На правах рукописи

ТИМОШЕНКО Егор Александрович

T-РАДИКАЛЫ

В КАТЕГОРИИ МОДУЛЕЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Томск — 2005

Работа выполнена на кафедре алгебры Томского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Крылов Пётр Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Левчук Владимир Михайлович кандидат физико-математических наук, доцент Пахомова Елена Григорьевна

Ведущая организация: Омский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится 19 ноября 2005 г. в 14.15 на заседании диссертационного совета К212.267.05 при Томском государственном университете по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 18 октября 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент А. Н. Малютина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При рассмотрении алгебраических систем основной задачей является построение структурной теории. Структурные теоремы сводят изучение алгебраических систем к изучению «более просто устроенных». Одну из конструкций, осуществляющих подобное сведение, представляет радикал. С тех пор, как в 1950-х гг. Курош [5] и Амицур [9] ввели понятие радикала для колец и алгебр, теория радикалов распространилась и на другие алгебраические структуры, в числе которых модули и группы.

Радикалы позволяют выделять классы модулей, обладающих различными свойствами, проводить их классификацию и дальнейшее более детальное изучение. На зрелость направления, связанного с радикалами модулей, указывает наличие заметного количества монографий по этой теме (Мишина и Скорняков [6], Кашу [1, 2], Ламбек [12], Голан [11] и ряд других). Во многих работах отечественных и зарубежных алгебраистов (Курош, Рябухин, Гарднер, Диксон и др.) рассматривались радикалы абелевых групп (т.е. модулей над кольцом целых чисел).

С другой стороны, интенсивно изучаются взаимосвязи между свойствами модулей и абелевых групп. К данному направлению относятся работы о E-кольцах и E-модулях. Первое из этих понятий появилось в 1973 г. в статье [14]: E-кольцами были названы кольца R, для которых HomR (R, R) = Hom(R, R). Позже это определение было распространено на модули: E-модуль AR задаётся равенством HomR (R, A) = Hom(R, A).

E-модули впервые появились в [10], где они были названы R-группами.

Одной из самых полных работ, посвящённых E-модулям, является [13].

Применения E-колец и E-модулей в теории абелевых групп весьма разнообразны; в книге [4] содержится обзор наиболее важных результатов, связанных с данной проблематикой.

Многие современные исследования посвящены тензорным произведениям модулей и абелевых групп. Тензорное произведение является вторым по важности (после Hom) функтором категории модулей. До сих пор актуальной проблемой остаётся описание тензорных произведений модулей и абелевых групп. В работах Крылова и Приходовского [3, 7] введено понятие T(e)-модуля, определяемое следующим образом. Пусть e : S R — гомоморфизм колец, тогда всякий R-модуль можно естественным образом превратить в притягивающий S-модуль. Модуль AR называется T(e)-модулем, если имеет место канонический изоморфизм A R A R. Параллельно в тех же работах изучались E(e)-модули, = S R задаваемые равенством HomR (R, A) = HomS (R, A) и в некотором смысле двойственные T(e)-модулям.

В диссертации вводится «обобщённый» E-радикал. Это понятие в определённом смысле сводит воедино аналогичный радикал, рассматривавшийся Пирсом в [13], и E(e)-модули из работ [3, 7]. Двойственным образом определяется T-радикал. Кроме того, рассматриваются близкие (как станет ясно из результатов второй главы) к этим двум радикалам понятия «T(F )-радикал» и «E(V )-радикал», в том или ином виде ранее встречавшиеся в работах, связанных с радикалами модулей.

Настоящая диссертация посвящена исследованию T(F )-радикалов и T-радикалов. Работа также содержит ряд результатов, связанных с E(V )-радикалами и E-радикалами. Во-первых, это помогает лучше продемонстрировать двойственность между соответствующими объектами, а во-вторых, E(V )-радикалы в силу своей многочисленности являются удобным и подчас незаменимым инструментом при проведении доказательств. Исследование развивается по двум основным направлениям:

• поиск взаимосвязи между T-радикалами и T(F )-радикалами;

• изучение T(F )-радикалов категории абелевых групп.

