МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико–математический факультет

На правах рукописи

УДК 519.21

Громов Александр Николаевич

ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ

ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ И ИНВЕСТИРОВАНИЯ

В СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ РИСКА

01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

Москва 2013

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико–математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико–математических наук, профессор Булинская Екатерина Вадимовна

Официальные оппоненты:

доктор физико–математических наук, профессор Королев Виктор Юрьевич, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики, профессор кафедры математической статистики доктор физико–математических наук, профессор Рыков Владимир Васильевич, Российский государственный университет имени И.М. Губкина, факультет автоматики и вычислительной техники, профессор кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования

Ведущая организация:

Институт проблем информатики РАН (ИПИ РАН, г. Москва)

Защита диссертации состоится 11 апреля 2014 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова (Ломоносовский пр-т, 27, сектор А, 8 этаж).

Автореферат разослан 7 марта 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы В настоящее время страхование играет важную роль в экономической и социальной сферах общества, а страховые компании, наряду с банками, стали важнейшими финансовыми институтами. Развитие страховых компаний и усиливающаяся потребность в актуарных расчетах в свою очередь ведут к развитию теории вероятностей и теории риска. Одной из наиболее ранних моделей риска является классическая модель Крамера–Лундберга. Докторская диссертация Лундберга1 посвящена коллективной модели риска, и в ней впервые было предложено использовать пуассоновский поток для моделирования моментов поступления требований в компанию. В работах Крамера также рассматривается коллективная модель риска.

Страховая компания, собрав взносы с клиентов, должна быть способна обеспечить выплату страхового возмещения по всем поступающим требованиям. Поэтому существенным показателем качества работы страховой компании является вероятность неразорения, а задача максимизации вероятности неразорения одна из важнейших для компании. Для увеличения вероятности неразорения страховщик часто пользуется перестрахованием3. Поиск оптимальных в том или ином смысле стратегий перестрахования является важным направлением современных исследований и ему посвящено большое количество работ. Упомянем работы Шмидли4, Хиппа и Вогта5, Белкиной и Матвеевой6, Хойгаарда и Таксара7. Еще одним важным направлением совреLundberg F. Approximations of the probability function/Reinsurance of Collective Risks, Doctoral thesis, 1903.

Cramer H. On the mathematical theory of risk, Frskringsaktiebolaget Skandia 1855–1930, Stockholm, oa 1930, 2, 7–84.

Cramer H. The theory of risk in its application to life insurance problems, The Jubilee Volume of Skandia Insurance Company, Stockholm, 1955, 1–92.

Булинская Е.В. Теория риска и перестрахование, М.: Мэйлор, 2009.

Schmidli H. Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting, Scand. Actuarial J., 2000, 1, 55–68.

Hipp C., Vogt M. Optimal dynamic XL reinsurance, ASTIN Bulletin, 1991, 33, 193–207.

Белкина Т.А., Матвеева М.В. Об оптимальных стратегиях перестрахования в моделях с диффузионной аппроксимацией процесса риска, В сб. Инновационная система государства и перспективы ее развития, Гомель: ЦИИР, 2010, 43–54.

Hojgaard B., Taksar M. Optimal proportional reinsurance policies for diusion models, Scand. Actuarial J., менной теории риска является поиск оптимальных в разных смыслах стратегий инвестирования средств в рисковый актив, в частности, этот вопрос изучается в работах Хиппа и Плама8, Шмидли9, Фроловой и соавторов10, Гайера и Грандитса11. Поиск оптимальных стратегий перестрахования и инвестирования, максимизирующих вероятность неразорения в модели Крамера– Лундберга, одно из направлений исследования диссертации.

