Новосибирский Государственный Технический Университет

На правах рукописи

Топовский Антон Валерьевич

Построение точных решений с

функциональными параметрами (2 + 1)-мерных

нелинейных уравнений методом -одевания

01.04.02 – Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск – 2011

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "Новосибирский Государственный Технический Университет" на кафедре прикладной и теоретической физики физико-технического факультета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, Дубровский Владислав Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Шаповалов Александр Васильевич доктор физико-математических наук, профессор, Цвелодуб Олег Юрьевич

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН

Защита состоится 24 ноября 2011 г. в 14.30 час. на заседании диссертацион ного совета Д 212.267.07 при Томском Государственном Университете, распо ложенном по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского госу дарственного университета

Автореферат разослан 13 октября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.267.07, д. ф.-м.н, с.н.с. Ивонин И.В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы Физические законы выражаются, как правило, в форме дифференциаль ных уравнений. Известна исключительная роль линейных дифференциаль ных уравнений. Но многие физические явления нелинейны и требуют для сво его описания нелинейных уравнений. Нелинейные дифференциальные урав нения встречаются во всех фундаментальных физических теориях: теории тяготения, квантовой теории поля, гидродинамики, теории упругости и т.д.

В 1967 году в работе американских ученых Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [1] был открыт новый метод точного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений – метод обратной задачи рассеяния (МОЗР).

Вскоре после этого открытия последовало множество работ, в которых мно гие важные (1 + 1)-мерные, а затем (2 + 1)- и (3 + 0)-мерные нелинейные уравнения были проинтегрированы различными вариантами МОЗР. Одним из наиболее мощных подходов МОЗР является метод -одевания Захарова Манакова [2–4]. Данный метод позволяет конструировать новые интегрируе мые нелинейные уравнения вместе с соответствующими линейными вспомога тельными задачами, вычислять их волновые функции и потенциалы, а также находить широкие классы точных решений нелинейных уравнений. Отметим, что метод -одевания применим и к линейным дифференциальным уравне ниям в частных производных с переменными коэффициентами.

Развитие аналитических методов построения точных решений нелиней ных дифференциальных уравнений, в частности метода -одевания, представ ляет собой весьма актуальную задачу современной математической и теорети ческой физики. Очень важным является также использование точных реше ний линейных и нелинейных уравнений для анализа конкретных физических ситуаций.

Цель диссертационной работы Целью диссертационной работы является применение метода -одевания Захарова-Манакова к построению классов точных решений с функциональ ными параметрами некоторых (2 + 1)-мерных нелинейных интегрируемых уравнений. Более конкретно, в диссертации ставятся и решаются следующие задачи.

1. Построение с помощью метода -одевания класса новых точных реше ний с функциональными параметрами с ненулевым асимптотическим значением на бесконечности для (2 + 1)-мерного интегрируемого нелинейного эволюционного уравнения Нижника-Веселова-Новикова 2. Исследование частного случая класса точных решений с функциональ ными параметрами, а именно, подкласса многосолитонных решений урав 3. Физическая интерпретация стационарных состояний микрочастицы в потенциальных полях солитонного типа в соответствии с построенными с помощью метода -одевания точными волновыми функциями для дву мерного стационарного уравнения Шредингера (первой вспомогатель ной задачи эллиптической версии уравнения НВН).

4. Построение с помощью метода -одевания класса новых точных ре шений с функциональными параметрами двумерных интегрируемых обобщений уравнений Савады-Котера (2DСК) и Каупа-Купершмидта 5. Построение для уравнения НВН нелинейных суперпозиций простых плосковолновых периодических решений (ниже, для краткости - про стых периодических решений); построение для уравнений 2DСК и 2DКК простых периодических решений.

6. Построение специальных "линейных" суперпозиций простых (односо литонных или простых периодических) решений уравнения НВН таких, что сумма некоторого числа простых решений со специально подобран ными параметрами также является решением.

