На правах рукописи

Гайфутдинов Ринат Айдарович

АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ И

ОПТИМИЗАЦИЯ КРЫЛОВЫХ ПРОФИЛЕЙ

С УСТРОЙСТВАМИ АКТИВНОГО

УПРАВЛЕНИЯ ПОТОКОМ

01.02.05 механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ–2010

Работа выполнена в Отделе краевых задач Научно-исследовательского института математики и механики им Н.Г. Чеботарева Казанского федерального (приволжского) университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки России и Татарстана Ильинский Николай Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Маклаков Дмитрий Владимирович доктор физико-математических наук, профессор Якимов Николай Дмитриевич

Ведущая организация: НИУ Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева

Защита состоится 25 ноября 2010г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212.081.11 при Казанском федеральном (приволжском) университете по адресу: 420008, Ка зань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского федерального (приволжского) университета.

Автореферат разослан “ ” октября 2010г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент А.А. Саченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов аэродинамического проектирования и оптимизации про филей крыльев с устройствами активного управления потоком дозвуковым потоком идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ).

Актуальность работы. Применение устройств активного управления потоком является одним из перспективных направле ний в плане улучшения аэродинамических характеристик профи лей крыльев. К устройствам активного управления потоком от носятся: отбор части внешнего потока, выдув реактивной струи, отсос пограничного слоя, закрылки и предкрылки. Часто очень трудно, а иногда практически невозможно, изменяя форму непро ницаемого профиля, добиться обеспечения безотрывного обтека ния. Применение в дозвуковой авиации высоконесущих безотрыв но обтекаемых профилей крыльев с отбором части внешнего по тока с верхней поверхности и выбросом реактивной струи в кор мовой части позволяет решить эту проблему.

Целью настоящей диссертации является развитие чис ленно-аналитических методов решения ОКЗА для симметричных и несимметричных крыловых профилей с отбором части внешне го потока и выдувом реактивной струи как в неограниченном потоке, так и вблизи экрана; поиск оптимальных исходных дан ных задач для обеспечения максимального эффекта от отбора и выдува; составление алгоритмов вычисления и их программ ная реализация; проведение числовых расчетов; подтверждение полученных результатов альтернативными методами; исследова ние влияния устройств управления потоком на характеристики профилей.

Научная новизна. В диссертации в рамках модели ИНЖ ре шена задача проектирования симметричных профилей крыльев с отбором части внешнего потока и выдувом реактивной струи, когда передняя часть профиля образована клином. Исследованы влияния угла полураствора клина и энергии выдуваемой струи на –3– форму симметричного профиля. Решение задачи сведено к сме шанной краевой задачи аэрогидродинамики во внешности еди ничной окружности. Поставлена и решена задача проектирова ния несимметричных профилей крыльев с устройствами активно го управления потоком. По разработанному численно-аналитиче скому методу построены профили. На числовых примерах показа но, что наличие отбора и выдува на профиле влияет на его форму и аэродинамические характеристики. Проведено обобщение этого метода на случай наличия экрана. Разработан способ пересчета аэродинамических характеристик профиля и распределения ско рости по его поверхности на другие режимы обтекания и другие режимы работы устройств отбора и выдува. Поставлена и решена задача максимизации коэффициента подъемной силы крыловых профилей с устройствами активного управления потоком. С це лью оценки достоверности результатов численно-аналитических расчетов проведен прямой расчет полученных профилей в пакете Fluent. Сравнение результатов расчетов показало хорошее совпа дение.

Достоверность полученных результатов и сделанные на их основе выводы обеспечены в рамках принятых математиче ских моделей применением строгих методов при построении реше ний и аналитических расчетов. Кроме того, спроектированные в диссертации профили крыльев были рассчитаны в пакете Fluent, результаты сравнений даны в диссертации и обоснованы.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации ме тоды, полученные решения задач, алгоритмы численной реализа ции и построенные профили могут быть использованы для про ектирования крыльев самолетов дозвуковой авиации и крыльев летательных аппаратов, использующих влияние земли (экрано планов).

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их по лучения были доложены на семинарах Отдела краевых задач (ру ководитель Н.Б. Ильинский); на итоговых научных конференци ях Казанского государственного университета (секция аэрогид ромеханики) за 2006-2010 гг.; Молодежной научной школе-кон ференции "Лобачевские чтения"за 2005, 2006 гг. (г. Казань); 5-й международной конференции "Авиация и космонавтика-2006"(г.

