WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Маркелов Николай Константинович

О сложности функций k-значной логики в классе

поляризованных полиномов

01.01.09 – дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2013

Работа выполнена на кафедре математической кибернетики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

кандидат физико-математических наук,

Научный руководитель:

доцент Селезнева Светлана Николаевна доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

профессор Кочергин Вадим Васильевич кандидат физико-математических наук Дайняк Александр Борисович Московский энергетический институт

Ведущая организация:

(Национальный исследовательский университет)

Защита диссертации состоится «» апреля 2013 года в 11 часов на заседании совета Д 501.001.44 при факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991 ГСП-1, Москва, Ленинские горы, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, аудитория 685. Желающие присутствовать на заседании диссертационного совета должны сообщить об этом за два дня по тел. (495)939-30-10 (для оформления заявки на пропуск).

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте ВМК МГУ http://cs.msu.ru в разделе «Наука» – «Работа диссертационных советов» – «Д 501.001.44».

Автореферат разослан «» марта 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор Трифонов Н.П.

Общая характеристика работы

Актуальность темы Одной из основных составляющих дискретных моделей являются функции kзначной логики. Они начали изучаться в 50-е годы прошлого века в связи с развитием вычислительной техники. Фундаментальными вопросами в данной области являются вопросы полноты, выразимости, канонических форм и другие1.

Одним из стандартных способов задания функций kзначной логики являются полиномы. Первые результаты по представлениям булевых функций в виде полиномов были опубликованы в 1928 и 1929 году в работах И.И.Жегалкина2,3. Эти исследования были связаны с решением проблемы арифметизации логических рассуждений и не получили распространения вне этой области.

Только с развитием теории кодирования в 50-е годы были продолжены исследования по полиномиальным представлениям булевых функций. В работах Д. Мюллера4 и И. Рида5 полиномы Жегалкина были переоткрыты и получено их обобщение для введения нового класса линейных кодов, получивших название «коды Рида-Мюллера», а введенные полиномиальные формы стали называться «формами Рида-Мюллера».

Появление интереса непосредственно к полиномиальным представлениям булевых функций как объектам исследования связано с практическими приложениями. Развитие электроники во второй половине двадцатого века в направлении увеличения быстродействия, уменьшения энергоемкости и стоимости привело к тому, что большая интеграция имеет определяющее значение. Лучшей считается схема, имеющая меньшую площадь кристалла. Этот критерий и технологические требования регулярности структуры привели к требованию отображать на кристалл функцию или систему функций в виде дизъюнктивной, конъюнктивной или полиномиальной нормальной формы — матричной схемы. Такие схемы получили название программируемых логических матриц (ПЛМ)6.

Яблонский C. В. Функциональные построения в kзначной логике // Труды математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 51. 1958. С. 5-142.

2 Жегалкин И. И. Арифметизация символической логики // Мат. сборник. 1928. Т.35.

С. 311-373.

3 Жегалкин И. И. Арифметизация символической логики // Мат. сборник. 1929. Т.36.

С. 305-338.

4 Muller D. E. Application of Boolean algebra to switching circuit design and to error detection // IRE Trans. Electron. Comput. EC-3. 1954. P. 6-12.

5 Reed I. S. A class of multiple-error-correcting codes and the decoding scheme // IRE Trans.

on Inform. Theory. 1954. P. 38-49.

6 Угрюмов Е. П. Цифровая схемотехника. СПб, БХВ-Петербург, 2004.

Более того, в последние годы полиномиальные представления булевых и kзначных функций находят и другие применения, например, в задачах машинного обучения7,8, кодирования и защиты информации.9 Они широко используются в теории сложности при нахождении нижних оценок сложности схем10,11. Полиномиальные представления также применяются в комбинаторнографовых задачах12.

При простых k любая функция kзначной логики представима полиномом по модулю k 13. При составных k существуют не полиномиальные функции.

Кроме того, полиномиальные формы можно понимать в различных обобщенных смыслах. Исследуются различные поляризованные (понятие поляризации вводится по-разному) полиномиальные формы14,15, полиномы над кольцом целых чисел16, обощенные полиномы17, квазиполиномы18, кронекеровы матричные формы19.



