Вторая часть главы 4 посвящена необходимым условиям экстремума второго порядка для анормальных конечномерных задач. В этой области на сегодняшний день существует два различных подхода к исследованию. Первый, так называемый индексный подход, основанный на оценке индекса квадратичной формы функции Лагранжа, был разработан в работах А.В. Арутюнова (см. [10, 11, 15, 21]). Другой подход, основанный на том, что всякое направление, по которому отображение F (x), задающее ограничения задачи, 2-регулярно, лежит в касательном конусе в точке x ко множеству нулей F, был разработан в работах Е.Р. Авакова (см. [18, 22, 23]).

В главе 4 используется именно индексный подход. Сформулируем строго этот подход и приведем результаты из [15].

Положим Y = R Y. Рассмотрим функцию Лагранжа где = (0, ) Y, 0 0 – множители Лагранжа.

Введем в рассмотрение множество множителей Лагранжа Существуют две возможности.

Пусть вначале точка x нормальна, т.е. im F (x ) = Y. В этом случае необходимые условия первого и второго порядков хорошо известны. Они заключаются в существовании такого множителя Лагранжа = (0, ), что вторая производная функции Лагранжа Lxx (x, ) неотрицательно определена на ядре ker F (x ) оператора F (x ), которое в данном случае является касательным подпространством ко множеству {x : F (x) = 0} в точке x.

Откажемся от предположения нормальности, допустив тем самым, что точка x может быть анормальной, т.е. im F (x ) = Y. Тогда приведенные выше необходимые условия второго порядка, как известно (см. [15]), вообще говоря, могут не выполняться. Тем не менее в [15] были получены необходимые условия второго порядка, которые остаются содержательными без априорных предположений нормальности точки x. Для произвольного натурального r рассмотрим множество тех множителей Лагранжа, для каждого из которых существует такое (зависящее от ) линейное подпространство X, что Множество таких множителей Лагранжа обозначим через r (x ).

В [15] было получено следующее утверждение.

Теорема 3 Пусть точка x является локальным минимумом в задаче (7). Тогда k (x ) =, и, более того, имеет место После этого в [24, 25] теорема 3 для анормальных задач была усилена. А именно, было доказано, что если точка x анормальна, то в приведенной выше формулировке необходимых условий множество k (x ) можно заменить на, вообще говоря, меньшее множество k1 (x ).

Вторая часть главы 4 посвящена дальнейшему развитию этой теории. В определение множества k1 (x ) добавлены дополнительные условия, содержащие векторы l (см. определение множества Mr ниже). В результате утверждение теоремы 3 усиливается.

Основной вклад в исследование анормальных задач и вопросов, с ними связанных (а это теоремы об обратной и неявной функции, условия экстремума второго и высших порядков и т.д.), внесли Е.Р. Аваков, А.А. Аграчев, А.В. Арутюнов, Р.В. Гамкрелидзе, А.Ф. Измаилов, А.А. Милютин и другие. Настоящая теория по существу была создана советско-российской математической школой.

В пятой главе изучаются необходимые условия слабого минимума второго порядка для задачи оптимального управления со смешанными ограничениями без априорных предположений нормальности (управляемости) рассматриваемого допустимого процесса. Целью этой главы является демонстрация того, каким образом результаты и методы главы 4 могут быть использованы в теории оптимального управления, при изучении локального экстремума. Точно так же, как и в конечномерных задачах, необходимые условия экстремума второго порядка в оптимальном управлении или вариационном исчислении оказываются нужными для сужения множества “подозрительных” на минимум процессов управления в смысле условий Эйлера-Лагранжа. Условия второго порядка несут некоторую дополнительную информацию об экстремуме, и это мотивирует их исследование.

Условия второго порядка в теории оптимального управления для различных задач изучались в работах А.А. Аграчева, А.В. Арутюнова, Р.В. Гамкрелидзе, А.В. Дмитрука, А.А. Милютина, Н.П. Осмоловского и многих других. Например, в работе [21] были получены необходимые условия второго порядка в классе обобщенных управлений Р.В. Гамкрелидзе. Их отличительной чертой от известных ранее необходимых условий является то, что они справедливы и содержательны и без априорных предположений нормальности рассматриваемого допустимого процесса. В главе некоторые результаты из [21] переносятся на случай задач со слабым минимумом в классе обычных управлений.

Цель работы. Конечной целью работы является: расширение теоретических знаний об условиях оптимальности в различных классах экстремальных задач, развитие и расширение теории классического вариационного исчисления и оптимального управления на задачи с разрывными траекториями, доказательство теорем существования в классе импульсных управлений, развитие теории принципа максимума Л.С. Понтрягина для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями, установление связи между различными условиями оптимальности в задачах с фазовыми ограничениями, получение новых свойств квадратичных отображений, получение новых теорем об обратной функции в окрестности анормальной точки, усиление необходимых условий экстремума второго порядка в анормальных задачах оптимизации, усиление необходимых условий оптимальности второго порядка в анормальных задачах оптимального управления.

