МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В. Ломоносова

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Щепетилов Алексей Валериевич

АНАЛИЗ И МЕХАНИКА НА ДВУХТОЧЕЧНО-ОДНОРОДНЫХ

РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность 01.01.03 – математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва, 2009 г.

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университет имени М.В.Ломоносова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Борисов Алексей Владимирович доктор физико-математических наук, профессор Панов Вячеслав Федорович доктор физико-математических наук, профессор Шафаревич Андрей Игоревич

Ведущая организация: Физический факультет Санкт-Петербургского государственного университета

Защита состоится « »2009 г. в « » часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, дом 1, строение 2, физический факультет, аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан « »2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор Грац Ю.В.

Актуальность темы диссертации. Хорошо известно, что одним из базисных понятий геометрии являются пространства постоянной кривизны, давшие широкое поле для исследований. В результате были обнаружены многочисленные связи пространств постоянной кривизны с другими разделами математики, например, с интегрируемыми дифференциальными уравнениями в частных производных и с интегрируемыми гамильтоновыми динамическими системами. Геодезические потоки на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны (рода большего единицы) являются полигоном для эргодической теории. Гиперболическое пространство (пространство Лобачевского) H3 (R) является пространством скоростей специальной теории относительности, а также совпадает с пространственноподобными сечениями простейших моделей общей теории относительности.

В 1885 году Киллинг подробно рассмотрел задачу о движении материальной точки в ньютоноподобном потенциале на трехмерной сфере S3 и нашел для нее аналоги трех законов Кеплера. В работах Либмана 1902 и 1905 годов результаты Киллинга были распространены на пространство Лобачевского, а в его же работе 1903 года было доказано обобщение теоремы Бертрана на пространства S2 и H2 (R), т.е. существование на этих пространствах лишь двух потенциалов: Vc (ньютоноили кулоноподобного) и Vo (осциллятоподобного), для которых все ограниченные траектории одночастичного движения замкнуты.

Квантовомеханическая одночастичная спектральная задача для потенциала Vc на сфере S3 (задача Кулона) была исследована Шредингером в 1940 году разработанным им методом факторизации операторов (ladder method) и Стивенсоном в 1941 году традиционным путем анализа решений дифференциального уравнения, а в гиперболическом пространстве H3 (R) Инфельдом и Шильдом в 1945 году.

В рамках развития симметрийных методов в последние десятилетия усилился интерес к задачам классической и квантовой механики на пространствах постоянной кривизны, о чем свидетельствует возросшее число соответствующих публикаций в научных журналах.

Так, были вычислены дополнительные интегралы для классической и квантовой одночастичной задачи с потенциалами Vc и Vo на сфере S3 (Хигс, Курочкин, Отчик, 1979) и в пространстве H3 (R) (Богуш, Курочкин, Отчик 1980). Спектральная одночастичная задача с потенциалами Vc и Vo в пространствах Sn, n 3 была решена Лимоном в 1980 г.

Связь аналогов оператора Рунге-Ленца для одночастичной квантовомеханической задачи Кеплера в пространстве S3 с методом факторизации Шредингера обсуждалось Барутом и Вилсоном в 1985 г. Барут, Иномата и Юнкер нашли решение спектральной одночастичной квантовомеханической задачи для потенциала Vc на пространствах S3 и H3 (R) с помощью функциональных интегралов (1987, 1990).

Отчик (1991, 1994) исследовал одночастичную квантовомеханическую задачу в поле двух произвольно расположенных кулоновских центров на сфере S3. Он нашел систему координат, в которой переменные разделяются, а соответствующие обыкновенные дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям Гойна.

Козлов и Федоров (1994) установили интегрируемость классического движения одной частицы по сфере Sn в поле, создаваемом 2(n+1) потенциалами Vo c центрами в точках для стандартной модели сферы Sn в пространстве Rn+1, заданной уравнением n Разделение переменных для одночастичного оператора Шредингера и некоторых нецентральных потенциалов в пространствах S2 и H2 (R) изучалось Калнинсом, Миллером, Хакобьяном и Погосяном (1996Существующие в евклидовом пространстве преобразования Леви-Чивиты, Кустанхеймо-Штифеля и Гурвица, связывающие задачи Кулона-Кеплера и осциллятора, были обобщены на сферы некоторых размерностей Калнинсом, Миллером, и Погосяном в 2000 г.

Интегрируемость одночастичного движения на сфере S2 в некоторых комбинациях ньютоновских и осцилляторных потенциалов была установлена Борисовым и Мамаевым (2005).

Двухчастичная классическая и квантовомеханическая задача двух тел на пространствах постоянной кривизны, отличных от евклидова, оставалась практически неизученной до появления в конце 1990-х годов работ автора на эту тему. Это объясняется тем, что координатный анализ этой задачи, для пространств размерности начиная с трех, трудно выполним в силу громоздкости соответствующих выкладок.

Если в евклидовом пространстве задача двух тел посредством отделения центра масс сводится к одночастичной, а существенные математические трудности начинаются при переходе к задаче трех тел, то в пространствах постоянной кривизны не известно ни одного нетривиального центрального потенциала, соответствующего интегрируемости двухчастичной задачи, несмотря на наличие достаточно широкой группы изометрий этих пространств, являющейся группой симметрий задачи двух тел.

