На правах рукописи

Мотькина Наталья Николаевна

АДДИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ

С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ

ИЗ СПЕЦИАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ

01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

Работа выполнена на кафедре алгебры, теории чисел и геометрии факультета математики и информационных технологий в ГОУ ВПО Белгородский государственный университет

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Гриценко Сергей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Журавлев Владимир Георгиевич, кандидат физико-математических наук Эминян Карапет Мкртичевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Защита состоится 11 марта 2011 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д.

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Муравьева О. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В теории чисел важную роль играют аддитивные задачи. К ним относится задача Лагранжа о представлении натурального числа N в виде суммы четырех квадратов натуральных чисел. Более общую проблему о разрешимости в натуральных числах x1, x2,..., xk уравнения xn + xn +... + xn = N, (1) 1 2 k называют проблемой Варинга. А задачу о представлении числа N суммой n–ых степеней простых чисел:

pn + pn +... + pn = N 1 2 k называют проблемой Варинга–Гольдбаха. Задача о числе решений уравнения p1 + p2 + p3 = N это тернарная проблема Гольдбаха. Задача о числе решений уравнения p2 + p2 + p2 + p2 + p2 = N 1 2 3 4 задача Хуа Ло–Кена.

Широкий класс аддитивных задач теории чисел решается с помощью кругового метода. Его авторами являются Г. Харди и Дж. Литтлвуд. В проблеме Варинга, к примеру, число решений уравнения (1) записывается в виде интеграла от бесконечного ряда по окружности.

Харди и Литтлвуд разбили окружность интегрирования определенным образом на большие и малые дуги. На больших дугах выделили главный член асимптотической формулы, а на малых оценили соответствующую часть интеграла как o–малое от главного члена.

И.М. Виноградов1 усовершенствовал рассуждения Харди и Литтлвуда. В круговом методе он заменил бесконечные ряды конечными тригонометрическими суммами, а также использовал разрывный множитель другого типа. Введение тригонометрических сумм существенно упростило метод Харди–Литтлвуда. Разбиение на большие и малые дуги у Виноградова в идейном плане совпадает с соответствующими разбиениями Харди–Литтлвуда, но в техническом плане схема Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука, 1983.

значительно упростилась. В результате с помощью кругового метода и метода тригонометрических сумм И.М. Виноградов получил современные оценки в проблеме Варинга, а также полностью решил тернарную проблему Гольдбаха2.

Первоначально классические аддитивные задачи решались без введения ограничений на переменные. Позднее в теории чисел появилась тематика решение классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству.

Один из первых вариантов специального множества возник в работах Виноградова. В 1940 г. И. М. Виноградов3 получил асимптотическую формулу для количества простых чисел p, не превосходящих N, с условием {f p1/c } <, (2) где 1 < c, f действительное число, 0 < f < 1, 0 < < 1. Этой задачей занимался Ю. В. Линник4, а позднее Р. М. Кауфман5. С. А. Гриценко в 1988 г. доказал, что для случая f = = 1/2, 1 < c 2 в простых числах вида (2) разрешимы тернарная проблема Гольдбаха, проблема Варинга–Гольдбаха6.

Другой известный пример специального множества множество простых чисел p таких, что для некоторого натурального n, нецелого c > 1. Аддитивные задачи с простыми числами такого вида изучались в работах7. В частности, в 1992 г. А. Балог и Дж. Фридлендер8 решили тернарную проблему Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел//ДАН СССР.

1937. Т. 15. С. 169–172.

Виноградов И. М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел//Матем. сб.

1940. Т. 7, вып. 2. C. 365–372.

Линник Ю. В. Об одной теореме теории простых чисел//ДАН СССР. 1945. Т. 47. C. 7–8.

Кауфман Р. М. О распределении { p}//Матем. заметки. 1979. Т. 26, вып. 4. C. 497–504.

Гриценко С. А. Тернарная проблема Гольдбаха и проблема Гольдбаха–Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида//Успехи матем. наук. 1988. Т. 43, вып. 4 (262). C. 203–204.

Пятецкий–Шапиро И. И. О распределении простых чисел в последовательности вида [f (n)]//Матем. сб. 1953. Т. 33(75), №3. C. 559–566.

