На правах рукописи

ВАЛОВИК Дмитрий Викторович

НЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ

ТМ-ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОМ СЛОЕ

Специальность 01.01.02 – Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ 2008

Работа выполнена на кафедре математики и математического моделирования Пензенского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Смирнов Юрий Геннадьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ильинский Анатолий Серафимович;

доктор физико-математических наук, доцент Карчевский Евгений Михайлович;

Ведущая организация: Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет), г. Москва

Защита диссертации состоится 4 декабря 2008 г., в _ часов _ минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова–Ленина по адресу:

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова–Ленина.

Автореферат разослан «_» 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент Е. К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена решению нелинейной краевой задачи на собственные значения распространяющихся ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра.

Актуальность темы Изучение задач распространения электромагнитных волн в нелинейных средах является актуальным в связи с тем, что эти явления находят широкое применение в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике. Кроме того, они представляют и самостоятельный математический интерес, поскольку такие задачи являются нелинейными краевыми задачами на собственные значения, общие методы решения которых недостаточно разработаны. Таким образом, прогресс в аналитическом исследовании подобных задач важен и с теоретической, и с практической точек зрения. Разработка численных методов для решения задач этого класса также является актуальной. Результаты аналитического исследования могут существенно помочь при разработке численных методов. Данное направление было и является предметом исследования многих авторов (В. П. Силин, П. Н. Елеонский, K. M. Leung, H. W. Shurmann, В. С. Серов, Ю. В. Шестопалов, Ю. Г. Смирнов).

Цель работы:

– исследование задачи распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра;

– формулировка краевой задачи на собственные значения для распространяющихся ТМ-волн и исследование ее разрешимости;

– формулировки и доказательства теорем о существовании и локализации собственных значений краевой задачи, а также теорем о предельном переходе к случаю линейной среды в слое и о первом приближении для собственных значений относительно параметра нелинейности.

Научная новизна:

– впервые получено дисперсионное уравнение для задачи распространения электромагнитных ТМ-волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра. Введены понятия собственного значения и собственной функции для нелинейной краевой задачи;

– предложен метод сведения нелинейной краевой задачи на собственные значения к дисперсионному уравнению и доказана теорема об эквивалентности решений краевой задачи и решений дисперсионного уравнения;

– доказаны теоремы о существовании и локализации собственных значений краевой задачи на основе изучения дисперсионного уравнения, а также теоремы о предельном переходе к случаю линейной среды в слое и о первом приближении для собственных значений;

– с помощью дисперсионного уравнения приближенно вычислены собственные значения и собственные функции краевой задачи.

Практическая значимость Большое практическое значение в представленной работе имеет полученное дисперсионное уравнение, анализ которого позволяет не только доказать существование решений краевой задачи (а значит и исходной задачи о распространении волн), но и исследовать свойства распространяющихся ТМ-волн в зависимости от различных параметров.

Кроме того, полученное дисперсионное уравнение легко поддается численному решению на компьютере. Систему дифференциальных уравнений задачи также можно записать в виде, удобном для численных расчетов. Таким образом, имеется возможность вычислять не только собственные значения краевой задачи, но и собственные функции, отвечающие этим собственным значениям, а следовательно, изучать структуру поля электромагнитной волны.

Реализация и внедрение полученных результатов Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты НИР и грантов, выполненных на кафедре математики и математического моделирования ПГУ: РФФИ 06-07-89063а.

Апробация работы Основные результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах:

– Международной конференции «Days on diffraction» (Saint Petersburg, Russia, 2007);

– научном семинаре кафедры математики и математического моделирования Пензенского государственного университета (2008);

– научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова–Ленина (2008).

Публикации По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата, две работы – из списка журналов, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, содержащего 60 наименований. Работа изложена на 100 страницах машинописного текста, содержит 9 графиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются краткое содержание и основные результаты работы.

Первая глава Эта глава посвящена постановке задачи для распространяющихся поляризованных электромагнитных ТМ-волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра. Из системы уравнений Максвелла выводится система дифференциальных уравнений, для которой в дальнейшем ставится краевая задача. В этой главе также находится алгебраический первый интеграл для указанной системы уравнений и доказывается формальная интегрируемость системы уравнений в квадратурах.

Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью типа Керра, расположенный между двумя полубесконечными полупространствами x 0 и x h в декартовой системе координат Oxyz (рис. 1). Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость и 3 0, соответственно, где 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя 0 x h определяется по закону Керра:

где a 0 и 2 max 1, 3 – константы. Здесь 2 – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости ; a – коэффициент нелинейности.