Исследование задачи двух тел в пространствах постоянной кривизны (и более общо – в двухточечно-однородных римановых пространствах) является актуальным, поскольку, с одной стороны, доставляет новый нетривиальный объект для современных методов симметрийного анализа, а, с другой стороны, позволяет лучше понять природу появления неинтегрируемости для ”простых” систем классической и квантовой механики при переходе от плоского к неплоским пространствам.

Целью работы было исследование классической и квантовомеханической задачи двух тел с центральным потенциалом на двухточечнооднородных римановых пространствах с точки зрения ее глобальной разрешимости, интегрируемости, редукции с использованием имеющейся априорной группы симметрий к задаче с меньшим числом степеней свободы, возможности вычисления спектра квантовомеханической задачи в явном виде.

Методы исследования. В диссертации используются дифференциально-геометрические (теория Хелгасона инвариантных операторов на однородных пространствах), алгебраические (теория обертывающих алгебр для алгебр Ли, теория инвариантов, теория представлений групп и алгебр Ли) и аналитические методы (теория самосопряженных расширений дифференциальных операторов, теория фуксовых дифференциальных уравнений), а также дифференциальная теория Галуа.

При анализе общих ситуаций используется бескоординатное описание рассматриваемых конструкций в терминах алгебры Ли соответствующей группы симметрий.

Научная новизна. В работах автора впервые рассмотрена классическая и квантовомеханическая задача двух тел на двухточечно однородных римановых пространствах. Представленные в диссертации результаты являются новыми.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Получено описание некоммутативных алгебр Di I (QS ) инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер QS над произвольным двухточечно-однородным пространством Q в терминах образующих и соотношений. Также найдены некоторые элементы центров данных алгебр.

2. Найдено описание приведенного фазового пространства для гамильтоновой системы на кокасательном расслоении однородного многообразия группы Ли через факторпространство орбиты коприсоединенного действия данной группы.

3. Получено явно инвариантное выражение для двухчастичного квантовомеханического гамильтониана с центральным потенциалом на двухточечно-однородных пространствах через радиальный дифференциальный оператор и образующие алгебры Di I (QS ), а также аналогичное выражение для двухчастичной гамильтоновой функции.

4. Найдены достаточные условия отсутствия столкновений для классической задачи двух тел с центральным потенциалом на двухточечно-однородных пространствах.

5. Классифицированы приведенные гамильтоновы системы для классической задачи двух тел с центральным потенциалом в пространствах постоянной кривизны. Для ряда центральных потенциалов доказана мероморфная неинтегрируемость этих систем при некоторых значениях отображения момента.

6. Показано, что двухчастичная квантовомеханическая задача на сферах Sn с кулоновским и осцилляторным потенциалами является квазиточнорешаемой и получены в явном виде некоторые бесконечные серии ее энергетических уровней.

Кроме основных, в диссертации получены некоторые дополнительные результаты: найдено выражение оператора Лапласа-Бельтрами на однородном римановом пространстве через киллинговы векторные поля и установлена некоммутативная интегрируемость задачи о движении классической частицы в центральном потенциале на двухточечно однородных римановых пространствах непостоянной кривизны.

Научная значимость. Работа носит теоретический характер.

Ее результаты позволяют понять причины неинтегрируемости задачи двух тел на неплоских двухточечно-однородных пространствах с нетривиальными потенциалами общего вида. Вместе с тем, обнаружена квазиточнорешаемость квантовомеханической задачи двух тел на пространствах постоянной кривизны для кулоновского и осцилляторного потенциалов, что свидетельствует о ее близости к точно решаемым моделям.

Некоторые результаты, полученные автором при исследовании задачи двух тел на двухточечно-однородных пространствах, могут быть применены и к другим исследованиям в области геометрического анализа, квантовой и классической механики на многообразиях. К ним относятся: выражение оператора Лапласа-Бельтрами в подвижном репере и, в частности, через киллинговы векторные поля, описание редуцированного кокасательного расслоения однородного пространства в терминах орбит коприсоединенного действия соответствующей группы Ли, описание алгебры Di I (QS ) инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер QS над двухточечно-однородным пространством Q в терминах образующих и соотношений.

Личный вклад диссертанта. Основные результаты диссертации получены автором единолично.

Апробация работы. Основные результаты были доложены на следующих международных конференциях: 30-ом Симпозиуме по математической физике (май, 1998 г., Торунь, Польша), 31-ом Симпозиуме по математической физике (май, 1999 г., Торунь, Польша), конференции ”Геометрия, интегрируемость и квантование” (сентябрь 1999 г., Варна, Болгария), конференции ”Методы неевклидовой геометрии в современной физике” (октябрь 2006 г., Минск, Беларусь), а также на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и ее приложений механико-математического факультета МГУ (рук. академик РАН, проф. А.Т. Фоменко), семинаре по нелинейным дифференциальным уравнениям (рук. чл. корр. РАН, проф. И.А. Шишмарев) кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, на семинаре по математической теории распространения волн в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. Стеклова (рук. д.ф.м.н., проф. В.М. Бабич), на семинаре по теории гравитации в Пермском государственном университете (рук. д.ф.м.н., проф. В.Ф. Панов), на семинарах кафедры математики физического факультета МГУ (рук. д.ф.м.н., проф. В.Ф. Бутузов).

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в статьях, трудах конференций и одной монографии (всего 15 работ), причем, за исключением одной статьи, работы выполнены единолично.

Структура и объем диссертации. Диссертация имеет объем в 268 стр. и состоит из введения, восьми глав, разбитых на параграфы, четырех приложений, предметного указателя и списка литературы, содержащего 234 наименования.