Научная новизна и практическая значимость Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

• Методом -одевания построены новые классы точных решений с функ циональными параметрами известных интегрируемых нелинейных урав нений НВН, 2DСК и 2DКК.

• Построены новые специальные многосолитонные решения с ненулевым асимптотическим значением = 0 на бесконечности нестационарно го и стационарного уравнений НВН, представляющиеся с точностью до константы, кратной, суммой соответствующих односолитонных реше ний.

• Построены новые классы простых периодических решений с тригоно метрическими функциями sin k (x, y, t) = sin k (ak x + bk y + ck t) и cos k (x, y, t) = cos k (ak x + bk y + ck t) интегрируемых нелинейных урав нений НВН, 2DСК и 2DКК. Для нестационарного и стационарного урав нений НВН построены также специальные нелинейные суперпозиции простых периодических решений, представляющиеся с точностью до константы, кратной, суммой соответствующих простых периодиче ских решений.

• Построены примеры специальных линейных суперпозиций односолитон ных и простых периодических решений нестационарного и стационар ного уравнений НВН.

• Для построенных методом -одевания прозрачных одно- и двухсолитон ных потенциалов и волновых функций двумерного стационарного урав нения Шредингера дана физическая интерпретация соответствующих стационарных состояний микрочастицы.

Работа носит теоретический характер. Результаты, представленные в диссертации, являются актуальными и новыми на момент их публикации.

Полученные результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, докладывались на международных конференциях и представлены в их публикациях. Научная и практическая ценность диссертации обусловле ны возможностью применения полученных в ней результатов в дальнейших исследованиях по теории интегрируемых нелинейных уравнений и их прило жений.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Класс точных решений с функциональными параметрами с ненулевым асимптотическим значением на бесконечности уравнения НВН [A1, A2].

2. Специальные классы многосолитонных решений нестационар ного и стационарного уравнений НВН, как частные случаи класса решений с функциональными параметрами [A2, A3].

3. Физическая интерпретация стационарных состояний микроча стицы в поле построенных с помощью метода -одевания однои двухсолитонных потенциалов [A2, A3, A4, A5].

4. Класс точных решений с функциональными параметрами с нулевым асимптотическим значением на бесконечности урав нений 2DСК и 2DКК [A2, A6].

5. Нелинейные суперпозиции простых периодических решений с тригонометрическими функциями sin k (x, y, t) = sin k (ak x + НВН; простые периодические решения указанного выше типа для уравнений 2DСК и 2DКК [A2, A3, A6].

6. Специальные линейные суперпозиции произвольного числа од носолитонных решений с нулевыми асимптотическими значе ниями на бесконечности и, аналогично, специальные линей ные суперпозиции произвольного числа простых периодиче ских решений уравнения НВН [A2, A3].

Апробация работы Результаты, полученные в диссертации, были доложены на международ ных конференциях "Nonlinear physics: theory and experiment VI" (23 июня июля 2010, Галлиполи, Италия) и "Мезоскопические структуры в фунда ментальных и прикладных исследованиях" (20-26 июня, 2010 года, Эрлагол, Горный Алтай). Основные результаты диссертации докладывались также на теоретических семинарах в НГТУ, ТГУ, ТГПУ и ИМ СОРАН.

Публикации Материалы диссертации опубликованы в четырех печатных работах [A1, A2, A4, A5], из них три статьи в рецензируемых журналах [A1, A2, A4] и одна статья в сборниках трудов конференций [A5], результаты диссертации также представлены в 2 электронных статьях в arxiv.org [A3, A6], Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 155 страниц и включает 18 рисунков и библиографию из 93 наименований на 9 страницах.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор мулированы цели и аргументирована научная новизна исследований, показа на практическая значимость полученных результатов, представлены выноси мые на защиту положения, описана структура работы по главам. Здесь же приведен краткий обзор основных моментов развития теории классических интегрируемых систем, изложены ингредиенты метода -одевания и сформу лированы известные схемы метода -одевания для уравнений НВН, 2DКК и 2DСК.