В теории управляющих систем важной задачей является получение нижних (и точных) оценок сложности для конкретных функций. Например, в Klivans A. Servedio R. Learning DNF in time 2O(n ) // in Proceedings of the 33rd Annual Symposium on Theory of Computing (STOC’01). 2001. P. 258-265.

8 Jackson J., Klivans A., Servedio R. Learnability beyond AC 0 // in Proceedings of the 34th ACM Symposium on Theory of Computing. 2002. P. 776-784.

9 MacWilliams F., Sloan N. The Theory of Error-Correcting Codes. North-Holland, 1977.

762 p.

10 Aspnes J., Beigel R., Furst M., Rudich S. The expressive power of voting polynomials // Combinatorica, vol. 14, no. 2. 1994. P. 135–148.

11 Разборов А. А. Нижние оценки размера схем ограниченной глубины в полном базисе, содержащем функцию логического сложения // Матем. заметки, ДАН СССР 41:4. 1987.

С. 598-607.

12 Gopalan P. Constructing Ramsey graphs from Boolean function representations // In Proceedings of the 21 st IEEE Conference on Computational Complexity (CCC’06). 2006.

P. 115-128.

13 Яблонский C. В. Функциональные построения в kзначной логике // Труды математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 51. 1958. С. 5-142.

14 Селезнева С. Н. О сложности представления функций многозначных логик поляризованными полиномами // Дискретная математика том 14, выпуск 2. 2002. С. 48—53.

15 Селезнева С. Н. О сложности поляризованных полиномов функций многозначных логик, зависящих от одной переменной // Дискретная математика том 16, выпуск 2. 2004.

С. 117–120.

16 GopalanP., Shpilka A., Lovett S. The Complexity of Boolean Functions in Different Characteristics // Computational Complexity vol. 19, no. 2. 2010. P. 235-263.

17 Селезнева С.Н., Дайняк А.Б. О сложности обобщенных полиномов kзначных функций // Вестник Моск. Унив. Серия 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 2008. С. 34-39.

18 Селезнева С. Н. О сложности k-значных функций в одном классе полиномов // Проблемы теоретической кибернетики. Материалы XVI международной конференции. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2011. С. 430-434.

19 Балюк А. С., Добрынина Ю. А. Нижняя оценка сложности k-значных функций в классе кронекеровых матричных форм Синтаксис и семантика логических систем // Материалы 4-й Российской школы-семинара, посвященной 80-летию основания Бурятского государственного университета. Улан-Удэ, 2012. С. 20-22.

классе схем из функциональных элементов к настоящему времени найдены только линейные нижние оценки сложности индивидуальных функций, в то время как мощностным методом доказано20,21, что почти все функции являются «сложными». Модель поляризованных полиномов является одной из моделей, для которой удается строить нелинейные нижние оценки сложности индивидуальных функций. Для булевой логики Н. А. Перязевым были построены индивидуальные последовательности «сложных» в классе поляризованных полиномов функций. При k 3 для kзначной логики вопрос построения последовательностей сложных функций пока остается открытым.

В диссертации рассматриваются поляризованные полиномиальные формы функций kзначной логики при простых k.

Поляризованный полином это сумма с некоторыми коэффициентами произведений переменных, встречающихся всюду с фиксированным количеством отрицаний Поста.

Сложностью функции kзначной логики в классе поляризованных полиномов называется минимальное по всем поляризациям число слагаемых с ненулевыми коэффициентами поляризованного полинома, реализующего эту функцию. Функция Шеннона от n определяется как сложность самой сложной функции от n переменных.

Для булевой логики первые оценки функции Шеннона были опубликованы T. Sasao и P. Besslich22, потом они были улучшены В. П. Супруном23. Точное значение функции Шеннона в классе полиномиальных поляризованных форм было найдено Н. А. Перязевым24. Для случаев kзначной логики при k 3 известные к настоящему времени верхняя25 и нижняя26 оценки функции Шеннона совпадают лишь по порядку роста.

Цель работы Целью работы является исследование сложности функций kзначной логики в классе поляризованных полиномов.

Shannon C.E. The synthesis of two-terminal switching circuits. // Bell Syst. Techn, vol. 28, no. 1. 1949. P. 59-98.