Требуется отыскать собственные значения задачи, отвечающие поверхностным волнам, распространяющимся вдоль границ слоя 0 x h, собственными волнами структуры. Следует иметь в виду, что система дифференциальных уравнений, описывающая задачу, является нелинейной соответствующих компонентам поля, так и относительно спектрального параметра. Краевые условия, вытекающие из условий сопряжения, также являются нелинейными относительно искомого спектрального параметра.

Электромагнитное поле E, H удовлетворяет уравнениям Максвелла:

где E и H – комплексные амплитуды, удовлетворяющие условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x 0 и x h и условию излучения на бесконечности:

электромагнитное поле экспоненциально затухает при x в областях x0 и x h.

H 0, H y, 0. Обозначим гармонически зависят от z, получаем систему уравнений:

распространения электромагнитной волны. Дальше будем считать действительным (так что E не зависит от z).

Вводя обозначения k 2 20 с 0 и выполняя нормировку в соответствии с формулами Опуская значок тильды, из системы (2) получаем следующую систему в нормализованной форме:

Будем искать те значения спектрального параметра, которые отвечают действительным решениям X, Z системы (3), где Также будем полагать, что функции X x, Z x дифференцируемы в слое так, что Считаем, что удовлетворяет условию max 1, 3 2 2.

Решение уравнений Максвелла будем искать во всем пространстве.

Для полупространств x 0, 1 и x h, 3 решение системы (3) не представляет трудностей.

Внутри слоя 0 x h система (3) становится нелинейной и допускает алгебраический первый интеграл:

где C1 – константа интегрирования.

Вторая глава Во второй главе рассмотрена постановка краевой задачи (задачи сопряжения) для системы дифференциальных уравнений, полученной из системы (3).

Сформулируем для этой системы определение собственного значения и собственной функции.

Условия сопряжения дают Рассмотрим линейный дифференциальный оператор первого порядка и определим оператор D :

Пусть F и G F, обозначают векторы-столбцы:

где X x и Z x являются искомыми функциями, а G1 и G2 являются правыми частями уравнений системы (7). Число является спектральным параметром. Также будем рассматривать вектор-столбец N x.

Перепишем задачу, используя введенные обозначения.

Для полупространства x 0, 1, N 1 получаем система принимает вид Условия сопряжения (8) приводят к условиям переход к пределу по каждой компоненте вектора.

Сформулируем краевую задачу (задачу сопряжения). Требуется найти ненулевой вектор F и соответствующие собственные значения, такие, что F удовлетворяет уравнениям (9)–(11) и условиям сопряжения (12).

Кроме того, компоненты вектора F удовлетворяют условию Определение 1. Число 0, при котором существует ненулевое решение F задачи (9)–(11) при условиях (12) и (13), будем называть собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компоненты X x и Z x вектора F – собственными функциями.

Найденное дисперсионное уравнение имеет вид и N 0 является целым числом. Кроме того, функции и связаны Легко показать, что все необходимые интегралы сходятся.

Постоянная интегрирования C1 вычисляется из условий сопряжения и равна (падающее поле), а X h является корнем уравнения третьей степени:

Формула (14) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого h. Нужно отметить, что когда N 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N. Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений. Все полученные будут составлять множество постоянных распространения, на которых, и только на которых, будут распространяться волны в слое при данном h. На самом деле N будет принимать все целые значения от 0 до, где – целая часть числа.

Теорема 1. Краевая задача на собственные значения (9)–(11) с условиями (12) и (13) имеет решение – собственное значение, тогда и только тогда, когда это собственное значение является решением дисперсионного уравнения (14).

Дисперсионное уравнение в случае линейной среды в слое выглядит следующим образом:

Тогда справедлива Теорема 2. Пусть a является решением краевой задачи на собственные значения (9)–(11) с условиями (12) и (13).

является решением дисперсионного уравнения (16).

приближение к собственным числам.

где J a, – левая часть уравнения (14).

Выражение (17) определяет неявную функцию a. Поскольку эта функция является дифференцируемой в окрестности точки a 0, ее разложение в ряд Тейлора имеет вид где 0 является решением уравнения (16), рассматриваемого как уравнение относительно. И имеет место Теорема 3. Пусть краевая задача на собственные значения (9)–(11) с условиями (12) и (13) имеет решения a.

где 0 – решение дисперсионного уравнения (16), а 1 выражается следующей формулой:

где Таким образом, дисперсионное уравнение позволяет вычислять приближенные значения собственных чисел.