В первой главе диссертации изучается симметричное двумерное обобще ние уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ) – (2 + 1)-мерное интегрируемое нелинейное уравнение Нижника-Веселова-Новикова (НВН):

здесь u(,, t) – скалярная функция и 1, 2 – некоторые константы; = = x + y, = x y и 2 = ±1. Случаю = 1 и вещественных констант 1, 2 соответствует гиперболическая версия уравнения НВН или уравнение НВН-II, а случаю = i ( = = z = x + iy), 1 = 2 = – эллиптическая версия уравнения НВН или уравнение НВН-I (известное также как уравнение Веселова-Новикова (ВН)).

Для обеих версий уравнения НВН методом -одевания построены клас сы новых точных решений с функциональными параметрами с постоянным асимптотическим значением на бесконечности, т.е.

где u(,, t) 0 при 2 + 2. Простейший пример точного решения уравнения НВН-I из построенного класса имеет вид:

Функциональный параметр 1 (z, z, t), по определению, удовлетворяет линей ным уравнениям 1z z = 1, 1t + 1zzz + 1z z = 0. Результаты, представ ленные в первой главе диссертации, опубликованы в работах [A1, A2].

В качестве частных случаев решений с функциональными параметрами уравнения НВН во второй главе диссертации подробно рассмотрены подклас сы многосолитонных решений, а также нелинейных суперпозиций простых периодических решений (с тригонометрическими функциями sin k (x, y, t) = = sin k (ak x + bk y + ck t) и cos k (x, y, t) = cos k (ak x + bk y + ck t)). Все постро енные простые периодические решения и их суперпозиции являются сингу лярными решениями.

Приведем примеры построенных односолитонных и простых периодиче ских решений уравнения НВН-I. Односолитонное решение имеет вид:

здесь 01 R - произвольная константа и 1 (z, z, t) = i (µ1 1 )z(µ1 1 )z+ + (µ3 3 )t (µ3 1 )t. Пример простого периодического решения дается выражением:

где |1 | > |µ1 |, 01 R - произвольная константа и 1 (z, z, t) = (µ1 1 )z + Построены специальные нелинейные суперпозиции двух простых (одно солитонных или простых периодических) решений вида u(,, t) = + u(1) (,, t) + u(2) (,, t) = + u(1) (,, t) + u(2) (,, t), (6) где u(n) (,, t) = + u(n) (,, t), n = 1, 2 односолитонные или простые пе риодические решения. Для всех построенных решений вычислены волновые функции линейных вспомогательных задач.

Помимо суперпозиций типа (6) построены также и специальные нелиней ные суперпозиции большего числа простых решений u(n), n = 1,..., N > (односолитонных или простых периодических решений), удовлетворяющие уравнению НВН. Такие решения имеют вид и состоят из одного нестационарного u(1) (,, t) = + u(1) (,, t) и N 1 ста ционарных (с независящими от времени фазами) простых решений u(n) (, ) = = + u (, ). Показано также, что любая сумма + выражаются формулами:

1 (z, z, t) = [(µ1 1 )z + (µ1 1 )z] 2(1)k ||(|1 |3 (1)m |µ1 |3 )t, где n R и 0n R, (n = 1,..., N ) произвольные константы и arg µ arg 1 = m, m N. Параметры решения (10) удовлетворяют условиям:

Показано, что в подходящим образом определенном пределе (-одевание с нулевым асимптотическим значением) построенные нелиней ные суперпозиции двух (6) или более (7) простых решений (односолитонных или простых периодических) превращаются в специальные линейные супер позиции произвольного числа соответствующих простых решений. Таким об разом, построен новый класс точных решений нестационарного и стационар ного уравнений НВН в форме линейных суперпозиций произвольного числа простых решений u(n), n = 1,..., N так, что суммы u = u(k1 ) +... + u(km ), множества также являются решениями.

Приведем, в качестве примера, специальную линейную суперпозицию од носолитонных решений вида (4) с = 0, удовлетворяющую уравнению НВН-I.

