На правах рукописи

СТРАУПЕ СТАНИСЛАВ СЕРГЕЕВИЧ

КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ

СОСТОЯНИЙ ВЫСОКОЙ РАЗМЕРНОСТИ НА

ОСНОВЕ БИФОТОННЫХ ПОЛЕЙ

Специальность

01.04.21 — лазерная физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2011

Работа выполнена на кафедре квантовой электроники физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Кулик Сергей Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Масалов Анатолий Викторович, Учреждение Российской академии наук Физический институт имени П. Н. Лебедева РАН, Москва доктор физико-математических наук, профессор Вятчанин Сергей Петрович, Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова, Москва

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт общей физики имени А. М. Прохорова РАН, Москва

Защита состоится « 21 » апреля 2011 г. в 16 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.31 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, улица Академика Хохлова, д. 1, стр. 62, корпус нелинейной оптики, аудитория имени С. А. Ахманова.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан « » марта 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001. кандидат физ.-мат. наук, доцент Ильинова Т. М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Наука о квантовой информации, без сомнения, может быть названа одной из наиболее бурно развивающихся в настоящее время областей физики. С фундаментальной точки зрения это наука о свойствах квантовых систем, рассматриваемых как информационный ресурс. Со стороны приложений основная практическая ценность этой деятельности заключается в разработке различных квантово-информационных протоколов, позволяющих решать задачи, неразрешимые с точки зрения классической теории передачи данных. Одним из наиболее известных результатов, доведенным в настоящее время уже до коммерческих реализаций, являются протоколы квантового распределения ключа, позволяющие обеспечить безусловную секретность передаваемых сообщений, основывающуюся только на фундаментальных запретах, вытекающих из квантовой природы используемых носителей информации.

В некотором смысле, квантовая информация - это наука о кубитах, простейших двухуровневых квантовых системах, состояния которых описываются векторами в двумерном Гильбертовом пространстве:

| = c1 |0 + c2 |1.

Кубит является элементарной единицей квантовой информации в том же смысле, в каком «обычный» бит - единица информации классической. Основой для такого определения кубита является доказанная Шумахером квантовая теорема кодирования, согласно которой, имея в своем распоряжении достаточное количество кубитов, можно кодировать и передавать состояния квантовых систем аналогично тому, как классические сообщения кодируются в последовательности битов (двоичном коде). При этом оказывается, что решить эту задачу с помощью сколь угодно большого числа классических битов невозможно, т.е. квантовая информация в этом смысле - объект совсем иной природы, чем информация классическая.

Одной из причин такого различия является существование в квантовых системах корреляций, не имеющих классического аналога. Действительно, если мы возьмем произвольное состояние некоторой d -уровневой системы или, как принято говорить, кудита | = c1 |0 + c2 |1 +... + cd |d, -3то в общем случае окажется не возможным представить его в виде произведения состояний подсистем меньшей размерности: | = |1 |... |k. В таком случае говорят, что система находится в перепутанном (entangled) состоянии, в котором состояние всей системы вполне определено, в то время как подсистемы находятся в смешанном состоянии. Представить себе такую ситуацию в классической системе невозможно, что проявляется в принципиальных отличиях свойств квантовых корреляций от классических. На основе этих отличий были сформулированы количественные критерии, позволяющие выяснить, описываются ли наблюдаемые в системе корреляции квантово-механически, или для их описания достаточно классического рассмотрения - неравенства Белла и им подобные.

Неклассические свойства корреляций проявляются уже в простейшем случае кукварта - системы двух перепутанных кубитов. Еще более интересной оказывается ситуация в системах большей размерности, где нарушения неравенств Белла становится все более существенным с увеличением размерности. С практической точки зрения интерес к кудитам вызван новыми возможностями, которые открывает их использование в протоколах квантовой информации. В частности, исследования показывают, что протоколы квантового распределения ключа, использующие многоуровневые системы в качестве носителей информации, обладают большей устойчивостью к шумам в канале связи.