Цель работы: исследовать взаимосвязь между T-радикалами и T(F )-радикалами (а также между E-радикалами и E(V )-радикалами);

изучить свойства T(F )-радикалов категории абелевых групп и описать частично упорядоченное множество, которое эти радикалы образуют.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

• Показано, что существуют модули RG и S F такие, что T-радикал совпадает с T(G)-радикалом, а также с сужением T(F )-радикала на категорию mod-R (предложения 4.5, 4.6). Если S — коммутативное кольцо, то всякий T(F )-радикал категории mod-S, в свою очередь, можно представить в виде T-радикала (теорема 4.14). Аналогичные результаты имеют место для E-радикалов (предложения 4.9 и 4.10, теорема 4.14).

• Описаны все T(F )-радикалы категории mod-Z, выяснено строение образуемой ими решётки (§6).

• Доказано, что радикальный класс идемпотентного радикала категории mod-Z замкнут относительно сервантных подгрупп тогда и только тогда, когда этот радикал совпадает с T(F )-радикалом для некоторой группы F (теорема 7.5).

• Установлено, что «решёточное» пересечение T(F )-радикалов категории mod-Z совпадает с их «поточечным» пересечением (§8).

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории модулей и абелевых групп, а также при чтении спецкурсов.

Апробация результатов. Основные результаты настоящей диссертации докладывались на международных конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2001 и 2005 гг.), «Алгебра и её приложения» (Красноярск, 2002 г.), «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2002 г.), «Алгебра, логика и кибернетика» (Иркутск, 2004 г.), Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.) и Всероссийском симпозиуме «Абелевы группы» (Бийск, 2005 г.) и были опубликованы в работах [15] – [25]. Кроме того, они докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, списка литературы и списка обозначений. Главы I и III содержат по три параграфа, глава II — два параграфа. Работа изложена на 77 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обоснование актуальности решаемых в работе задач, а также изложение основных полученных результатов.

Глава I содержит предварительные сведения и общие результаты, используемые в последующих главах. В §1 приводятся основные определения и факты из теории радикалов модулей. §2 содержит ряд свойств функторов и Hom, играющих в работе ключевую роль. В §3 вводятся основные исследуемые объекты: T(F )-радикал WF и E(V )-радикал HV, нейтрализатор nF и след trV ; устанавливаются некоторые связанные с этими объектами общие факты, имеющие и самостоятельный интерес.

Приведём основные определения. Зафиксируем S-модули S F и VS.

Через WF (A) обозначается сумма всех подмодулей B модуля A таких, что B S F = 0; через HV (A) — пересечение всех подмодулей B модуля A, для которых HomS (V, A/B) = 0. Получающиеся радикалы WF и HV назовём T(F )-радикалом и E(V )-радикалом соответственно.

Определение 3.5. Пусть AS — модуль. Его F -нейтрализатором называется множество всех a A таких, что в тензорном произведении A S F для всякого f F выполнено равенство a S f = 0. Обозначим это множество nF (A). Возникающий при этом предрадикал nF мы также будем называть (F -)нейтрализатором.

Определение 3.8. Пусть AS — модуль. V -следом в этом модуле называется сумма образов всех S-модульных гомоморфизмов : V A.

Обозначим эту сумму trV (A). Возникающий при этом предрадикал trV мы также будем называть (V -)следом.

(Для удобства выбрано обозначение, несколько отличающееся от того, что принято, например, в [8].) Последние два результата параграфа показывают, как связанные с идемпотентными радикалами категории mod-S решёточные операции действуют на T(F )-радикалы и E(V )-радикалы.

Предложение 3.12. Пусть даны S-модули S F и VS и их прямые Следствие 3.13. Если совокупность всех T(F )-радикалов категории mod-S образует множество, то относительно естественного порядка предрадикалов это множество является полной решткой.

В §6 будет показано, что описанная в данном следствии ситуация имеет место, в частности, в категории mod-Z.