21 Лупанов О. Б. Об одном подходе к синтезу управляющих систем —– принципе локального кодирования // Проблемы кибернетики. Вып. 14 М.: Наука, 1965. С. 31-110.

22 Sasао Т., Веssliсh P. On the complexity of mod-2 sum PLA’s // IEEE Trans, on Comput, vol. 39, no. 2. 1990. P. 262– 23 В. П. Супрун, Сложность булевых функций в классе канонических поляризованных полиномов // Дискретная математика, том 5, выпуск 2. 1993. С. 111-–115.

24 Перязев Н. А. Сложность булевых функций в классе полиномиальных поляризованных форм // Алгебра и логика, т. 34, вып. 3. 1995. С. 323–326.

25 Селезнева С. Н. О сложности представления функций многозначных логик поляризованными полиномами // Дискретная математика том 14, выпуск 2. 2002. С. 48—53.

26 Алексеев В. Б., Вороненко А. А., Селезнева С. Н. О сложности реализации функций kзначной логики поляризованными полиномами // Труды V Международной конференции «Дискретные модели в теории управляющих систем». М.: МАКС Пресс, 2003. С. 8–9.

Методы исследования При исследовании функции Шеннона сложности функций в классе поляризованных полиномов оказались полезны последовательности периодических функций. Функция называется периодической с периодом p, если вектор ее значений представляет собой многократно повторяющийся вектор p. Последовательностью периодических функций называется последовательность функций {fi } от i переменных с одинаковыми периодами. Сложность последовательности периодических функций определяется как функция от количества переменных n и в каждой точке равна сложности соответствующей периодической функции. Последовательности периодических функций, сложность которых есть о малое от функции Шеннона, будем называть вырожденными. Последовательности функций, не являющиеся вырожденными, назовем невырожденными.

При получении оценок сложности функций k-значной логики в классе поляризованных полиномов применяются алгебраические, комбинаторные методы, а также результаты теории дискретных функций, линейной алгебры и теории конечных полей и колец.

Научная новизна Все результаты диссертации ялвяются новыми. Основные результаты диссертации состоят в следующем (при простых k).

• Разработан быстрый алгоритм преобразования вектора значений функции kзначной логики в вектор коэффициентов ее поляризованного полинома.

• Для трехзначной логики улучшена нижняя оценка функции Шеннона в классе поляризованных полиномов и представлены периодические функции, на которых эта оценка достигается.

• Для пятизначной логики доказана вырожденность всех последовательностей периодических функций с периодами длины 6 и невырожденность всех последовательностей периодических функций с периодами длины и суммой компонент периода равной нулю.

• Для kзначной логики найден критерий невырожденности последовательностей периодических функций, сводящий вопрос о невырожденности конкретных функций к вычислительной задаче полиномиальной по значности логики k и экспоненциальный по длине периода T.

• Получена нижняя оценка сложности последовательностей невырожденных функций kзначной логики в классе поляризованных полиномов.

• Для kзначной логики найден критерий невырожденности семейств последовательностей периодических функций, сводящий вопрос о невырожденности семейств последовательностей функций к вычислительной задаче полиномиальной по значности логики k и длине периода T.

• Для kзначной логики показано, что периодические функции с достаточно большой длиной периода являются невырожденными в классе поляризованных полиномов.

Практическая значимость Диссертация носит теоретический характер.

Интерес к исследованию сложности функций в классе поляризованных полиномов объясняется тем, что в настоящее время при проектировании цифровых устройств применяются программируемые логические матрицы (ПЛМ) типа PLXORC. Основой для проектирования устройств на базе ПЛМ такого типа являются канонические поляризованные полиномы реализуемых булевых функций. Известные оценки функции Шеннона в классе поляризованных полиномов устанавливают необходимое и достаточное число промежуточных шин ПЛМ для реализации произвольных булевых функций от n переменных.