Несмотря на широкое распространение, которое получила классическая модель, на практике часто используется модель с дискретным временем. Диксон и Уотерс12 предложили метод дискретизации модели Крамера–Лундберга и показали способ перехода к дискретному времени и убыткам, имеющим дискретное распределение. Чуть позже эти же ученые предложили модификацию моделей риска, добавив возможность инвестировать дополнительные средства в компанию, если ее капитал опустился ниже определенного уровня13. Модель с вливанием капитала получила развитие относительно недавно и на сегодняшний день представляет собой одно из перспективных направлений для исследования. Ву и соавторы14 рассматривали модель с дискретным временем с возможностью вливания капитала и выплаты дивидендов и ставили задачу поиска оптимальной стратегии выплаты дивидендов. В работе Эйзенберг и Шмидли15 осуществляется поиск оптимальной стратегии перестрахования, минимизирующей суммарные приведенные вливания капитала, 1998, 22, 166–180.

Hipp C., Plum M. Optimal investment for insurers, Insurance: Mathematics and Economics, 2000, 27, 215–218.

Schmidli H. On optimal investment and subexponential claims, Insurance: Mathematics and Economics, 2005, 36, 25–35.

Frolova A., Kabanov Y., Pergamenschikov S. In the insurance business risky investments are dangerous, Finance and Stochastics, 2002, 6, 227–235.

Gaier J., Grandits P. Ruin probabilities in the presence of regularly varying tails and optimal investment, Insurance: Mathematics and Economics, 2002, 30, 211 217.

Dickson D.C.M., Waters H.R. Recursive calculation of survival probabilities, Astin Bulletin, 1991, 21, 199– 221.

Dickson D.C.M., Waters H.R. Some optimal dividend problems, Astin Bulletin, 2004, 34, 49–74.

Wu H., Guoa J., Tang L. Optimal dividend strategies in discrete risk model with capital injections, Appl.

Stochastic Models Bus. Ind., 2011, 27, 557 566.

Eisenberg J., Schmidli, H. Optimal control of capital injections by reinsurace in a diusion approximation, Bltter der DGVFM, 2009, 30(1), 1–13.

а в работе Куленко и Шмидли16 рассматриваются стратегии выплаты дивидендов, минимизирующие дополнительные вливания. В данной диссертации в модели с вливанием капитала исследуются вопросы поиска стратегий перестрахования и инвестирования, позволяющих минимизировать величину дополнительного капитала. Кроме того, изучается вопрос существования предельного распределения капитала компании в такой модели в случае постоянной стратегии инвестирования и перестрахования.

Целью работы является исследование различных стохастических моделей работы страховой компании, использующей перестрахование и инвестирование средств в рисковый актив для улучшения качества работы.

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. В модели Крамера–Лундберга исследованы стратегии перестрахования типа эксцедента убытка, характеризующиеся двумя параметрами (уровнем собственного удержания и шириной лейера), выведено уравнение Беллмана Гамильтона Якоби для максимальной вероятности неразорения и доказано существование его решения. Кроме того, доказано существование оптимальной стратегии и установлен ее вид. Аналогичные результаты получены для обобщенных стратегий перестрахования эксцедента убытка и инвестирования.

2. В модели с дискретным временем с возможностью вливания капитала найдено уравнение Беллмана для минимальных дополнительных вложений, определен вид оптимальных стратегий инвестирования и перестрахования, а также выведено интегральное уравнение, определяющее Kulenko N., Schmidli H. Optimal dividend strategies in a Cramer–Lunberg model with capital injections, Insurance: Mathematics and Economics, 2008, 43, 270–278.

эти стратегии. Доказано существование и единственность решения этого уравнения.

3. В модели с дискретным временем с вливанием капитала и инвестированием доказано существование и найден вид предельного распределения капитала при определенных условиях на параметры модели. Аналогичные результаты получены для случая инвестирования и перестрахования.