Общая методика исследования. При решении изложенных выше задач и доказательстве теорем используются элементы: математического, функционального, негладкого, многозначного и выпуклого анализов, теории дифференциальных уравнений, вещественной алгебраической геометрии, а также теории экстремальных задач и принципа максимума. Основными инструментами исследования необходимых условий в задаче импульсного управления является вариационный принцип Экланда, а также разрывная замена времени Лебега.

Доказательство критерия существования регулярного нуля у квадратичного отображения основывается на теоремах и методах вещественной алгебраической геометрии, таких, как полуалгебраическая триангуляция полуалгебраического компакта, леммы об отборе кривых, на понятии размерности полуалгебраического множества и т.д. Используются элементы теории гомотопий. Доказательство теорем об обратной функции, как и в [16], проводится методом “от противного” и использует уже известные необходимые условия экстремума второго порядка в анормальной точке. Вывод же новых необходимых условий экстремума в анормальной точке основан на получаемых в работе теореме об обратной функции и критерии существования регулярного нуля.

Научная новизна. Все результаты диссертационной работы являются новыми. Корректное расширение в класс разрывных траекторий для систем вида (3) построено впервые. Оно включает в себя:

1) Пополнение класса управлений. Определение управления расширенной задачи как элемента некоторого метрического пространства. Понятие “близости” управлений.

2) Пополнение класса траекторий. Определение решения динамической системы расширенной задачи. Корректность решения относительно вводимой метрики: близкие управления порождают близкие траектории.

3) Теоремы существования решения. Необходимо указать на те условия, при которых предлагаемая процедура расширения будет заведомо успешной, в том смысле, что в расширенной задаче решение уже будет существовать.

Принцип максимума для задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями – это новый теоретический результат. Он проливает свет на ту связь, которая существует между различными условиями оптимальности в этой области, а это условия в форме Гамкрелидзе и в форме Дубовицкого-Милютина.

Критерий существования регулярного нуля у квадратичного отображения – это новый результат, который представляет ценность для теории анормальных задач. Он устанавливает связь между различными теоремами об обратной функции в окрестности анормальной точки, а также позволяет получить новые содержательные необходимые условия экстремума второго порядка для анормальных задач.

Теорема об обратной функции – это новый теоретический результат, который дает достаточные условия локальной разрешимости некоторых систем нелинейных уравнений, для которых ранее условий разрешимости не существовало. В частности, систем квадратичных уравнений, задаваемых квадратичным отображением, у которого нет регулярных нулей.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит в основном теоретический характер и открывает следующие возможности. Концепция импульсного управления, вводимая в работе, позволяет моделировать процессы управления импульсного типа, в которых возможно управлять динамической системой в сам момент действия импульса. Например, в том случае, если необходимо учесть быстрые вариации в распределении масс механической системы за тот малый момент времени, когда происходит импульсное воздействие. Подобного рода процессы управления можно найти в различных инженерных приложениях: от задач робототехники до задачи об оптимальном маневре летательного/космического аппарата. Теоретическая ценность результатов в целом обсуждалась выше в секции “Научная новизна”.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН под руководством профессора А.В. Арутюнова, на семинаре кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ под руководством профессора В.М. Тихомирова, на семинаре кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ под руководством профессора Ф.П. Васильева, на семинаре Института проблем управления РАН под руководством профессора Б.Т. Поляка, на семинарах ВЦ РАН по асимптотической теории дифференциальных уравнений Н.Н. Боголюбова под руководством профессора Е.А. Гребеникова, на семинарах Института систем и робототехники, функционирующего на базе университета г. Порто (Португалия) под руководством профессора F. Pereira, а также на различных конференциях в России и за рубежом (список прилагается).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 24 печатных работы в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка обозначений и списка литературы. Текст работы изложен на 281 странице, список литературы включает 101 наименование.

Приведем основной результат главы 1. Это принцип максимума Л.С. Понтрягина в классе импульсных управлений.

Рассмотрим задачу:

Здесь T = [t0, t1 ] – фиксированный отрезок времени; p = (x0, x1 ), где x0 = x(t0 ), x1 = x(t1 ); S, C – замкнутые множества; K – выпуклый замкнутый конус в Rk ; = (µ, {u, v }) – импульсное управление.

Приведем точные определения импульсного управления и решения x(·), удовлетворяющего дифференциальной связи фигурирующей в (8). Эти определения отвечают той концепции расширения с управлениями на разрывах, о которой шла речь выше.

В классе таких импульсных управлений будут справедливы теоремы существования решения филипповского типа (см. § 1.7 работы).

Рассмотрим борелевскую векторную меру µ, принимающую значения в конусе K. Через |µ| обозначим ее вариацию (вариация векторной меры µ – это сумма вариаций всех ее компонент, т.е. |µ| = k |µi |).