Апробация работы Основные результаты были представлены автором на следующих конференциях:

• XV международная конференция «Проблемы теоретической кибернетики»(Казань, 2-7 июня 2008 г.) • VIII Международная научная конференция «Дискретные модели в теории управляющих систем» (Москва, 6-9 апреля 2009 г.) • Х Международный семинар «Дискретная математика и ее приложения»

(Москва, 1-6 февраля 2010 г.) • XVI международная конференция «Проблемы теоретической кибернетики» (Нижний Новгород, 20-25 июня 2011 г.) • ХI Международный семинар «Дискретная математика и ее приложения»

(Москва, 18-23 июня 2012 г.) • Научная конференция «Тихоновские чтения» (Москва, 29 октября – ноября 2012 г.) Публикации Основные результаты диссертации опубликовано в семи работах [1–7], в том числе работы [2, 5] в изданиях из Перечня ВАК.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из пяти глав, двух приложений и списка литературы.

Объем диссертации 81 станица. Список литературы содержит 58 наименований.

Содержание работы В первой главе описана история вопроса, основные результаты и структура диссертации.

Во второй главе вводятся основные понятия. И представлены известные оценки функции Шеннона в классе поляризованных полиномов.

Пусть k 2, Ek = {0, 1,..., k 1}. Функция f (n ) называется функцией kзначной логики, если на всяком наборе Ek ее значение содержится в Ek. Совокупность всех функций kзначной логики от n переменных обоn значается через Pk. Для функции kзначной логики f (x0, x1,..., xn1 ) ее iй остаточной функцией (i Ek ) по переменной x0 будем называть функцию fi (x1, x2,..., xn1 ) = f (i, x1, x2,..., xn1 ). Каждую функцию kзначной логики можно задавать вектором ее значений k = (0, 1,..., kn 1 ), где координата i — это значение функции на наборе, представляющем запись числа i в kичной системе счисления.

Полиномом назовем такую сумму (все суммы и произведения берутся по mod k) в котором c () Ek — некоторые коэффициенты.

Поляризованным по вектору поляризации = (0,..., n1 ) Ek полиномом назовем сумму (все суммы и произведения берутся по mod k) в котором c () Ek — некоторые коэффициенты, и (xi + i )ai — степени, то есть Назовем вектором коэффициентов поляризованного по вектору поляризации Ek полинома функции f (n ) Pk вектор значений функции c (n ).

Сложностью l(P ) полинома, поляризованного по вектору, назовем число слагаемых с ненулевыми коэффициентами. Сложность функции k-значной логики f в классе поляризованных полиномов определяется как минимальная по всем векторам поляризации Ek сложность полинома P, реализуюn щего функцию f.

Функция Шеннона Lk (n) определяется как сложность самой сложной функции kзначной логики от n переменных в классе поляризованных полиномов.

Точное значение функции Шеннона для булевой логики в 1995 году было найдено Н. А. Перязевым27 :

где [·] обозначает целую часть.

Для функций kзначной логики верхняя оценка функции Шеннона была получена С. Н. Селезневой в 2002 году28 :

В 2003 году нижняя мощностная оценка функции Шеннона была опубликована В. Б. Алексеевым, А. А. Вороненко и С. Н. Селезневой29 :

Точное значение функции Шеннона от единицы было в 2004 году найдено С. Н. Селезневой Для трехзначной логики в 2006 году в дипломной работе Е. Н. Денисова экспериментально было установлено, что при n 10 имеет место оценка Перязев Н. А. Сложность булевых функций в классе полиномиальных поляризованных форм // Алгебра и логика, т. 34, вып. 3. 1995. С. 323-326.

28 Селезнева С. Н. О сложности представления функций многозначных логик поляризованными полиномами // Дискретная математика том 14, выпуск 2. 2002. С. 48-53.

29 Алексеев В. Б., Вороненко А. А., Селезнева С. Н. О сложности реализации функций kзначной логики поляризованными полиномами // Труды V Международной конференции «Дискретные модели в теории управляющих систем». М.: МАКС Пресс, 2003. С. 8-9.

30 Селезнева С. Н. О сложности поляризованных полиномов функций многозначных логик, зависящих от одной переменной // Дискретная математика том 16, выпуск 2. 2004.

С. 117-120.

31 Денисов Е. Н. О сложности функций трехзначной логики в классе поляризованных полиномов. Дипломная работа, кафедра математической кибернетики, ВМиК МГУ им.

Ломоносова, Третья глава посвящена нахождению алгоритмов построения векторов коэффициентов обычных и поляризованных полиномов по векторам значений функции kзначой логики. Глава разделена на три параграфа.