Методы исследования В работе применяются методы теории вероятностей, теории случайных процессов, а также методы динамического программирования и оптимального управления.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались • на семинарах в МГУ имени М.В. Ломоносова – Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико– математического факультета МГУ под руководством академика РАН, проф. А.Н. Ширяева (Москва, 2013 г.), – Семинаре Стохастические модели теории запасов и страхования под руководством проф. Е.В. Булинской в МГУ (Москва, 2008- г.г., неоднократно), – Семинаре Теория риска и смежные вопросы кафедры математической статистики факультета ВМиК МГУ под руководством проф.

В.Е. Бенинга и проф. В.Ю. Королева (Москва, 2013 г.), • на международных конференциях и семинарах – Международной конференции по прикладным стохастическим моделям и анализу данных (Рим, 2011 г.), – Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных Ломоносов-2011 в МГУ (Москва, 2011 г.), – Международной конференции Теория вероятностей и ее приложения, посвященной столетию со дня рождения Б.В.Гнеденко (Москва, – 30 и 31 Международных семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей (Светлогорск, 2012 г., Москва, 2013 г.), – 7 Международном семинаре по моделированию (Римини, 2013 г.).

Публикации По теме диссертации опубликовано 9 работ, из них 2 в журналах перечня ВАК. Список работ приведен в конце настоящего автореферата.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав и списка литературы из 57 наименований. Общий объем диссертации составляет 109 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе исследуется модель Крамера–Лундберга работы страховой компании, которая может минимизировать риск разорения с помощью перестрахования и инвестирования средств в рыночный актив. В первом параграфе рассматривается страховая компания, которая может выбирать и неограниченное число раз динамически заключать договора перестрахования типа эксцедента убытка.

Пусть моменты (Ti )i1 поступления требований образуют пуассоновский поток интенсивности, размеры выплат (Yi )i1 независимые и одинаково распределенные (н.о.р.) случайные величины (с.в.) с функцией распределения (ф.р.) Q(y), Nt число требований на отрезке [0, t], а c > E[Yi ], i 1, скорость поступления страховых премий. Капитал компании в модели Крамера–Лундберга равен (s начальный капитал) Согласно договору эксцедента убытка перестраховщик покрывает убыток цедента, если его величина превосходит уровень собственного удержания b, но размер этого покрытия не превосходит ширины M < полосы перестрахования. Пусть F = (Ft )t0 естественная фильтрация, порожденная процессом Rt, т.е. Ft := {Ru, u t}.

Определение 1.1. Назовем стратегией перестрахования типа эксцедента убытка случайный процесс V = (Vt )t0 = (bt, Mt )t0, предсказуемый относительно фильтрации F. Стратегия перестрахования V = (Vt )t0 = (bt, Mt )t Капитал Rt страховой компании при использовании некоторой допустимой стратегии перестрахования V V равен где s > 0 начальный капитал, нагрузка безопасности перестраховщиV интересует максимальная вероятность неразорения (s) = sup{V (s)} и опV V тимальная допустимая стратегия V = Устанавливается, что (s) удовлетворяет уравнению Беллмана–Гамильтона– Якоби Теорема 1.1. Существует неубывающее решение (s) уравнения (2), непрерывное на [0, +) и непрерывно дифференцируемое на (0, +); кроме того, Далее устанавливается, что минимизатор в уравнении (2) позволяет определить оптимальную стратегию перестрахования.

Теорема 1.2. Существует измеримая функция V (s) = (b (s), M (s)), такая что точная нижняя грань в уравнении (2) для всякого s 0 достигается в точке (b (s), M (s)). Кроме того, стратегия V = (Vt )t0 = (b, Mt )t0, где нии стратегии V, оптимальна, т.е. V (s) V (s) для любой допустимой стратегии V V.

Во втором параграфе предполагается, что компания также имеет возможность вкладывать средства в некий рисковый актив, рыночная стоимость Zt которого меняется по закону геометрического броуновского движения. Иными словами, dZt = Zt (µdt + dWt ), где Wt стандартное броуновское движение, µ, > 0. Пусть фильтрация F = (Ft )t0, где F t наименьшая – алгебра, относительно которой измеримы Ru, заданный в (1), и Wu для u t.