Кудиты могут быть реализованы как состояния систем самой различной физической природы. Одной из самых удобных реализаций представляется квантово-оптическая, основанная на использовании различных степеней свободы фотонов. Предельно возможная скорость распространения, слабое взаимодействие с окружением, приводящее к практически полному отсутствию декогеренции, делает фотоны идеальными носителями квантовой информации. Одним из основных источников коррелированных фотонов, используемым в квантово-информационных экспериментах, является процесс спонтанного параметрического рассеяния света. Пары фотонов, рождающиеся в таком процессе, коррелированые по направлению распространения, частоте и поляризации, принято называть бифотоном. Существует несколько путей для экспериментальной реализации оптических кудитов на основе бифотонов. Во-первых, можно использовать поляризационные степени свободы фотонов пары. Такой способ подходит для систем -4небольшой размерности (как правило, кутритов и куквартов). Второй способ состоит в использовании других степеней свободы фотона, например частоты или направления распространения. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией формально бесконечной размерности пространства состояний, потенциально обладающего огромными информационными ресурсами. Возникает естественный вопрос о количественной характеризации этих ресурсов, который, как оказывается, тесно связан с вопросом о количественных мерах перепутывания в таких системах. Оказывается возможным «дискретизовать» пространство состояний введением счетного базиса из когерентных мод. При особом выборе этого базиса (базис из так называемых мод Шмидта), оказывается возможным в явном виде проследить межмодовые корреляции, характеризующие пространственное перепутывание в бифотонной паре. Разработке экспериментальных методов приготовления и измерения состояний кудитов на основе как поляризационных, так и пространственных степеней свободы бифотонов посвящена данная работа.

Актуальность работы обусловлена как фундаментальным интересом к проблемам, связанным с экспериментальным контролем над свойствами многоуровневых систем, так и возможным применением таких систем в квантовых информационных протоколах.

Были сформулированы следующие задачи диссертационной работы:

1. Исследование вопроса о перепутывании в системе двух тождественных фотонов и корректном описании основанных на их использовании квантово-информационных протоколов.

2. Разработка и реализация экспериментальных методов приготовления произвольных чистых состояний поляризационных куквартов на основе бифотонов и изучение физических ограничений на чистоту приготавливаемых состояний.

3. Экспериментальное приготовление и квантовая томография смешанных состояний поляризационных куквартов. Получение смешанных состояний с различной степенью чистоты.

4. Разработка экспериментальных методов реализации проекционных измерений в дискретном базисе когерентных мод Шмидта. Экспериментальное исследование пространственного перепутывания в угловом спектре бифотонного поля на основе разложения по модам Шмидта. Определение параметров этого разложения с помощью прямых измерений.

Новизна диссертационной работы заключается в следующих положениях:

1. На примере протокола квантовой телепортации рассмотрен вопрос об адекватности описания поляризационных состояний пары тождественных фотонов как состояний различимых кубитов.

2. Разработан экспериментальный метод приготовления произвольных чистых состояний поляризационных куквартов, использующий неколлинеарный, частотно-невырожденный режим спонтанного параметрического рассеяния. Исследовано влияние частотной дисперсии в нелинейном кристалле на чистоту приготавливаемых состояний. Показана необходимость компенсации дисперсионных эффектов даже при использовании непрерывной накачки и предложены методы осуществления такой компенсации.

3. Произведена экспериментальная томография смешанных состояний поляризационных куквартов на основе бифотонов, генерируемых в процессе спонтанного параметрического рассеяния с импульсной накачкой. Показана возможность экспериментального восстановления смешанных поляризационных состояний с высокой точностью.

4. Разработаны методы реализации проекционных измерений в базисе мод Шмидта для углового спектра бифотонного поля. Экспериментально исследована двумерная структура разложения состояния бифотона по базису мод Шмидта. Изучен вопрос о возможности приближения мод Шмидта модами Гаусса-Эрмита.

Научная и практическая значимость диссертации состоит в возможном использовании полученных результатов в задачах квантовой оптики и квантовой информации:

• при реализации протоколов квантовой информации на многоуровневых системах;

-6для экспериментального изучения перепутывания в пространственном спектре бифотонного поля.

Положения, выносимые на защиту 1. Для экспериментального приготовления произвольных чистых состояний поляризационных куквартов, можно использовать только два нелинейных кристалла.

2. Частотная дисперсия в кристалле влияет на чистоту приготавливаемых поляризационных состояний. Этот нежелательный эффект может быть устранен с помощью специально подобранного двулучепреломляющего компенсатора.

3. Экспериментально реализован протокол квантовой томографии смешанных состояний поляризационных куквартов. Продемонстрировано высокое качество приготовления и восстановления состояний.

4. Проекционные измерения в базисе пространственных мод Шмидта для углового спектра бифотонного поля могут быть реализованы с помощью одномодового оптического волокна и преобразующих фазовых голограмм.