Карацуба А. А. Об одной задаче с простыми числами//ДАН СССР. 1981. Т. 259. №6.

C. 1291–1293.

Kolesnik G. Primes of the form [nc ]//Pacic J. Math. 1985. Vol. 118. No. 2. C. 437–447.

Deshouillers J. M. Sur la repartition des nombres [nc ] dans les progressions arithmetiques//Acad.

Sc. Paris. 1993. Т. 277. Serie A. C. 647–650.

Balog A., Friedlander J. A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro//Pacic J.

Math. 1992. Vol. 156. No. 1. P. 45–62.

Гольдбаха в простых числах вида (3) при 1 < c < 21/20.

В 2003 г. М. Чанга в работе9 ввел специальное множество простых чисел p таких, что тернарную проблему Гольдбаха, задачу Хуа Ло–Кена.

В данной диссертации рассматривается задача о распределении простых чисел из специального множества на коротких промежутках, а также аддитивные задачи с числами специального вида. В тексте диссертации введены обозначения: квадратичная иррациональность, a и b произвольные фиксированные действительные числа из отрезка [0, 1].

Цель работы.

1. Изучить распределение простых чисел из специального множества на коротких промежутках.

2. Получить приближенные формулы для числа решений аддитивных задач с числами специального вида.

Методы исследования. Работа выполнена на основе теории дзета– функции Римана, кругового метода Харди–Литтлвуда–Рамануджана– Виноградова и метода тригонометрических сумм.

Научная новизна работы. В диссертации представлены доказательства приближенных формул для числа решений некоторых диофантовых уравнений с переменными специального вида, получена асимптотическая формула для количества специальных простых чисел на коротких промежутках. Все результаты работы являются новыми.

Положения, выносимые на защиту:

1. В предположении справедливости гипотезы Римана доказательство асимптотической формулы для количества простых чисел p Чанга М. Е. Простые числа в специальных промежутках и аддитивные задачи с такими числами//Матем. заметки. 2003. Т. 73, вып. 3. C. 423–436.

с условием на коротких промежутках [N, N + H], где H > N 1/2+10, > 0.

2. Вывод приближенной формулы для числа решений уравнения в простых числах pi, i = 1, 2, 3, таких, что где здесь и далее квадратичная иррациональность, a и b произвольные фиксированные действительные числа из интервала [0, 1].

3. Получение приближенной формулы для числа решений уравнения с простыми числами pi, i = 1, 2, 3, 4, 5, на которые наложены ограничения вида 4. Доказательство асимптотической формулы для числа решений уравнения в целых числах li, i = 1, 2, 3, 4, удовлетворяющих условиям Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам, а также при разработке специальных курсов по теории чисел.

Апробация результатов. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:

Международная конференция Аналитические методы в теории чисел, теории вероятностей и математической статистике, посвященная 90–летию Ю. В. Линника, Санкт–Петербург, 2005 г.

Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов 2009, Москва, 2009 г.

Российско–китайский симпозиум Комплексный анализ и его приложения, Белгород, 2009 г.

VII Международная конференция Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященная памяти профессора А.А. Карацубы, Тула, 2010 г.

Публикации. Все результаты диссертации опубликованы в работах автора [1] [6]. Из них статьи [1], [2] опубликованы в журналах из списка ВАК РФ. Список публикаций автора приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Список литературы содержит 38 наименований. Общий объем диссертации 65 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, дается краткий исторический обзор результатов, полученных ранее и связанных с тематикой диссертационной работы, формулируются основные результаты диссертации и приводятся схемы доказательств.

Первая глава диссертации содержит сведения из теории чисел, необходимые при дальнейшем изложении. Основные результаты научной работы сформулированы во 2 5 главах.

Во второй главе рассматривается вопрос распределения на коротких промежутках простых чисел p с условием {(1/2)p1/c } < 1/2, где 1 < c 2. Для решения этой задачи мы используем подход Ю. В. Линника4, связанный с применением явной формулы для функции Чебышева и теорем о плотности распределения нулей дзета–функции в критической полосе.

В 1986 г. С. А. Гриценко10 получил асимптотическую формулу для c (M ) количества простых чисел p таких, что Гриценко С. А. Об одной задаче И. М. Виноградова//Матем. заметки. 1986. Т. 39, вып. 5. C. 625–640.