Обозначим через V (µ) множество скалярных неотрицательных борелевских мер таких, что существуют борелевские векторные меры µi, принимающие значения в конусе K, для которых (µi, |µi |) (µ, ).

Здесь означает сходимость в слабой* топологии, т.е. каждая координата меры µi и мера |µi | сходятся слабо* в C (T ). Пусть V (µ) и T. Рассмотрим измеримую функцию v : [0, 1] K такую, что Здесь, µ( ) := µ({ }) K – это значение µ на одноточечном множестве { }. Семейство вектор-функций {u, v }, которое зависит от вещественного параметра T, назовем присоединенным к векторной мере µ, если существует скалярная борелевская мера V (µ) такая, что для каждого выполняются условия (10), а вектор-функции u : [0, 1] Rm являются измеримыми и существенно ограниченными равномерно по.

Определение 1.2 Элемент = (µ; {u, v }) назовем импульсным управлением в задаче (8), если µ – это такая борелевская векторная мера, принимающая значения в конусе K, что семейство векторфункций {u, v } является присоединенным к µ.

Возьмем произвольные импульсное управление = (µ, {u, v }), число T и вектор a Rn. Обозначим через (·) = (·,, a) решение следующей динамической системы (если оно существует) Функцию ограниченной вариации x(t), заданную на отрезке времени T, назовем решением дифференциального уравнения (9), отвечающим управлению (u, ) и начальному значению x0, если x(t0 ) = x0 и для каждого t (t0, t1 ] имеет место:

где x (·) := (·,, x( )) и µc означает непрерывную компоненту меры µ. Заметим, что сумма в (11) определена корректно, поскольку, согласно (10), существует не более чем счетное множество точек, где функция v отлична от нуля.

Такое определение оказывается корректным с точки зрения пополнения задачи, и в его силу можно описать интегральную воронку решений, возникающую при аппроксимации борелевской меры µ абсолютно непрерывными мерами (см. лемму 1.1).

Сформулируем принцип максимума. Положим Рассмотрим функцию Понтрягина а через Q обозначим следующую вектор-функцию В предположении ограниченности множества U (x, t) и регулярности смешанных ограничений, вводимой в главе 1, а также при довольно общих предположениях относительно функций, входящих в постановку задачи (см. главу 1), получена следующая Теорема 1.1 Пусть процесс (, u, ) является оптимальным в задаче (8).

Тогда существуют число 0, вектор-функция с ограниченным изменением (t), измеримая вектор-функция Lr (T ), (t) C (R(t)) п.в. t, а для каждой точки Ds(||) существуют свои собственные, уже абсолютно непрерывная вектор-функция (s) и существенно ограниченная вектор-функция Lr ([0, 1]), (s) C (R (s)) п.в. s, определенные на отрезке [0, 1], такие, что [t0,t] u где µac, µsc есть абсолютно непрерывная и сингулярная компоненты меры µc.

Здесь “крышка” над функцией или многозначным отображением от переменных (x, u, ) означает, что вместо опущенных аргументов подставляются оптимальные значения, а индекс при функции означает, что подставляются оптимальные значения на разрыве в точке. Здесь также NS (y) – нормальный конус Мордуховича, а NS (y) – его овыпукление, или нормальный конус Кларка.

Условие (12) представляет собой условие максимума для импульсной части динамики g. Оно имеет несколько громоздкий вид, поскольку рассматривается случай векторной меры. Но если предположить, что k = 1, а K = [0, ) – т.е. рассмотреть случай неотрицательной скалярной меры µ в импульсном управлении, – то смысл условия (12) раскрывается легче. В этом случае оно говорит:

Иными словами, импульсный гамильтониан всегда равен нулю на носителе оптимальной меры и никогда не больше, чем ноль.

Подобного рода принцип максимума, но без смешанных ограничений и при дополнительных предположениях выпуклости векторграммы и гладкости был получен Б.М. Миллером в [26]. Однако автор не вводил определения импульсного управления, а решение системы (9) определил в приближенном смысле на языке сходящихся на T (и только на T ) последовательностей траекторий (определения траектории и управления, как и сама концепция расширения задачи, данные выше, в работе [26] не приведены).

Приведем основной результат главы 2. Он заключается в принципе максимума для задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями в форме Р.В. Гамкрелидзе без априорных предположений регулярности оптимальной траектории.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления:

Здесь моменты времени t0 и t1 априори не предполагаются фиксированными, x – фазовая переменная, принимающая значения в nмерном арифметическом пространстве Rn, а u Rm – управляющий параметр. В качестве класса допустимых управлений рассматриваются измеримые существенно ограниченные функции u(·).

Пусть (p, x, u ) – допустимый процесс в задаче (13). Здесь p = (x, x, t, t ). Положим T = [t, t ].

Введем функцию которую впервые предложил рассматривать Р.В. Гамкрелидзе (в его обозначениях, функция p(x, u), см. [7]).

