МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В.ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

КАЗАРЯН

Анна Арменаковна

МОДЕЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОЛЯРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Специальность: 01.04.02 – теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва - 2010

Работа выполнена в Московском государственном университете им.

М.В. Ломоносова на кафедре Квантовой статистики и теории поля Физического факультета.

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, Н.Н. БОГОЛЮБОВ (мл.) доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Д.П. САНКОВИЧ кандидат физико-математических наук О.П. ПОЛЯКОВ

Ведущая организация: ЛТФ ОИЯИ

Защита состоится 20 мая 2010г. в 15.30 часов на заседании специализированного Совета Д 501.002.10 по присуждению ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.04.02 – теоретическая физика на Физическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, стр.2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 15 апреля 2010г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Грац

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из основных задач статистической механики является развитие строгих методов исследования систем многих взаимодействующих частиц, прежде всего ориентированных на последовательное микроскопическое описание фазовых переходов эволюции и кинетики динамических систем.

Развитие строгих методов в равновесной статистической механике позволило получить ряд существенно важных результатов и исследовать модели, не поддававшиеся адекватному исследованию в рамках приближенных методов [1]-[5].

Большой интерес представляет строгий подход в неравновесной статистической физике, где получение точных результатов является еще более сложной задачей. В связи с этим важно получение точных эволюционных и кинетических уравнений для различного рода взаимодействующих систем.

Математические исследования в физике неравновесных процессов [6] инициированы как чрезвычайной сложностью возникающих в теории задач, так и естественным стремлением распространить идеи и методы строгого подхода, нашедшего успешное применение в равновесной статистической механике [1] - [6], в кинетическую теорию. Большое стимулирующее значение исследований в этом направлении имеет метод изучения эволюции динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем, предложенный Н.Н.Боголюбовым в работе [7] и развитый в работах [8] - [10], являющийся принципиальным обобщением метода кинетического уравнения Больцмана в теории электронов, движущихся в кристалле и взаимодействующих с колебаниями решетки и внешним электрическим полем, а также развитие и применение мощного аппарата двумерных корреляционных и гриновских функций [5], [4] к таким системам.

В работе [7] дан вывод точного эволюционного уравнения для электронфононных систем, находящихся под действием внешнего электрического поля. С помощью специально доказанной леммы операторы фононного поля исключены из уравнения и получено обобщенное точное эволюционное уравнение, содержащее только переменные электронной подсистемы. Аналогичное уравнение получено в работе [8] с использованием квантово-полевой техники T -произведений. Обобщение этих результатов на более широкий класс систем дано в работах [9], [10]. В работах [7] - [10] дано применение полученного точного уравнения к конкретным системам. Показано, что для модели полярона при выборе надлежащей аппроксимации можно получить уравнение Больцмана, исследованное в работе [9] при низких температурах, и соотношение Фейнмана-Торнбера, связывающее среднюю скорость движения электрона в криссталле с внешним электрическим полем.

Выход за рамки стандартного кинетического уравнения неизбежен и при описании эволюции носителей в конденсированных средах, например, при рассмотрении кинетики электрона с учетом эффектов локализации и автолокализации, а также под действием высокочастотных полей.

Действительно, для целого ряда веществ в широком диапазоне экспериментальных условий изучение кинетики электронов не может быть сведено к исследованию в рамках стандартного кинетического уравнения. В связи с этим большой интерес представляют исследования по созданию более мощного подхода к кинетической теории, основанного, например, на эффективных методах квантовой теории поля.

Одной из наиболее актуальных задач в данной области является проблема полярона.

Как известно, локальные изменения электронного состояния в кристалле приводят к соответствующим локальным изменениям во взаимодействии между индивидуальными атомами в кристалле, и отсюда к возбуждению фононов. И, соответственно, наоборот – любое локальное изменение состояния ионов решётки изменяет локальное электронное состояние. В такой ситуации общепринято говорить об электрон-фононном взаимодействии.

Когда электрон движется через кристалл, он переносит вместе с собой искажение решётки. От этого взаимодействия изменяется энергия электрона.

Электрон вместе с сопровождающим его самосогласованным полем поляризации можно рассматривать как квазичастицу, называемую поляроном. Потенциальная яма полярона вместе с осциллирующим в ней электроном может перемещаться по кристаллу в виде своеобразной поляризационной волны. С помощью расчётов показано, что у такой волны необычный закон дисперсии. Таким образом, полярон движется в кристалле, подобно частице с зарядом электрона и с некоторой эффективной массой, которая больше, чем эффективная масса (блоховского) электрона.

