На правах рукописи

Маркина Надежда Леонидовна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

КАВИТАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

Специальность

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2011

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и программирования ФГБОУ ВПО авиационный институт «Московский (национальный исследовательский университет)».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ревизников Дмитрий Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник ИПМех РАН Алексин Владимир Адамович кандидат физико-математических наук, заведующий сектором ГНЦ ФГУП “Центр Келдыша” Лаптев Игорь Вячеславович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Московский энергетический институт (национальный исследовательский университет)»

Защита состоится «18» ноября 2011 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д212.125.14 при ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» по адресу 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО авиационный институт исследовательский «Московский (национальный университет)».

Автореферат разослан «» 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.125.14, кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Гидаспов В.Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широкая распространенность парожидкостных систем в природе и их интенсивное применение во многих современных отраслях производства обуславливает высокой интерес к задачам, связанным с проблемами механики кавитационных течений. Сложность экспериментального определения характеристик движения двухфазных сред приводит к необходимости численного моделирования рассматриваемых процессов.

Значительное увеличение мощности современных вычислительных комплексов позволяет использовать все более сложные и детализированные модели, учитывающие взаимное влияние микромасштабных процессов в пузырьках и макромасштабных гидродинамических процессов в жидкости. Решению этой актуальной задачи посвящена настоящая работа.

Наиболее общим подходом для макроописания динамики парожидкостных сред является использование модифицированных уравнений Навье-Стокса.

Несмотря на большой опыт применения таких уравнений, их численная реализация даже для несжимаемых жидкостей сопряжена со сложностями построения устойчивых алгоритмов, обеспечением быстрой сходимости итераций и проблемами дискретизации области расчета. Для двухфазных систем задача моделирования течения усложняется из-за необходимости адекватного учета тепломассообменных процессов между фазами, что отражается на устойчивости и сходимости алгоритмов численного моделирования. В связи с этим актуальным направлением представляется разработка комплекса алгоритмов для моделирования динамики двухфазных потоков с учетом многообразия факторов, влияющих на взаимодействие фаз. Это дает возможность более точно описать динамику парожидкостных сред и расширить понимание закономерностей развития кавитационных течений.

Цели работы.

1. Построение математической модели парогазового пузырька, позволяющей учитывать нестационарные процессы тепломассообмена с окружающей жидкостью.

2. Численное моделирование течения вязкой двухфазной жидкости в двумерном канале переменного сечения, анализ характеристик парожидкостной среды при различных кавитационных режимах.

3. Численное исследование влияния состава и параметров дисперсной фазы на макромасштабные характеристики двухфазного течения.

Научная новизна.

Разработаны средства математического моделирования двухфазного течения в канале переменного сечения с учетом кавитационных эффектов, рассмотрены особенности и области применимости моделей и алгоритмов.

Численно исследованы гидродинамические характеристики кавитационного течения в плоском канале. Выделены два вида пульсационного движения парожидкостной среды: пульсации кавитационного происхождения, преобладающие в зоне с относительно высоким содержанием паровой фазы и ослабевающие по мере удаления от стенки, и турбулентные пульсации, доминирующие в приосевой зоне тракта. Выявлено, что в режимах умеренной кавитации пульсации имеют периодический характер, а в режиме суперкавитации наблюдается хаотический характер пульсаций.

Предложена модификация математической модели нестационарного сопряженного тепломассообмена парогазового пузырька с окружающей жидкостью. Особенностями модели является точное выполнение интегрального баланса массы и учет пространственной неоднородности температуры и концентраций компонент в пузырьке. Разработаны численные алгоритмы моделирования эволюции двухкомпонентного пузырька в жидкости, на основе вычислительных экспериментов показано значительное влияние учета нестационарного характера тепломассообменых процессов на границе раздела фаз на характеристики автоколебательного режима пузырька.

Осуществлено сопряжение модели одиночного пузырька с моделью течения жидкости в канале, что позволило учесть взаимное влияние микромасштабных процессов в пузырьках и макромасштабных гидродинамических процессов в жидкости. Получены результаты по влиянию состава и параметров дисперсной фазы, таких как объемное газосодержание в жидкости, распределение зародышей кавитации по размерам, средний размер ядер кавитации, на макромасштабные характеристики двухфазного течения.