Москва, МАИ); X Международной научной школе "Гидродина мика больших скоростей"и международной научной конферен ции "Гидродинамика. Механика. Энергетические установки"(к 145-летию со дня рождения академика А.Н. Крылова) (г. Че боксары, 2008 г.); Научно-практической конференции студентов и аспирантов (г. Казань, 2008 г.); Научно-практическом семина ре "Теория, численные методы и математический эксперимент в газовой динамике"(г. Москва, ЦИАМ, 2009 г.); Всероссийской научно-практической конференции "Инновации и высокие тех нологии XXI века"(г. Нижнекамск, НХТИ, 2009 г.); XVI Меж дународной конференции по вычислительной механике и совре менным прикладным программным системам (ВМСППС‘2009) (г. Алушта); XXI научно-технической конференции по аэродина мике (г. Москва, ЦАГИ).

Публикации. Основное содержание диссертации опублико вано в 5 статьях и 8 тезисах. Список основных публикаций при веден в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа со стоит из введения, трех глав, содержащих девять параграфов, за ключения и списка литературы. Содержит 100 страниц, 8 таблиц, 40 рисунков. Библиографический список состоит из 73 наимено ваний источников отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан обзор литературы по развитию методов проектирования профилей крыльев, основанных на теории об ратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА), отмечены цели, характер и методы исследования. Основное внимание уде лено развитию численно-аналитических методов решения ОКЗА для профилей с устройствами активного управления потоком.

Суть ОКЗА заключается в определении формы профиля кры ла по заданному на его контуре распределению скорости, обеспе чивающему необходимые аэрогидродинамические характеристи ки.

История ОКЗА насчитывает уже почти 100 лет. Первые поста новки и решения таких задач были даны в 20–30 годах двадцатого века в работах Ф. Вейнинга, А. Бетца, В. Манглера, Р. Эпплера, Г.Г. Тумашева, Л.А. Симонова, М.Т. Нужина, Г.Ю. Степанова.

В последующих работах эти методы были обобщены на слу чай учета сжимаемости по модели газа Чаплыгина, из которых можно отметить работы Г.Г. Тумашева, Л.С. Вудса, Г.Ю. Сте панова. В конце 60-х годов появились результаты, связанные с учетом вязкости в ОКЗА по модели ПС, работы Г.Ю. Степанова, Дж. Ван Ингена. Существенные достижения были получены на основе квазирешений ОКЗА (см., напр., монографию А.М. Ели зарова, Н.Б. Ильинского, А.В. Поташева).

Развитие практических и теоретических методов аэродинами ческого проектирования привело к значительному расширению класса решаемых задач: проектирование профилей вблизи пря молинейного (криволинейного) экрана, профилей с устройствами активного управления потоком. Применение последних устройств позволяет решить ряд кардинальных проблем при аэродинамиче ском проектировании профиля крыла и эти задачи представляют большой интерес в плане улучшения аэродинамических характе ристик профиля крыла.

Прямые и обратные задачи для профилей крыльев с отбо ром или выдувом через каналы конечной ширины исследовались в работах Ю.Г.Жулева, С.И.Иншакова, В.М. Шурыгина, Г.Ю.

Степанова, Н.Б. Ильинского, Д.Ф. Абзалилова. Обратная задача для профиля с выдувом реактивной струи в линейном приближе нии решена Л.М. Котляром.

Другим важным классом являются задачи проектирования профилей с устройсвами активного управления потоком вблизи экрана. Такими задачами занимались Д.В. Маклаков, М.И. Галя утдинов, Р.Ф. Марданов.

Особый интерес ученых вызывают задачи проектирования профилей крыльев, обладающих оптимальными аэродинамиче скими характеристиками. Из работ, посвященных отысканию оп тимальных контуров с устройствами активного управления пото ком, можно отметить работы Н.Б. Ильинского, Д.Ф. Абзалилова.

В первой главе изложено решение ОКЗА для симметрич ного профиля крыла с устройствами активного управления по током. В §1 поставлена и решена задача построения симметрич ного профиля крыла с щелевым отбором воздуха из внешнего потока и выдувом реактивной струи по заданному распределе нию скорости, не содержащим диффузорные участки (фиг. 1).