В первом и втором параграфах вводятся преобразования вектора значений функций kзначной логики в вектор коэффициентов обычного и поляризованного полинома. Здесь рассмотрим более общий случай поляризованных полиномов.

Над векторами из Ek и векторами поляризации из Ek определим (индукцией по n) следующее преобразование Wk.

при этом под компонентами с отрицательными индексами i подразумеваются компоненты ki.

ра из Ek и вектора поляризации = (1, 2,..., n ) Ek и рассмотрим произвольный вектор и вектор поляризации = (0, 1,..., n ) Ek. Пусть известны по индуктивному предположению. Положим где сумма наборов подразумевается как покомпонентная.

Справедлива следующая ТЕОРЕМА 3.2. Пусть k – простое число. Вектор f значений функции f (n ) Pk свяx зан с вектором pf коэффициентов поляризованного по вектору полинома P ( ), реализующего функцию f (n ) следующим образом: pf = Wk ( f, ).

В третьем параграфе и, подробнее, в приложении А описываются экспериментальные результаты, связанные с программной реализацией преобразований, описанных в двух предыдущих параграфах.

В четвертой главе, разделенной на девять параграфов, проводится исследование сложности периодических функций.

Через (0, 1,... T 1 )kn обозначим вектор длины k n вида Функцию kзначной логики f (x0,..., xn1 ) будем называть периодической с периодом p = (p0,..., pT 1 ), если вектор ее значений имеет вид Последовательностью периодических с периодом p Ek функций будем называть последовательность составленную из периодических функций с одинаковым периодом p от различного количества переменных, равного индексу функции в последовательности. Для последовательности периодических функций {fn } определим ее сложность в классе поляризованных полиномов L{fn } (n) = L(fn ).

В первом параграфе найдены последовательности периодических булевых функций, являющихся самыми сложными функциями в классе поляризованных полиномов.

ТЕОРЕМА 4.1. Периодические булевы функции с периодами (110), (101), (011) является самыми сложными булевыми функциями в классе поляризованных полиномов.

Во втором параграфе для трехзначной логики улучшена ранее известная нижняя оценка функции Шеннона и предъявлены последовательности периодических функций, на которых эта оценка достигается.

ТЕОРЕМА 4.2. Сложность периодических функций трехзначной с периодами (1122), (1221), (2211), (2112) в классе поляризованных полиномов равна ТЕОРЕМА 4.2. Справедлива следующая нижняя оценка функции Шеннона сложности функций трехзначной логики в классе поляризованных полиномов:

В третьем параграфе вводится преобразование, многократное применение которого в некотором смысле моделирует преобразование Wk вектора значений функций kзначной логики в вектор коэффициентов поляризованного полинома применительно к периодическим функциям.

Пусть p Ek. Для каждого i Ek вводится преобразование Отображение i () содержательно выдает первые k компонент цикличеk,T p ского сдвига вектора p на ik позиций влево. Формально где j = ik mod T.

Обозначим через k : Ek Ek (Ek )k следующее отображение При этом векторы назовем образами вектора p.

Матрицу преобразования k (, )[i] будем обозначать через A.

В четвертом параграфе доказаны критерии невырожденности индивидуальных последовательностей функций kзначной логики и невырожденности целых семейств последовательностей периодических функций, сводящие вопросы о невырожденности к вычислительным задачам. А также доказана нетривиальная нижняя оценка сложности периодических функций в классе поляризованных полиномов.

ТЕОРЕМА 4.4. является вырожденным тогда и только тогда, когда найдется натуральное m и такие параметры i1, i2,..., im, 1, 2,..., m, что выполнено где (0, 0,..., 0) — нулевой вектор.

ТЕОРЕМА 4.4. Существует алгоритм, определяющий по периоду p Ek, является ли последовательность периодических функций вырожденной или невырожденной. Сложность алгоритма полиномиальна по значности логики k и экспоненциальна по длине периода T.

ТЕОРЕМА 4.4. Пусть k — простое число. Если T взаимно просто c k, то для того, чтобы все периоды длины T с нулевой суммой компонент были невырождены необходимо и достаточно, чтобы для любых i, Ek у однородных систем линейных уравнений с матрицами A не было решений помимо (cc...c), где (cc...c) — вектор, все компоненты которого равны c.