Достоверность и обоснованность результатов диссертационной работы обеспечивается применением стандартной методологии исследований в области вычислительной гидродинамики:

• использование фундаментальных уравнений гидродинамики при построении математических моделей;

• непротиворечивость получаемых решений общим гидродинамическим представлениям;

• качественное и количественное согласование получаемых результатов с данными экспериментов и решений подобных задач другими авторами.

Практическая ценность. Разработанные математические модели, алгоритмы и программы, имеют высокую значимость с точки зрения перспектив практического применения в пакетах прикладных программ моделирования кавитационных течений. Полученные результаты вычислительных экспериментов позволяют детально рассмотреть картину движения вязкой двухфазной жидкости, выявить особенности колебательных характеристик парожидкостной системы при различных кавитационных режимах, изучить влияние выбора модели дисперсной фазы на свойства течения, исследовать зависимость параметров потока от количества и распределения ядер кавитации в несущей фазе. Это позволяет обосновано подойти к проектированию систем, в основе которых лежат кавитационные эффекты, а также снизить неблагоприятное кавитационное воздействие на элементы конструкций, соприкасающихся с жидкостью.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на XIII международном симпозиуме “Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред” (Ярополец, 2007), на VII международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ’2008) (Алушта, 2008), на XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС’2011) (Алушта, 2011), на заседании семинара кафедры ФГБОУ ВПО “МАИ (НИУ)” №202 “Ракетные двигатели” (Москва, 2011), на семинаре Института океанологии им. П.П.Ширшова РАН под руководством академика РАН Нигматулина Р.И. (Москва, 2011), на семинаре ФГБОУ ВПО “МАИ (НИУ)” под руководством членакорреспондента РАН Пирумова У.Г. (Москва, 2011), на заседании семинара кафедры ФГБОУ ВПО “МЭИ (НИУ)” “Инженерная теплофизика” под руководством профессора, доктора технических наук Ягова В.В. (Москва, 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ и 1 работа принята к публикации, из них 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для представления научных результатов диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В работе содержится 36 рисунков и 147 библиографических ссылок. Общий объем работы составляет 107 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор литературы, посвященной вопросам математического моделирования кавитационных процессов. Проведен анализ математических моделей, описывающих динамику пузырька при изменении давления в окружающей жидкости, освещены подходы к моделированию течений с учетом кавитационных эффектов. Приводится обоснование актуальности темы диссертационной работы, формулируются цели, кратко излагается ее содержание, приводятся данные по апробации работы.

Первая глава посвящена численному моделированию плоского течения вязкой парожидкостной смеси в канале переменного сечения на основе гомогенной модели кавитации. В основе математической модели лежит система нестационарных уравнений Навье-Стокса, дополненных уравнением фазового переноса с источниковыми слагаемыми, регулирующими межфазный массообмен:

где t - время, u и v - компоненты вектора скорости, p - давление, m эффективная плотность, - объемная доля жидкой фазы, m - скорость испарения, m + - скорость конденсации пара, l - плотность жидкой фазы, v - плотность паровой фазы, µ - динамическая вязкость. В данной работе источниковые члены m и m+ являются функциями давления и содержат эмпирически определяемые коэффициенты C prod и C dest. В данной работе m и m + вычислялись по формулам:

где U - средняя скорость течения в невозмущенном потоке; t = N - хаU рактерный временной масштаб; LN - длина канала; pcav - критическое значение давления.

Приведен модифицированный алгоритм PISO, применяемый для согласования полей скоростей, давления, плотности, в котором дискретизация уравнений производится по методу контрольного объема на разнесенной сетке.

С целью верификации используемой математической модели и алгоритма расчета проведено сравнение экспериментальных данных с результатами численного моделирования течения парожидкостной среды в плоском канале. В экспериментах жидкость из входного сечения шириной 32 мм поступает в узкое сечение канала шириной 4 мм и длиной 16 мм.