Определение 1.2. Назовем стратегией перестрахования и инвестирования случайный процесс V = (Vt )t0 = (At, bt )t0, предсказуемый относительно фильтрации F. Стратегия V = (Vt )t0 = (At, bt )t0 допустимая, если At 0, bt > 0 п.н. для всех t 0. V1 множество допустимых стратегий.

В определении 1.2 величина bt это уровень собственного удержания цедента при перестраховании эксцедента убытка, а At объем средств, вложенных в рисковый актив, в момент t 0. Пусть c(bt ) часть страховой премии, остающаяся у цедента после уплаты перестраховочной премии. Капитал страховой компании Rt при использовании стратегии V V1 удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению где R0 = s начальный капитал. Как и в первом параграфе нас интересует максимальная вероятность неразорения (s) = sup {V (s)} и оптимальная стратегия V = (Vt )t0 = (A, b )t0 такая, что (s) = V (s). Уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби в данном случае имеет вид A0, b> c граничными условиями () = 1 и (s) = 0 при s < 0. С помощью замены (s) = (s) можно преобразовать уравнение к виду Теорема 1.3. Существует строго возрастающее решение (s) уравнения (4).

Минимизатор в уравнении (3) определяет оптимальную стратегию.

Теорема 1.4. Пусть (s) строго возрастающее, дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби (3). Тогда (s) ограничена, а оптимальная вероятность неразорения (s) = (s)/().

Кроме того, существуют измеримые функции A (s) и b (s) такие, что при каждом s 0 супремум в уравнении (3) достигается в точках (A (s), b (s)).

При этом оптимальная стратегия V = (Vt )t0 = (A, b )t0 определяется как A = A (Rt ), b = b (Rt ).

Во второй главе рассматривается модель с дискретным временем в модификации Диксона и Уотерса. Страховая компания работает n N лет.

Собственник компании инвестирует дополнительные средства в компанию в том случае, если капитал компании по итогам года опустился ниже некоторого заданного уровня L 0.

В первом параграфе рассмотрен случай, когда страховая компания для минимизации дополнительных вливаний вкладывает средства в некий рисковый актив. Пусть c > 0 суммарный годовой размер страховых премий, Yk совокупный размер требований, поступивших в компанию в k-ом году, 1 k n. Предполагается, что Y1,..., Yn н.о.р. неотрицательные с.в. с абсолютно непрерывной ф.р. Q(y), имеющей непрерывную плотность q(y).

Последовательность с.в. Z1,..., Zn определяет результат вложения средств в некий рыночный актив, то есть, если в (k 1)-ый момент времени была вложена одна денежная единица, то в k-ый момент мы получим (1 + Zk ) денежных единиц, при этом P (Zk 0) (0, 1) и EZ1 > 0. Предполагается, что с.в. Z1,..., Zn н.о.р. с ф.р. H(z) и независимы от Y1,..., Yn. Пусть фильтрация Finv = (Fk )k=1,n, где Fk которой измеримы Ym и Zm для m k.

Определение 2.1. Стратегия инвестирования это предсказуемая относительно фильтрации Finv последовательность с.в. A := {A0,..., An1 }.

Стратегия A допустимая, если Ai 0 п.н. для всех i = 0,..., n 1. Множество допустимых стратегий инвестирования обозначим An.

Капитал компании Rk на конец k-го года при использовании допустимой стратегии A равен где s 0 начальный капитал. Размер дополнительного капитала в конце k-го года равен Jk = max{0, LRk1 cAk1 Zk +Yk }. Пусть v коэффициент дисконтирования, тогда суммарный приведенный объем дополнительных вложений капитала равен Задача состоит в минимизации величины Wn (s) по всем допустимым стратегиям Wn (s) := inf Wn (s), и нас интересует оптимальная стратегия A, такая, что Wn (s) = Wn (s).

уравнению Беллмана.