5. Для не очень сильной фокусировки накачки пространственные моды Шмидта близки к модам Гаусса-Эрмита. Коэффициенты разложения Шмидта убывают экспоненциально.

Обоснованность и достоверность результатов Результаты, представленные в диссертации, получены на основе многократно повторенных экспериментов, проведенных на современном научном оборудовании с использованием современных методов обработки экспериментальных данных. Экспериментальные данные подтверждены теоретическими расчетами, основанными на адекватно выбранных физических моделях анализируемых процессов. Результаты экспериментальных и теоретических исследований неоднократно обсуждались на семинарах и докладывались на специализированных конференциях по проблемам, связанным с тематикой диссертационной работы. Большая часть результатов опубликована в международных и российских научных журналах. Большинство представленных результатов являются новыми и получены впервые.

Результаты работы прошли апробацию на следующих международных и российских конференциях:

IX международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия», Казань, Россия, 2006 г., международная конференция «Coherent Control of the Fundamental Processes in Optics and X-ray-Optics (CCFP’2006)», Н.Новгород - Казань, Россия, 2006 г., международная конференция «X Международные чтения по квантовой оптике», Самара, Россия, 2007 г., международная конференция «17th International Laser Physics Workshop (LPHYS’08)», Трондхейм, Норвегия, 2008 г., конференция «Поляризационная оптика», Москва, Россия, 2008 г., международная конференция «18th International Laser Physics Workshop», Барселона, Испания, 2009 г., международная конференция «19th International Laser Physics Workshop», Фоз до Игуасу, Бразилия, 2010 г., международная конференция «ICONO/LAT 2010», Казань, Россия, 2010 г.

Публикации По теме диссертации опубликовано 15 научных работ, включая 6 работ в рецензируемых журналах из списка ВАК России, список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора Все результаты, представленные в диссертационной работе, получены автором лично либо при его непосредственном участии.

Структура и объем диссертационной работы Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, введения, заключения и списка литературы из 91 наименования, изложена на 128 страницах и содержит 37 рисунков и 1 таблицу. В параграфах §1.3, §2.4 и §3. сформулированы заключения к соответствующим главам диссертационной работы.

-8ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1. Кукварты на основе двухфотонных поляризационных состояний.

Первая глава носит в большей степени методический характер. В первом параграфе дан обзор основных методов экспериментального приготовления оптических систем высокой размерности. Особое внимание уделено схемам использующим поляризационные степени свободы фотонов.

Во втором параграфе рассмотрены основные понятия, используемые при описании перепутывания в системе двух кубитов. Обсуждается вопрос о возможности представления поляризационных состояний пары фотонов как состояния пары различимых кубитов. При этом особое внимание уделено обычно не обсуждающемуся в литературе вопросу о том, какие ограничения на такое «наивное» представление накладывает тождественность фотонов и следующая из нее бозонная симметрия их состояний.

С квантово-информационной точки зрения перепутывание рассматривается как ресурс, необходимый для осуществления некоторых протоколов квантовой информации (например, телепортации). Возьмем ситуацию, типичную для многих квантово-информационных протоколов: пусть две стороны, условно называемые Алисой и Бобом, имеют в своем распоряжении n одинаковых копий двух-кубитной системы в, вообще говоря, смешанном состоянии (у каждого из них при этом находится только одна из частиц пары). Обе стороны имеют возможность производить со своей половиной пары любые локальные преобразования и измерения и обмениваться информацией по классическому каналу (Local Operations and Classical Communication). С помощью только таких операций Алиса и Боб могут преобразовать n копий состояния в m копий состояния Белла | = 2 (|01 |12 |11 |02 ) (значение m точно определено лишь в асимптотике больших n), эту процедуру называют очищением перепутывания (entanglement distillation). Величина ED = lim m, называемая переn путыванием очищения (entanglement of distillation), характеризует степень перепутывания системы относительно синглетного белловского состояния.

Приняв теперь перепутывание очищения белловского синглета за единицу (так называемый ebit), мы получим величину, изменяющуюся от 0 до 1, равную 0 для факторизуемых состояний и 1 для максимально перепутанных белловских состояний.