Содержание работы. В первых четырех главах развивается дифференциально-геометрический аппарат, служащий в дальнейшем для анализа задачи двух тел на двухточечно-однородных пространствах.

В первой главе дана классификация двухточечно-однородных пространств:

1. евклидово пространство En, n 1;

3. вещественное проективное пространство Pn (R), n 2;

4. комплексное проективное пространство Pn (C), n 2;

5. кватернионное проективное пространство Pn (H), n 2;

6. октавная проективная плоскость P2 (Ca);

7. вещественное гиперболическое пространство (пространство Лобачевского) 8. комплексное гиперболическое пространство Hn (C), n 2;

9. кватернионное гиперболическое пространство Hn (H), n 2;

10. октавная гиперболическая плоскость H2 (Ca).

Всюду ниже величина R соответствует максимальной секционной кривизне R2 двухточечно-однородного пространства.

Приведены модели компактных двухточечно-однородных пространств, либо как подмногообразий евклидова пространства, либо как факторпространств таких подмногообразий, а также различные модели вещественных гиперболических пространств Hn (R), n 2. Далее описана связь между компактными и некомпактными двухточечнооднородными пространствами в терминах соответствующих алгебр Ли.

Пусть – произвольная геодезическая двухточечно-однородного пространства Q. Тогда стационарная подгруппа любой пары не совпадающих точек x, y, лежащих на и таких, что dist(x, y) = diam Q одна и та же. Обозначим эту подгруппу K0, а ее алгебру Ли через k0. Существенную роль в дальнейшем играет следующее разложение алгебры Ли g группы изометрий G пространства Q.

Предложение 1.2 Алгебра Ли g допускает следующее разложение в прямую сумму подпространств:

такое, что dim a = 1, – ненулевая линейная форма на подпространстве a, dim k = dim p = q1, dim k2 = dim p2 = q2, p = a p p2, k = k0 k k2 ; здесь q1, q2 {0} N, подалгебра a является максимальной коммутативной подалгеброй в подпространстве p и соответствует касательному вектору к геодезической в точке x0. Все слагаемые в (1) adk0 -инвариантны и справедливы следующие включения:

Более того, для любого базиса e,i, i = 1,..., q1 пространства p и любого базиса e2,i, i = 1,..., q2 пространства p2 существуют базисы f,i, i = 1,..., q1 и f2,i, i = 1,..., q2 в пространствах k и k соответственно, такие что:

[Z, e,i ] = (Z)f,i, [Z, f,i ] = (Z)e,i, i = 1,..., q1, [Z, e2,i ] = 2(Z)f2,i, [Z, f2,i ] = 2(Z)e2,i, i = 1,..., q2, Z a.

В главе 2 собраны необходимые сведения о дифференциальных операторах. Первый параграф содержит основы теории инвариантных дифференциальных операторов на однородных многообразиях.

Пусть M – гладкое многообразие, на котором задано левое действие группы Ли G. Обозначим через Di G (M ) алгебру инвариантных дифференциальный операторов на M.

Если M = G, то Di G (M ) U (g) – универсальная обертывающая алгебра для алгебры Ли g группы G, элементы которой можно понимать как некоммутативные полиномы от базисных элементов алгебры Ли g.

Пусть G действует на M транзитивно и не свободно со стационарной подгруппой K, т.е. M G/K. Тогда Di G (M ) U (g)K / (U (g)k)K, где U (g)K – алгебра AdK -инвариантов в U (g), k – алгебра Ли группы K, (U (g)k)K – алгебра AdK -инвариантов в U (g)k.

Пусть p – линейное подпространство в g такое, что g = p k и [k, p] p.

Пусть S(p) – симметрическая алгебра линейного пространства p, т.е. совокупность коммутативных полиномов относительно элементов некоторого базиса пространства p.

Тогда Di G (M ) и S(p)K изоморфны как линейные пространства, что дает возможность практически построить образующие и соотношения для алгебры Di G (M ).

Во втором параграфе выводится выражение оператора ЛапласаБельтрами в подвижном репере, в частности, состоящем из киллинговых векторных полей.

Предложение 2.5 Пусть i – подвижный репер на римановом пространстве, состоящий из киллинговых векторных полей. Тогда оператор Лапласа-Бельтрами можно представить в виде:

где gij = g(i, j ), матрица g ij – обратна к gij, а коэффициенты cq (вообще говоря переменные) определяются равенством [i, j ] = cij q.

В третьем параграфе сформулированы достаточные условия самосопряженности абстрактных операторов в гильбертовых пространствах и дифференциальных операторов на римановых пространствах, встречающихся в дальнейшем. В четвертом параграфе описана используемая далее общая схема редукции квантовомеханических систем с симметриями.

В главе 3 находятся образующие и соотношения для алгебры инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер QS над двухточечно-однородным пространством Q.

Пусть В соответствии с вышесказанным, образующие некоммутативной алгебры Di G (G/K0 ) строятся из образующих коммутативной алгебры S(p)K0.

Пространства a, p, p2, k, k2 инвариантны относительно AdK0 действия, которое является ортогональным относительно ограничения формы Киллинга. При этом AdK0 -действия на пространствах p и k эквивалентны, равно как на пространствах p2 и k2.

