристики кротовой норы.

Достоверность результатов диссертации Достоверность результатов работы подтверждается корректным использованием теоретических методов обоснования полученных результатов, выводов и рекомендаций; корректностью проведенных математических преобразований и расчетов; согласием полученных результатов с известными результатами в предельных случаях. Положения теории основываются на известных достижениях фундаментальных и прикладных научных дисциплин, сопряженных с предметом исследования диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах, неоднократно обсуждались на семинарах и конференциях.

Научные положения, выносимые на защиту 1. Модель, построенная методом сшивки двух решений Керра, описывает пространство-время вращающейся кротовой норы. Полученное в результате сшивки пространство-время не имеет горизонтов событий и обладает двумя плоскими асимптотиками, соединенными горловиной, расположенной на поверхности сшивки. Поверхность сшивки представляет собой тонкую оболочку, на которой сосредоточена экзотическая материя, нарушающая световое энергетическое условие.

2. Гравитационным источником в пространстве-времени вращающейся кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением, сосредоточенная на тонкой оболочке в горловине кротовой норы. Для данного типа источника найдены два класса решений, описывающих кротовые норы с большим и малым радиусами горловины. Поверхностная плотность энергии жидкости отрицательна, а компоненты давления положительны при всех значениях радиуса сшивки.

3. В общей теории относительности с фантомным скалярным полем существует решение, описывающее вращающуюся кротовую нору в приближении медленного вращения.

4. Учет поправок первого порядка малости оказывает влияние на величину угловой скорости вращения и на движение пробных частиц и распространение лучей света в пространстве вращающейся кротовой норы. Во втором порядке малости поправку получает масса вращающейся кротовой норы и величина нарушения светового энергетического условия.

Личное участие автора Основные результаты, включенные в диссертацию, получены лично автором. В исследованиях, выполненных совместно с научным руководителем, профессору С. В. Сушкову принадлежат постановка задачи, контроль расчетов и обсуждение результатов.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Пятой молодежной научной школе-конференции Лобачевские чтения - (Казань, 2006), Шестой молодежной научной школе-конференции Лобачевские чтения - 2007 (Казань, 2007), XVIII Международной летней школе-семинаре Волга -2007 по современным проблемам теоретической и математической физики (Казань, 2007), 13 Российской гравитационной конференции - международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике (Москва, 2008), Международной конференции по современным проблемам гравитации, космологии и релятивистской астрофизики (2010, РУДН, Москва), Российской летней школе-семинар Современные теоретические проблемы гравитации и космологии - GRACOS-2007 (Казань- Яльчик, 2007), Второй Российской летней школе-семинар Современные проблемы теории гравитации и космологии GRACOS-2009 (Казань- Яльчик, 2009), семинарах кафедры теории относительности и гравитации Казанского университета, итоговых научных конференциях Казанского университета (2009 г., 2010 г.), научной студенческой конференций Казанского университета (2007 г.).

Публикации Основное содержание диссертации отражено в двенадцати публикациях, среди которых одна статья в зарубежном журнале (Physical Review D), две статьи в российском журнале Gravitation and Cosmology, четыре статьи в трудах конференций и пять тезисов докладов.

Структура диссертаци Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 116 страниц. Список литературы содержит 153 наименования.

Содержание работы Во Введении аргументируется актуальность исследуемой проблемы, обосновывается научная и практическая значимость работы, формулируются цель исследования и положения, выносимые на защиту.

Первая глава носит обзорный характер. В §1.1 дается определение кротовой норы, обсуждаются общие свойства кротовых нор. Характерным свойством кротовых нор является наличие горловины. Под горловиной понимается пространственноподобная двумерная замкнутая поверхность минимальной площади. Кротовой норой в общей теории относительности является пространствовремя, обладающее горловиной. Метрика статической сферически симметричной кротовой норы может быть, в частности, представлена в виде где (, +) – собственная радиальная координата. Функция ( ) всюду конечна, что гарантирует отсутствие в пространстве-времени горизонтов событий и является необходимым условием для того, чтобы кротовая нора была проходимой. Функция ( ) имеет смысл радиуса двумерной сферы =.