Рассмотрим расширенную функцию Понтрягина и малый лагранжиан Определение 2.3 Будем говорить, что процесс (p, x, u ) удовлетворяет принципу максимума Понтрягина, если существуют вектор = (0, 1, 2 ) : 0 R, 1 Rd(K1 ), 2 Rd(K2 ), 0 0, 2 0, 2, K2 (p ) = 0, абсолютно непрерывная функция : T Rn, функция µ : T Rd(G), и измеримая существенно ограниченная функция r : T Rd(R), такие, что 0,, µ одновременно не равны нулю и где h(t) := max H(u, t).

Кроме того, функция h абсолютно непрерывна на отрезке T, а вектор-функция µ удовлетворяет следующим свойствам:

a) каждая из функций µj постоянна на любом сегменте времени S = [s1, s2 ], на котором оптимальная траектория целиком лежит во внутренности множества, задаваемого j-ым фазовым ограничением, т.е. когда Gj (s) < 0 s S;

б) вектор-функция µ непрерывна слева на интервале (t, t ) и, кроме того, µ(t ) = 0;

в) каждая из функций µj (нестрого) монотонно убывает.

При определенных предположениях регулярности и согласованности ограничений, вводимых в главе 2, была получена следующая Теорема 2.1 Пусть процесс (p, x, u ) является оптимальным в задаче (13). Предположим, что концевые ограничения в точке p регулярны, фазовые и смешанные ограничения регулярны и в точке p фазовые ограничения согласованы с концевыми.

Тогда процесс (p, x, u ) удовлетворяет принципу максимума.

Без априорных предположений регулярности принцип максимума из теоремы 2.1 может вырождаться. Поэтому далее в работе доказываются теоремы 2.2, 2.3, в которых при выполнении определенного вида условий управляемости в концевых точках относительно фазовых ограничений или регулярности рассматриваемого процесса вырождения происходить не будет, так как будут верны более сильные, чем в теореме 2.1, условия нетривиальности.

Сформулируем главный результат главы 3. Приведем здесь его более простую версию для конечномерных пространств. Пусть задано квадратичное отображение Q : X Y, где X = Rn, Y = Rk. Иными словами, Q – это набор из k квадратичных форм на X. Вектор x:

Q(x) = 0 называется регулярным нулем квадратичного отображения Q, если Q (x)X = Y. Здесь Q (x) обозначает обычную производную или якобиан отображения Q в точке x.

Введем необходимые обозначения. Для произвольного вектора = (,.., k ) Y положим где Qj обозначает j-ую координату отображения Q. Через ind q будем обозначать индекс квадратичной формы q. Для целого числа r через r обозначим множество таких векторов Y, = 0, что ind Q r.

Введем в рассмотрение условие:

Если k1 =, то условие A) считается выполненным автоматически.

Теорема 3.1 Пусть квадратичное отображение Q удовлетворяет условию A). Тогда у него существует регулярный нуль.

Впервые условие A) было введено в работе [16], в которой было доказано (см. лемму 2), что если условие A) выполняется, то квадратичное отображение Q сюръективно (т.е. Q(X) = Y ).

При k = 1 утверждение теоремы очевидно. При k = 2 оно относительно несложно доказывается. Усилить утверждение теоремы 3. при k 2, заменив в условии A) множество k1 меньшим множеством k2, нельзя. Это показывает пример квадратичного отображения Q(x) = (x1 x2, x2 x2 ), действующего из R2 в R2, у которого нет нетривиальных нулей.

Впервые достаточные условия существования регулярного нуля у квадратичного отображения, заключающиеся в том, что k1 =, были получены в [27]. Затем в [28] было доказано, что если k1 =, то множество регулярных нулей всюду плотно во множестве N. Наконец, в [16] был доказан ослабленный вариант теоремы 3.1, а именно, (conv – выпуклая оболочка) при r = 2 k(k + 3) является острым, т.е.

не содержит ни одной прямой, то у Q существует регулярный нуль.

(n k 1)(n k) > 2(k 1)), то последнее предположение является условием общего положения, так как в этом случае множество квадратичных отображений Q, для которых конус conv k1 является острым, всюду плотно в пространстве всех квадратичных отображений из Rn в Rk (см. [15], §1.9).

Доказательство теоремы 3.1 потребовало определенных усилий и обращения к методам вещественной алгебраической геометрии, [29].

Были использованы такие теоремы и понятия, как полуалгебраическая триангуляция полуалгебраического компакта, леммы об отборе кривых, размерность полуалгебраического множества и т.д.

Приведем основные результаты главы 4. Пусть, как и выше, X = R, Y = Rk. Для целого r 0 через r обозначим линейное подпроn странство в X, коразмерность которого в X не превосходит r. Пусть cone{M } означает коническую оболочку множества M.

Пусть y, d Y, а r 0 – целое число. Положим Через B (y) будем обозначать замкнутый шар радиуса с центром в точке y. Для > 0 положим Определение 4.1 Пусть d Y. Скажем, что при y Y для отображения F в точке x выполняется условие Ar (x ; y, d), если Имеют место следующие теоремы об обратной функции.