В системе тождественных бозонов могут присутствовать два типа корреляций: корреляции, обусловленные только перестановочной симметрией частиц, и дополнительные корреляции, подобные тем, что рассмотрены выше для различимых кубитов. К сожалению, в общем случае их сложно разделить, поэтому в литературе часто говорят просто о «квантовых корреляциях», количественной мерой которых является энтропия фон Неймана одночастичных подсистем.

Очевидно, эти корреляции не являются перепутыванием в квантовоинформационном смысле, поскольку для конкретной частицы из пары невозможно даже в принципе определить локальные преобразования в силу принципа тождественности. Нами показано, что эквивалентность поляризационных состояний двух фотонов паре различимых кубитов имеет место только при наличии дополнительных ограничений на возможные состояния пары. В случае бифотона, т.е. пары фотонов, рождающихся в процессе спонтанного параметрического рассеяния света, эти ограничения естественным образом возникают как следствие условий фазового синхронизма.

В невырожденном случае помимо поляризационных степеней свободы присутствует еще одна - фотоны могут населять одну из двух хорошо определенных пространственных или частотных мод, характеризуемых волновым вектором kj, j = {1, 2}. Обозначим одночастичные состояния следующим образом Здесь индекс J = jH или J = jV обозначает состояние с волновым вектором kj и базисными состояниями поляризации H и V, а индекс i формально нумерует фотоны. Одночастичное пространство состояний H оказывается таким образом четырехмерным. При этом состояние пары фотонов - вектор в гильбертовом пространстве размерности 10: |J1,J2 H(10).

В случае бифотонов рождающихся в процессе СПР возникает дополнительное ограничению на число частиц в пространственных модах.

Действительно, законы сохранения энергии и импульса для фотонов пары (условия фазового синхронизма) делают невозможной ситуацию, при которой оба фотона окажутся в моде с одинаковым волновым вектором kj.

- 10 Т.е. эффективно десятимерное гильбертово пространство сводится к четырехмерному подпространству состояний, натянутому на базисные вектора стью может быть отождествлено с пространством состояний двух различимых кубитов. Важно отметить, что "эффективными кубитами т.е. физически различными подсистемами, в данном случае будут не поляризационные состояния какого-либо одного фотона, а однофотонные состояния совокупности двух поляризационных мод с одним волновым вектором, которые естественно обладают необходимой перестановочной симметрией. Локальным операциям над кубитами соответствуют поляризационные преобразования и измерения, производимые в каждой из пространственных мод по отдельности, которые всегда можно осуществить в эксперименте, в отличие от преобразований над конкретным фотоном.

В этом случае можно описывать поляризационное состояние бифотона как состояние перепутанной пары различимых кубитов, что обычно и делается в литературе, однако без явного указания причин позволяющих это делать.

В последнем пункте второго параграфа подробно рассмотрен пример протокола квантовой телепортации в системе тождественных фотонов. С учетом перестановочной симметрии в явном виде показано, что описание протокола в системе тождественных частиц эквивалентно описанию в системе различимых кубитов. Таким образом снято кажущееся противоречие привычного «кубитного» описания квантово-оптических экспериментов с тождественными фотонами с утверждением о невозможности телепортации в системе тождественных кубитов.

Глава 2. Приготовление произвольных состояний поляризационных куквартов.

Вторая глава посвящена разработке и реализации методов приготовления состояний поляризационных куквартов. Предложен метод приготовления произвольных чистых состояний поляризационных куквартов, использующий всего два нелинейных кристалла. Обсуждается и экспериментально исследуется влияние эффектов частотной дисперсии на чистоту приготавливаемых состояний. Также рассмотрено приготовление смешанных состояний куквартов различной степени чистоты с использованием импульсной Первый параграф второй главы посвящен обсуждению предложенной схемы для приготовления произвольных чистых состояний поляризационных куквартов. Известно, что такое состояние может быть представлено в где |Aj и |Bj - базисные векторы пространства состояний каждого из кубитов в отдельности. Это выражение известно под названием разложения Шмидта. Коэффициенты 1,2 - собственные значения одночастичных матриц плотности каждого из кубитов (они, как известно совпадают), а вектора Aj и Bj составляют ортогональный базис, в котором они диагональны. Таким образом, для приготовления произвольного состояния кукварта достаточно уметь экспериментально контролировать коэффициенты в разложении Шмидта и осуществлять переход между базисами. Для этого была предложена экспериментальная установка, изображенная на Рис. 1.

В ней используются два нелинейных кристалла, вырезанных для неколHWP

WP QP BBO

Рис. 1. Схема для приготовления произвольного чистого состояния поляризационного кукварта.