Это дает следующие ”универсальные” образующие алгебры Di G (G/K0 ) для компактных пространств: D0 (соответствует ненулевому элементу из a), D1, D2, D4, D5 (соответствуют скалярным квадратам в пространствах p, k, p2, k2 ), и D3, D6 (соответствуют скалярным произведениям p, k, p2, k2 ).

Аналогичные операторы для некомпактных пространств обозначим Оказывается, что двухточечный гамильтониан H выражается только через эти ”универсальные” образующие. Кроме этих образующих имеются и образующие, специфические для каждого пространства.

Пространство Pn (H).

Тут имеются дополнительные образующие D7, D8, D9, D10, причем deg D7 = deg D8 = 3, deg D9 = deg D10 = 4. Образующие D0,..., D связаны 55 коммутационными соотношениями:

[D9, D10 ] = {{D6, D8 } + {D5, D7 }, D1 D2 } + {{D3, D8 }, D4 } соотношением 4 = D3 + (D1 D2 )2 + (D1 + D2 )(9D5 15D4 ) + D9 + D10 + 2 = n(n 1)(15D4 9D5 ) 3n(n 1)D и, в случае n = 2, дополнительным соотношением:

Здесь {X, Y } = X Y + Y X – антикоммутатор операторов X и Y.

Центральные элементы данной алгебры степени не выше четырех являются линейными комбинациями элемента второй степени C1 = D0 + D1 + D2 + D4 + D5 и элементов и C1 четвертой степени. В силу (4), при n = 2 имеем C2 = 0.

Пространство P2 (Ca).

Дополнительные образующие суть D7, D8, D9 так, что deg D7 = deg D8 = 3, deg D9 = 4. Они связаны 45 коммутационными соотношениями:

Все центральные элементы данной алгебры степени линейными комбинациями элементов C1, C1 и C2, где Пространство P (C).

Тут, в силу dim p2 = dim k2 = 1, имеем deg D4 = deg D4 = deg D5 = deg D5 = 1. Имеется одна дополнительная образующая степени 2.

Коммутационные соотношения для алгебры Di I (Pn (C)S ) имеют вид:

Для n > 2 некоммутационные соотношения отсутствуют. Для n = существует одно такое соотношение:

Оператор Казимира имеет вид C1 = D0 + D1 + D2 + D4 + D5. Все элементы из ZDi I (Pn (C)S ) степеней 4 являются линейными комбинациями элементов C1, C1, C2 и C3, где В силу (5) в случае n = 2 имеем C1 = 4C3. Оператор C2 имеет степень 3, а степень оператора C3 для n 3 равна 4.

Пространства Pn (R) и Sn.

Тут набор образующих различен в случаях n = 2, n = 3 и n 4.

При n = 2 группа K0 тривиальна и мы имеем просто При n 3 в компактном случае образующие суть D0, D1, D2, D3 с соотношениями При n = 3 дополнительная образующая степени 2 лежит в центре алгебры и имеется дополнительное соотношение В некомпактных случаях ситуация аналогична соответствующим компактным случаям.

Все эти алгебры содержат оператор D0 первого порядка. Следующая теорема относится к его ядру и обобщает известный результат для пространства Hn (R).

Теорема 3.1 Пусть Q – двухточечно-однородное риманово пространство, а G – компонента связности единицы его группы изометрий. Для любого гладкого векторного поля v на Q определим функцию fv на пространстве QS формулой:

где x Q, g (·, ·) ·, · – риманова метрика на Q, Tx Q,, = 1, y = (x, ) QS. Для любого элемента X g обозначим через X Reimann H.M. Invariant dierential operators in hyperbolic space, Comment. Math. Helvetici, V.

57 (1982), pp. 412-444.

соответствующее киллингово векторное поле на Q. Тогда тождество D0 fv 0 на QS эквивалентно равенству v = X для некоторого Глава 4 содержит основные факты, относящиеся к гамильтоновым динамическим системам с симметриями и соответствию между квантовомеханическими и классическими системами. В частности, тут обсуждается некоммутативная интегрируемость и отображение момента.

Построен важный для дальнейшего симплектоморфизм между приведенным фазовым пространством для гамильтоновой системы на кокасательном расслоении однородного многообразия и некоторым факторпространством орбиты коприсоединенного действия соответствующей группы Ли.

Пусть G – группа Ли с алгеброй Ли g. Хорошо известно, что приведенное фазовое пространство для кокасательного расслоения T G симплектоморфно орбите коприсоединенного действия группы G. Автором получено обобщение этого результата для однородного пространства G/K, где K – подгруппа группы G с алгеброй Ли k g.

Пусть g – пространство, сопряженное к g, – отображение момента, Im µ и O g – Ad -орбита, содержащая точку.

Пусть Предположение 4.2 Предположим, что G – гладкое подмногообразие группы G.

Очевидно, что это предположение является следствием следующего предположения, которое может быть легче проверено.

Предположение 4.3 Орбита O коприсоединенного действия Ad G группы G в g, содержащая точку ann k, трансверсальна к подпространству ann k g.

Определим – инвариантное множество относительно Ad -действия. При выполK нении предположения 4.2 оно является гладким подмногообразием в Предположение 4.4 Предположим, что действие Ad на многоK образии O свободно и собственно.

Теорема 4.6 При выполнении предположений 4.2 и 4.4, приведенное пространство M, соответствующее значению отображения момента, симплектоморфно пространству O := O / Ad, симплекK тическая структура на котором индуцируется формой Кириллова на Глава 5 посвящена выводу явно симметричного единого выражения для двухчастичного гамильтониана на двухточечно-однородных пространствах через радиальный дифференциальный оператор и образующие алгебры инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер. Здесь получен следующий результат.