Теорема 4.1 Пусть задан вектор d Y, причем d im F (x ). Предположим, что при некотором y Y для отображения F в точке x выполняется условие Ak2 (x ; y, d). Тогда существуют положительные числа и const (зависящие от y, d) такие, что для всех y (d) существует x(y) :

Положим Теорема 4.2 Пусть F (x ) = 0 и Тогда существуют окрестность O точки y и число c > 0 такие, что для любого y O существует вектор x = x(y), для которого выполняется (14).

Теорема 4.3 Пусть Mk2 (x ) =. Тогда существуют окрестность O точки y и число c > 0 такие, что для всех y O существует вектор x = x(y), для которого выполняется В работе строятся примеры квадратичных отображений, у которых нет регулярных нулей (и тогда предположения теорем 1, 2 нарушаются), но для них выполнены предположения теорем 4.1–4.3.

Сформулируем результаты второй части главы 4. Это необходимые условия экстремума второго порядка в анормальной точке.

Положим = (f, F ), d = (1, 0,.., 0) Y. Пусть y Y. Пусть P обозначает оператор ортогонального проектирования пространства Y на его подпространство (im (x )). Для целых r 0 рассмотрим множество Теорема 4.7 Пусть анормальная точка x является локальным минимумом в задаче (7). Тогда В главе 5 изучается следующая задача Здесь, как и ранее, x Rn – фазовая переменная, u Rm – управляющий параметр, t – время, а t0 < t1 – заданные моменты времени. Вектор p = (x0, x1 ) называется концевым. Заданные отображения Ki : R2n Rki, i = 1, 2 определяют концевые ограничения. Заданное отображение R : Rn Rm R1 Rr определяет смешанные ограничения R(x, u, t) C. Здесь множество C Rr является выпуклым замкнутым конусом, который имеет вид Напомним, что допустимый процесс {(·), u(·)} называется слабым (локальным) минимумом в задаче (15), если существует такое > 0, что для любого допустимого процесса {x(·), u(·)}, удовлетворяющего условию |p p|+ u u L, выполнено неравенство K0 () K0 (p).

Здесь p = (0, x1 ), x0 = x(t0 ), x1 = x(t1 ).

Рассмотрим допустимый процесс {(·), u(·)}, являющийся слабым минимумом. Для удобства будем считать, что K1 () = 0, K0 () = 0.

Если над некоторой функцией, зависящей от (x, u), ставится крышка, то это означает, что вместо опущенных аргументов в нее подставляются оптимальные значения x(·), u(·). Например: f (t) = f ((t), u(t), t).

То же обозначение используется для частных производных по x, u.

Будем предполагать, что смешанные ограничения регулярны вдоль рассматриваемого допустимого процесса (см. определение 5.2).

Рассмотрим матрицу 0 (t), являющуюся псевдообратной матрицей к u (t), и матрицу активных индексов D0 (t); точные их определения можно найти в § 5.3.

Пусть – фундаментальная матрица уравнения Обозначим через P (t) матрицу ортогонального проектирования Rm на подпространство ker R (t)D0 (t) и положим Введем в рассмотрение расширенную матрицу управляемости Говорят, что допустимый процесс {(·), u(·)} удовлетворяет уравx нению Эйлера-Лагранжа, если существует = (0, 1, 2 ) = 0, удовлетворяющее условиям 0 0, 1 0, и существенно ограниченная измеримая вектор-функция, удовлетворяющая условию (t) NC (R(t)) п.в. t T, такие, что для вектор-функции, являющейся решением задачи Коши имеет место (t1 ) = x1 (, ), Обозначим через = (, u) множество таких, которые отвечают процессу {(·), u(·)} в силу уравнения Эйлера-Лагранжа.

Положим X = Rn Lm (T ). Пусть (, u) X и x(·) – соответствующее решение уравнения в вариациях В X рассмотрим подпространства NR = {(, u) X : x(t), x (t) + u(t), u (t) = Обозначим через K множество пар (, u) X таких, что Здесь TC (y) – касательный конус ко множеству C в точке y. Множество K является конусом, который не пуст (так как содержит нуль). Для каждого на X рассмотрим квадратичную форму Обозначим через a = a (, u) множество тех, для которых индекс формы A на подпространстве N = NK NR не превышает числа q = dim ker Q.

Теорема 5.1 Пусть допустимый процесс {(·), u(·)} является слаx бым локальным минимумом в задаче (15) и смешанные ограничения регулярны. Тогда a = и В анормальной ситуации, т.е. когда расширенная матрица управляемости Q вырождена (и тогда q > 0), в определении множества a можно брать только те, для которых индекс квадратичной формы A не превосходит числа q 1.