линеарного, частотно невырожденного синхронизма типа-I. Накачкой служит излучение непрерывного лазера, направление линейной поляризации которого контролируется с помощью полуволновой пластинки WP, а относительная фаза между горизонтальной и вертикальной компонентами регулируется парой пластинок QP. Состояние бифотонов, рождающихся в процессе СПР при таких условиях, имеет следующий вид:

из двух частотных мод определяется матрицей плотности вида j = 1, 2 - индекс подсистемы (кубита). Произвольное поляризационное состояние кубита может быть получено из заданного с помощью последовательности преобразований, осуществляемых четвертьволновой (QWP) и полуволновой (HWP) пластинками Uj :

Из соображений экспериментального удобства, моды 1,2 разделены пространственно благодаря использованию неколлинеарного синхронизма. После осуществления преобразований в каждой моде они сбиваются на дихроичном светоделителе.

Второй параграф посвящен экспериментальному приготовлению перепутанных состояний в рассмотренной схеме и выявлению физических ограничений на чистоту таких состояний. Показано, что при учете конечной ширины частотного спектра СПР и дисперсии групповых скоростей в нелинейных кристаллах, генерируемое поляризационное состояние принимает вид:

где - частотная отстройка от точного синхронизма, F () - амплитуда бифотонного волнового пакета, а () - набег фазы, приобретаемый парой фотонов при прохождении через второй нелинейный кристалл. Зависимость этой фазы от частоты приводит к различимости пар рожденных в первом и втором кристаллах, а следовательно, к уменьшению чистоты приготовляемого состояния. В эксперименте это проявляется в уменьшении видности двухфотонной поляризационной интерференции в схеме БраунаТвисса. Для нее было получено аналитическое выражение в первом порядке по отстройке, а также численно учтены эффекты второго порядка. Основным результатом этого параграфа является предложенный механизм компенсации рассмотренного сдвига фаз с помощью соответствующим образом подобранного двулучепреломляющего компенсатора. Экспериментальные результаты для зависимости видности получаемых интерференционных картин от толщины компенсатора находятся в хорошем соответствии с теоретической моделью: см. Рис.2.

Рис. 2. Зависимость видности поляризационной интерференции от толщины компенсатора дисперсии групповых скоростей. Пунктирная кривая - теоретическая зависимость без учета фильтрации. Сплошная кривая - зависимость при учете частотной фильтрации с помощью 10 нм интерференционных фильтров в каждом канале измерительной схемы.

Третий параграф второй главы посвящен экспериментальному приготовлению и томографии смешанных поляризационных состояний. Схема использованной экспериментальной установки приведена на Рис. 3. В качестве накачки использовалась вторая гармоника от титан-сапфирового лазера с центральной длиной волны 390 нм. Лазер работал в режиме синхронизации мод, продолжительность импульсов составляла порядка 100 фс.

Использовались кристаллы BBO длиной L = 3 мм, при этом задержка пар рождающихся в разных кристаллах, обусловленная дисперсией групповых скоростей, составляет 1.3 пс, т.е. на порядок превосходит длину импульса. Таким образом, компоненты бифотонной пары, генерируемые в разных кристаллах, будут в этом случае полностью некогерентны. После поляриPWP WP DBS QWP HWP P IF накачки Рис. 3. Схема экспериментальной установки для приготовления и томографии смешанных состояний куквартов. BBO - два кристалла типа I с ортогонально ориентированными осями; PWP - полуволновая пластинка, задающая поляризацию накачки; WP - пластинка, преобразующая состояние; DBS - дихроичный светоделитель; QWP,HWP,P - четверть-, полуволновая пластинка и поляроид, реализующие проекционное измерение; IF - 10 нм интерференционный фильтр;

D - многомодовые волокна, подключенные к однофотонным детекторам.

зационного преобразования, осуществляемого кварцевой пластинкой WP, генерируемое состояние принимает вид:

где коэффициент x, а следовательно, и энтропия состояния определяются ориентацией линейной поляризации накачки относительно осей кристаллов.

Была произведена томография нескольких представителей основных классов состояний, доступных для приготовления в рассматриваемой схеме: чистого, смешанных диагональных с разной степенью чистоты и смешанного с недиагональными компонентами. В качестве примера на Рис. приведены экспериментальные результаты статистического восстановления матрицы плотности для наиболее интересного частично когерентного состояния, экспериментальное значение энтропии для которого составляет S = 0.550 ± 0.003.