Пусть двухчастичный гамильтониан на пространстве Q Q, где V () - центральный потенциал, – расстояние между частицами, а i – оператор Лапласа-Бельтрами на i-ом сомножителе произведения Q Q.

Теорема 5.1 Квантовомеханический двухточечный гамильтониан на компактном двухточечно-однородном пространстве Q со связной группой изометрий G можно рассматривать как дифференциальный оператор на пространстве I G вида для Q = Pn (H), q1 = 4n 4, q2 = 3 и Q = P2 (Ca), q1 = 8, q2 = 7;

для Q = Pn (C);

для Q = P2 (R), S2.

Здесь m := (0, ) в остальных случаях,, (0, 1), + = 1. Коэффициенты As, Bs, Cs, Ds, Fs, Es определяются формулами:

Область определения оператора H плотна в пространстве состоящем из всех квадратично интегрируемых K0 -инвариантных функций на пространстве I G, относительно меры µ2 = µG и правых K0 -сдвигов. Здесь = rq1 +q2 dr/(1 + r2 )1+ 2 +q2, а µG – биинвариантная мера на группе G.

Аналогичные выражения получены для двухчастичного гамильтониана на некомпактных пространствах.

В главе 6 рассматривается задача о движении одной частицы в центральном поле на двухточечно-однородных пространствах. В §6. доказывается ее некоммутативная интегрируемость для двухточечнооднородных пространств, отличных от пространств постоянной кривизны. Для пространств постоянной кривизны приводятся более детальные результаты в классическом и квантовомеханическом случаях, которые используются далее при исследовании двухчастичной задачи.

Полученное в главе 5 выражение для двухчастичного гамильтониана в начале главы 7 преобразуется в функцию Гамильтона классической механической системы двух частиц на двухточечно-однородных пространствах, также имеющую явно инвариантный вид. Отметим, что задача двух тел на двухточечно-однородных пространствах, перечисленных выше, достигает максимальной общности при n = 3.

Принятая концепция разделения степеней свободы на радиальную и групповые приводит к следующему представлению конфигурационного и фазового пространств задачи двух тел. Исключив из исходного конфигурационного пространства Q Q его диагональ, соответствующую столкновению частиц, а для компактного пространства Q также и антиподальное подпространство мы получаем пространство Пусть M := T (Q Q), Mess := T Qess. Для всех двухточечнооднородных пространств Q, кроме Pn (R), справедливо неравенство поэтому для таких Q траектория общего положения задачи двух тел не пересекает M \Mess и многие свойства задачи двух тел на Q (например, интегрируемость и проблему столкновений) можно изучать рассматривая ее на пространстве Mess.

Классическая функция Гамильтона для задачи двух тел на двухточечно-однородном пространстве может быть получена заменой образующих некоммутативной фильтрованной алгебры Di G (G/K0 ) соответствующими им образующими градуированной алгебры gr Di G (G/K0 ).

Говоря неформально, эти алгебры имеют одни и те же образующие, соотношения для второй из них получаются опусканием членов низших степеней в соотношениях для алгебры Di G (G/K0 ), а коммутаторы [·, ·] переходят в скобки Пуассона [·, ·]P.

В силу результатов предыдущего раздела это дает следующие явно инвариантные выражения функций Гамильтона.

Пространство Q = Pn (H).

где p0,..., p10 – образующие пуассоновой алгебры gr Di G (Pn (H)S ), соответствующие образующим D0,..., D10 алгебры Di G (Pn (H)S ).

Образующие p0,..., p10 связаны соотношениями [p0, p1 ]P = p3, [p0, p2 ]P = p3, [p0, p3 ]P = (p1 p2 ), [p0, p4 ]P = 2p6, [p0, p9 ]P = 0, [p0, p10 ]P = 0, [p1, p2 ]P = 2p0 p3 2p7, [p1, p3 ]P = p0 p1 + [p1, p10 ]P = p6 p8 p5 p7, [p2, p3 ]P = p0 p2 + p8, [p2, p4 ]P = 2p7, [p2, p8 ]P = p3 p5 + p2 p6, [p2, p9 ]P = 2p3 p8 + 2p2 p7, [p2, p10 ]P = p6 p8 + [p3, p10 ]P = p6 p7 p4 p8, [p4, p5 ]P = 4p0 p6, [p4, p6 ]P = 2p0 p4, [p4, p7 ]P = [p4, p10 ]P = 0, [p5, p6 ]P = 2p0 p5, [p5, p7 ]P = 2p3 p6 + 2p0 p8, [p5, p8 ]P = 2p3 p5, [p5, p9 ]P = 4p3 p8, [p5, p10 ]P = 0, [p6, p7 ]P = (p1 p2 )p6 + p3 p4 + p0 p7, [p6, p8 ]P = (p1 p2 )p5 + p3 p6 p0 p8, [p6, p9 ]P = (p1 p2 )p8 + 2p3 p7, [p6, p10 ]P = 0, [p7, p8 ]P = (p1 p2 )p8 p3 p7 p0 (p9 + p10 ), [p7, p9 ]P = + (p1 p2 )p4 p5, [p8, p9 ]P = 2p3 (p9 + p10 ), [p8, p10 ]P = p3 p2 + соотношением и, в случае n = 2, соотношением Элементы лежат в центре алгебры gr Di G (Pn (H)S ).