ТЕОРЕМА 4.4. Существует алгоритм, определяющий, являются ли все последовательности периодических функций kзначной логики с периодами длины T и нулевой суммой компонент периода невырожденными. Сложность алгоритма полиномиальна по значности логики k и длине периода T.

ТЕОРЕМА 4.4. Пусть k — простое число. Если T взаимно просто c k, а последовательность периодических функций {fn } с периодом длины T невырождена, то ее сложность В пятом параграфе в общем виде рассматривается матрица преобразования и делается несколько замечаний о ее свойствах.

В шестом и седьмом параграфах на невырожденность исследуются периодические функции пятизначной логики с периодами длин 6 и 7, и доказаны следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 4.6. Все периодические функции 5-значной логики с периодами длины 6 являются вырожденными.

ТЕОРЕМА 4.7. Все периодические функции 5-значной логики с периодами длины 7 и суммой компонент периода, равной нулю, являются невырожденными.

В восьмом параграфе и, подробнее, в приложении В описаны экспериментальные результаты, подкрепляющие гипотезу о том, что все последовательности периодических функций kзначной логики (при k 3) с периодами длины T > k + 1 и нулевой суммой периода компонент являются невырожденными.

В последнем, девятом параграфе главы 4 строго доказано, что все последовательности периодических функций kзначной логики с достаточно большой длиной периода и суммой компонент периода являются невырожденными.

ТЕОРЕМА 4.9. Пусть k и T — простые числа, причем T > k k1. Тогда все периоды длины T с нулевой суммой компонент являются невырожденными. При этом последовательность функций {fn } с периодом T имеет сложность В пятой главе перечислены основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Публикации автора по теме диссертации [1] Маркелов Н. К. Селезнева С. Н. Быстрый алгоритм построения векторов коэффициентов поляризованных полиномов kзначных функций // Тезисы докладов XV Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики». Казань: Отечество, 2008. C. 102.

[2] Селезнева С. Н., Маркелов Н. К. Быстрый алгоритм построения векторов коэффициентов поляризованных полиномов kзначных функций // Ученые записки Казанского университета Сер. Физико-математические науки, Т. 151, вып. 2. 2009. C. 147-153.

[3] Маркелов Н. К. О сложности некоторых k-значных функций в классе поляризованных полиномов // Материалы X Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения»(Москва, 1–6 февраля г.). М.: Издательство механико-математического факультета МГУ. С.

191-193.

[4] Маркелов Н. К. О сложности периодических функций трехзначной логики в классе поляризованных полиномов // Материалы XVI Международной конференции (Нижний Новгород, 20-25 июня 2011 г). Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2011. С. 301-303.

[5] Маркелов Н. К. Нижняя оценка сложности функций трехзначной логики в классе поляризованных полиномов // Вестник Московского университета. Сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика. 2012. №3. С.

[6] Маркелов Н. К. Критерий невырожденности периодических функций kзначной логики // Материалы X Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения»(Москва, 18–23 июня 2012 г). С.

199-202.

[7] Маркелов Н. К. О сложности в классе поляризованных полиномов периодических функций kзначной логики с периодами большой длины // Научная конференция «Тихоновские чтения», тезисы докладов (Москва, 29-31 октября 2012 г). М.: МАКС Пресс, 2012. С. 50.





Похожие работы:

«Горбунов Андрей Владимирович ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА УПРОЧНЕНИЯ МАЛОЖЕСТКИХ ВАЛОВ ЦЕНТРОБЕЖНЫМ ОБКАТЫВАНИЕМ Специальность 05.02.08 – Технология машиностроения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук Иркутск 2013 Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Иркутский государственный технический университет на кафедре Машиностроительных технологий и материалов Научный руководитель : Зайдес Семен Азикович доктор технических наук, профессор, заведующий кафедры...»

«УДК 621.7 Бушков Игорь Александрович РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РАЗМЕРНОГО АНАЛИЗА ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ДЕТАЛЕЙ С КОНУСНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ НА ОСНОВЕ АППРОКСИМАЦИИ КОНУСОВ КОМБИНАЦИЯМИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И ТОРЦЕВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Специальность 05.02.08 – Технология машиностроения АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Омск – 2011 Работа выполнена на кафедре Технология машиностроения Омского государственного технического университета. Научный...»