На основе полученных результатов, сформулируем теоремы о существовании и локализации собственных значений рассматриваемой краевой задачи. Пусть функция J J a,, N обозначает левую часть конечного N. Более того, из самого вида дисперсионного уравнения следует, что при уменьшении N значения нижней и верхней границ уменьшаются, а при увеличении N – увеличиваются.

Теорема 4. Пусть тогда для любого h h1, h2 существует, по крайней мере, одно собственное значение задачи (9)–(11) с условиями (12) и (13).

Теорема 5. Пусть и пусть h h1, h2 для всех k 0, N, тогда существует, по крайней мере, N 1 собственных значений задачи (9)–(11) с условиями (12) и (13).

Теорема 6. Пусть j 1 h, тогда существует, по крайней мере, j i собственных значений задачи (9)–(11) с условиями (12) и (13).

Рассмотренный метод применим к аналогичной задаче в случае анизотропного нелинейного слоя. Для такого случая рассмотрены постановка задачи, решение системы дифференциальных уравнений, условия сопряжения и выведено дисперсионное уравнение для собственных значений.

Третья глава Данная глава посвящена численным результатам и обсуждению некоторых свойств дисперсионного уравнения. Проведено сравнение между решениями дисперсионного уравнения в случае линейной среды в слое, нелинейного дисперсионного уравнения, а также первого приближения для собственных значений. Результаты расчетов проиллюстрированы графиками соответствующих зависимостей. Также проведены расчеты поведения решений нелинейного дисперсионного уравнения при различных значениях параметров. Проведено вычисление собственных значений в зависимости от толщины слоя, коэффициента нелинейности и начальных данных. Кроме того, рассматривается случай, когда краевая задача имеет три собственных значения: вычислены собственные значения и построены графики собственных функций для каждого из них.

уравнения как функции h. Сплошная линия характеризует решение дисперсионного уравнения для случая линейной среды в слое (16), штриховая – расчеты по первому приближению (20), а пунктирная – решения дисперсионного уравнения для случая нелинейной среды в слое (14). Расчеты проведены при следующих значениях параметров и начальных данных:

приближения и дисперсионного уравнения в случае нелинейной среды в слое a было взято равным 0,1.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Впервые получено дисперсионное уравнение, позволяющее делать заключение о существовании решений краевой задачи на собственные значения. Доказаны теоремы о существовании и локализации собственных значений нелинейной краевой задачи.

распространяющихся ТМ-волн в нелинейном слое было проведено методом сведения ее к эквивалентному дисперсионному уравнению.

Доказана теорема эквивалентности решения краевой задачи на собственные значения и дисперсионного уравнения.

3. Найдена асимптотика первого порядка для собственных значений в зависимости от коэффициента нелинейности. Выполнены численные расчеты собственных значений, соответствующих им собственных функций краевой задачи и проведено сравнение с результатами расчетов по первому приближению.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Валовик, Д. В. Электромагнитная задача дифракции ТМ-волн на нелинейном полубесконечном слое / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 2. – С. 19–25.

2. Валовик, Д. В. Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 35–45.

3. Валовик, Д. В. Нелинейная задача на собственные значения для ТМполяризованных электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений.

Математика. – 2008. – № 10. – С. 70–74.

4. Валовик, Д. В. Расчет постоянных распространения ТМполяризованных электромагнитных волн в нелинейном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2008. – Т. 53. – № 8. – С. 934–940.

5. Валовик, Д. В. Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном анизотропном слое / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 4. – С. 51–59.

6. Валовик, Д. В. О распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2008. – Т. ??. – № 12. – С. ??–??.

7. Валовик Д. В. О существовании решений нелинейной краевой задачи на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.

Физико-математические науки. – 2008. – № 2. – С. 86–94.

8. Valovik D. V. Analysis of the TM-wave propagation in nonlinear dielectric layer planar waveguides with Kerr nonlinearity / D. V. Valovik, Yu. G. Smirnov // Days on diffraction: International Conference Saint Petersburg, Russia, 29 May– 1 June, 2007. – P. 81.

ВАЛОВИК Дмитрий Викторович Нелинейная краевая задача для системы дифференциальных уравнений распространяющихся электромагнитных Специальность 01.01.02 – Дифференциальные уравнения Технический редактор А. Г. Темникова Подписано в печать 12.08.08. Формат 60841/16.

Отпечатано в Информационно-издательском центре ПГУ Пенза, Красная, 40, т.: 56-47-