Так как течение имеет вертикальную ось симметрии, в качестве расчетной области рассматривалась половина канала. На стенках канала ставились условия прилипания, на входе в канал задавался профиль скорости u. Истечение жидкости производилось в среду с атмосферным давлением, критическое давление pcav равнялось 3 КПа. Число кавитации рассчитывалось скорость жидкости на выходе из канала. Проводилось численное моделирование режимов течения, характеризующихся различной степенью развития кавитации. Режим зарождающейся кавитации представлен расчетом с числом кавитации = 1.27, для течений со слабо и сильно развитой кавитацией = 0.95 и = 0.78, для режима суперкавитации = 0.65. В численных экспериментах применялась ламинарная модель течения.

кавитации, = 1.27. В месте сужеE+ лением, близким к критическому, ровой фазы в данной области. а) Поле плотности, На рисунке 2 приведены гра- Рисунок 1 - Распределения гидродинамических параметров при = 1. фики экспериментально измеренных и рассчитанных продольных скоростей. Видно, что профили скорости неплохо согласуются в первом сечении (рисунок 2 (а)), где наблюдается кавитационный режим. Ниже по потоку имеется рассогласование, связанное с использованием в расчетах ламинарной модели течения.

Рисунок 2 - Распределения усредненных по времени скоростей u при = 1.27.

1 - скорости, измеренные экспериментально; 2 - расчетные скорости.

Численное моделирование показало, что истечение сжимаемой жидкости из канала носит колебательный периодический характер. Рисунок иллюстрирует расчетное абсолютное отклонение продольной скорости u ' от усредненного по времени значения u в сечении x = 0.5 мм. Отклонение скорости измерялось в точках, отстоящих от продольной оси канала на различном расстоянии.

Рисунок 3 - Абсолютное отклонение продольной скорости u ' от усредненного по времени значения продольной скорости в сечении x = 0.5 мм, = 1.27.

Увеличение расхода жидкости приводит к росту зоны низкого давления и возрастанию содержания паровой фазы. При этом приосевая область канала почти однородна и практически не содержит паровой фазы, в то время как в пристеночной зоне паросодержание является значительным.

а) Фотография тече- б) Поле плотности, Рисунок 4 - Распределения гидродинами- неплохо согласуются как по размеческих параметров при = 0.65.

профилям скорости.

Рисунок 6 иллюстрирует экспериментальный и расчетный графики среднеквадратичного отклонения скорости u от усредненного по времени значения при величинах числа кавитации = 1.27 и = 0.65. Как в режиме зарождающейся кавитации, так и в режиме суперкавитации наилучшее согласование флуктуаций скорости с экспериментальными данными получено в пристеночном слое, тогда как в приосевой зоне рассчитанные флуктуации скорости значительно слабее наблюдаемых в эксперименте. Таким образом, можно говорить о двух видах пульсационного движения парожидкостной среды. В зоне с высоким содержанием паровой фазы доминируют пульсации кавитационного происхождения, которые хорошо воспроизводятся в вычислительном эксперименте. По мере удаления от стенки пульсации данного вида ослабевают и основную роль начинают играть турбулентные пульсации. Следует отметить, что с уменьшением числа кавитации изменяется характер осцилляций скорости u : в режимах зарождающейся и слабой кавитации осцилляции скорости носят периодический характер (рисунок 3), в режиме суперкавитации колебания становятся хаотическими.

Рисунок 6 - Среднеквадратичное отклонение скорости u от усредненного по времени значения в сечении. 1- эксперимент; 2-расчет.

На рисунке 7 показана зависимость относительной величины кавитационной зоны Lcav =, где Lcav - абсолютная длина кавитационной зоны, LN - длина узкой части тракта, от величины перепада давления dP в тракте. Наблюдается хорошее согласование рассчитанной и экспериментальРисунок 7 - Зависимость величины ной кривых.