Для существования горловины необходимо, чтобы функция ( ) имела минимум, что обеспечивается следующими условиями горловины:

Показано, что для кротовой норы нарушается световое энергетическое условие, которое гласит 0, где – тензор энергии-импульса материи в пространстве кротовой норы, а – произвольный изотропный вектор.

В §1.2 рассмотрены модели статических сферически симметричных кротовых нор, среди которых модель кротовой норы с бесконечно тонкой горловиной, кротовая нора, полученная методом сшивки двух пространств-времен Шварцшильда. Приведено статическое сферически-симметричное решение кротовой норы [9, 10] в теории гравитации со скалярным полем :

где (, +),, 0 константы интегрирования и ( ) = 0 arctan 0 2, параметр – масса кротовой норы.

В §1.3 рассмотрены различные формы метрики вращающейся кротовой норы, в том числе метрика вида где,,, функции координат и, называется функцией угловой скорости вращения. Условия горловины для метрики (5) имеют вид Требование конечности углового момента системы, измеренного удаленным наблюдателем, приводит к следующему асимптотическому условию для :

Массу кротовой норы можно получить из асимптотического разложения метрической функции :

Вторая глава посвящена построению модели вращающейся кротовой норы методом сшивки двух пространств-времен Керра и исследованию полученной модели. В §2.1 приводится решение Керра, описывающее пространство снаружи вращающейся черной дыры. В §2.2 строится модель вращающейся кротовой норы методом сшивки Дармуа-Лихнеровича-Израэля. Процедура построения модели вкратце состоит в следующем. Рассмотрим две копии 1 и 2 области в пространстве Керра Области 1,2 имеют границы 1,2, заданные уравнением ( ) = = 0. Метод сшивки заключается в построении пространства = 1 2 путем отождествления соответствующих точек на границах 1 и 2. Построенная модель описывает вращающуюся кротовую нору, которая связывает два асимптотически плоских пространства-времени. Горловина кротовой норы соответствует поверхности сшивки. Поверхность является тонкой оболочкой, на которой сосредоточена экзотическая материя, нарушающая энергетические условия. При устремлении параметра вращения к нулю 0 в предельном случае получаем статическую сферически симметричную модель кротовой норы, исследованную в работе [11].

В §2.4 в качестве источника геометрии кротовой норы рассмотрена жидкость с анизотропным давлением, заключенная на тонкой оболочке и описываемая тензором энергии-импульса следующего вида где = (0, 1, 0) – единичный вектор, = (, 0, ) – вектор скорости,, – компоненты давления, – поверхностная плотность энергии жидкости. В предположении, что источником кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением получено два класса кротовых нор: с малым и большим радиусами горловины. Идеальная жидкость, соответствующая = =, может служить источником кротовой норы только в частном случае = 0, который соответствует статической сферически симметричной конфигурации (без вращения).

Третья глава посвящена построению решения, описывающего вращающуюся кротовую нору в теории гравитации со скалярным полем в приближении медленного вращения. В §3.2 рассмотрена теория гравитации со скалярным полем приведены уравнения Эйнштейна и уравнение движения скалярного поля для метрики (5). В §3.4 сформулировано условие медленного вращения где скорость света, 0 = =0, = /2 – радиус горловины, = =0, = /2 – угловая скорость вращения на горловине кротовой норы. Условие (12) означает, что линейная скорость вращения горловины много меньше скорости света. Решение уравнений Эйнштейна и уравнения движения поля проведено в приближении медленного вращения, где роль малого параметра играет отношение линейной скорости вращения горловины к скорости света : 0 /. Следуя процедуре, изложенной в работе [12], метрические функции,,, и поле были представлены в виде разложения по степеням параметра малости :

Рис. 1: Траектория движения частицы (, ) в экваториальной плоскости = /2: жирная линия соответствует движению при значениях координаты > 0, тонкая – при < 0.

Функции (0), (0), (0), (0), определяющие нулевой порядок разложения, соответствуют невозмущенному статическому решению (3), (4).