В главе II исследуются T(e)-модули и E(e)-модули (в смысле [3, 7]) и определяемые с их помощью T-радикал W и E-радикал H. В §4 устанавливаются некоторые связи между этими радикалами и радикалами, которые вводились в §3. В ситуации, когда дан кольцевой гомоморфизм e : S R, всякий R-модуль можно естественным образом превратить в S-модуль.

Пусть e : S R — кольцевой гомоморфизм. R-модуль A назовём T(e)-модулем, если канонический эпиморфизм A S R A R R — изоморфизм. Модуль A называется E(e)-модулем, если выполнено условие HomR (R, A) = HomS (R, A).

Определение 4.3. T-радикалом модуля AR назовём сумму W(A) всех его подмодулей B таких, что B есть T(e)-модуль.

Определение 4.7. E-радикалом модуля AR назовём пересечение H(A) всех его подмодулей B таких, что A/B есть E(e)-модуль.

Если S F = R/e(S), то для удобства пишем n = nF. Очевидно, что n(A) является S-подмодулем в A. Верно и более сильное утверждение.

Теорема 4.4. Пусть A — R-модуль. Тогда нейтрализатор n(A) является его подмодулем.

При помощи этой теоремы доказывается следующий результат.

Предложение 4.5. Для произвольного R-модуля A имеет место равенство W(A) = WF (A).

Кроме того, для левого R-модуля G = R S F выполняется Предложение 4.6. Для произвольного R-модуля A справедливы равенства n(A) = nG (A) и W(A) = WG (A).

Таким образом, для подходящих модулей RG и S F можно утверждать, что T-радикал совпадает с T(G)-радикалом категории mod-R, а также с сужением T(F )-радикала категории mod-S на её подкатегорию mod-R. Аналогичные результаты справедливы и для E-радикала. Ниже используются обозначения VS = R/e(S), tr = trV, UR = V S R. Имеем следующий аналог теоремы 4.4.

Теорема 4.8. Пусть A — R-модуль. Тогда след tr(A) является его подмодулем.

Предложение 4.9. Для произвольного R-модуля A имеет место равенство H(A) = HV (A).

Предложение 4.10. Для произвольного R-модуля A справедливы равенства tr(A) = trU (A) и H(A) = HU (A).

Учитывая предложения 4.5 и 4.9, получаем следующую теорему.

Теорема 4.11. Значения T-радикала и E-радикала произвольного модуля AR однозначно определяются его S-модульной структурой.

Последние два результата параграфа свидетельствуют о том, что утверждения предложений 4.5 и 4.9 при определённых дополнительных условиях можно обратить.

Предложение 4.13. Пусть S — кольцо, S FS — бимодуль. Тогда существуют кольцо R и гомоморфизм e : S R такие, что бимодуль R/e(S) изоморфен бимодулю F.

При помощи этого предложения доказывается Теорема 4.14. Пусть S — коммутативное кольцо. Тогда всякий T(F )-радикал (E(V )-радикал) категории mod-S имеет вид T-радикала (соответственно E-радикала) для подходящего кольца R и вложения В §5 дополнительно рассматриваются T(e)-модули и E(e)-модули, где e есть композиция e и естественного гомоморфизма колец R R (R = R/I — некоторое факторкольцо кольца R), а также связанные с такими модулями радикалы.

Теорема 5.1. Пусть A — модуль над кольцами R и R. Следующие условия эквивалентны:

1) A — T(e)-модуль;

2) A — T(e)-модуль, причм I nA (R).

Следствие 5.2. Пусть A — модуль над кольцами R и R. Тогда W(A) W(A).

Теорема 5.3. Пусть A — модуль над кольцами R и R. Следующие условия эквивалентны:

1) A — E(e)-модуль;

2) A — E(e)-модуль, причм I Следствие 5.4. Пусть A — модуль над кольцами R и R. Тогда H(A) H(A).

Глава III посвящена изучению T(F )-радикалов категории абелевых групп. В §6 даётся описание всех таких радикалов и решётки, которую они образуют. Для этого отдельно рассматриваются непериодические и периодические группы F. Символами t и d обозначаются предрадикалы, сопоставляющие всякой группе соответственно её периодическую часть и наибольшую делимую подгруппу; P — множество всех простых чисел.