1. Предложена новая концепция расширения классического оптимального управления на задачи с разрывными траекториями. Введены соответствующие понятия импульсного управления и траектории расширенной задачи. Импульсное управление, помимо традиционной борелевской меры, содержит также в себе, как часть, обычные ограниченные управления, возникающие на разрывах управляемой динамической системы в момент действия импульса. Каждое такое дополнительное обычное управление присоединено к атому управляющей меры и по своему назначению определяет развитие траектории системы на ее разрыве. Рассмотрена задача с импульсными управлениями при наличии смешанных ограничений. Сформулирован и доказан принцип максимума Понтрягина. Условия регулярности смешанных ограничений ослаблены по сравнению с известными в литературе условиями, и глобальная регулярность ограничений заменена на локальную. Предложен модельный пример механической системы, показывающий, что введенные импульсные управления могут оказаться полезными в приложениях. В предположениях филипповского типа о выпуклости векторграммы установлено существование решения задачи оптимального импульсного управления.

2. Рассмотрена задача оптимального управления с фазовыми ограничениями в ее классической формулировке. Получен принцип максимума в форме Р.В. Гамкрелидзе без априорных предположений регулярности оптимальной траектории. Установлена связь между этим принципом максимума и другими условиями оптимальности. Рассмотрены различные типы условий регулярности, выполнение которых гарантирует невырожденность принципа максимума.

3. Изучены различные свойства вещественных квадратичных отображений. Получены достаточные условия существования регулярных нулей у квадратичных отображений.

4. Изучены достаточные условия разрешимости нелинейных уравнений в окрестности анормальной точки. Получен ряд теорем, содержащих подобного рода условия, которые также гарантируют линейнокорневую оценку на решение. Рассмотрен вопрос о необходимых условиях экстремума второго порядка в конечномерных анормальных задачах оптимизации. Получен ряд теорем, содержащих такие условия и усиливающих известные ранее результаты в этой области.

5. Рассмотрены анормальные задачи оптимального управления со смешанными ограничениями типа равенств и неравенств. Получены необходимые условия слабого минимума второго порядка.

В первую очередь выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю профессору А.В. Арутюнову за постоянную поддержку. Многие результаты получены в сотрудничестве с ним.

За плодотворное сотрудничество я также благодарен профессорам Е.Р. Авакову и Ф.Л. Перейре.

Я также признателен профессорам А.А. Аграчеву, Ф.П. Васильеву, В.А. Дыхте, А.Ф. Измаилову, М.И. Зеликину, Г.Г. Магарил-Ильяеву, Б.Ш. Мордуховичу, К.Ю. Осипенко, Е.С. Половинкину, Б.Т. Поляку и В.М. Тихомирову за содержательные и полезные обсуждения.

Цитированная в автореферате литература [1] D. Hilbert. “Mathematical Problems”. Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 8, no. 10 (1902), pp. 437–479.

[2] B.S. Mordukhovich. Existence of optimal controls. J. Soviet Math. 7 (1977), pp.

850–886.

[3] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.

[4] Арутюнов А.В., Карамзин Д.Ю. Необходимые условия минимума в задаче оптимального импульсного управления. Нелинейная динамика и управление.

Вып. 4. Сб. статей под редакцией С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.: Физматлит, 2004, с. 205–240.

[5] Карамзин Д.Ю. Необходимые условия оптимальности в различных классах экстремальных задач управления. Дисс. к.ф.-м.н., ВМиК МГУ, 2003.

[6] Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: Физматлит, 2000.

[7] Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах. Докл. АН СССР, 1959, Т. 125, № 3, с. 475–478.

[8] Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах. Изв. АН СССР, 1960, Т. 24, № 3, с. 315–356.

[9] Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений. Докл. АН СССР, 1963, Т. 149, № 4, с. 759–762.

[10] Арутюнов А.В., Тынянский Н.Т. О принципе максимума в задаче с фазовыми ограничениями. Изв. АН СССР. Сер. техн. кибернетика, 1984, № 4, с. 60–68.

[11] Арутюнов А.В. К необходимым условиям оптимальности в задаче с фазовыми ограничениями. Докл. АН СССР, 1985, Т. 280, № 5, с. 1033–1037.

[12] Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А. Необходимые условия сильного минимума в задачах оптимального управления с вырождением концевых и фазовых ограничений. УМН, 1985, Т. 40, № 2, с. 175–176.

[13] Арутюнов А.В. К теории принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. Докл. АН СССР, 1989, Т. 304, № 1, с. 11–14.

[14] R.B. Vinter, M.M.A. Ferreira. When is the maximum principle for state constrained problems nondegenerate? // J. Math. Anal. and Appl. 1994. V. 187.

pp. 438–467.

[15] Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи, М.: Факториал, 1997.

[16] Арутюнов А.В. Теорема о неявной функции как реализация принципа Лагранжа. Анормальные точки, Матем. сб., 191:1 (2000), с. 3–26.

[17] Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. Москва, 1950.

[18] Аваков Е.Р. Теоремы об оценках в окрестности вырожденной точки. Мат.