«Портнягина Виктория Витальевна РАЗРАБОТКА УПЛОТНИТЕЛЬНЫХ РЕЗИН НА ОСНОВЕ МОРОЗОСТОЙКИХ КАУЧУКОВ И УЛЬТРАДИСПЕРСНЫХ НАПОЛНИТЕЛЕЙ ДЛЯ ТЕХНИКИ СЕВЕРА Специальность 05.17.06. – Технология и переработка полимеров и композитов АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва - 2010 Работа выполнена в Институте проблем нефти и газа Сибирского отделения РАН и ГОУ ВПО Якутском государственном университете им. М.К. Аммосова (г. Якутск). Научный...»

«Кузнецов Роман Александрович РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ЦИФРОВОЙ ГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ Специальность: 05.11.16 – Информационно-измерительные и управляющие системы (в промышленности) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук Новосибирск – 2013 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Новосибирский государственный...»

«БУЛАХОВА ПОЛИНА ВЛАДИСЛАВОВНА МИФ О ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ В РУССКОМ ХУДОЖЕСТВЕННОМ СОЗНАНИИ XX ВЕКА Специальность 10.01.01 – русская литература АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата филологических наук Москва 2012 Работа выполнена на кафедре истории русской литературы XX века филологического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова Научный руководитель : доктор филологических наук, профессор Михайлова Мария Викторовна...»

«КЛИМКО Василий Иванович ОБОСНОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО РЕЖИМА ТРУБОПРОВОДНОГО ТРАНСПОРТА ВЫСОКОВЯЗКОЙ И ВЫСОКОЗАСТЫВАЮЩЕЙ НЕФТИ Специальность 25.00.19 – Строительство и эксплуатация нефтегазопроводов, баз и хранилищ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Санкт-Петербург – 2014 Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Национальный...»

«НИКУЛИНА СВЕТЛАНА ВИКТОРОВНА ФОРМИРОВАНИЕ СТРАТЕГИИ УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ФАРМАЦЕВТИЧЕСКОЙ ОТРАСЛИ 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами: промышленность) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва 2006 г. Работа выполнена на кафедре Экономики и организации производства в Московской Государственной Академии тонкой химической технологии им....»

«АРШИНОВА Виктория Викторовна ПСИХОЛОГИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ КАК ФАКТОР ФОРМИРОВАНИЯ АНТИНАРКОТИЧЕСКОЙ УСТАНОВКИ У ПОДРОСТКОВ Специальность 19.00.07 - Педагогическая психология (психологические наук и) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата психологических наук Москва - 2007 2 Работа выполнена на кафедре психологии образования и педагогики факультета психологии Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Научный руководитель доктор...»

«ЧЕРВА ЮРИЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ ПРОБЛЕМЫ КОНТРКУЛЬТУРЫ В ЗАПАДНОЙ ЦИВИЛИЗАЦИИ Специальность 24.00.01 — теория и история культуры АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата культурологии Санкт-Петербург 2002 Работа выполнена на кафедре художественной культуры Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена Научный руководитель : доктор философских наук, профессор М.С. Каган Официальные оппоненты : доктор философских наук, профессор В. М....»

«ФОКИНА Анна Ивановна ВЛИЯНИЕ СВИНЦА НА СТРУКТУРУ ФОТОТРОФНЫХ МИКРОБНЫХ КОМПЛЕКСОВ ПОЧВЫ 03.00.16. – экология Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата биологических наук Сыктывкар – 2008 Работа выполнена в лаборатории биомониторинга Института биологии Коми НЦ УрО РАН и Вятского государственного гуманитарного университета Научный руководитель : доктор биологических наук, профессор Домрачева Людмила Ивановна Официальные оппоненты : доктор биологических наук,...»