Так же заданы хорда r искомого крылового профиля, безразмер ные расходы каналов отбора qc = Qc /(rv ) (qc = Qc/(rv )) и выдува qf = Qf /(rv ). Щели отбора C(C ) и выдува реактивной струи F моделируются каналами с постоянными скоростями на стенках. Плотность и полные давление выдуваемой и внешнего потока различны, вследствие чего на линиях схода потока воз никает разрыв касательных составляющих скорости. Эта задача относится к классу задач взаимодействия потоков с различны ми параметрами. При ее решении использован метод Д.В. Ма клакова 1, заключающийся в конформном отображении области на каноническую область G1 (фиг. 2), в которой рассматривает ся кусочно-аналитическая функция, терпящая разрыв на линиях раздела сред. Этот метод использован при решении задач §§4, 5.

Требует определить формулу контура Lz (Lz ) симметричного крылового профиля, форму линии lz (lz ).

Численно-аналитическое решение этой задачи содержится в §2.

Скорости на линии lz (lz ) схода потока связаны между собой соотношением, следующим из интеграла Бернулли (1+µ) (vj /vj )2 = = (v/v )2 + µ, где безразмерный параметр µ определяется по формуле µ 2(pj0 p0)/(v ) = j vj/(v ) 1.

При сделанных предположениях во внешнем потоке и в струе существуют комплексные потенциалы потоков. Будем рассмат ривать их как единую кусочно-аналитическую функцию w(z) = = (x, y) + i(x, y), терпящую разрыв на линиях схода потока и на экране. Комплексно сопряженная скорость в плоскости может быть представлена в виде Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными граница ми. – М.: Янус-К, 1997. 280 с.

(1) = T (r, ) + i(r, ) – кусочно-аналитическая функция, тер пящая скачок на линиях l1 и l1. Так же, как и при решении обыч ной ОКЗА, вводится в рассмотрение функция Жуковского–Миче ла (1) = ln dw = ln vi = Si. Для исключения особенностей у этой функции в точках 1a, 1d, 1c, 1d, 1c и на линиях l1 рас сматривается вспомогательная аналитическая функция где Фиг. 5. Расчетная сетка: общий вид и вид вблизи контура профиля.

постоянная a = ln(v1/v0) 0.

Для восстановления () во всей области использовалась фор мула Вольтерра В ходе решения задачи удовлетворялись условия разрешимо сти:

1. Условие задания v 2. Условие замыкания 3. Условия задания расходов Эти условия удовлетворялись подбором свободных парамет ров в исходном распределении скорости v().

Координаты искомого контура Lz определяются из соотноше ния В §3 представлены результаты расчетов. Во всех расчетах варьировался параметр µ (фиг. 3) и угол полураствора кли на (фиг. 4). Из полученных результатов сделан вывод, что чем меньше угол, тем тоньше профиль. При малых получаем неоднолистные профили. Для устранения этой неоднолистности целесообразно сместить канал отбора вверх по контуру профиля.

Наибольшие изменения при увеличении µ происходят в окрест ности задней кромки, вследствие уменьшения ширины канала выдува.

Построенные вышеизложенным методом профили были рас считаны в вычислительном пакете Fluent. Для расчета был взят профиль, изображенный на фиг. 4.

Расчет в пакете Fluent проводился для турбулентного тече ния по модели Спаларта – Аллмараса (S-A). Жидкость считает ся несжимаемой, скорость набегающего потока выбрана равной v = 100(м/с), хорда профиля r = 1(м) (что соответствует числу Рейнольдса Re = 5 · 106).

Расчетная сетка показана на фиг. 5. На сетку накладывались следующие граничные условия:

На передней и на верхней границе расчетной области зада валась скорость v (velocity-inlet).

На выходе – условие выхода (outow).

На нижней границе – условие симметрии (symmetry).

На профиле крыла – условие твердой стенки (wall).

На границе щелей – скорость отбора и выдува (velocity inlet).

В табл. 1 приведены коэффициенты подъемной силы cya и сопротивления cxa для численно-аналитического решения и для расчета в пакете Fluent. Результаты расчетов показали хорошее совпадение, отрыва потока не наблюдалось.

Табл. 1. Сравнение характеристик профиля с отбором и Во второй главе даны постановка и решение задачи проек тирования несимметричного профиля крыла с устройствами ак тивного управления потоком как в неограниченном потоке, так и вблизи экрана.