Состояния с неполяризованным кристаллом и свободным электроном, которые фигурируют в обычной "зонной" теории, могут произойти лишь в результате сравнительно редкой тепловой флуктуации. Поэтому подавляющее большинство электронов проводимости должно находиться в поляронном состоянии.

Следует отметить, что одной из существенных проблем статистической механики является исследование динамического процесса в системе, слабо взаимодействующей с большой системой (термостатом). Начало изучению этой проблемы положила работа Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова [11].

В этой работе был развит метод, позволивший уже в первом приближении получить уравнение Фоккера - Планка. В дальнейшем была изложена модифицированная версия метода, развитого у Боголюбова и Крылова, и обсуждена его связь с теорией двухвременных функций Грина. В основе метода лежит исключение бозе-переменных из операторных уравнений движения при усреднении последних с матрицей плотности начального состояния. Предложен вывод точного уравнения, описывающего эволюцию для частицы, взаимодействующей с бозонным полем. Показано, что в случае слабого взаимодействия это уравнение приводится к уравнению Больцмана в теории полярона. Особое внимание уделяется исследованию неравновесных свойств линеаризованной модели полярона. Основные характеристики такой системы, импеданс и адмитанс, явно вычисляются.

Показано также, что равновесная функция распределения по импульсам в пределе слабой связи может быть получена с помощью формализма T произведений без использования приближённого уравнения Больцмана.

Цель работы состоит в исследовании линейной модели полярона во внешнем магнитном поле, в исследовании модели Фрелиха в приближении случайных фаз, а также в построении точных эволюционных уравнений для электрон-фононных систем с исключенными бозонными операторами в пространственно-неоднородном случае и получении из них кинетических уравнений в том же пространственно-неоднородном случае.

Научная новизна и практическая ценность работы. Впервые линейная модель полярона во внешнем магнитном поле рассмотрена как точно решаемая модель статистической физики в рамках метода двухвременных температурных функций Грина. Развитый подход позволил получить ряд принципиальных результатов в теории полярона в магнитном поле:

точные макроскопические величины на основе динамики системы (гл.1).

Кроме того, в рамках метода исключения бозонных переменных для динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем, впервые рассмотрен пространственно-неоднородный случай (гл.3).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Кафедре квантовой статистики и теории поля Физического факультета МГУ им. Ломоносова, семинаре по статистической физике Математического института РАН им. В.А. Стеклова, на Международной конференции по статистической физике во Львове (Statiatical Physics:

"Modern Trends and Applications", 23-25 июня 2009 г.), на Международной конференции по проблемам теоретической и математической физики в Дубне (THE INTERNATIONAL BOGOLUBOV CONFERENCE: PROBLEMS OF THEORETICAL AND MATHEMATICAL PHYSICS, 21-27 августа 2009г.), посвященной 100-летию Н.Н. Боголюбова.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 5 научных работ.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания и заключения. Всего 70 страниц текста, библиографический список литературы из 88 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор литературы по рассматриваемым проблемам, дано обоснование их актуальности и важности, изложена цель работы.

В первой главе рассматривается линейная модель полярона в магнитном поле, описываемая гамильтонианом, состоящим из гамильтонианов осциллятора HS, фононного поля H и электрон-фононного взаимодействия HS.

Здесь r, p - положение и импульс электрона:

и, поскольку магнитное поле направлено по оси z:

следовательно, циклотронная частота.

В дальнейшем вводится параметр : [0, 1] в общий гамильтониан Заметим, что H(1) = H, а H(0) = HS + H Исходя из системы уравнений движения для модельного гамильтониана (3) выводится система уравнений для соответствующих функций Грина:

Систему уравнений (4) удается решить и получаются явные выражения для функций Грина Также дан алгоритм выписывания явных выражений для остальных всевозможных функций Грина.

Затем предложен метод вычисления функции свободной энергии рассматриваемой динамической системы Учитывая, что функции свободной энергии одной частицы FS и фононного поля F хорошо известны, ставится задача вычисления той части свободной энергии, которая соответствует взаимодействию частицы с фононным полем:

Из определения (7) имеем:

Далее доказывается, что справедливо следующее равенство:

Заключительным шагом получено следующее выражение в пределах 0, V для искомой части функции свободной энергии:

Далее для линейного полярона при наличии магнитного поля рассмотрен Fint для одночастотных фононов с частотой Затем вычислен Fint для линейной модели в отсутствии магнитного поля и показано его совпадение с ранее полученным в [10] результатом.