В §3.5 было получено решение в линейном приближении по параметру. Поправку к невозмущенному решению получает только одна метрическая функция, имеющая смысл локальной угловой скорости вращения Функция угловой скорости вращения имеет различные пределы на асимптотиках ±: (+) = (). В §3.7 были исследованы траектории движения частиц и лучей света в экваториальной плоскости в пространстве-времени кротовой норы. Частица, изначально двигаясь на асимптотике + вдоль радиального направления с постоянным значением координаты = 0, вовлекается во вращение, и, пройдя горловину, на асимптотике движется по спирали с постоянным шагом (рис. 1). Траектория луча света аналогична траектории частицы.

В §3.8 получено решение уравнений во втором порядке малости по параметру. В §3.9 с учетом поправок второго порядка по параметру было проанализировано изменение массы кротовой норы. Масса кротовой норы получает положительную добавку ( 0, ) по сравнению с массой невращающейся конфигурации:

Ненулевое значение ( 0, 0) означает, что не существует безмассовых вращающихся кротовых нор. С учетом поправок второго порядка по параметру показано нарушение энергетических условий в пространстве вращающейся кротовой норы. Рассмотрен изотропный вектор с координатами ( ) = значениях параметров 0 = 1, = 1.

где величина 0 ( ) характеризует нарушение энергетических условий для конфигурации без вращения. Усредняя величину (, ) по направлениям, получим В приложении кратко изложен формализм сшивки Дармуа-ЛихнеровичаИзраэля в общей теории относительности.

В заключении перечислены основные результаты диссертации.

Основные результаты и выводы 1. Построена модель вращающейся кротовой норы методом сшивки двух пространств Керра. Полученное в результате сшивки пространство-время является геодезически полным, не имеет горизонтов событий и обладает двумя плоскими асимптотиками, соединенными горловиной, расположенной на поверхности сшивки. Поверхность сшивки представляет собой тонкую оболочку, на которой сосредоточена экзотическая материя, нарушающая световое энергетическое условие.

2. В предположении, что источником геометрии кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением, сосредоточенная на тонкой оболочке в горловине кротовой норы, было получено два класса решений, описывающих кротовые норы с большим и малым радиусами горловины. Показано, что поверхностная плотность энергии жидкости отрицательна, а компоненты давления положительны при всех значениях радиуса сшивки.

3. Построено решение, описывающее вращающуюся кротовую нору в общей теории относительности с безмассовым скалярным полем с отрицательной кинетической энергией в приближении медленного вращения. В качестве малого параметра выбрано отношение линейной скорости вращения на горловине кротовой норы к скорости света. Решение уравнений гравитационного и скалярного полей получено с точностью до второго порядка малости.

4. В приближении первого порядка малости построены траектории движения частиц и исследован характер распространения лучей света в пространстве вращающейся кротовой норы. В приближении второго порядка малости вычислена поправка к массе вращающейся кротовой норы и исследовано нарушение энергетических условия. Показано, что учет вращения кротовой норы приводит к уменьшению величины нарушения светового энергетического условия по сравнению с невращающимся случаем.

Публикации по теме диссертации Публикации в журналах, входящих в список ВАК:

1. Kashargin P. E., Slowly Rotating Wormholes: the First-Order Approximation / P. E. Kashargin, S. V. Sushkov // Gravitation and Cosmology. – 2008. – Vol. 14.

– P. 80–85.

2. Kashargin P. E., Slowly rotating scalar eld wormholes: The second order approximation / P. E. Kashargin, S. V. Sushkov // Physical Review D. – 2008. – Vol. 78.

– 064071. – 10 p.

3. Kashargin P. E., Rotating thin-shell wormhole from glued Kerr spacetimes / P. E.

Kashargin, S. V. Sushkov // Gravitation and Cosmology. – 2011. – Vol. 17. – No. 2.

– P. 119-125.

Публикации в прочих изданиях:

4. Кашаргин П. Е., Вращающаяся кротовая нора, полученная методом сшивки двух пространств Керра / П. Е. Кашаргин, C. В. Сушков // II-я Российская летняя школа-семинар Современные теоретические проблемы гравитации и космологии – GRACOS-2009, 24-29 августа 2009 г., Казань-Яльчик. Труды семинара. – Казань: Изд-во Фолиантъ, 2009. – С. 84-88.

5. Сушков C. В., Кротовые норы в приближении медленного вращения / C. В.