Во второй главе исследуются автоколебательные режимы сферического пузырька при изменении давления в жидкости. В основе математической модели лежит система обыкновенных дифференциальных уравнений, включающая в себя модифицированное с целью учета массообмена уравнение Релея-Плессета (6), уравнение движения границы пузырька (7), уравнение энергии в пузырьке (8), уравнение сохранения энергии в системе «парогазовый пузырек - окружающая жидкость» (9, 10), учитывающее нестационарность и неоднородность температуры по пространству, а также уравнение диффузии в парогазовой смеси (11). Используемые в математической модели уравнения получены в предположении о сферической симметрии пузырька и постоянстве давления по объему пузырька.

Здесь R - радиус пузырька, r - пространственная координата, U R - скорость жидкости на границе пузырька, p g - давление парогазовой смеси внутри пузырька, p - давление жидкости, L - плотность жидкости, g плотность парогазовой смеси, µ - динамическая вязкость жидкости, поверхностное натяжение, Ts - температура границы раздела фаз, q gS удельный тепловой поток от газа к поверхности раздела, j - массовый поток пара через границу раздела фаз, c pV - удельная массовая теплоемкость пара при постоянном давлении, - эффективный показатель адиабаты парогазовой смеси, который в рамках рассматриваемой модели предполагается постоянным, C - концентрация пара в пузырьке, c pg и c pa - удельные массовые теплоемкости смеси и инертного газа соответственно при постоянном давлении, g - коэффициент теплопроводности газа, зависящий от температуры по степенному закону, L - коэффициент теплопроводности жидкости, D - коэффициент диффузии, c L - удельная массовая теплоемкость жидкости, w - скорость газа в пузырьке.

На границе раздела фаз система замыкается уравнениями, описывающими тепломассообмен на поверхности раздела фаз (уравнения баланса массы, теплового баланса и соотношения на кривой насыщения):

где VS - плотность пара на границе раздела фаз, - удельная теплота парообразования, RV - газовая постоянная пара, q SL и q gS - удельные тепловые потоки от поверхности пузырька к жидкости и из газа к поверхности пузырька соответственно.

Для проведения численного моделирования автоколебательных процессов парогазовых образований в качестве траектории движения пузырьков бралось сечение, находящееся на расстоянии 0.3 мм от стенки узкой части канала, что связано с повышенным паросодержанием в пристеночной зоне канала (рисунок 4 (б)). На рисунке 8 представлены результаты, полученные для режима роста пузырька при падении давления в сечении канала при = 0.65. Начальный радиус пузырька – 45 мкм. Показано, что с изменением радиуса пузырька меняются температура парогазовой смеси и концентрация пара в пузырьке. Максимальные температуры газа в пузырьке достигаются в моменты максимального сжатия пузырька в ходе колебательного процесса и имеют характер температурных пиков. Проведенные вычислительные эксперименты показали, что повышение начального размера пузырька ведет к увеличению амплитуды колебаний, при этом в пузырьке возрастает концентрация паровой фазы и уровень температурных пиков, происходит смещение максимальных величин давления парогазовой смеси в область более высоких значений; увеличение перепада давления приводит к возрастанию частоты и амплитуды колебаний, повышается уровень пиков температуры и давления.

P, Pa а) Распределение давления в Рисунок 8 – Распределение давления в сечении канала и изменение параметров пузырька с начальным радиусом 45 мкм в сечении канала в режиме суперкавитации, = 0. С целью сравнительного анализа проводились численные эксперименты с использованием более простой и распространенной модели пузырька, характеризующейся тремя различными температурами: температурой парогазовой смеси внутри пузырька (однородная по пространству температура), температурой границы раздела фаз и температурой окружающей жидкости. Для расчета теплообмена между поверхностью пузырька и окружающей жидкостью использовалось квазистационарное приближение.

На рисунке 9 представлены результаты численного эксперимента для пузырька с начальным радиусом 45 мкм с использованием модели сопряженного нестационарного тепломассообмена и квазистационарной модели. Приведенные на рисунке 9 результаты наглядно иллюстрируют важность учета пространственной неоднородности температуры и концентрации пара при расчете характеристик автоколебательного процесса парогазового пузырька. Видно, что учет нестационарного характера тепломассообменных процессов ведет к возрастанию расчетной амплитуды колебаний пузырька, повышению уровня температурных пиков и смещению максимальных величин давления парогазовой смеси в область более высоких значений.