Такое решение имеет вид:

здесь фазы 1 (z, z, t), n (z, z ) (n = 2,..., N ) выражаются формулами:

где n R и 0n R, (n = 1,..., N ) произвольные константы. Параметры решения (12) удовлетворяют условиям (9).

Специальная линейная суперпозиция простых периодических решений вида (5) с = 0, удовлетворяющая уравнению НВН-I, дается выражением:

здесь фазы 1 (z, z, t), n (z, z ), (n = 2,..., N ) имеют вид:

где n R и 0n R, (n = 1,..., N ) произвольные константы. Параметры решения (13) удовлетворяют условиям (11). Результаты, представленные во второй главе, опубликованы в работах [A1, A2, A3].

Первая вспомогательная задача уравнения НВН, при ненулевом значе нии потенциала на бесконечности (2), имеет вид В случае эллиптической версии уравнения (уравнение НВН-I), т.е. для ком плексных и, задача (14) представляет собой 2D стационарное уравнение Шредингера с потенциалом VSchr = 2 = 2(u + ) и энергией E = 2. В случае гиперболической версии уравнения НВН (уравнение НВН-II), т.е. для вещественных и, уравнение (14) является возмущенным телеграфным уравнением или уравнением Клейна-Гордона, а при = 0 – уравнением стру ны. Таким образом, при построении решений нелинейного уравнения НВН, мы одновременно получаем точные потенциалы, а также соответствующие им волновые функции указанных выше линейных уравнений.

Представляет большой интерес выяснение физического смысла постро енных методом -одевания потенциалов и волновых функций рассматривае мых линейных вспомогательных задач, в особенности для 2D стационарного уравнения Шредингера. Этому посвящена третья глава диссертации, где да на физическая интерпретация стационарных состояний микрочастицы с раз личными волновыми функциями в построенных односолитонном (4) и спе циальном двухсолитонном потенциале VSchr = VSchr + VSchr, соответствующем решению вида (6).

Используемый в работе метод -одевания на фиксированном уровне энер гии позволяет строить потенциал и некоторое достаточно "широкое" под пространство волновых функций (уровень энергии бесконечно вырожден), соответствующих различным стационарным состояниям микрочастицы, как связанным, так и состояниям свободного безотражательного движения мик рочастицы в солитонном потенциальном рельефе. Одному и тому же уровню энергии могут соответствовать различные физические состояния микроча стицы. Например, в случае двухсолитонного потенциала VSchr = VSchr + VSchr, микрочастица может находиться в связанном состоянии, при этом она локали зована в поперечном, относительно минимума одного из потенциалов (VSchr или VSchr ), направлении и свободно движется в продольном. При увеличе нии полной энергии микрочастицы таких стационарных состояний она всегда остается локализованной в поперечном долине потенциала направлении. Для того же уровня энергии указанного двухсолитонного потенциала построены волновые функции, соответствующие также состояниям безотражательного движения частицы. В конце главы с использованием плотности тока вероят ности доказывается безотражательность (прозрачность) построенных соли тонных потенциалов. Показано также, что вероятности переходов из одного стационарного состояния микрочастицы в поле солитонных потенциалов в другие состояния равны нулю. Данная глава основана на работах [A4, A5].

В четвертой главе диссертации рассмотрены двумерные интегрируемые обобщения уравнений Каупа-Купершмидта (2DКК):

ut + uxxxxx + и Савады-Котера (2DСК):

ut + uxxxxx + 5ux uxx + 5uuxxx + 5u2 ux + 5uxxy 5x uyy + 5uuy + 5ux x uy = 0.

Первая вспомогательная задача, соответствующая уравнениям 2DКК и 2DСК, в общем положении имеет третий порядок относительно x и, следовательно, содержит несколько полевых переменных. Уравнения 2DКК и 2DСК являют ся различными редукциями нелинейной системы уравнений на эти полевые переменные. Использование метода -одевания в этой нестандартной ситуа ции, когда приходиться удовлетворять условиям редукции, которые на язы ке волновых функций вспомогательных задач имеют вид нелинейных выра жений, представляет собой интерес с точки зрения развития самого метода -одевания в применении его к многомерным интегрируемым уравнениям.