Пространство Q = P2 (Ca).

Выражение для функции Гамильтона имеет вид (7). Образующие алгебры gr Di G (P2 (Ca)S ) суть p0,..., p9. Соотношения теперь имеют вид:

[p0, p1 ]P = p3, [p0, p2 ]P = p3, [p0, p3 ]P = (p1 p2 ), [p0, p4 ]P = 2p6, [p0, p9 ]P = 0, [p1, p2 ]P = 2p0 p3 2p7, [p1, p3 ]P = p0 p1 + p8, [p1, p4 ]P = [p2, p3 ]P = p0 p2 + p8, [p2, p4 ]P = 2p7, [p2, p5 ]P = 0, [p2, p6 ]P = p8, [p2, p9 ]P = p6 p8 p5 p7, [p3, p4 ]P = 0, [p3, p5 ]P = 2p8, [p3, p6 ]P = p7, [p3, p9 ]P = p4 p8 p6 p7, [p4, p5 ]P = 4p0 p6, [p4, p6 ]P = 2p0 p4, [p4, p7 ]P = [p5, p6 ]P = 2p0 p5, [p5, p7 ]P = 2p3 p6 + 2p0 p8, [p5, p8 ]P = 2p3 p5, [p5, p9 ]P = 0, [p6, p7 ]P = (p1 p2 )p6 + p3 p4 + p0 p7, [p6, p8 ]P = (p1 p2 )p5 + p3 p Элементы лежат в центре алгебры gr Di G (P2 (Ca)S ).

Пространство Q = Pn (C).

Образующие алгебры gr Di G (Pn (C)S ) суть p0,..., p5, p. Соотношения между ними имеют вид [p0, p1 ]P = p3, [p0, p2 ]P = p3, [p0, p3 ]P = (p1 p2 ), [p0, p4 ]P = p5, [p0, p5 ]P = p4, [p0, p ]P = 0, [p1, p2 ]P = 2p0 p3 2p p4, [p1, p3 ]P = Дополнительное соотношение в случае n = 2 имеет вид Элементы лежат в центре алгебры gr Di G (Pn (C)S ). Отметим, что ввиду (8) имеем C3 = 0 при n = 2.

Пространства Q = Pn (R) и Sn, n 3.

Соотношения между образующими соответствующих пуассоновых алгебр имеют вид При n = 3 дополнительная образующая p коммутирует со всеми остальными образующими. Дополнительное соотношение в случае n = 3 имеет вид p1 p2 p2 p2 = 0. Элементы являются центральными и при n = 3 справедливо равенство C2 = p2.

Для пространств Q = P2 (R), S2 имеем:

где В данном простейшем случае пуассонова алгебра gr Di G (G/K0 ) изоморфна алгебре gr U (so(3)). В ней существует только один функциоgr нально независимый центральный элемент: C1 = p2 + p2 + p2.

Пространство Q = H (H).

Мы не приводим здесь соотношений между образующими p0,..., p пуассоновой алгебры gr Di G (H (H)S ), аналогичных соотношениям в случае пространства Pn (H).

Элементы лежат в центре алгебры gr Di G (Hn (H)S ).

Пространство Q = H2 (Ca).

Выражение для функции Гамильтона имеет вид (11). Образующие алгебры gr Di G (H2 (Ca)S ) суть p0,..., p9. Соотношения между данными образующими аналогичны соотношениям в случае пространства Pn (H). Элементы являются центральными.

Пространство Q = Hn (C).

Образующие алгебры gr Di G (Hn (C)S ) суть p0,..., p5, p. Соотношения между ними имеют вид Дополнительное соотношение при n = 2 имеет вид p1 p2 p2 p2 = 0.

Элементы лежат в центре алгебры gr Di G (Hn (H)S ). При n = 2 справедливо равенство C 3 = 0.

Пространство Q = Hn (R), n 3.

Соотношения между образующими соответствующих пуассоновых алгебр имеют вид Дополнительная образующая p при n = 3 коммутирует со всеми остальными.

Дополнительное соотношение при n = 3 имеет вид p1 p2 p2 p2 = 0.

Элементы являются центральными и при n = 3 справедливо равенство C 2 = p2.

Для пространства Q = H (R) имеем где Пуассонова алгебра gr Di G (G/K0 ) в этом случае изоморфна градуированной алгебре gr U (so(1, 2)). В этой алгебре существует только один функционально независимый центральный элемент C 1 = p2 + p2 p и это простейший некомпактный случай.

Отметим, что пуассоновы алгебры gr Di G (G/K0 ) для всех пространств Q фиксированного кватернионного или комплексного типа при n 3 изоморфны друг другу. Для вещественных пространств это справедливо начиная с n = 4 из-за наличия при n = 3 дополнительного элемента центра p или p. То же справедливо для гамильтоновых функций. Это соответствует тому, что задача двух тел на двухточечно-однородных пространствах достигает максимальной общности при n = 3.

В §7.3 доказано отсутствие столкновений частиц для некоторых потенциалов и начальных условий.

Теорема 7.1 Пусть потенциал V (r) является гладким при r > 0, справедливы неравенства и V = o(r2 ) при r 0. Тогда столкновения частиц отсутствуют в следующих случаях (везде ci = const):

4. Q = Hn (H) :

5. Q = Hn (C) :

6. Q = Hn (R) :

7. Q = H2 (Ca) :

Неформально, условия теоремы 7.1 означают, что на малых расстояниях относительное вращательное движение частиц превалирует над их относительным поступательным движением.