«Нефедова Евгения Викторовна УЧАСТИЕ РОССИИ В ИНИЦИАТИВЕ СЕВЕРНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В КОНТЕКСТЕ ОТНОШЕНИЙ СО СТРАНАМИ СЕВЕРНОЙ ЕВРОПЫ (1997-2006 ГГ.) 07.00.02 – Отечественная история АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата исторических наук Томск – 2009 Работа выполнена на кафедре отечественной истории ГОУ ВПО Томский государственный университет Научный руководитель : доктор исторических наук, профессор Зиновьев Василий Павлович Официальные оппоненты : доктор...»

«ЧЕРМИТ АСИЕТ ЮРЬЕВНА УСТАВ МУНИцИпАлЬНого обРАзоВАНИя В СИСТЕМЕ НоРМАТИВНо-пРАВоВого РЕгУлИРоВАНИя МЕСТНого САМоУпРАВлЕНИя Специальность: 12.00.02 – конституционное право; муниципальное право АВТоРЕфЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата юридических наук Владикавказ 2011 Работа выполнена на кафедре конституционного и административного права ФГОУ ВПО Краснодарский университет Министерства внутренних дел Российской Федерации Научный руководитель : доктор...»

«КОЛЕСОВА Елена Алексеевна РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ГЛОБОДЕРОЗА КАРТОФЕЛЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕМАТОДОУСТОЙЧИВЫХ СОРТОВ В БОРЬБЕ С НИМ Специальность 06.01.01. - Общее земледелие Специальность 06.01.07 – Защита растений АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата сельскохозяйственных наук Москва 2010 Работа выполнена в ФГОУ ВПО Российский государственный аграрный заочный университет Научные руководители: доктор сельскохозяйственных наук Дубовик Владимир...»

«КОВТУНЕНКО Алексей Сергеевич ПРОМЕЖУТОЧНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ АГЕНТНОЙ ТЕХНОЛОГИИ Специальность 05.13.11 – Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Уфа – 2013 Работа выполнена на кафедре информатики ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Научный руководитель д-р техн....»

«Кремнев Петр Петрович МЕЖДУНАРОДНО-ПРАВОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С РАСПАДОМ СССР Специальность 12.00.10 – Международное право. Европейское право АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора юридических наук Москва 2010 Диссертация выполнена на кафедре международного права юридического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова Официальные оппоненты : – доктор юридических наук, профессор Колодкин Анатолий Лазаревич – доктор...»

«ЩЕРБАКОВ АНАТОЛИЙ АНАТОЛЬЕВИЧ ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ГЛИН НИЖНЕУВЕЛЬСКОГО МЕСТОРОЖДЕНИЯ ЧЕЛЯБИНСКОЙ ОБЛАСТИ Специальность: 02.00.21 – химия твердого тела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук. Челябинск-2012 1 Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Челябинский государственный педагогический университет Научный доктор химических наук, профессор Викторов Валерий Викторович руководитель: Официальные доктор химических наук,...»

«Фадеева Елена Ивановна КОЛЛЕГИАЛЬНОСТЬ СОСТАВА СУДА В ХОДЕ СУДЕБНОГО ПРОИЗВОДСТВА ПО УГОЛОВНЫМ ДЕЛАМ Специальность 12.00.09 – уголовный процесс Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата юридических наук Челябинск 2014 Диссертация выполнена на кафедре уголовного процесса, правосудия и прокурорского надзора Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Мордовский государственный университет имени...»

«Гриневич Петр Петрович Итерационные методы решения задачи Стокса с переменной вязкостью 01.01.07 – Вычислительная математика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Москва 2011 Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Ме ханико–математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова Научный...»

«ТУБАЛЕЦ Анна Александровна ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ И ГОСУДАРСТВЕННОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ МАЛЫХ ФОРМ ХОЗЯЙСТВОВАНИЯ В СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕ (по материалам Краснодарского края) Специальность 08.00.05 – экономика и управление народным хозяйством (1.2. Экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами: АПК и сельское хозяйство) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва – 2014 Работа выполнена в Федеральном...»

«НВОХИРИ АНТОНИ МЕТУМАРАИБЕ Разработка математических методов исследования гиперссылочных связей информационных ресурсов университетов развивающихся стран (на примере Нигерии) 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук Санкт-Петербург – 2014 Работа выполнена на кафедре технологии программирования факультета прикладной математики – процессов управления...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.