В §4 поставлена и решена ОКЗА для несимметричного про филя крыла. В физической плоскости z = x + iy искомый контур Lz несимметричного профиля крыла обтекается потенциальным потоком ИНЖ со скоростью v набегающего потока на бесконеч ности, плотностью и давлением p. На верхней поверхности профиля имеется щель C, асимптотически переходящая в беско нечнолистный круговой канал с постоянными скоростями v1 и v (v0 v1) на стенках. В окрестности задней кромки находится щель F, асимптотически переходящая в прямолинейный канал с постоянными скоростями v2j на стенках. Из щели F выдувается ИНЖ с другой плотностью j и скоростью Vj при давлении pj.

Заданы v, хорда профиля, безразмерные расходы каналов отбо ра и выдува или ширина каналов hc и hf. Точка схода потока G принята за начало координат, ось абсцисс выбрана параллельно направлению скорости v, внутренний к области течения угол в точках G и E считается равным 2 (фиг. 6).

Контур Lz состоит из известного прямолинейного отрезка GAB (A – точка разветвления потока), составляющего с осью абсцисс угол :

и искомого участка BCDEF G.

Вдоль искомого участка задано (фиг. 7) распределение скоро сти где – полярная координата в канонической области || > 1 плос кости (фиг. 8). Точки в плоскости z переходят в соответствую щие точки плоскости. Для взаимно-однозначного конформного отображения областей Gz и G предполагается соответствие бес конечно удаленных точек плоскостей z и, а также переход точки z = 0 в точку = 1.

Требуется построить весь контур Lz профиля крыла с устрой ствами активного управления потоком, найти его аэродинамиче ские характеристики и построить линии lz и lz.

В целом схема решения остается такой же, как и в первой гла ве, но значительным усложнением является наличие двух линий Фиг. 7. Распределение скорости v(). Фиг. 8. Каноническая плоскость.

lz и lz разрыва скоростей. В результате видоизменяются вводимая аналитическая функция () и кусочно-аналитическая функция () = T (r, ) + i(r, ):

где Эти усложнения ведут к значительно более медленной сходимо сти итерационного процесса для построения линий lz, lz.

Что касается условий разрешимости, они аналогичные усло виям (1-3), и появляется дополнительное условие (4) задания на правления нижней поверхности:

В §5 проведено обобщение предыдущей задачи на случай обтекания профиля вблизи прямолинейного экрана. Переход от двусвязной области к односвязной проведен путем введения под экраном lz фиктивного плоскопараллельного потока ИНЖ со ско ростью v на бесконечности.

Условия разрешимости аналогичны §4 и имеют вид (1)-(4).

Дополнительное условие разрешимости связано с заданностью h отстояния задней кромки G от экрана lz :

Условие (5) удовлетворяется подбором параметра rp (фиг. 9). По лученная система нелинейных уравнений решается методом Нью тона.

Коэффициент cxa сопротивления и коэффициент cya подъем ной силы равны где – это циркуляция при выдуве нереактивной струи. Строгий вывод формул расчета аэродинамических сил, действующих на профиль крыла с проницаемым участком при отборе через него части внешнего потока ИНЖ и с выдувом реактивной струи дан Д.Ф. Абзалиловым и Н.Б. Ильинским. В §6 представлены результаты расчетов, которые проводи лись для двух случаев обтекания: неограниченным потоком (фиг.

10) и вблизи экрана (фиг. 11). При увеличении значения µ и оди наковой ширине каналов отбора и выдува форма профиля меня ется незначительно. Что касается аэродинамических характери стик, то угол атаки немного уменьшается и поэтому уменьшает ся коэффициент cya подъемной сила. С уменьшением h форма профиля меняется незначительно, выдуваемая струя быстрее вы ходит на направление внешнего потока, коэффициент cay значи тельно увеличивается, коэффициент cxa почти не меняется.

Абзалилов Д.Ф., Ильинский Н.Б. Об аэродинамических силах, действующих на крыловой профиль с проницаемым участком // Инженерно-физический журнал. – 2006. – Т.79, №2. – C. 126–130.

Фиг. 11. Контур профиля для h = 0.01; 0.1; 0.25.

Как и в §3 профили были также рассчитаны в вычислитель ном пакете Fluent, расчет проводился для турбулентной модели Спаларта – Аллмараса. Модель жидкости, вид сетки, начальные и граничные условия выбраны такими же, как в §3 с небольшими модернизациями.

В табл. 2 представлены характеристики построенных профи лей с устройствами активного управления потоком в неограни ченном потоке и вблизи экрана. Результаты численно-аналитиче ского решения и прямого расчета получили хорошее совпадение.