Найденное выражение для двухчастичной функции Гамильтона рассматривается в §7.4 с точки зрения проблемы центра масс для двухточечно-однородных пространств. Обсуждаются различные существующие определения центра масс для пространств постоянной кривизны. Показаны их недостатки по сравнению с определением центра масс в евклидовом пространстве.

В §7.5 для пространств Sn и Hn (R) описаны и классифицированы приведенные классические двухчастичные системы.

Группа изометрий действует лишь на втором сомножителе фазового пространства Mess = T I T (G/K0 ), поэтому для гамильтоновой редукции можно применить теорему 4.

Пространство S3. Для значения момента в общем положении приведенное фазовое пространство имеет вид Mess T I O, где многообразие O диффеоморфно S2. Однако, в силу известного разложеso(3) so(3) для значений отображения момента вида ния so(4) а соответствующие приведенные системы интегрируемы при любом центральном потенциале. Приведенной гамильтоновой функцией является функция (9), где SO(4)-инвариантные функции p0, p1, p2, p3 на O связаны соотношениями Пространство S2. Для ненулевого значения момента so (3) приведенное фазовое пространство имеет тот же вид Mess T I S2. В качестве приведенной гамильтоновой функции можно взять выражение (10), где p2 + p2 + p2 = const.

Пространство H3. Если движение не ограничено на H2 H3, то приведенное фазовое пространство имеет вид Mess T I O, где многообразие O диффеоморфно R2. Приведенной гамильтоновой функцией является функция (12), где SO(1, 3)-инвариантные функции p0, p1, p2, p на O связаны соотношениями Пространство H2. В данном случае приведенное фазовое проT I O, где многообразие O является странство имеет вид Mess Ad 0 (1,2) -орбитой в o (1, 2), определяемой уравнением p2 + p2 p2 = c = const, т.е. полой двухполостного гиперболоида, однополостным гиперболоидом, конусом с выброшенной вершиной или началом координат.

В качестве приведенной гамильтоновой функции можно взять выражение (13).

В §7.6 с помощью теории Моралеса-Рамиса доказана мероморфная неинтегрируемость комлексифицированной приведенной задачи двух тел на пространствах S2 и H2 (R) с четырьмя центральными потенциалами взаимодействия.

Теорема 7.4 Для потенциалов комплексифицированная гамильтонова система для приведенной задачи двух тел на S2 с ненулевым значением момента не допускает дополнительного мероморфного интеграла.

Теорема 7.5 Для потенциалов комплексифицированная гамильтонова система для приведенной задачи двух тел на H2 с моментом, соответствующим двухполостному гиперболоиду в o (1, 2), не допускает дополнительного мероморфного интеграла.

Ограничение случаем двумерной сферы и гиперболической плоскостью (а также случаем двухполостного гиперболоида в теореме 7.5) связано с тем, что при неравных массах частиц известна лишь одна явная траектория задачи двух тел, соответствующая их движению по общей геодезической. Эта траектория реализуется лишь для значений отображения момента, соответствующих движению обеих частиц по S2 S3 или H2 H3 (в последнем случае значение момента должно соответствовать двухполостному гиперболоиду в o (1, 2)).

В главе 8 исследуется квантовомеханическая задача двух тел на двухточечно-однородных компактных пространствах.

Квантовомеханическая система считается квазиточно решаемой, если часть ее энергетических уровней и соотвествующие стационарные состояния известны в явном виде. Оказывается, что квантовомеханическая задача двух тел на сферах Sn является квазиточно решаемой.

Положим в теореме 5.1 = m2 /(m1 + m2 ). Отметим, что Bs 0 при m1 = m2. Пусть D L2 (SO(n + 1), SO(n 1), dµ) – общая собственная функция операторов D1, D2, D3 при n 3 (только операторов D1, D при m1 = m2 ) или D1, D2, {D1, D2 } при n = 2 (только операторов D1, D при m1 = m2 ).

Если мы будем искать решение стационарного уравнения Шредингера в виде = f (r)D, то мы получим для функции f (r) спектральное ОДУ второго порядка где коэффициенты a, b, c зависят от собственных значений операторов D1, D2, D3.

Условия принадлежности функции = f (r)D области определения самосопряженного гамильтониана H диктуют слабейшие из возможных асимптотики для f (r) при r 0 и r +.

Для кулоновского и осцилляторного потенциалов уравнение (14) фуксово, причем для кулоновского потенциала оно имеет четыре особые точки (т.е. сводится к уравнению Гойна), а для осцилляторного всегда сводится к таковому заменой независимой переменной.

Известны условия приводимости уравнения Гойна рациональной заменой независимой переменной к гипергеометрическому. Maier R.S. On reducing the Heun equation to the hypergeometric equation, J. Di. Equations, V. Для уравнения (14) эти условия сводятся к единственному равенству a = c. И собственные значения операторов D1, D2, D3, соответствующие общей собственной функции и равенству a = c, действительно существуют (см. ниже).

При a = c для кулоновского потенциала получаем явные спектральные значения а для осцилляторного потенциала значения Для нахождения общих собственных функций операторов D1, D2, D определим операторы D+, D, F, C равенствами Они удовлетворяют коммутационным соотношениям а C скалярный оператор (оператор Казимира) на каждом неприводимом представлении группы SO(n + 1).

(2005), pp. 171-203.