Сушков, П. Е. Кашаргин // Российская летняя школа-семинар Современные теоретические проблемы гравитации и космологии – GRACOS-2007, 9-16 сентября 2007 г., Казань-Яльчик. Труды семинара. – Казань: Изд-во Фолиантъ, 2007. – С. 158-162.

6. Кашаргин П. Е., Кротовые норы в приближении медленного вращения / П. Е.

Кашаргин // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казанского государственного университета 2007 года: сборник статей. КГУ Казань, 2007. – С. 62-65.

7. Сушков C. В., Кротовые норы в приближении медленного вращения / C. В.

Сушков, П. Е. Кашаргин // Новейшие проблемы теории поля, т. 6. / Под ред.

А. В. Аминовой. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2007. – С. 230-237.

8. Кашаргин П. Е., Об одном классе аксиально-симметричных решений в теории гравитации со скалярным полем / П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков // Материалы Пятой молодежной научной школы-конференции Лобачевские чтения – 2006. - Казань: Издательство Казанского математического общества, 2006. – C. 121-122.

9. Кашаргин П. Е., Медленно вращающиеся кротовые норы в приближении второго порядка / П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков // Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции Лобачевские чтения – 2007. - Казань:

Издательство Казанского математического общества, 2007. – C. 97-99.

10. Kashargin P. E., Slowly rotating wormholes: the second order aproximation / P. E.

Kashargin, S. V. Sushkov // 13-я Российская гравитационная конференция – Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике.

Тезисы докладов. 23-28 июня 2008 г., РУДН, Москва, Россия. – C. 11. Кашаргин П. Е., Кротовая нора построенная посредством сшивки двух пространств Керра / П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков // Международная конференция Petrov 2010 anniversary symposium on general relativity and gravitation.

Тезисы докладов. Казань. 1-6 ноября 2010г. – Казань: Издательство Казанского университета, 2010. – C. 97.

12. Kashargin P. E., Rotating wormhole from surgically modied Kerr spacetimes / P. E. Kashargin, S. V. Sushkov // Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики: Тезисы докладов международной конференции. 27 июня - 3 июля 2010 г., РУДН, Москва. - М.: РУДН, 2010. – C. 89.

Цитируемая литература [1] Morris M. S., Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel:

a tool for teaching general relativity / M. S. Morris and K. S. Thorne // American Journal of Physics. – 1988. – V.56. – 395 p.

[2] Visser M., Lorentzian Wormholes: from Einstein to Hawking / M. Visser // American Institute of Physics, Woodbury. – 1995.

[3] Barcel C., Scalar elds, energy conditions, and traversable wormholes / C.

Barcel and M. Visser // Class. Quantum Grav. – 2000. – V.17. – P.3843.

[4] Teo E., Rotating traversable wormholes / E. Teo // Phys. Rev. D. – 1998. – V.58. – 024014.

[5] Khatsymovsky V. M., Rotating vacuum wormhole / V. M. Khatsymovsky // Phys. Lett. – 1998. – V.429. – p.254.

[6] Perez Bergliaa S. E., On the stress-energy tensor of a rotating wormhole / S. E. Perez Bergliaa, K. E. Hibberd // arXiv: 0006041 [gr-qc]. – 4 p.

[7] Kuhttig P. K. F., Axially symmetric rotating traversable wormhole / P. K.

F. Kuhttig // Phys. Rev. D. – 2003. – V.67. – 064015.

[8] Kim S.-W., Rotating wormhole and scalar perturbation / S.-W. Kim // Nuovo Cimento B. – 2005. – Vol.120. – P. 1235-1242.

[9] Ellis H. G., Ether ow through a wormhole: A particle model in general relativity / H. G. Ellis // J. Math. Phys. – 1974. – V.14. – P.104.

[10] Bronnikov K. A., Scalar-tensor theory and scalar charge / K. A. Bronnikov // Acta Phys. Pol. B. – 1973. – V.4. – P.251.

[11] Visser M., Traversable wormholes from surgically modied Schwarzschild spacetimes / M. Visser // Nuclear Physics B. – 1989. – Vol.328. – P.203-212.

[12] Hartle J. B., Slowly rotating relativistic stars / J. B. Hartle // Astrophys. J.

– 1967. – V.150. – P. 1005-1029.