Рис. 4. Действительные части матриц плотности для преобразованного частично когерентного состояния: ожидаемой (1) и экспериментально восстановленной (2).

Глава 3. Пространственные моды Шмидта в угловом спектре бифотонного поля Поляризационные степени свободы фотонов, которым посвящены предыдущие главы, в принципе позволяют реализовать кудиты сколь угодно большой размерности. На практике, однако, трудно приготовить чистые состояния с размерностью больше 4, т.к. эффективность генерации четырех и более коррелированных фотонов в процессе СПР ограничена низкими значениями нелинейностей высших порядков в существующих нелинейно-оптических материалах. В то же время, для таких применений как линейно-оптические квантовые вычисления или исследование квантовых случайных блужданий требуется возможность создания и измерения оптических кудитов с размерностью Гильбертова пространства порядка десятков и более. Естественным инструментом для решения этой задачи является использование степеней свободы фотона с изначально бесконечномерным пространством состояний, таких как частота или импульс. Третья глава работы посвящена исследованию корреляций в угловом спектре СПР и экспериментальному приготовлению и измерению состояний из дискретного базиса пространственных мод Шмидта.

Бифотоны, рождающиеся в процессе СПР, обладают непрерывным угловым спектром. В первом порядке теории возмущений можно получить где (k1, k2 ) - так называемая, амплитуда бифотона, которая для случая коллинеарного синхронизма и широкого в поперечном направлении кристалла имеет следующий вид:

здесь Ep (k1 + k2 ) - угловой спектр накачки, а F(k1 k2 ) - геометрический фактор, определяемый параметрами кристалла. Можно показать, что амплитуду бифотона можно представить в виде:

называемом разложением Шмидта. Здесь базисные функции i (k1 ) собственные функции одночастичной матрицы плотности 1,2 (k, k ),1,2 1, а коэффициенты i - соответствующие собственные значения. Легко заметить, что в разложении Шмидта для факторизованного состояния отличен от нуля только один коэффициент 0. Для сильно перепутанного состояния напротив, коэффициенты i убывают с ростом i медленно, поэтому можно определить степень перепутывания состояния бифотона по величине эффективного числа мод Шмидта K = 1/ 2. i=0 i гауссовыми функциями, можно получить аналитическое выражение для разложения Шмидта в виде:

где n (k) - функции Гаусса-Эрмита, а собственные значения убывают экспоненциально.

Основной экспериментальной задачей третьей главы являлась реализация проекционных измерений в базисе мод Шмидта. Ключевым элементом схемы является одномодовое оптическое волокно, в котором может распространяется только основная гауссова мода. Эта мода оптически сопрягается с нулевой модой Шмидта 0 (kx )0 (ky ) входного пучка, которая - 17 также является гауссовой. Проекции на пучки высших порядков осуществляются с помощью фазовой маски, которая преобразует соответствующую ей моду в гауссову. Таким образом из всего модового состава пучка в волокно «заходит» только мода, соответствующая установленной маске, т.е.

фотоотсчет детектора установленного после волокна соответствует детектированию фотона в выбранной моде, что и реализует проекционное измерение. Для преобразования мод используется фазовая голограмма, при дифракции на которой пучок приобретает необходимую фазовую структуру.

В эксперименте в качестве голограммы использовался активный фазовый модулятор света на основе жидкокристаллической матрицы (SLM). Схема экспериментальной установки приведена на Рис.5.

Рис. 5. Схема экспериментальной установки для реализации проекционных измерений в базисе мод Шмидта. L1 - кварцевая линза с F = 150 мм; L2 - линза с F = 145 мм; BBO - кристалл BBO толщиной 2 мм, установленный в общем фокусе линз L1 и L2; UVM - УФ зеркало, фильтрующее излучение накачки; IF интерференционный фильтр с центром полосы пропускания 650 нм и шириной полосы 40 нм (иногда использовался 10 нм фильтр); BS - неполяризационный 50% светоделитель; A1,2 - диафрагмы, позволяющие ограничивать поле зрения приемной системы; O1,2 - 8X микрообъективы, PM - пространственный фазовый модулятор (для простоты изображен работающим на пропускание); PM - фазовая маска, выполненная в виде стеклянной пластинки переменной толщины (см. текст); SMF - одномодовое волокно; SМF/MMF - одномодовое или многомодовое волокно в зависимости от типа эксперимента (см. текст); D1, - однофотонные детекторы с волоконным входом (лавинные фотодиоды PerkinElmer).