В качестве вспомогательного инструмента используется трёхэлементная цепь M1 = {l, m, n}, где n < m < l. Для всякой непериодической группы F можно определить функцию F : P M1, полагая n, если факторгруппа F/ t(F ) не является p-делимой.

Через L1 обозначается множество всех T(F )-радикалов, порождаемых неP периодическими группами F ; через M1 — множество, состоящее из всех последовательностей вида члены которых занумерованы простыми числами и принадлежат M1.

Отображение 1 : L1 M1 задаётся равенством Теорема 6.3. Частично упорядоченное множество L1 является полной дистрибутивной решткой; отображение 1 есть изоморфизм решток. Нулм и единицей рештки L1 служат радикалы WZ = 0 и t соответственно.

Пусть M2 = {, µ, } — ещё одна цепь из трёх элементов, причём < µ <. Функция F : P M2 (для удобства функции P M2 и P M1 обозначены одинаково; это не вызывает путаницы, так как в одном случае группа F периодическая, а в другом — нет) строится так:

Через L2 обозначается множество всех T(F )-радикалов, которые порожP даются периодическими группами F ; через M2 — множество, состоящее из всех последовательностей вида (12) с членами из M2. Отображение 2 : L2 M2 определяется по аналогии с 1 :

Теорема 6.6. Частично упорядоченное множество L2 является полной дистрибутивной решткой; отображение 2 есть изоморфизм решток. Нулм и единицей рештки L2 служат радикалы d и W0 = соответственно.

Далее рассматривается частично упорядоченное мноq жество M = M1 M2 = {l, m, n,, µ, } (предполагается, что m < и l < µ, а элементы l и несравнимы). Подмножество решётка. Биекция : L M из множества L = L1 L2 всех Теорема 6.10. Частично упорядоченное множество L является полной дистрибутивной решткой; отображение есть изоморфизм решток. Нулм и единицей рештки L служат радикалы WZ = 0 и W0 = 1 соответственно.

Последний результат параграфа показывает, насколько «плотно»

радикалы WF расположены в большой рештке IR (она отличается от обычной решётки тем, что элементы IR не образуют множество) всех идемпотентных радикалов категории абелевых групп.

Предложение 6.12. Пусть — идемпотентный радикал. Тогда (в) если вида (12) с членами из {l, m, n};

тельность вида (12) с членами из {, µ}.

В §7 рассматриваются различные свойства замкнутости классов T (F ) всех T(F )-групп. Так, доказывается, что условия «nF — кручение»

и «WF — кручение» равносильны.

Предложение 7.2. Пусть F — абелева группа. Эквивалентны следующие условия:

1) nF — кручение;

2) WF — кручение;

Символом R() обозначается радикальный класс идемпотентного радикала — класс всех абелевых групп (в общем случае — модулей) A таких, что имеет место равенство (A) = A. Главным результатом параграфа является Теорема 7.5. Для идемпотентного радикала IR следующие условия эквивалентны:

1) класс R() замкнут относительно сервантных подгрупп;

2) R() замкнут относительно рациональных сервантных подгрупп;

3) существует группа F такая, что = WF.

Из данной теоремы следует любопытный факт общего характера, касающийся тензорных произведений абелевых групп.

Следствие 7.6. Пусть F — произвольный класс абелевых групп, R — класс всех групп A, для которых A F = 0 при всех F F. Тогда существует группа F0 такая, что R = T (F0 ).

В §8 установлено, что «решёточное» (см. также предложение 3.12) пересечение T(F )-радикалов и их «поточечное» («точки» — это абелевы группы) пересечение суть одно и то же, т.е. доказана Теорема 8.7. Пусть A, F — произвольные абелевы группы. Если Следствие 8.8. Если F = G H, то для произвольной группы A справедливо равенство WF (A) = WG (WH (A)). В частности, любые два T-радикала категории абелевых групп коммутируют друг с другом.