В §7 предложен способ пересчета аэродинамических характе ристик профиля и распределения скорости по его поверхности на другие режимы обтекания и другие режимы работы устройств от бора-выдува. Получены формулы для нахождения новых точек разветвления и распределения скорости.

В третьей главе рассмотрена оптимизационная задача на хождения контура профиля с устройствами активного управле ния потоком.

В §8 поставлена и решена задача нахождения профиля кры ла с устройствами активного управления потоком, обладающего максимальной подъемной силой, при обтекании потоком ИНЖ.

В плоскости z искомый профиль крыла Lz с устройствами ак тивного управления потоком обтекается ИНЖ с заданной скоро стью v набегающего потока. На контуре профиля располагают ся каналы отбора C и выдува F. Заданы безразмерные расходы каналов qc = Qc/(rv ) и qf = Qf /(rv ). Требуется определить форму крылового профиля с отбором части внешнего потока и выдувом реактивной струи с максимальным коэффициентом подъемной силы.

Дана математическая формулировка соответствующей опти мизационной задачи:

Определить параметры a и форму крылового профиля так, чтобы коэффициент подъемной силы cya (7) принимал макси мальное значение, учитывая шесть ограничений типа равен ства (три условия разрешимости и условия получения заданных расходов и формы нижней поверхности профиля) и ограничения типа неравенств Неравенства (8) ограничивают максимальную скорость на конту ре профиля в рамках принятой модели ИНЖ, исключают участ ки падения скорости. Неравенства (9) сохраняют порядок точек.

Фиг. 12. Контуры профиля для µ = 0, vmax = 2.0.

Фиг. 13. Контуры профиля для µ = 1.25, vmax = 2.5.

Таким образом, эта задача является задачей нелинейного про граммирования и ее математическая запись имеет вид: миними зировать f (a ) = cya(a ) при условиях hj (a ) = 0, j = 1, 6, gk (a ) < 0, k = 1, n, где hj – ограничения равенства, а gk – ограничения неравенства.

Для решения оптимизационной задачи были использованы стандартные оптимизационные методы. Все ограничения учиты вались в виде штрафных функций, то есть искался безусловный минимум функционала где коэффициенты штрафа µk и k – достаточно большие числа.

В §9 приведены результаты числовых расчетов оптимизаци онной задачи. На фиг. 12 и фиг. 13 изображены контуры профи ля начального приближения и оптимальные контуры для µ = и µ = 1.25 соответственно (штриховая линия – начальное прибли жение, сплошная линия – оптимальный контур). Все характери стики профилей начального приближения и оптимальных профи лей приведены в табл. 3. В результате оптимизации канал отбора сместился к задней кромке, ширина канала отбора уменьшилась, угол выдува струи увеличился. Увеличение угла выдува струи со ответствует увеличению коэффициента подъемной силы, так как выдув струи в задней кромке можно рассматривать как ”жидкий” закрылок, а чем больше угол отклонения закрылка, тем больше коэффициент подъемной силы.

1 0.00 2.0 0.675 0.498 0.03 0.03 12.052 2.875 0.00 0. 3 1.25 2.5 0.176 0.239 0.06 0.06 17.070 5.840 0.06 0. 4 1.25 2.5 0.045 1.166 0.06 0.06 11.135 6.275 0.06 0. В заключении сформулированы основные результаты рабо ты.

Основные результаты диссертационной работы, выно симые на защиту:

1. Метод решения ОКЗА для симметричного профиля крыла с отбором части внешнего потока и выдувом реактивной струи, когда передняя часть профиля образована клином с известным углом полураствора.

2. Метод решения задачи проектирования несимметричного профиля крыла с устройствами активного управления потоком.

3. Решение задачи проектирования профиля крыла с устрой ствами активного управления потоком на случай наличия экрана.

4. Постановка и метод решения задачи максимизации подъем ной силы профиля крыла с устройствами активного управления потоком.

5. Алгоритмы численной реализации, результаты числовых расчетов и сделанные на их основе выводы.

Следует отметить финансовую поддержку Российского фон да фундаментальных исследований (проект 05-08-01153), феде ральной целевой программы Научные и научно-педагогические кадры инновационной России 2009-13 годы (гос. контракт № П1124), грант 2009–2010 гг. для аспирантов, докторантов, моло дых ученых и сотрудников Казанского федерального университе та, позволившую ускорить выполнение и написание диссертации.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В изданиях, рекомендованных ВАК по специальности 1. Гайфутдинов, Р.А. Проектирование крыловых профилей с устройствами активного управления потоком / Р.А. Гайфутди нов, Н.Б. Ильинский // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2008. – №4. – С.53–61.