- 18 Было экспериментально получено распределение собственных значений, соответствующее предсказанной экспоненциальной зависимости. Результаты для двумерного распределения, а также для одного из его сечений, приведены на Рис. 6, 7.

Рис. 6. Распределение собственных значений в Шмидтовском базисе. (1) Скорость счета детектора D1 в канале с фазовым модулятором в зависимости от детектируемой моды. (2) Собственные значения матрицы плотности в базисе мод Гаусса-Эрмита (т.е. в приближении двойной гауссоиды).

Рис. 7. Распределение собственных значений в Шмидтовском базисе. Красным цветом изображены экспериментально полученные значения, серым - результаты численного расчета. Сплошная синяя кривая соответствует экспоненциальной зависимости получаемой в приближении двойной гауссоиды.

- 19 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Рассмотрен вопрос о возможности представления поляризационных состояний пары фотонов как состояния пары различимых кубитов. В случае бифотона, т.е. пары фотонов, рождающихся в процессе спонтанного параметрического рассеяния света, положительный ответ на этот вопрос обеспечивают дополнительные ограничения, накладываемые условиями фазового синхронизма. Подробно рассмотрен пример протокола квантовой телепортации в системе тождественных фотонов. С учетом перестановочной симметрии в явном виде показано, что описание протокола в системе тождественных частиц эквивалентно описанию в системе различимых кубитов.

2. Предложен метод приготовления произвольного, наперед заданного состояния кукварта, использующий бифотоны, невырожденные по частоте. Исследована возможность приготовления в предложенной схеме перепутанных состояний куквартов, получены экспериментальные результаты по двухфотонной интерференции и предложены методы улучшения ее видности, не требующие использования узкополосных частотных фильтров. Экспериментально реализована схема для приготовления и квантовой томографии смешанных состояний куквартов, позволяющая достичь высокого качества восстановления матриц плотности смешанных состояний. Продемонстрировано приготовление и томография смешанных состояний с различной энтропией, а также возможность преобразования состояний с диагональной матрицей плотности в состояния общего вида.

3. Проанализировано пространственное перепутывание в угловом спектре спонтанного параметрического рассеяния с точки зрения разложения по пространственным модам Шмидта. Экспериментально продемонстрирована возможность фильтрации заданной пространственной моды с помощью фазового модулятора и одномодового оптического волокна. Экспериментально подтверждена близость мод ГауссаЭрмита к реальным модам Шмидта для углового спектра бифотонного поля. Измерено распределение собственных значений, соответствующих модам Шмидта, и получено разумное соответствие с расчетными значениями. Получена полная двумерная структура модового разложения амплитуды бифотона в базисе мод Шмидта.

ПУБЛИКАЦИИ

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. M. V. Fedorov, M. A. Efremov, P. A. Volkov, E. V. Moreva, S. S. Straupe and S. P. Kulik, Anisotropic and High Entanglement of Biphoton States Generated in Spontaneous Parametric Down-Conversion // Phys. Rev.

Lett., 99, 063901, 2007.

2. M. V. Fedorov, M. A. Efremov, P. A. Volkov, E. V. Moreva, S. S. Straupe and S. P. Kulik, Spontaneous parametric down-conversion: Anisotropical and anomalously strong narrowing of biphoton momentum correlation distributions // Phys. Rev. A., 77, 032336, 2008.

3. S.-Y. Baek, S. S. Straupe, A. P. Shurupov, S. P. Kulik and Y.-H. Kim, Preparation and characterization of arbitrary states of four-dimensional qudits based on biphotons // Phys. Rev. A, 78, 042321, 2008.

4. S. S. Straupe and S. P. Kulik, On practical implementations of quditbased quantum key distribution protocols // Quantum Cryptography and Computing, Vol. 26, Edited by R. H. e. al.. IOS Press, 2010. pp.83– 5. Кулик С.П., Молотков С.Н., Страупе С.С., О телепортации в системе тождественных частиц // Письма в ЖЭТФ, Том 92 №3, 212–215, 6. С.С.Страупе, С.П.Кулик, К вопросу о приготовлении перепутанных пар поляризационных кубитов в частотно-невырожденном режиме // ЖЭТФ, Том 137 №2, 211–219, 2010.