Кроме того, проводятся сравнения с результатами других авторов в теории линейной модели полярона.

Во второй главе рассматривается квантовая модель полярона в ионном кристалле объема E 3, описанная с помощью оператора гамильтониана действующего в гильбертовом пространстве L2 (; C) (; C), где (; C) - соответствующее фоковское пространство для фононных квазичастичных состояний в кристалле, m - это эффективная масса электрона в кристалле, p := соответственно бозе-операторы рождения и уничтожения фононов с энергией hf R+, функция Lf = Lf есть параметр поляронной связи в кристалле и <.,. > есть обычное скалярное произведение в евклидовом пространстве С помощью унитарного преобразования гамильтониан (11) может быть приведен к следующему виду:

Далее, используя нормальное произведение операторов, из последнего выражения получено будучи представлен в нормально упорядоченной вторично квантованной форме, приводит в N-частичном инвариантном фоковском подпространстве к следующему выражению для двухчастичного оператора:

действующего в гильбертовом пространстве L2 (; C) L2, sym(N ; C), где с помощью (yj ), y мы обозначили соответствующий модифицированный оператор импульса деформаций в кристалле, а p(y), y, - однородно распределенный импульс полярона.

Теперь принимая во внимание известное приближение случайных фаз (ПСФ) для двухчастичных фононных возбуждений в кристалле, получено, стабильности деформаций в кристалле, вызванных воздействием полярона.

Поскольку нас интересуют статистические свойства нашей модели полярона, то рассмотренное выше приближение случайных фаз хорошо подходит для этой цели вследствие того, что соответствующая статистическая сумма вычисляется как среднее значение статистического оператора по всем собственным состояниям гамильтониана (14). Поэтому в приближении случайных фаз мы можем рассматривать гамильтониан модели полярона в следующей редуцированной форме:

Более того, мы рассматриваем эту модель еще и во внешнем магнитном поле:

В этом случае гамильтониан (16) принимает вид:

где, по определению, pf = (fx, pfy + mc x)T, f = (fx, fy )T, относятся к квадратичной части фононных операторов.

Далее операторным методом изучается термодинамика модели полярона в ПСФ путем вычисления статистической суммы В итоге получены выражения статсуммы для модели полярона в ПСФ как в отсутствии, так и в присутствии магнитного поля.

При наличии магнитного поля получаем:

Zp = exp[ 2m ((µ) + p2 )]exp{ Показано, что описание поляронной системы с помощью канонического преобразования Боголюбова (12) дает возможность непосредственно вычислить массу полярона в магнитном поле нашей ПСФ модели как при нулевой, так и ненулевой температуре.

В третьей главе рассматриваются динамические системы, взаимодействующие с бозонным полем с модельным гамильтонианом (польной системы) следующего вида:

Здесь (t, S) - собственный гамильтониан системы S, H() описывает энергию свободного бозонного поля, а второй член - гамильтониан взаимодействия.

Уравнение движения для динамической переменной f (St ) имеет вид:

Обозначим через Dt0 статистический оператор Dt системы (S, ) в момент времени t0, причём справедливо соотношение вида:

т. е. требование отсутсвия взаимодействия между подсистемами S и в момент времени t0. Здесь D() описывает бозонное поле, находящееся в состоянии статистического равновесия:

а (S) - статистический оператор системы S Умножив обе части уравнения (21) на Dt0 справа и, взяв операцию SpS,, получим:

i t Sp(S,) f (St )Dt0 + Sp(S,) [(t, St ), f (St )]Dt0 = Исключая с помощью специально доказанной леммы бозонные переменные, получим уравнение Боголюбова - Боголюбова (мл.) [10].

Sp(S) (f (S) t + +(1 + Nk )[Ck (t, St ), f (St )]Ck (, S )}Dt0 + Осуществляя переход к модели полярона, имеем:

Sp(S) (f (S) t + +(1 + Nk )ei(k)(t ) ]Sp(S,) {eikr f (St )eikrt eikr eikrt f (St )}Dt0 + Ранее при исследовании электрон-бозонных систем методом исключения бозонных операторов рассматривался только пространственно-однородный случай. При этом функция f (S) выбиралась в виде f (p) и выводились обобщенные кинетические уравнения для пространственно-однородного случая. Здесь мы рассматриваем специальный пространственно-неоднородный случай и выводим в этом случае обобщенное кинетическое уравнение.

Функцию f (S) выбираем в виде:

Кроме того, вводится функция t (p), следующим образом:

= dp(p)t (p), а также функция D (z; y):

Здесь сразу заметим, что lim0 D (z; 0) = 2(z).