заметки, 47, 1990, с. 3–13.

[19] Арутюнов А.В. Теорема о неявной функции без априорных предположений нормальности. ЖВМиМФ, 46, № 2, 2006, c. 205–215.

[20] Аваков Е.Р., Арутюнов А.В. Теорема об обратной функции и условия экстремума для анормальных задач с незамкнутым образом, Матем. сб., 196: (2005), с. 3–22.

[21] Арутюнов А.В. Возмущения экстремальных задач с ограничениями и необходимые условия оптимальности. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Математический анализ, 1989, Т. 27, с. 147–235.

[22] Аваков Е.Р. Условия экстремума для гладких задач с ограничениями типа равенств, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 25:5 (1985), с. 680–693.

[23] Аваков Е.Р. Необходимые условия экстремума для гладких анормальных задач с ограничениями типа равенств и неравенств, Матем. заметки, 45:6 (1989), [24] Арутюнов А.В., Ячимович В. К теории экстремума для анормальных задач, Вестн. МГУ. Сер. Вычисл. матем. и кибернетика. 2000. № 1. с. 34–40.

[25] Арутюнов А.В., Карамзин Д.Ю. Необходимые условия экстремума в анормальной экстремальной задаче с ограничениями типа равенств. ЖВМиМФ.

Т. 46, № 8, 2006, с. 1363–1368.

[26] Миллер Б.М. Условия оптимальности в задачах обобщенного управления. Автоматика и телемеханика, 1992, № 5, с. 50–58.

[27] A.A. Agrachev, A.V. Sarychev. Abnormal sub-Riemannian geodesics: Morse index and rigidity // Ann. Inst. Henri Poincare. 1996. 13, N 6. p. 635–690.

[28] Арутюнов А.В. Некоторые свойства квадратичных отображений. Вестник МГУ, сер. 15, ВМиК, 1999, № 2, с. 30–32.

[29] J. Bochnak, M. Coste, M.F. Roy. Real Algebraic Geometry. Springer: A Series of Modern Surveys in Mathematics, 1998.

* А.В. Арутюнов, Д.Ю. Карамзин. Расширение и возмущение задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями. Вестник МГУ. Сер. 15, ВМиК, № 2, 2002, с. 31–35.

* Д.Ю. Карамзин. К теории принципа максимума в задачах с фазовыми ограничениями. Вестник МГУ. Сер. 15, ВМиК, № 4, 2002, с. 23–31.

* А.В. Арутюнов, В.Н. Бурков, А.Ю. Заложнев, Д.Ю. Карамзин. Задача оптимального распределения ресурсов по множеству независимых операций.

Автоматика и телемеханика, № 5, 2002, с. 108–119.

* А.В. Арутюнов, Д.Ю. Карамзин. Необходимые условия минимума в задаче оптимального импульсного управления. Нелинейная динамика и управление.

Вып. 4. Сб. статей под редакцией С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.: Физматлит, 2004, с. 205–240.

* A.V. Arutyunov, D.Yu. Karamzin, F.L Pereira. A nondegenerate Maximum Principle for the impulse control problem with state constraints. SIAM J. Control Optim. Vol. 43, № 5, 2005, p. 1812–1843.

* Д.Ю. Карамзин. Необходимые условия минимума в задаче оптимального импульсного управления. Современная математика и ее приложения. Т. 24, 2005, с. 74–134. (D.Yu. Karamzin. Necessary Conditions of the Minimum in an Impulse Optimal Control Problem. Journal of Mathematical Sciences. Vol. 139, № 6, 2006, pp. 7087–7150.) * А.В. Арутюнов, Д.Ю. Карамзин. Необходимые условия слабого минимума в задаче оптимального управления со смешанными ограничениями. Дифференциальные уравнения. Т. 41, № 11, 2005, с. 1458–1468.

* А.В. Арутюнов, Д.Ю. Карамзин. Необходимые условия экстремума в анормальной экстремальной задаче с ограничениями типа равенств. Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 46, № 8, 2006, с.

1363–1368.

* Д.Ю. Карамзин. К теории необходимых условий экстремума для конечномерных задач при наличии неравенств. Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 46, № 11, 2006, с. 1950–1961.

* Д.Ю. Карамзин. Принцип максимума в задаче управления при ограниченных фазовых координатах. Автоматика и телемеханика, № 2, 2007, с. 26–38.

* А.В. Арутюнов, Д.Ю. Карамзин. Необходимые условия минимума в анормальных задачах с геометрическими ограничениями. Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 47, № 3, 2007, с. 364–375.

* Д.Ю. Карамзин. Необходимые условия экстремума в задаче управления с фазовыми ограничениями. Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 47, № 7, 2007, с. 1123–1150.

* A.V. Arutyunov, D.Yu. Karamzin, F.L. Pereira. Necessary Conditions of Optimality for Problems with Equality and Inequality Constraints: The Abnormal Case. J. Optim. Theory Appl. (2009) 140: 391–408.