Автор выражает признательность своему научному руководителю профессору Крылову Петру Андреевичу за постановку задач, внимание к работе и помощь в оформлении диссертации.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Кашу А. И. Радикалы и кручения в модулях. Кишинёв: Штиинца, [2] Кашу А. И. Функторы и кручения в категориях модулей. Кишинёв:

Штиинца, 1997.

[3] Крылов П. А., Приходовский М. А. Обобщённые T-модули и E-модули // Универсальная алгебра и её приложения: Тр. участ. междунар.

семинара, посвящ. памяти Л. А. Скорнякова (Волгоград, 6–11 сент.

1999 г.). — Волгоград, 2000. — С. 153–169.

[4] Крылов П. А., Михалёв А. В., Туганбаев А. А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Томск: Томск. гос. ун-т, 2002.

[5] Курош А. Г. Радикалы колец и алгебр // Матем. сборн. — 1953. — Т. 33(75), № 1. — С. 13–26.

[6] Мишина А. П., Скорняков Л. А. Абелевы группы и модули. М.: Наука, 1969.

[7] Приходовский М. А. Изоморфизмы тензорных произведений модулей и T-модули. Кандидатская диссертация. Томск, 2002.

[8] Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. М.: Мир, 1977. Т. 1.

[9] Amitsur S. A. A general theory of radicals II. Radicals in rings and bicategories // Amer. J. Math. — 1954. — V. 76, no. 1. — P. 100–125.

[10] Bowshell R. A., Schultz P. Unital rings whose additive endomorphisms commute // Math. Ann. — 1977. — V. 228, no. 3. — P. 197–214.

[11] Golan J. S. Torsion theories. New York: Longman Sci. Techn., 1986.

[12] Lambek J. Torsion theories, additive semantics and rings of quotients // Lect. Notes Math., 177. — Berlin – Heidelberg – New York: SpringerVerlag, 1971.

[13] Pierce R. S. E-modules // Contemp. Math., 87. Abelian group theory.

— Providence: Amer. Math. Soc., 1989. — P. 221–240.

[14] Schultz P. The endomorphism ring of the additive group of a ring // J.

Austral. Math. Soc. — 1973. — V. 15, no. 1. — P. 60–69.

[15] Тимошенко Е. А. E-модули и связанный с ними радикал // Абелевы группы и модули. — Томск, 2000. — Вып. 15. — С. 98–112.

[16] Тимошенко Е. А. T-модули и T-радикал // Материалы XXXIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научнотехнический прогресс»: Математика. — Новосибирск, 2001. — С. 3.

[17] Тимошенко Е. А. T-радикалы в категории абелевых групп // Международная конференция «Алгебра и её приложения»: Тезисы докладов.

— Красноярск, 2002. — С. 118.

[18] Тимошенко Е. А. T-радикалы в категории модулей // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тезисы докладов V Международной конференции (Тула, 19–24 мая 2003 г.). — Тула, 2003. — С. 214–215.

[19] Timoshenko E. A. T-radicals in the category of modules // International Conference on Radicals. Program and abstracts. — Kishinev, 2003. — P. 33–35.

[20] Тимошенко Е. А. T-радикалы в категории модулей // Международная конференция по математике и механике: Тезисы докладов. — Томск, 2003. — С. 59.

[21] Тимошенко Е. А. T-радикалы и E-радикалы в категории модулей // Сиб. матем. ж. — 2004. — Т. 45, № 1. — С. 201–210.

[22] Тимошенко Е. А. Т-радикалы в категории абелевых групп // Алгебра, логика и кибернетика: Материалы Международной конференции.

— Иркутск, 2004. — С. 107–108.

[23] Timoshenko E. A. T-radicals in the category of modules // Acta Appl.

Math. — 2005. — V. 85, no. 1–3. — P. 297–303.

[24] Тимошенко Е. А. T-радикалы в категории абелевых групп // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. — Новосибирск, 2005. — С. 14.

[25] Тимошенко Е. А. Радикальные классы, замкнутые относительно сервантных подгрупп // Абелевы группы: Труды Всероссийского симпозиума (Бийск, 22–25 авг. 2005 г.). — Бийск, 2005. — С. 37–39.