С помощью метода -одевания построен класс новых точных решений с функциональными параметрами уравнений 2DКК и 2DСК. Приведем пример простейшего решения уравнения 2DКК из построенного класса. Это решение имеет вид:

нальный параметр 1 (x, y, t), по определению, удовлетворяет линейным урав нениям 1 y + 1 xxx = 0, 1t + 1 xxxxx + 51 xxy 5x 1 yy = 0.

В качестве частных случаев решений с функциональными параметрами рассмотрены примеры солитонных решений и простых плосковолновых пери одических решений уравнений 2DКК и 2DСК с тригонометрическими функ циями sin k (x, y, t) = sin k (ak x + bk y + ck t) и cos k (x, y, t) = cos k (ak x + + bk y + ck t). Почти все построенные периодические решения сингулярны, но для уравнения 2DКК получены также и несингулярные простые периоди ческие решения. Пример несингулярного простого периодического решения уравнения 2DКК имеет вид:

где = (µ1 + µ1 )x + (µ3 + µ3 )y + (µ5 + µ5 )t. Данная глава основана на результатах, полученных в работах [A2, A6].

В заключении кратко перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Список публикаций A1. В.Г.Дубровский, А.В.Топовский, М.Ю.Басалаев. Новые точные решения с функциональными параметрами уравнения Нижника-Веселова-Нови кова с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности // Теоретическая и математическая физика. 2010. Т. 165, № 2. С. 273–294.

A2. В.Г.Дубровский, А.В.Топовский, М.Ю.Басалаев. Новые точные решения двумерных интегрируемых уравнений НВН, 2DКК и 2DСК полученные с помощью метода -одевания // Теоретическая и математическая физика.

2011. Т. 167, № 3. С. 377–393.

A3. V.G.Dubrovsky, A.V.Topovsky, M.Yu.Basalaev. New exact solutions with constant asymptotic values at innity of the NVN integrable nonlinear evo lution equation via -dressing method // http://arxiv.org/abs/0912.2155v2.

2010. Pp. 1–43.

A4. V.G.Dubrovsky, A.V.Topovsky, M.Yu.Basalaev. 2D Stationary Schrdinger equation via the -dressing method: New exactly solvable potentials, wave functions and their physical interpretation // Journal of mathematical physics. 2010. Vol. 51, no. 9. Pp. 092106–092106–22.

A5. V.G.Dubrovsky, A.V.Topovsky, M.Yu.Basalaev. The construction of exact soliton potentials and corresponding wave functions of two-dimensional sta tionary Schrdinger equation via the -dressing method // Международная конференция с элементами научной школы для молодежи: Мезоскопиче ские структуры в фундаментальных и прикладных исследованиях. 2010.

С. 70–76.

A6. V.G.Dubrovsky, A.V.Topovsky, M.Yu.Basalaev. New exact solu tions of two-dimensional integrable generalizations of Kaup-Kuper schmidt and Sawada-Kotera equations via the -dressing method // http://arxiv.org/abs/1011.5954v2. 2010. Pp. 1–18.

Цитированная литература 1. C.S.Gardner, J.M.Greene, M.D.Kruskal, R.M.Miura. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Physical Review Letters. 1967. Vol. 19.

Pp. 1095–1097.

2. В.Е.Захаров, С.В.Манаков. Многомерные нелинейные интегрируемые нелинейные системы и методы построения их решений // Записки науч ных семинаров ЛОМИ. 1984. Т. 133. С. 281.

3. В.Е.Захаров, С.В.Манаков. Построение многомерных нелинейных интегри руемых систем и их решений // Функциональный анализ и его приложе ния. 1985. Т. 19, № 2. С. 11.

4. V.E.Zakharov. Commutating operators and nonlocal - problem // Nonlinear and turbulent processes in Physics / Ed. by V.G.Bar’yakhtar, N.S.Erokhin, V.E.Zakharov et al. 1988.