R, mcm Рисунок 9 - Сравнительный анализ математических моделей: 1-нестационарный сопряженный В третьей главе реализовано сопряжение модели одиночного пузырька с моделью течения жидкости, что позволяет учесть взаимное влияние микромасштабных процессов в парогазовом пузырьке и макромасштабных гидродинамических процессов в окружающей жидкости.

Процесс стационарного невязкого течения с парогазовыми пузырьками, имеющими монодисперсное распределение по размерам, в квазиодномерном приближении описывался уравнениями сохранения массы жидкости, сохранения числа пузырьков, уравнением импульсов:

где x - координата, направленная вдоль оси канала, L - плотность несущей фазы, pL - давление в канале, U ( x ) - скорость течения жидкости в канале, A ( x ) - площадь поперечного сечения канала, n ( x ) - число пузырьков в единице объема, ( x ) = n ( x )V - объемное содержание парогазовой фазы, Типичная картина распределения параметров двухфазного течения в канале кругового сечения переменного сечения представлена на рисунке 10 (показана область нелинейных колебаний пузырьков). В расчетах использована модель нестационарного сопряженного тепломассообмена парогазового пузырька с окружающей жидкостью.

pL, MPa Рисунок 10 - Распределение параметров двухфазного течения вдоль оси канала Численное моделирование двухфазного потока в канале с геометрическими размерами, описанными в первой главе, показало, что применение квазиодномерной модели течения не позволяет получить удовлетворительных качественных и количественных характеристик кавитационного течения для данной задачи. В связи с этим было рассмотрено поведение совокупности пузырьков в сечении канала, находящегося на расстоянии 0.3 мм от стенки узкой части канала. На рисунке 8(а) показано изменение концентрации парогазовой фаalpha пользована модель нестационарного сопряженного тепломассообмена пузырька с жидкостью, для кривой 3 тепломассообмен рассчитывался в квазистационарном приближении. Видно, что учет нестационарности тепломассобменых процессов пузырьков с жидкостью приводит к увеличению содержания паровой фазы в канале в несколько раз, что связано с высокой интенсивностью испарения жидкости в растущий пузырек при моделировании нестационарного тепломассообмена.

Численное исследование влияния распределения по размерам дисперсной фазы на входе в канал показало, что наличие зародышевых пузырьков большего радиуса при одинаковом газосодержании увеличивает размер кавитационной области вдоль оси канала, что связано с возрастанием инерции наиболее крупных пузырьков; равномерное распределение ядер кавитации в жидкости повышает уровень максимального паросодержания по сравнению с линейным и экспоненциальным распределениями;

возрастание газосодержания в жидкости приводит к увеличению содержания парогазовой фазы в кавитационной области.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработаны средства математического моделирования двухфазного течения в каналах переменного сечения с учетом кавитационных эффектов. Сравнение данных вычислительного и физического экспериментов для различных режимов кавитации показало хорошее согласование результатов.

2. Исследованы пульсационные характеристики течения вязкой жидкости в канале переменного сечения в условиях кавитации. В режимах зарождающейся и слабой кавитации осцилляции скорости носят периодический характер. С уменьшением числа кавитации величина кавитационной зоны увеличивается, характер флуктуаций становится апериодичным. В пристеночных зонах, где интенсивность кавитации высока, рассчитанные амплитуды пульсаций хорошо согласуются с экспериментальными данными. В приосевой зоне расчетные амплитуды существенно ниже экспериментальных, что связано с ослаблением кавитационных эффектов и проявлением турбулентного характера течения.

3. Предложена модификация математической модели нестационарного сопряженного тепломассообмена парогазового пузырька с окружающей жидкостью, учитывающая пространственную неоднородность температурных полей газа и жидкости, а также неоднородность концентрации компонент в пузырьке. Отличительной особенностью предложенной модели является точное выполнение интегрального баланса массы.