В рамках модели Фрелиха интенсивность электрон-фононного взаимодействия определяется параметром, входящим в нашем случае в L(k). При малых, ограничиваясь аппроксимацией "нулевого приближения", заменяем сложную зависимость r равномерным движением Используя как операторные свойства, так и некоторые свойства симметрии входящих в (25) функций, для нашего пространственно-неоднородного случая получаем следующее кинетическое уравнение:

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

1. Линейная модель полярона во внешнем магнитном поле в рамках техники двухвременных корреляционных функций и двухвременных функций Грина решена точно. То есть для этой модели математически строго вычислены:

а) двухвременные корреляционные функции;

б) двухвременные функции Грина;

в) функция свободной энергии в термодинамическом пределе.

2. Рассмотрены и получены явные выражения в одночастотном случае.

3. Проведены сравнения с результатами, полученными в рамках других методов.

4. Исследована модель полярона во внешнем магнитном поле в приближении случайных фаз.

5. Дано другое доказательство леммы Боголюбова-Боголюбова (мл.) в теории динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем.

6. Из точного эволюционного уравнения с исключенными бозонными переменными для динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем, в частности, модели Фрелиха, при выборе надлежащей аппроксимации получено кинетическое уравнение в пространственно-неоднородном случае.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Боголюбов Н.Н., Петрина Д.Я., Хацет Б.И. Математическое описание равновесного состояния классических систем, основанное на каноническом формализме. - ТМФ, 1969, т.1, №2, с.251-274.

2. Боголюбов Н.Н. Квазисредние в задачах статистической механики.

- Дубна, 1963, - 123с. (Препринт ОИЯИ Р-1451).

3. Боголюбов Н.Н.(мл.) Метод исследования модельных гамильтонианов.

- М.: Наука, 1974. - 176с.

4. Боголюбов Н.Н.(мл.), Садовников Б.И. Некоторые вопросы статистической механики. - М.: Высшая школа, 1975. -352с.

5. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н.(мл.) Введение в квантовую статистическую механику. - М.: Наука, 1984. - 384с.

6. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. -М.-Л.: ГТТИ, 1946, -119с.

7. Bogolubov N.N. Kinetic equations for the electron-phonon system. Dubna, 1978. 70p. (Preprint JINR E17 - 11822).

8. Боголюбов Н.Н.(мл.) Кинетическое уравнение для динамической системы, взаимодействующей с фононным полем. - ТМФ, 1979, т.40, №1, с. 77-94.

9. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н.(мл.) Кинетическое уравнение для динамической системы, взаимодействующей с фононным полем.ЭЧАЯ, 1980, т.11, вып.2, с.245-300.

10. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н.(мл.) Аспекты теории полярона.

М.: ФИЗМАТ, 2004. - 175с.

11. Боголюбов Н.Н., Крылов Н.М. Приближенные методы нелинейной механики, примененные к теории стационарных колебаний. Записки кафедры математической физики. - Киев: АН УРСР, 1939, т.4, с. 5.

Результаты диссертации опубликованы в следующих научных работах:

1. Ghazaryan A.A. THE LINEARIZED POLARON MODEL SYSTEM IN A MAGNETIC FIELD. - International Journal of Modern Physics B, v.22, №28 (2008) 5015-5026.

2. Bogolubov N.(jr.),Ghazaryan A., Prykarpatsky Y. OPERATOR ANALYSIS OF AN RPA-REDUCED POLARON MODEL WITHIN THE BOGOLUBOV REPRESENTATION IN MAGNETIC FIELD AT FINITE TEMPERATURE. PART 1. - International Journal of Modern Physics B, v.23, №24 (2009) 4843-4855.

3. Bogolubov N. N.(jr.),Ghazaryan A. A., Prykarpatsky Y.A. The Bogolubov representation of the polaron model and its completely integrable RPA-approximation. - TRIEST, 2009, 13,(Preprint ICTP IC/2009/094).

4. Bogolubov N.N.(jr.), Ghazaryan A. Operator analysis of a reduced polaron model in magnetic eld at nite temperature. Book of Abstracts

THE INTERNATIONAL BOGOLUBOV CONFERENCE: PROBLEMS OF

THEORETICAL AND MATHEMATICAL PHYSICS. August 21-27, 2009, Moscow-Dubna, Russia, ISBN 9785-9530-0226-6, p.199.

5. Боголюбов Н.Н.(мл.), Казарян А.А. Кинетические уравнения в теории полярона в случае пространственной неоднородности - ЭЧАЯ, 2010, вып.7.