* Д.Ю. Карамзин. Исследование достаточных условий существования регулярного нуля у квадратичных отображений. Математический форум. Т. 2.

Исследования по выпуклому анализу. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2009, с. 84–97. (Итоги науки. ЮФО).

* А.В. Арутюнов, Д.Ю. Карамзин, Ф. Перейра. Об импульсных задачах управления с ограничениями: управление скачками систем. Современная математика и ее приложения. Том 65 (2009), с. 48–81. (A.V. Arutyunov, D.Yu.

Karamzin, F.L. Pereira. On constrained impulsive control problems: controlling system jumps. Journal of Mathematical Sciences, Vol. 165, № 6, 2010, pp. 654– 687.) * A.V. Arutyunov, D.Yu. Karamzin, F.L. Pereira. Maximum principle in problems with mixed constraints under weak assumptions of regularity. Optimization. Vol.

59, № 7, October 2010, pp. 1067–1083.

* А.В. Арутюнов, Д.Ю. Карамзин, Ф. Перейра. Принцип максимума Л.С. Понтрягина для задач оптимального импульсного управления. Доклады Академии наук, 2010, том 432, № 4, с. 439–442.

* A.V. Arutyunov, D.Yu. Karamzin, F.L. Pereira. On a generalization of the impulsive control concept: controlling system jumps. Discrete and Continuous Dynamical Systems, Vol. 29, № 2, February 2011, pp. 403–415.

* А.В. Арутюнов, Д.Ю. Карамзин. Регулярные нули квадратичных отображений и их приложение. Математический сборник, том 202, № 6, 2011, с. 3–28.

* А.В. Арутюнов, Д.Ю. Карамзин, Ф. Перейра. Принцип максимума для задач оптимального управления при ограниченных фазовых координатах в форме Р.В. Гамкрелидзе и его связь с другими условиями оптимальности. Доклады Академии наук, 2011, том 436, № 6, с. 738–742.

* A.V. Arutyunov, D.Yu. Karamzin, F.L. Pereira. The Maximum Principle for Optimal Control Problems with State Constraints by R.V. Gamkrelidze: Revisited. J. Optim. Theory Appl. (2011) 149: pp. 474–493.

* A.V. Arutyunov, D.Yu. Karamzin, F.L. Pereira. Pontryagin’s maximum principle for constrained impulsive control problems. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. Vol. 75, № 3, February 2012, pp. 1045–1057.

* Е.Р. Аваков, А.В. Арутюнов, Д.Ю. Карамзин. Обратная функция в окрестности анормальной точки гладкого отображения. Доклады Академии наук, 2012, том 444, № 1, с. 1–4.

* Е.Р. Аваков, А.В. Арутюнов, Д.Ю. Карамзин. О необходимых условиях экстремума второго порядка в конечномерных анормальных задачах оптимизации. Доклады Академии наук, 2012, том 444, № 2, с. 1–3.

Конференции, на которых были доложены – Международная конференция “Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби”. Екатеринбург, 22-26 июня, 2005.

– Международная конференция “Тихонов и современная математика”, Москва, 19-25 июня, 2006.

– XVI всероссийская конференция “Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам”, Абрау-Дюрсо, 2006.

– International Conference “Computer Algebra in Scientic Computing – 2006” (CASC–2006), Chisinau, Moldova, September 11-15, 2006.

– International Conference “Extremal Problems in Complex and Real Analysis” (EPCoRA–2007), Moscow, May 21-25, 2007.

– IX Международная Четаевская конференция “Аналитическая механика, устойчивость и управление движением”. Иркутск, 12-16 июня, 2007.

– International Conference “Dierential Equations and Topology” dedicated to the 100th Anniversary of the birthday of L.S. Pontryagin, Moscow, Russia, June 17-22, 2008.

– The 8th Portuguese Conference on Automatic Control (CONTROLO–2008), Vila Real, Portugal, July 21-23, 2008.

– Workshop on Control, Nonsmooth Analysis and Optimization in honour of F.

Clarke and R. Vinter on the occasion of their 60th birthday. Porto, Portugal, May 4-8, 2009.

– The 23rd European Conference on Operational Research. Bonn, Germany, July 5-8, 2009.

– International Conference “Control and Optimization of Dynamical Systems – CODS–2009”, Tashkent, Uzbekistan, September 28-30, 2009.

– The 24th European Conference on Operational Research, Lisbon, Portugal, July 11-14, 2010.

– VI Московская международная конференция по исследованию операций, 19октября, 2010.

– The 6th International Workshop Computer Algebra Systems in Teaching and Research (CASTR–2011), Siedlce, Poland, February 2-6, 2011.

– Workshop “Optimization–2011”, Costa da Caparica, Portugal, July 24-27, 2011.

– The 8th International ISAAC Congress, Moscow, 22-27 August, 2011.

– Колмогоровские чтения – 2011, Тамбов, 10-14 октября 2011.