2. Гайфутдинов, Р.А. Максимизация коэффициента подъем ной силы крыловых профилей с элементами активного управле ния потоком / Р.А. Гайфутдинов // Изв. вузов. Авиационная тех ника. – 2009. – №3. – С. 28-32.

3. Гайфутдинов, Р.А. Обобщение задачи проектирования крылового профиля с устройствами активного управления пото ком на случай наличия экрана / Р.А. Гайфутдинов, Н.Б. Ильин ский // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2011. – №1. – Статьи в сборниках научных трудов и тезисы докладов на научных конференциях 4. Абзалилов, Д.Ф. Метод построения крыловых профилей с устройствами активного управления потоком путем выдува реак тивной струи / Д.Ф. Абзалилов, Р.А. Гайфутдинов, Н.Б. Ильин ский, Р.Ф. Марданов // Научно-исследовательский институт ма тематики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государ ственного университета 2003 - 2007 гг. / Научн. ред. И сост.

А.М. Елизаров. - Казань: Изд-во Казанск. гос. Ун-та, 2008. – С.

221–248.

5. Гайфутдинов, Р.А. Построение симметричного безотрыв но обтекаемого крылового профиля с устройствами активного управления потоком / Р.А. Гайфутдинов // Материалы Четвер той молодежной научной-школы конференции ”Лобачевские чте ния -2005”. – Казань: Изд-во Казанского математического обще ства, 2005. – Т.31 – С. 34–35.

6. Гайфутдинов, Р.А. Сравнение моделей турбулентности в программе Fluent применительно к крыловым профилям / Р.А. Гайфутдинов // Материалы Четвертой молодежной науч ной-школы конференции ”Лобачевские чтения -2005”. – Казань:

Изд-во Казанского математического общества, 2005. – Т.31 – С.

35–36.

7. Гайфутдинов, Р.А. Построение симметричного безотрыв но обтекаемого крылового профиля с устройствами активного управления потоком / Р.А. Гайфутдинов // Материалы Пя той молодежной научной-школы конференции ”Лобачевские чте ния-2006”. – Казань: Изд-во Казанского математического обще ства, 2006. – Т.34 – С. 44–45.

8. Гайфутдинов, Р.А. Оптимизация крыловых профилей с устройствами активного управления потоком / Р.А. Гайфутдинов // Сборник трудов X Международной научной школы ”Гидроди намика больших скоростей” и Международной научной конфе ренции ”Гидродинамика. Механика. Энергетические установки” (к 145-летию со дня рождения академика А.Н. Крылова). – Че боксары: ЧПИ МГОУ, 2008. – С. 167–168.

9. Гайфутдинов, Р.А. Оптимизация крыловых профилей с устройствами активного управления потоком / Р.А. Гайфутди нов // Наука и инновации в решении актуальных проблем горо да. Материалы научно-практической конференции студентов и аспирантов. – Казань: Изд-во ”Отечество”, 2008. – С. 9–11.

10. Гайфутдинов, Р.А. Проектирование и оптимизация про филя с устройствами активного управления потоком / Р.А. Гай футдинов // Теория, численные методы и математический экспе римент в газовой динамике. Материалы Научно-практического семинара. – М.: ЦИАМ, 2009. – С.45–46.

11. Гайфутдинов, Р.А. Оптимизация крыловых профилей с устройствами активного управления потоком / Р.А. Гайфутдинов // Инновации и высокие технологии XXI века: материалы Все российской научно-практической конференции. – Нижнекамск:

Нижнекамский химико-технологический институт (филиал) КГ ТУ, 2009. – С. 162–166.

12. Гайфутдинов, Р.А. Проектирование крылового профиля вблизи экрана с устройствами активного управления потоком// Материалы XVI Международной конференции по вычислитель ной механике и современным прикладным программным систе мам (ВМСППС‘2009). – М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. – С.

186–188.

13. Гайфутдинов, Р.А. Построение профиля крыла экрано плана с отбором потока и выдувом реактивной струи / Р.А. Гай футдинов, Н.Б. Ильинский // Материалы XXI научно-техниче ской конференции по аэродинамике. – М: Изд-во ЦАГИ, 2010. – С. 51–52.