где c(l1, l2 ) – целочисленные коэффициенты, выражаемые явной, но громоздкой формулой Вейля для размерностей неприводимых представлений алгебры so(n + 1, C), а Vl1,l2 – прямые суммы одномерных собственных пространств оператора F с собственными значениями Точнее, в пространстве Vl1,l2 существует базис j такой, что где j = 0 для j Ll1 l2.

Из этих формул выводится Предложение 8.3. Существуют четыре серии общих собственных векторов операторов D0, D1, D2 в пространстве Vl1,l2.

2. D0 (1 +1 ) = (1 +1 ), D2 (1 +1 ) = l1 (l1 +n2)(1 +1 ), 3. D0 (1 1 ) = (1 1 ), D1 (1 1 ) = l1 (l1 +n2)(1 1 ), Только первый из этих векторов является собственным для оператора D3.

Для n = 2, 3 справедливы аналогичные результаты с некоторыми отличиями, обусловленными тривиальностью группы SO(n 1) при n = 2 и разложением so(4) = so(3) so(3) при n = 3.

Первый и четвертый случаи предложения 8.3 соответствуют равенству a = c. В первом случае имеем a = c = l1 (l1 + n 2)/8, b = 2a, l1 Z+, массы частиц произвольны, а в четвертом Это завершает доказательство квазиточнорешаемости квантовомеханической задачи двух тел на сферах.

В диссертации имеются также четыре приложения. Первое из них содержит технический материал, посвященный вычислению коммутационных соотношений для образующих алгебры инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер QS над двухточечно-однородным пространством Q. Остальные три приложения содержат некоторые известные факты, собранные вместе для удобства ссылок. Во втором содержатся необходимые сведения о фуксовых дифференциальных уравнениях, в частности об уравнениях Римана и Гойна, используемые при явном решении спектральных задач.

В третьем приложении собраны результаты, относящиеся к дифференциальной теории Галуа и используемые в §7.6. Четвертое приложение содержит основные факты, относящиеся к ортогональным комплексным алгебрам Ли и их конечномерным неприводимым представлениям, используемые в гл. 8.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Щепетилов А.В. Некоторые квантово-механические задачи в пространстве Лобачевского, Теор. и мат. физика. T. 109 (1996), c. 395-405.

2. Щепетилов А.В. Квантово-механическая задача двух тел с центральным взаимодействием на односвязных поверхностях постоянной кривизны, Теор. и мат. физика. Т. 118 (1999), c. 248-263.

3. Щепетилов А.В. Задача двух тел на пространствах постоянной кривизны. I. Связь гамильтониана с группой симметрий и редукция классической задачи, Теор. и мат. физика, Т. 124 (2000), c. 249-264.

4. Степанова И.Э., Щепетилов А.В. Задача двух тел на пространствах постоянной кривизны. II. Спектральные свойства гамильтониана, Теор. и мат. физика, т. 124 (2000), с. 481-489.

5. Щепетилов А.В. Редукция задачи двух тел с центральным взаимодействием на односвязных поверхностях постоянной кривизны, Фундаментальная и прикладная математика, Т. 6 (2000), 1, с. 249Shchepetilov A.V. Reduction of the two-body problem with central interaction on simply connected spaces of constant sectional curvature, J. Phys. A: Math. Gen. V.31 (1998), pp. 6279-6291.

7. Shchepetilov A.V. Classical and quantum mechanical two-body problem with central interaction on simply connected spaces of constant sectional curvature, Reports on mathematical physics, V. 44 (1999), N. 1/2, pp. 191-198.

8. Shchepetilov A.V. Invariant treatment of the two-body problem with central interaction on simply connected spaces of constant sectional curvature, Reports on mathematical physics, V. 46 (2000), N. 1/2, pp. 245-252.

9. Shchepetilov A. ”Invariant reduction of the two-body problem with central interaction on simply connected spaces of constant sectional curvature”, In ”Geometry, Integrability, and Quantization”, pp. 229Eds. I. Mladenov and G. Naber, Coral Press, Soa, Bulgaria, 10. Shchepetilov A.V. Algebras of invariant dierential operators on unit sphere bundles over two-point homogeneous Riemannian spaces, J.

Phys. A: Math. Gen., V. 36 (2003), pp. 7361-7396.

11. Shchepetilov A.V. Two-body problem on two-point homogeneous spaces, invariant dierential operators and the mass centre concept, J. Geom. Phys., V. 48 (2003), pp. 245-274.

12. Shchepetilov A.V. A Comment on ”Central potentials on spaces of constant curvature: The Kepler problem on the two-dimensional sphere S 2 and the hyperbolic plane H 2 ” [J. Math. Phys. 46, (2005)], J. Math. Phys. V. 46 (2005), 114101.

13. Shchepetilov A.V. Two-body quantum mechanical problem on spheres, J. Phys. A: Math. Gen., V. 39 (2006), pp. 4011-4046;.

14. Shchepetilov A.V. Nonintegrability of the two-body problem in constant curvature spaces, J. Phys. A: Math. Gen. V. 39 (2006), pp. 5787Shchepetilov A.V. Calculus and Mechanics on Two-Point Homogenous Riemannian Spaces. Lecture Notes in Physics, Vol. 707, Springer Verlag, 2006. (Русский перевод: Щепетилов А.В. Анализ и механика на двухточечно-однородных римановых пространствах. МоскваИжевск: НИЦ ”Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевский институт компьютерных исследований, 2008.)