Wn (s) = inf {E max(0, L s c Z + Y ) + vEWn1 (max(L, s + c + Z Y ))}, где W0 (s) 0, а с.в. Y и Z независимы и имеют соответственно функции распределения Q(y) и H(z). Кроме того, оптимальная стратегия определяется минимизатором в уравнении Беллмана.

Лемма 2.2. Пусть для любого k = 1,..., n существует k (s) измеримая функция, доставляющая инфимум в уравнении (5) при n = k. Тогда допустимая стратегия A = (A,..., A ) инвестирования в n-шаговой модели, где A = ni (Ri ), i = 0,..., n 1, оптимальна.

Для случаев одношаговой (n = 1) и многошаговой (n > 1) моделей устанавливаются свойства функции Wn (s) и оптимальный объем инвестирования на первом шаге процесса.

Теорема 2.1. 1) Функция W1 (s) дважды дифференцируема. Кроме того, 2) Оптимальный объем инвестиций в одношаговой модели равен 1 (s), где 1 (s) единственное решение уравнения причем функция 1 (s) непрерывна.

Теорема 2.2. 1) Функция Wn (s) при n > 1 дважды дифференцируема. Кроме того, 1 Wn (s) 0, Wn (s) 0 для всех s 0.

2) Оптимальный объем инвестиций n (s) на первом шаге n-шагового процесса определяется как единственное решение уравнения причем функция n (s) непрерывна.

В случае бесконечного горизонта планирования (n = ) устанавливается существование решения уравнения Беллмана и существование оптимальной стратегии. Уравнение Беллмана имеет вид W (s) = inf {E max(0, LscZ +Y )+vEW (max(L, s+c+Z Y ))}. (6) Теорема 2.3. Существует единственное решение W (s) уравнения (6). Кроме того, функция W (s) дважды дифференцируема, а инфимум в правой части (6) достигается в точке (s), где (s) это единственное решение уравнения Теорема 2.4. Пусть для всех s 0 инфимум в уравнении (6) достигается в точке (s). Тогда стратегия A = {A }, где A := (Rn ), оптимальна.

Во втором параграфе рассмотрен случай, когда страховая компания для минимизации дополнительных вливаний капитала использует перестрахование. Рассмотрен случай пропорционального и непропорционального перестрахования. Предполагается, что любой договор перестрахования характеризуется некоторым параметром b, который может принимать значения из некоторого подмножества Dr R+. Пусть функция r(b, y) такова, что, если заключен договор перестрахования с параметром b и Y величина поступившего требования, то цедент оплачивает часть r(b, Y ) убытка, а перестраховщик платит Y r(b, Y ). Кроме того, пусть непрерывная и монотонная функция c(b) задает величину премии, оставшейся у страховой компании после выплаты перестраховочной премии. Пусть D := {b Dr : c(b) > 0}, а Fre := (Fk )n Fk = {Ym, m k}.

Определение 2.3. Стратегия перестрахования это предсказуемая относительно фильтрации Fre последовательность с.в. B := (b0, b1,..., bn1 ).

Стратегия B = (b0, b1,..., bn1 ) допустимая, если для любого k = 0, n 1, bk D п.н. Множество допустимых стратегий перестрахования обозначим Bn.

Капитал компании Rk на конец k-го года при использовании допустимой стратегии B равен где s 0 начальный капитал. При этом размер дополнительных вложений Jk в k-ом году равен Jk = max{0, L Rk1 c(bk1 ) + r(bk1, Yk )}. Пусть v коэффициент дисконтирования, тогда суммарный приведенный объем дополнительных вложений капитала равен Wn (s) := E( Требуется минимизировать Wn (s) по всем допустимым стратегиям: Wn (s) := inf Wn (s). Допустимую стратегию, при которой достигается инфимум, буBBn дем называть оптимальной стратегией перестрахования. Функция Wn (s) для всякого n удовлетворяет уравнению Беллмана W (s) = inf {E max(0, Lsc()+r(, Y ))+vEW (max(L, s+c()r(, Y ))}.