В результате где > 0, Очевидно, c (M ) количество простых чисел, не превосходящих M и принадлежащих промежуткам [(2x)c, (2x + 1)c ), x = 1, 2,.... Отметим, что чем меньше c, тем короче промежутки. По отдельности в каждый из этих промежутков может не попасть даже ни одного целого числа. Из результата С. А. Гриценко видно, что в таких промежутках содержится примерно половина простых чисел.

Если применить метод Линника и вместо плостностных теорем воспользоваться гипотезой Римана, то получить в асимптотической формуле (5) остаточный член лучше, чем O(M 1/2+1/2c+ ), без дополнительных соображений не удается.

При H < N 1/2+1/2c, 1 < c 2 из асимптотической формулы (5) не следует, что на отрезок [N, N +H] попадает хотя бы одно простое число такое, что {(1/2)p1/c } < 1/2. В диссертации доказано (теорема 1), что в предположении справедливости гипотезы Римана при H > N 1/2+ простые числа такого вида распределены регулярно на промежутке [N, N + H].

Теорема 1. Пусть H > N 1/2+10, > 0. Если верна гипотеза Римана, то справедлива асимптотическая формула где Заметим, что при c > 2 промежуток [N, N + H] оказывается короче промежутков [(2x)c, (2x + 1)c ), определяемых условием {(1/2)p1/c } < 1/2. Поэтому при c > 2 теорема 1 перестает быть справедливой.

В третьей главе рассматривается тернарная проблема Гольдбаха:

p1 + p2 + p3 = N для достаточно большого нечетного N с простыми числами pi, на которые наложены ограничения вида a < {pi } < b, i = 1, 2, 3. Основным результатом является теорема 2. В ней I3,1 (N ) число решений классической проблемы Гольдбаха, J3,1 (N ) проблемы Гольдбаха с введенными ограничениями на переменные pi. Для I3,1 (N ) в 1937 г. И.М. Виноградов получил асимптотическую формулу, а именно доказал, что:

Теорема 2. Для любого фиксированного положительного C справедливо равенство где выполняется, то мы не можем утверждать, что сумма ряда (N, a, b) отлична от нуля.

Опишем схему доказательства теоремы 2. Число решений задачи Гольдбаха представим в виде интеграла где (x) характеристическая функция интервала (a, b), продолженная с периодом 1 на всю числовую ось.

Разложив предварительно сглаженную функцию (x) в ряд Фурье, перейдем к рассмотрению сумм m1,m2,m где Если m1 = m2 = m3 = m, то Если среди m1, m2, m3 есть два не равных друг другу числа, то допустим, что m1 < m2. Сделаем замену t = x + m1.

Отрезок интегрирования разбиваем на две части: множество точек t, находящихся близко к рациональным числам с малыми знаменателями ( большие дуги E1 ), множество остальных точек ( малые дуги E2 ). На малых дугах известна оценка для |S(t)|. На больших дугах получаем оценку для |S(t + m)|, m = m2 m1. Здесь используем то обстоятельство, что квадратичная иррациональность, и числа t + m хорошо приближаются несократимыми дробями со знаменателями, которые не слишком малы и не слишком велики. Тогда интеграл оценивается как и попадает в остаток.

В четвертой главе рассматривается задача Хуа Ло–Кена. Хуа Ло–Кену11 принадлежит доказательство того, что достаточно большое натуральное N, N 5 (mod 24), представимо суммой квадратов пяти простых чисел: p2 + p2 + p2 + p2 + p2 = N. Число представлений обозначим I5,2 (N ). Хуа Ло–Кен доказал12, что Hua L. K. Some results in the additive prime number theory//Quart. J. Math. 1938. 9.

P. 68–80.

Хуа Ло–ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М.: Мир, 1964.

Рассмотрим задачу Хуа Ло–Кена с простыми числами pi, i = 1, 2, 3, 4, 5, такими, что a < {p2 } < b. Обозначим число решений задачи как J5,2 (N ). Приближенная формула для J5,2 (N ) приведена в следующей теореме.

Теорема 3. Для достаточно большого натурального N, N (mod 24), справедлива формула где