4. Разработаны и реализованы эффективные вычислительные алгоритмы моделирования эволюции парогазового пузырька при изменении давления в окружающей жидкости. Получены данные о значительном влиянии начального радиуса пузырька и величины перепада давления в жидкости на основные характеристики колебательного процесса пузырька: частоту и амплитуду колебаний, время установления стационарного режима, максимальную температуру газа и концентрацию паровой фазы в пузырьке.

5. Проанализировано влияние учета нестационарного характера тепломассообменых процессов на границе раздела фаз на параметры эволюции пузырька. Сравнительный анализ результатов расчетов, полученных с использованием предложенной модели и более простой трехтемпературной модели пузырька, выявил, что упрощающее предположение о квазистацинарном характере тепломассообменных процессов в системе “пузырек - окружающая жидкость” приводит к уменьшению расчетной амплитуды колебаний пузырька, понижению уровня температурных пиков и максимальных величин давления парогазовой смеси.

6. Реализовано сопряжение модели одиночного пузырька с моделью течения жидкости в канале. В результате численного моделирования выявлено значительное влияние выбора модели дисперсной фазы на макромасштабные характеристики движения двухфазной среды. Показано, что характеристики двухфазного течения зависят от концентрации и распределения ядер кавитации в жидкости по размерам: наличие зародышевых пузырьков большего радиуса при одинаковом газосодержании увеличивает размер кавитационной области вдоль оси тракта, при этом уровень максимального паросодержания возрастает; повышение газосодержания в жидкости приводит к увеличению содержания парогазовой фазы в кавитационной области.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Маркина Н.Л. Численное моделирование автоколебательных режимов парогазового пузырька при резком изменении давления в потоке // Материалы XIII Международного симпозиума “Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред”. Тезисы докладов. – M.: Изд-во МАИ. – 2007. – С. 186-188.

2. Маркина Н.Л. Программный комплекс, моделирующий автоколебания пузырька при изменении давления в жидкости // Новые информационные технологии. Тезисы докладов XV Международной студенческой школы-семинара. – М.: МИЭМ. – 2007. – С. 388-390.

3. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л., Черкасов С.Г. Численное моделирование эволюции парогазовых образований при течении жидкости в канале. Перспективные энергетические технологии на земле и в космосе // Сб. статей под ред. акад. А. С. Коротеева – М.: ЗАО “Светлица”. – 2008. – C. 190-200.

4. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л., Черкасов С.Г. Численное моделирование автоколебательных режимов парогазовых образований при течении жидкости в канале // Материалы VII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ’2008). – M.: Изд-во МАИ. – 2008. – С. 298-300.

5. Маркина Н.Л. Программный комплекс, моделирующий автоколебательные режимы парогазовых образований в жидкости // Материалы ХVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС’2009). – M.: Изд-во МАИ-ПРИНТ. – 2009. – С. 520-522.

6. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л., Черкасов С.Г. Математическая модель сопряженного тепломассообмена парогазового пузырька с окружающей жидкостью // Вестник Московского авиационного института. – 2009. – T.16. № 2. – C. 71-78.

7. Маркина Н.Л. Численное моделирование течения парогазовой смеси в канале переменного сечения // Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ’2010). – M.: Изд-во МАИ. – 2010. – С. 186-188.

8. Маркина Н.Л. Алгоритмы численного решения уравнений НавьеСтокса при наличии кавитации // Электронный журнал “Труды МАИ”.

9. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л. Численное моделирование кавитационных процессов в канале переменного сечения // Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС’2011). – M.: Изд-во МАИ-ПРИНТ. – 2011. – С. 584-586.

10. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л. Численное моделирование течения жидкости при наличии кавитации // Вестник Московского авиационного института. – 2011. – T.18. № 2. – C. 200-210.

11. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л., Черкасов С.Г. Исследование кавитационных процессов в канале переменного сечения // Известия РАН.

Энергетика. – 2012. – № 1 (статья принята к публикации).