В случае квотного перестрахования r(Y, ) = Y, c() = c (1 )EY, > 1, а D = [0, 1], где 0 > 0 такое, что c() 0 при 0.

Теорема 2.5. 1) Функция W1 (s) дважды дифференцируема. Кроме того, W1 (s) [1, 0] и W1 (s) 0.

2) Оптимальная квота 1 (s) в одношаговой модели равна где (s) единственное решение уравнения Теорема 2.6. 1) Функция Wn (s) при n > 1 дважды дифференцируема. Кроме того, Wn (s) [1, 0], Wn (s) 0.

2) Оптимальная квота n (s) на первом шаге n-шагового процесса определяется следующим образом где а (s) единственное решение уравнения u(s,) В случае непропорционального перестрахования типа эксцедента убытка r(Y, ) = min(, Y ), c() = c E(Y )+, D = [0, ], где 0 > 0 такое, что c() 0 при 0. В случае n = 1 уравнение (7) принимает вид Теорема 2.8. 1) Функция W1 (s) дифференцируема, причем W1 (s) [2, 0].

2) Оптимальный уровень собственного удержания (s) в одношаговой модели равен где 1 := Q1 (1 1 ), а (s) единственное решение уравнения В третьей главе исследуется вопрос поиска предельного распределения капитала компании в модели с возможностью вливания капитала и постоянной стратегией инвестирования. В такой модели капитал компании равен где R0 = s > 0 начальный капитал, A = const, а все остальные обозначения аналогичны первому параграфу второй главы.

Теорема 3.1. Пусть функции Q(y), q(y) и H(z) таковы, что выполнены следующие условия (здесь Q(y) = 1 Q(y)) Тогда последовательность Rn имеет слабый предел при n. Причем предельная функция распределения F (x) равна где пара (p, G (x)) определяется из следующих уравнений G (x) = p EQ(AZ1 x + c + L)+ Аналогичный результат получен для модели с постоянной стратегией инвестирования и перестрахования для случая пропорционального и непропорционального перестрахования.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико–математических наук, профессору Булинской Екатерине Вадимовне за постановку задач, постоянное внимание и помощь в реализации идей.

Работы автора по теме диссертации [1] Громов А.Н. Оптимальная стратегия перестрахования эксцедента убытка, Вестник Московского Университета. Серия 1, Математика. Механика, 2012, в. 4, с. 17–22.

[2] Громов А.Н. Оптимальная стратегия перестрахования и инвестирования, Вестник Московского Университета. Серия 1, Математика. Механика, 2013, в. 2, с. 6–12.

[3] Громов А.Н. Оптимальное инвестирование в модели с возможностью вливания капитала, Сборник Современные проблемы математики и механики, 2013, Том VIII, Математика, в. 3, с. 52–60.

[4] Громов А.Н. Предельное распределение капитала в модели с возможностью вливания капитала и инвестированием, Деп. в ВИНИТИ, №354– В2013, 19 стр.

[5] Громов А.Н. Оптимальная стратегия страховщика при возможности перестрахования и вложения в рисковый актив, Тезисы XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов-2011, 2011, с. 42.

[6] Громов А.Н. Оптимальные стратегии инвестирования и перестрахования, Тезисы Международной конференции Теория вероятностей и ее приложения, посвященной 100-летию со дня рождения Б.В.Гнеденко, 2012, с. 322.

[7] Gromov A. Optimal investment for an Erlang(n) risk process, Abstracts of the XXX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, 2012, p. 28.

[8] Gromov A. Optimal investment strategy in the risk model with capital injections, Abstracts of the XXXI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, 2013, p.99.

[9] Gromov A. Modeling the optimal investment strategy in Sparre–Andersen risk model, Abstracts of the Seventh International Workshop on Simulation, 2013, p. 183–185.